Кожухов уравнения и неравенства с параметром

С.К. Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ

Элла Гребёнкина 5 лет назад Просмотров:

1 СК Кожухов УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Учебно-методическое пособие для учителей математики, студентов математических специальностей педагогических вузов, абитуриентов ОРЕЛ 0

2 Кожухов СК Уравнения и неравенства с параметром Орел, 0 В пособии систематизирован опыт работы автора по изучению темы «Уравнения и неравенства с параметром» в классах физикоматематического профиля Оно содержит большое число разобранных примеров, к каждой теме предлагаются упражнения для самостоятельного решения Данное пособие можно использовать при подготовке к сдаче ЕГЭ по математике Книга адресована учителям математики, студентам математических специальностей педагогических вузов, выпускникам средних учебных заведений СК Кожухов, 0

3 Предисловие Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр, является, пожалуй, одним из самых трудных разделов элементарной математики Это связано с тем, что в школе стараются развить умения и навыки решения определенного набора стандартных задач, связанных часто с техникой алгебраических преобразований Задачи с параметром относятся к другому типу Для их решения обычно требуются гибкость мышления, логика в рассуждениях, умение хорошо и полно анализировать ситуацию Опыт показывает, что учащиеся, владеющие методами решения задач с параметром, успешно справляются и с другими задачами Именно поэтому задачи с параметром обладают диагностической и прогностической ценностью На протяжении ряда лет многие вузы включают уравнение (неравенство) с параметром в задания вступительных экзаменов (олимпиад) Но до сих пор задача с параметром остается самой «неудобной» для абитуриентов Более того, в последние годы задачи с параметром регулярно встречаются в вариантах ГИА и ЕГЭ И здесь далеко не все школьники приступают к решению этих заданий, и еще меньшее число выполняют решение верно Автор надеется, что предлагаемое пособие поможет старшеклассникам самостоятельно овладеть некоторыми приемами решения уравнений и неравенств с параметром, а учителям планомерно организовать работу по данной теме в классе на уроке или факультативных занятиях (элективных курсах)

4 Введение Параметр (от греческого prmetron отмеривающий) величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов Так, уравнение (х а) + (у b) = с с параметрами а, b и с определяет совокупность всех окружностей; уравнение (х а) + (у b) = всех единичных окружностей; уравнение х + у = с совокупность концентрических окружностей с центром в начале координат Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется уравнение (неравенство) с параметром Пусть Р(х; а) (I) предложение с двумя переменными, где х R и а R Если переменным х и а придать числовые значения х i, а i из множества R, то может получиться: запись, лишенная смысла (Например, в уравнении при х=, а=0), ложное высказывание (Например, в уравнении при х=, а=-), истинное высказывание (Например, в уравнении при х=, а=) Множество всех (х i, а i ), при которых имеем -й или -й случай называется областью допустимых значений переменных (ОДЗ) Множество всех (х i, а i ), при которых имеем -й случай называется областью истинности (ОИ) данного высказывания Если в высказывании (I) переменной а придать какое-либо значение а i из ОДЗ, то (I) станет предложением с одной переменной: Р(х) (II), которое имеет свою ОДЗ и ОИ 4

5 Таким образом, для любого а i из ОДЗ можно рассматривать предложение с переменной Р(х) и находить его ОИ В этом случае предложение Р(х; а) называется предложением с одной переменной (х) и параметром (а) Замечания ) В качестве предложений с переменной и параметром в школьном курсе чаще всего рассматриваются уравнения, неравенства и их системы ) Такой алгебраический подход позволяет определить уравнения (неравенства) не только с одним, но и с любым конечным числом параметров ) В некоторых школьных учебниках и пособиях для абитуриентов уравнение (неравенство) с параметром определяется более примитивно: «Это уравнение (неравенство), в запись которого, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами» 4) В школьном курсе математики чаще всего решаются задачи с одним параметром (реже с двумя или тремя) 5) В задачах с параметром переменные обозначаются, как правило, х, у, z, t, а параметры а, b, с, р, n, k, m Однако при решении ряда задач бывает целесообразно придать параметру статус переменной, а переменной статус параметра Такой подход называется решением относительно параметра В самом деле, предложение Р(х; а) можно считать как предложением с переменной (х) и параметром (а), так и предложением с переменной (а) и параметром (х) В отношении уравнений (неравенств) с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи ) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения (неравенства) ) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства) удовлетворяют заданным требованиям 5

6 Основной принцип решения уравнений (неравенств) с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение (неравенство) решается одним и тем же способом Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра Ответ к уравнению (неравенству) состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения (неравенства) Замечания ) Указанный подход к решению задач с параметром часто называется методом ветвления ) Для осуществления такого плана нужно знать граничные или контрольные значения параметра, которые разбивают ОДЗ на указанные участки Поиск этих значений тесно связан со спецификой параметра и его двойственной природой ( число неизвестная ) Специфика уравнений (неравенств) с параметром состоит в том, что изменение значений параметра влечет за собой изменение не только коэффициентов, но и ряда других характеристик ) Степень уравнения (Например, уравнение 6 0 при а = 0 является линейным, а при а 0 квадратным) ) Характер монотонности функции (Например, функция у log при > является возрастающей, а при 0 0: ОДЗ: 0, при 7 ПРИМЕР Линейные уравнения и неравенства, содержащие параметр больше: а или + Для каждого значения параметра а выясните, какое из чисел Найдем разность данных чисел: а а = а При а = разность равна нулю, следовательно, числа равны При > разность положительна, следовательно, первое число больше При первое число больше, при 8 нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент при х равен нулю, положительный и отрицательный Это связано с тем, что деление обеих частей неравенства на положительное число не меняет знак неравенства, в то время как деление обеих частей неравенства на отрицательное число приводит к замене знака неравенства ему противоположным Следующий рисунок показывает, при каких значениях параметра а число (а-)(а-) равно нулю, при каких положительно, а при каких отрицательно Если а =, то неравенство примет вид 0х 0 Решением полученного неравенства является любое действительное число Если а =, то неравенство примет вид 0х Решений нет Если ( ; ), то а х а Если ( ; ) (; ), то Ответ: при а = при ( ; ) а х а R ; при а = решений нет; а х ; при а а ( ; ) (; ) х а 5 5 ПРИМЕР 4 Решите уравнение с параметром 4 При а = 0 данное уравнение теряет смысл, а значит, и не имеет корней При а 0 исходное уравнение приводится к уравнению следующего вида: ( 5 )(5 ) ( 5)( ) Если а = 5, то решением является любое действительное число Если а = 5, то уравнение решений не имеет Если а 5 и а -5, то 5 Ответ: при а = 0 и а = 5 решений нет; при а = 5 при а -5, а 0 и а 5 5 R, 8

9 ПРИМЕР 5 Решите неравенство ах 0, 0, то решением неравенства является любое действительное число Если = 0 и b 0, то неравенство не имеет решений Если > 0, то Если а 0 при > 0 b ; при а 10 ПРИМЕР 7 0 Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень Укажите этот корень для каждого такого значения а Для того чтобы перейти от данного уравнения к уравнению, не содержащему модуль, нужно рассмотреть два случая: х и х 11 Видим, что при (;] (на рисунке одна штриховка) уравнение имеет ровно один корень Этот корень Ответ: (;] ; УПРАЖНЕНИЯ Для каждого значения параметра а сравните числа а) а и -а; б) а и а Для каждого значения параметра а решите уравнение а) ( 7)( ) ( )( 7) ; б) ( ) 4 ; в) 5х ; г) 4 ; д) ; е) ; ж) ( х а) 9( ах 9) ; з) Для каждого значения параметра а решите неравенство а) ( 5)( ) ( ) ; б) х ; в) ( ) ; г) ; д) ; е) а ; ж) ( х а) 9ах 8; 4 з) 6 4ах а х 4 Решите уравнение (неравенство) с параметрами и b а) ( ) b ; б) ; b в) ( ) b ; г) ( 4 4 b ) b

12 5 Для каждого значения параметра а решите систему уравнений y 6, а) б) 4х аy 4, y ; ах y 6 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4 имеет ровно два корня Укажите эти корни 7 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 5 имеет ровно один корень 8 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 4 выполняется для любого действительного х; 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 5 не имеет решений 0 Для каждого значения параметра а решите уравнение х а х а Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр ПРИМЕР Решите уравнение с параметром 0 Ясно, что количество корней квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта Поэтому решение задачи будет связано с анализом значений дискриминанта данного уравнения D Если а >, то D 0 В этом случае уравнение не имеет корней Если а =, то D 0 В этом случае получим один корень х = Если а решений нет; при а = х = ; при а 13 ПРИМЕР Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 0 имеет ровно один корень Для каждого такого а укажите этот корень Было бы неверно сразу найти дискриминант и приравнять его к нулю Дело в том, что данное уравнение не при всех значениях параметра а является квадратным Поэтому сначала нужно исследовать случай, когда уравнение будет линейным и только потом переходить к рассмотрению дискриминанта квадратного уравнения Если а=0, то уравнение примет вид х = 0 Его корень х = 0 Если 0, то уравнение является квадратным D D 0 при а = — или а =, причем, если а = -, то х = -; если а =, то х = Ответ: при а = 0 х = 0, при а = — х = -, при а = х = ПРИМЕР Найдите все значения а, при каждом из которых ровно один корень уравнения 0 принадлежит интервалу (-; ) Корнями данного квадратного уравнения являются х = а и х = а + Заметим, что при любом значении параметра а корни различны, так как а- 14 Корнями квадратичной функции y ( ) являются х = а и х = а + 4, причем а а а 5 -5 ( 5; ) ; при а = -5 решений нет; при а 15 ПРИМЕР 6 Для каждого значения параметра а решите неравенство ( ) 0 Сразу заметим, что при а=0 неравенство будет линейным, а при 0 квадратным В случае квадратного неравенства важен знак числа а, потому что именно он будет определять, куда направлены ветви параболы графика квадратичной функ- ции y ( ), ( 0 ) Если а = 0, то исходное неравенство примет вид -х + > 0, откуда х 0 ветви параболы направлены вверх, однако нельзя однозначно указать, какой корень квадратичной функции больше, а какой меньше Необходимо рассмотреть все возможные варианты При а = 0,5 корни квадратичной функции совпадают, и решением неравенства являются все ( ; ) (; ) При 0 16 При а>0,5 Решением неравенства будут все ; (; ) Ответ: при а 0,5 ; (; ) УПРАЖНЕНИЯ Для каждого значения параметра а решите уравнение а) 6 0 ; б) 5 6 0; в) 0 ; г) 4 0 ; д) ( 4) ; е) 0 Для каждого значения параметра а определите, сколько различных действительных корней имеет уравнение а) ( ) ( ) 0 ; б) ( 0) ( ) 0 Для каждого значения параметра а решите неравенство а) ( ) 0 ; б) ; в) 0; г) 0 ; д) ( ) 0; е) 0 4 Найдите все значения параметра а, при которых для уравнения (неравенства) выполняется следующее условие: а) оба корня уравнения ( ) 6 0 меньше двух; б) ровно один корень уравнения 5 (5 6) 0 принадлежит интервалу (0; ); 6

17 в) один из корней уравнения 4 0 равен, а другой отрицательный; г) неравенство ( ) 0 верно при любом значении х; д) неравенство ( ) 0 выполняется для любого ( ; ) 5 Для каждого значения а решите уравнение х 4 0 Дробно-рациональные уравнения и неравенства, содержащие параметр ПРИМЕР Решите уравнение с параметром План решения этого уравнения состоит в следующем: после преобразований получить линейное уравнение, найти его корень и выяснить, при каких значениях параметра он является посторонним (обращает знаменатель дроби в нуль) Область допустимых значений переменной (ОДЗ): 0 и На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению (а )(х + ) = ах, откуда находим х = а Теперь выясним, при каких значениях параметра а найденное значение х является посторонним корнем для исходного уравнения: а = 0 при а = ; а = при а = 0 Ответ: при а = и а = 0 корней нет, при и 0 х = а ПРИМЕР Решите уравнение с параметром Сразу заметим, что при а = — уравнение теряет смысл, а следовательно, не имеет корней Далее рассматриваем только случай ОДЗ: На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению (х + )(х ) = (х а )(а + ) После преобразований получим уравне- ние ( ) 0, корни которого х = а и х = а + 7

18 Первый корень принимает «запретное» значение при а = ; второй корень в этом случае равен 6 Таким образом, при а = уравнение имеет один корень х = 6 Второй корень принимает «запретное» значение при а = Однако случай а = уже был рассмотрен (при а = исходное уравнение теряет смысл) Ответ: при а = корней нет, при а = единственный корень х = 6, при и уравнение имеет два корня х = а и х = а + ПРИМЕР Решите неравенство с параметром 0 Решим данное неравенство методом интервалов Рассмотрим функцию f ( ) : D ( f ) ( 😉 (; ) ; f() = 0 при х = а Точки и а раз- бивают числовую прямую на интервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак Так как определить порядок расположения этих точек на числовой прямой однозначно нельзя, то необходимо рассмотреть все возможные случаи: а Если а , то ( 😉 [ ; ) Ответ: при а ( 😉 [ ; ) 8

19 УПРАЖНЕНИЯ Для каждого значения параметра а сравните числа а) а и ; б) и Для каждого значения параметра а решите уравнение а а а) ; б) ; а х ах ах а в) 0; г) ; д) ( ) ; е) 0; ( ) а ( ) 6а ж) 0 ; з) Для каждого значения параметра а решите неравенство а) ; б) ; ( ) в) 0; г) а ; д) 8 0 ; е) 0 а ( а) х 4 Теорема Виета ПРИМЕР Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения 4 0 равна = ( ) По теореме Виета х х х х а, 4 Из уравнения 8 находим а = или а = Однако полученный результат нельзя считать ответом Легко проверить, что при а = и а = квадратное уравнение не имеет действительных корней Поэтому, используя теорему Виета, мы не должны забывать о существовании действительных корней уравнения 9

20 Итак, задача сводится к решению системы решений не имеет Ответ: таких значений параметра а нет 6 0, 8 Эта система Заметим, что условие 6 0 предполагает, что при D = 0 квадратное уравнение имеет также два корня (одинаковых) Если бы в условии задачи говорилось о различных корнях квадратного уравнения, то первое неравенство системы должно быть строгим: 6 0 ПРИМЕР Найдите все значения параметра а, при которых сумма кубов различных действительных корней уравнения 4 0 меньше 8 D = 9 6а Если данное квадратное уравнение имеет действительные корни и, то по теореме Виета, а 4 ( )(( ) ) (9 ) 7 6 Таким образом, искомые значения параметра находим из системы 9 6 0, Ответ: Ее решением будет промежуток ; ПРИМЕР Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) 0 имеет корни разных знаков Необходимым и достаточным условием того, что квадратное уравнение имеет корни разных знаков ( и ), является неравенство 0 теореме Виета имеем: 0, откуда а, 0 Ответ: 0 По Обратите внимание на то, что в нашем случае при выполнении неравенства 0 дискриминант автоматически положителен 0

21 ПРИМЕР 4 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 4 0 имеет четыре различных действительных корня Пусть y, тогда исходное уравнение примет вид y 0 y () Исходное уравнение имеет четыре различных корня, если квадратное уравнение () имеет два различных положительных корня Это возможно D 0,, при выполнении системы y y 0, По теореме Виета 0, y y 0 0, откуда находим 22 * ПРИМЕР 7 Найдите все значения а, при каждом из которых попарно 4 различные корни уравнения ( 5) ( ) 0 являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии 4 ( 5) ( ) 0 () Пусть y ( y 0 ) Тогда уравнение () примет вид y ( 5) y ( ) 0 () Требование задачи выполняется лишь тогда, когда уравнение () имеет четыре различных действительных корня Это возможно в том случае, если квадратное уравнение () имеет два различных положительных корня Если квадратное уравнение () имеет два различных положительных корня y и y ( y 23 УПРАЖНЕНИЯ Найдите все значения а, при каждом из которых квадрат разности различных действительных корней трехчлена 4 меньше 8 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (9 ) 9 0 имеет два различных действительных корня и, удовлетворяющих неравенству Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней трехчлена 4 5 равна 4 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) х 5 6а 0 имеет ровно два различных корня 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) 5 0 имеет корни разных знаков, причем положительный корень по модулю меньше отрицательного 6 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых квадрат- ное уравнение 9 0 имеет корни одного знака 4 7 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) 9 0 имеет ровно три различных корня 4 8 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) 6 0 имеет ровно один корень 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) 9 0 имеет только положительные корни 4 0 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) 9 0 не имеет действительных корней Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов различных действительных корней квадратного трехчлена ( а ) 4 не превосходит 7

24 Найдите все значения а, при каждом из которых квадрат разности действительных корней уравнения (а ) а 5 0 меньше 4 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 0 имеет два различных действительных корня и, удовлетворяющих неравенству 4 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых корни 4 уравнения ( ) ( 0) 0 являются четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) 0 имеет четыре корня, причем величины, обрат- 4 ные корням, образуют арифметическую прогрессию 5 Расположение корней квадратичной функции Существует довольно большой класс задач с параметром, в которых необходимо делать ограничения на корни квадратичной функции f ( ) p q (оба корня больше 5, только один корень принадлежит отрезку [-; ] и тд) В таких случаях целесообразно придерживаться следующего плана Если дискриминант квадратного уравнения p q 0 является полным квадратом, то лучше найти корни уравнения и дальше работать с этими корнями (составить соответствующие неравенства) Если дискриминант квадратного уравнения p q 0 не является полным квадратом, то корни уравнения лучше не находить, а нужные ограничения составить на основе следующих теорем (приведем их в виде следующей таблицы) Здесь и далее 0 абсцисса вершины параболы 4

25 ОГРАНИЧЕНИЕ НА РАСПОЛОЖЕНИЕ КОРНЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ f ( ) p q ЭСКИЗ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ f ( ) p q НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ПРИВЕДЕННОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ГРАФИКА Оба корня больше заданного числа А 0 Оба корня меньше заданного числа В 0 Оба корня лежат в интервале (А; В) 0 4 Отрезок [А; В] лежит между корнями 5 Заданное число А лежит между корнями 6 Только меньший корень входит в интервал (А; В) А В х А В х А В А х х х D 0, f ( A) 0, 0 A D 0, f ( B) 0, 0 B D 0, f ( A) 0, f ( B) 0, A 0 B В А х f ( A) 0, f ( B) 0 f ( A) 0, f ( B) 0 f ( A) 0 или f ( A) 0, f ( B) 0, х 0 B 7 Только больший корень входит в интервал (А; В) А В х f ( A) 0, f ( B) 0 или f ( В) 0, f ( А) 0, х 0 A Если в теоремах () и () в качестве чисел А и В рассматривать 0, то мы приходим к условию, идентичному тому, которое получается на основе теоремы Виета 5

26 ПРИМЕР Найдите все значения а, при каждом из которых ровно один корень уравнения ( ) 0 принадлежит интервалу (; 5) Дискриминант уравнения равен 9 Корни уравнения: х = а и х = а+ 27 0, 9 0 0, Ответ: 9 ПРИМЕР, ( 😉 ;, 9 9 Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 0 выполняется для любого 28 ПРИМЕР 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 0 не имеет положительных решений При а = 0 неравенство примет вид >0, что верно при любом х При 0 рассмотрим квадратичную функцию f ( ) Легко заметить, что при > 0 (ветви параболы направлены вверх) неравенство имеет положительные решения При а 29 Найдите все значения а, при каждом из которых оба корня уравнения (6 ) 0 принадлежат промежутку (0; ] Найдите все значения а, при каждом из которых корни уравнения х х а 0 больше числа а 4 Найдите все значения а, при каждом из которых корни уравнения х ( ) х 4 0 лежат по разные стороны от числа 5 Найдите все значения а, при каждом из которых ровно один корень уравнения 5х 0х 4а 0 принадлежит отрезку [-;] 6 Найдите все значения а, при каждом из которых корни уравнения ( ) 4 0 лежат в интервале (; 5) 7 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 0 имеет хотя бы одно положительное решение 8 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 6 0 выполняется для любого значения х 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 4 0 верно для любого > 0 0 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция y определена ровно в одной точке Найдите все значения а, при каждом из которых корни трехчлена ( а ) х 5 принадлежат интервалу (4; 8) Найдите все значения а, при каждом из которых ровно один корень уравнения а а 0 входит в промежуток ( ; ) Найдите все значения а, при каждом из которых оба корня уравнения а 0 меньше 4 Найдите все значения а, при каждом из которых оба корня уравнения а 0 больше 5 Найдите все значения а, при каждом из которых ни один из корней уравнения ( ) а а 0 не входит в промежуток (; 5) 9

30 6 Графический способ решения уравнений и неравенств, содержащих параметр ПРИМЕР Для каждого значения параметра а определите количество корней уравнения 6 8 Для решения этой задачи эффективен графический способ: построить график функции y 6 8, и для каждого значения а определить количество общих точек этого графика с прямой у = а По графику видим, что при а два корня; при = три корня; при 0 два корня; при = три корня; при 0 ; при r= или r= четыре решения; при 31 С учетом того, что r = а, получим: система не имеет решений, если ( ; ) ; (; ) ; четыре решения, если восемь решений, если ; ; ; ; Ответ: при ( ; ) ; (; ) решений нет, при ; четыре решения, при ; ; восемь решений ПРИМЕР Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 6 5 имеет ровно 4 корня Переформулируем задачу на графическом языке: нужно найти все значения параметра а, при которых прямая у=ах+ (проходящая через точку (0; )) имеет четыре общих точки с графиком функции у 6 5 По графику видим, что условию задачи удовлетворяют все прямые, расположенные внутри заштрихованной области Найдем граничные значения параметра, соответствующие прямым () и ()

32 ) Прямая у=ах+ проходит через точку (5; 0): 0=5а+, а=-0, ) Прямая у=ах+ касается параболы у ( 6 5) Следовательно, уравнение 6 5 ах должно иметь ровно один корень ( а 6) 6 0 ( 6) D а 4 Решая уравнение ( а 6) 4 0, находим 6 6 Очевидно, что прямой () соответствует угловой коэффициент 6 6 Ответ: 0, 6 6 Заметим, что значение 6 6 получено не случайно Оно также соответствует касанию прямой у=ах+ и параболы у 6 5 Точка касания будет находиться в III четверти ПРИМЕР 4 Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно отрицательное решение Переформулируем задачу на графическом языке: нужно найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одна точка графика функции y с отрицательной абсциссой, лежащая выше точки графика функции y с той же абсциссой

33 Из графических соображений ясно, что искомые значения ( ; ) Значение соответствует тому, что левый луч уголка проходит через точку (0; ) Подставляя координаты этой точки в уравнение y а х, получим = Значение соответствует тому, что правый луч уголка касается параболы, те уравнение имеет ровно один корень Дискриминант этого уравнения равен 4 и обращается в нуль при Таким образом, 4 ; 4 Ответ: ; 4 ПРИМЕР 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых 6 х уравнение на промежутке ( 0; ) имеет ровно три корня Найдем все значения параметра а, при которых прямая y а имеет 6 ровно три общие точки с той частью графика функции у х, которая расположена в правой полуплоскости (х>0) Последний график представляет собой правую ветку гиперболы у 6, которую а) сместили на еди- х ницы вниз, б) ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох зеркально отразили относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость Заметим также, что прямая y а проходит через точку (0; -) при любом значении параметра а, который является угловым коэффициентом

34 Видим, что условию задачи отвечают все прямые, расположенные внутри заштрихованной области Значение параметра, соответствующее границе (), находим из уравнения 0 а, а= Значение параметра, соответствующее границе (), находим из усло- 6 вия касания прямой y а и графика функции у (отражен- х 6 ной части гиперболы) Уравнение ах х должно иметь ровно один корень После преобразований получаем квадратное уравнение а 5х 6 0 (очевидно, что а > 0), дискриминант которого приравниваем к нулю: 5 4а = 0, 5 Ответ: 4 ПРИМЕР 6 х 5 5 а Условию удовлетворяют все а ; 4 4 Найдите все значения а, при каждом из которых система х х а 0, имеет ровно одно решение 4х а Особенностью этой системы является отсутствие в ней переменной у Чтобы использовать графический метод решения, придадим параметру а статус ординаты и рассмотрим координатную плоскость Оха После очевидных преобразований система примет вид ( х)( а х ) 0, а 4х х Неравенство системы на координатной плоскости Оха задает пару закрашенных вертикальных углов, ограниченных прямыми а=х и а=-х Уравнение задает параболу а=4х-х Решение системы на графике представляет собой те участки параболы, которые попали в закрашенную область По графику видим, что условию задачи удовлетворяют все значения параметра а а ;0) ( ; ] [ 4

35 Значение а находим из системы х, а 4х х, а = (Другое решение системы а=0 соответствует второй точке пересечения прямой и параболы) Из системы х, а 4х х 7 7 находим а и а :, Таким образом, искомые значения 7 7 ; 0 ; 7 7 Ответ: ; 0 ; ПРИМЕР 7 Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f ( ) 4 на отрезке [-; ] не меньше, чем -5 Так как наименьшее значение функции на отрезке [-; ], не меньше, чем -5, то значения функции во всех точках отрезка также не меньше, чем -5 Следовательно, неравенство 4 5 должно выполняться для любого х [; ] Последнее неравенство перепишем в следующем ви- де 4 ( ) 5 Выясним, при каких значениях параметра а прямая у ( ) 5 будет располагаться не выше графика функции у 4, построенного на отрезке [-; ] Заметим, что прямая у ( ) 5 проходит через точку (; -5) При изменении параметра а будет меняться угловой коэффициент (а значит, и угол наклона) этой прямой 5

36 Условию задачи удовлетворяют все прямые, расположенные внутри закрашенной пары вертикальных углов, включая границы Найдем значения а, соответствующие этим границам ) Значение а находим из условия, что прямая у ( ) 5 проходит через точку (-; -): = а 5, а = ) Значение а находим из условия, что прямая у ( ) 5 касается параболы у 4 То есть уравнение 4 ( ) 5 должно иметь ровно один корень Приведя уравнение к виду (4 а) а 5 0, потребуем, чтобы его дискриминант равнялся нулю D (4 а) Решая уравнение 4 4 0, находим или Легко понять, что нашему случаю удовлетворяет лишь одно значение Таким образом, искомые значения [ ; ] Ответ: [ ; ] УПРАЖНЕНИЯ Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 4 корня Для каждого значения а определите количество решений уравнения а) ; б) 6

37 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение а +4 =- имеет ровно один корень 4 Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений y 6, имеет ровно 6 решений y 5 Найдите все положительные значения а, при каждом из которых сис- ( х 4) ( y ) 4, тема ( х ) ( y ) а имеет ровно одно решение 6 Найдите все значения а, при каждом из которых система неравенств у у а 4а 6х 4у, 8у 0х 4а 40 имеет ровно одно решение 7 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 8 ( 5) не имеет корней 8 Найдите все значения а, при каждом из которых график функции 6 ( ) 5 ах х f имеет более двух общих точек с осью абсцисс на промежутке ( 0; ) х 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение а х 5 на промежутке ( 0; ) имеет ровно три корня 0 Найдите все значения параметра а, при каждом уравнение ( а )( а 4х) 0 имеет четыре различных корня Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система y 9, имеет ровно два решения y х Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система а ах х 4а 4 0, ха 4 имеет хотя бы одно решение Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система ( у ) у х ( х ) 5, имеет единственное решение 4 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система у х ах 4ау 5а 5, имеет ровно одно решение у 7

38 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система y у 7 4y 49 0, у ах, х имеет единственное решение 6 Найдите все значения а, при каждом из которых графики функции f ( ) ( х 4) g( ) имеют ровно две общих точки 7 Найдите все значения а, при каждом из которых функция f ( ) ( ) принимает значение, равное а, ровно в трех различных точках 8 Найдите все значения а, при каждом из которых графики функций f ( ) 8 6 и g( х) 4а имеют максимально возможное количество общих точек 9 Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции f ( ) ( ) 4 меньше (-) 0 Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f ( ) 6 5 меньше 7 Тригонометрические уравнения и неравенства, содержащие параметр ПРИМЕР Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 4 cos 5 sin 4 0 имеет решения Найдите эти решения Данное уравнение сводится к уравнению 4 sin 5 sin 0, sin, которое равносильно совокупности sin 4 Первое уравнение совокупности имеет решения, если n В этом случае ( ) rcsin n, n Z Второе уравнение совокупности имеет решения, если 4 4 k В этом случае ( ) rcsin k, k Z 4 8

39 Видим, что исходное уравнение имеет решения при всех 4 4, причем, если [;], то решения имеют оба уравнения совокупности (на рисунке две штриховки); если [ 4; ) (; 4] (одна штриховка), то лишь второе уравнение совокупности имеет решения Ответ: уравнение имеет решения при всех 4 4 n k При [ ;] ( ) rcsin n, n Z, ( ) rcsin k, k Z, 4 k при [ 4; ) (; 4] ( ) rcsin k, k Z 4 ПРИМЕР Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение cos 4cos 0 не имеет корней После преобразований получим уравнение 4cos 4cos Пусть cos t, t [ ;] Тогда необходимо выяснить, при каких значениях параметра а уравнение 4t 4t не имеет корней на отрезке [-; ] Для этого изобразим на указанном отрезке график функции у 4t 4t По графику видим, что уравнение не имеет корней, если а 8 Ответ: а 8 9

40 40 ПРИМЕР Решите неравенство sin sin ; Z n, n n Если а = 0, то исходное неравенство примет вид 0 sin Решением является любое действительное х Если > 0, то Z, n n n Если 0 Z, n n n 6 6 7, при 41 ПРИМЕР 5 cos ; 4 4 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ( ) cos 0 имеет ровно шесть корней на промежутке Пусть у = cos, тогда уравнение примет вид y ( ) y 0 Его корни: y и у = а Дальнейшие рассуждения проведем графиче- ским способом Из условия следует, что ; На этом промежутке прямая y пересекает график функции у = cos в двух точках Искомыми являются те значения а, при которых прямая у = а пересекает этот же график на промежутке ; Это возможно в случае, когда 42 Неравенство () будет выполняться для любого х, если для любого y [;] будет выполняться неравенство () Это возможно только тогда, когда отрезок [-; ] функции f ( y) y ( ) y 5 будет расположен между корнями квадратичной Имеем Приведенное расположение параболы задается системой f ( ) 0, f () 0 5 0, 5 0 Ответ: 5 43 УПРАЖНЕНИЯ Для каждого значения параметра а решите уравнение а) sin cos а ; б) sin sin ; в) sin 5 cos 0 ; г) 4sin 4sin 8 0 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравне- ние cos имеет ровно восемь корней Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение sin ( ) sin 0 не имеет корней 4 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение cos ( ) cos 4 0 не имеет корней 5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство cos ( ) cos 0 не имеет решений 6 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система y а, имеет ровно четыре решения sin( y ) 0 7 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение sin ( )sin имеет ровно 9 корней на отрезке 5 ; 8 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 5cos 0cos 4 имеет ровно три корня на отрезке 9 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 5 ; cos ( ) cos имеет два корня на отрезке [ ; ] 0 Для каждого значения параметра а решите неравенство: а) cos ; б) sin ; в) tg ( ) 4

44 8 Иррациональные уравнения и неравенства, содержащие параметр ПРИМЕР Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) имеет хотя бы один корень Применим графический метод: найдем все значения а, при которых прямая у = а(х+) имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции y Заметим, что для прямой у = а(х+) параметр а является угловым коэффициентом (при изменении а одна прямая будет переходить в другую с помощью поворота около точки (-; 0), так как для любого а у(-)= 0) По графику видим, что искомыми являются прямые, лежащие внутри заштрихованной пары вертикальных углов, включая границы Им соответствуют значения [ 0; 0 ], где 0 отвечает моменту касания прямой у = а(х+) графика функции y (Заметим, что 0 > 0) Значение 0 находим из условия, что уравнение 0 ( ) имеет ровно один корень После преобразований получим квадратное уравнение 0 (0 ) 0 0 Дискриминант 0 D 4 обращается в нуль при 0 0, 5 или 0, 0 5 Так как 0 >0, то искомое значение 0, 0 5 Ответ: [0; 0,5] ПРИМЕР Решите неравенство ( х а) х 5х 6 0 Решим это неравенство методом интервалов Область определения функ- ции f ( ) ( х а) х 5х 6 D ( f ) ( ; ] [; ) Нули функции числа ; и а, если а D( f ) 44

45 ) Если а, то х ( ; а] <; >+ + а х ) Если а, то х ( ; ] <> + х ) Если а, то х ( ; ] [; ] + а х Ответ: при а х ( ; а] <; >; при а х ( ; ] <> ; при а х ( ; ] [; ] ПРИМЕР Для каждого а решите уравнение ( ) 5 Данное уравнение равносильно системе, ( ) 5 ( ), при ; при 0,, а Таким образом, видим, что при а 46 Ответ: а 47 Уравнение () не имеет корней тогда и только тогда, когда не имеет решений полученная система Это возможно в двух случаях: а) квадратное уравнение () не имеет корней; б) корни уравнения () не удовлетворяют условию () Найдем все значения а, при которых выполним хотя бы один случай: а) уравнение ( ) 9 0 не имеет коней, если D 48 Для прямой у = а(х + ) угловой коэффициент равен При 0 прямая и парабола имеют общие точки на промежутке [ ; ) При 0 общих точек нет Значение 0 найдем из условия, что прямая у = 0 (х + ) проходит через точку М (;) Имеем 0 = 4 Ответ: > 4 УПРАЖНЕНИЯ Для каждого значения параметра а решите уравнение (неравенство) а) ; б) ; в) ; г) ( ) 0 ; д) ; е) 0 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 9х (9 ) х а х не имеет корней Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( ) х имеет ровно один корень 4 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравне- 4 ние 7х ( 5) х а 6 х 4 имеет хотя бы один корень 5 Найдите все значения а, при каждом из которых графики функций f ( ) 5 х — 5 и g( х) имеют ровно одну общую точку 6 Найдите все значения параметра а, при которых уравнение а cos ( )sin sin х не имеет корней 7 Найдите все значения параметра а, при которых неравенство а sin sin не имеет решений 8 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два корня 9 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ( а 4) а 8 имеет два различных корня 0 Для каждого значения а решите неравенство ( ) 9 х 0 48

49 9 Показательные уравнения и неравенства, содержащие параметр ПРИМЕР Для каждого значения параметра а решите уравнение 5 ( ) 5 0 После замены y 5 (у > 0) данное уравнение сводится к квадратному y ( ) y 5 Таким образом, имеем 5 y, 0, которое равносильно совокупности y, Первое уравнение совокупности имеет решение при > Его корень log 5 ( ) Второе уравнение совокупности имеет решение при > Его корень log 5 ( ) Ответ: при корней нет; при log 5 ( ) ; при > log 5 ( ) и log 5 ( ) ПРИМЕР Найдите все значения параметра а, при каждом из которых х неравенство 4 (8 ) выполняется для любого значения х из промежутка [; 5) Пусть у, тогда исходное неравенство (обозначим его ()) примет вид y (8 ) y () Из условия х 5, получим: 4 х 6, х 4, 4 6 Таким образом, исходное неравенство выполняется для любого значения х из промежутка [; 5), когда для любого значения у из промежутка [4; 6) выполняется квадратное неравенство () Последнее требование имеет место лишь в том случае, если меньший корень квадратичной функции f ( y) y (8 ) y 40 8 меньше 4, а больший корень не меньше 6 49

50 Искомые значения параметра находим из системы 6 а 88 40а 8 0, 8, Ответ: ( 8; ] f (4) 0, f (6) 0 ПРИМЕР Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство 9 cos cos 9 0 cos cos выполняется для любого допустимого значения х () Пусть Неравенство () примет вид y y 9 0 () y cos, причем E(y) = ; Исходное неравенство выполняется для любого х тогда и только тогда, когда неравенство () выполняется для любого квадратного неравенства () будут y ( ; а ] [ ; ) Таким образом, необходимо, чтобы промежуток y ; Решением ; целиком содержался во множестве решений неравенства () Это достигается, если а или Ответ: а, откуда а 6 или 8 а или а 6 8 а ПРИМЕР 4 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых х уравнение 4 х а имеет два различных корня х х Перепишем исходное уравнение в виде 4 ( ) () Пусть t, t 0 Тогда уравнение примет вид t t ( t ) () 50

Неравенства с параметром

Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:

1. Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
2. Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
3. Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.

Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.

Решить неравенство \((a-2)x>a^2-4\) для любого значения параметра \(a\).

Первый случай: Если \(a=2\), получим неравенство \(0*x>0\), которое не имеет решений.

Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.

Второй случай: Если \(a > 2 ⇔ x > \frac ⇔ x > a+2;\)

Третий случай: Если \(a 2\) $$ x > a+2;$$ при \(a Пример 2

Решить неравенство \(ax^2-4x-4>0\) при всех значениях параметра \(a\).

Первый случай: Если \(a=0\) , неравенство примет вид \(-4x-4>0 ⇔ x

Получаем, что дискриминант больше нуля при \(a > -1; D 0\) ветки параболы направлены вверх, а при \(a 0,D > 0\)

Учебное пособие «Уравнения и неравенства с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная

школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

муниципального района Клявлинский

« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов

данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)

Авторы

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева Ирина Алексеевна

Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9

Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15

Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…. 16-18

Задания для самостоятельной работы…………………………. 21-28

Уравнения и неравенства с параметрами.

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:

Выделить особое значение — это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.

Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.

Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.

Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.

Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.

§ 1. Линейные уравнения и неравенства.

Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра a является значение а = 0.

Если а ¹ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х=.

Если а = 0, то уравнение принимает вид : 0х= b . В этом случае значение

b = 0 является особым значением параметра b .

При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Неравенства вида ах > b и ax b ( а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток

(; +), если a > 0 , и (-;) , если а . Аналогично для неравенства

ах b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а

Пример 1. Решить уравнение ах = 5

Решение : Это линейное уравнение .

Если а = 0, то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.

Если а ¹ 0, х = — решение уравнения.

Ответ: при а ¹ 0, х=

при а = 0 решения нет.

Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.

Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:

Если а= -3, то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3, уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.

Ответ: При а = -3, х R ; при а ¹ -3, х = 2.

Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?

Решение: Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение

2(а — 2) х = а 2 – 4а +4

2(а — 2) х = (а – 2) 2

При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.

При а ¹ 2 х =. По условию х > 1, то есть >1, а > 4.

Ответ: При а <2>U (4;∞).

Пример 4. Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.

Решение. ах = 8 – линейное уравнение.

а =,

y = a – семейство горизонтальных прямых;

y = — графиком является гипербола. Построим графики этих функций.

Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.

Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:

y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Построим графики этих функций.

Ответ:При|а|>1— один корень

при | а|≤1 – уравнение корней не имеет.

Решение : ах + 4 > 2х + а 2 (а – 2) х > а 2 – 4. Рассмотрим три случая.

а=2 . Неравенство 0 х > 0 решений не имеет.

а > 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х > а + 2

а (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) х а + 2

Ответ. х > а + 2 при а > 2; х при а при а=2 решений нет.

§ 2. Квадратные уравнения и неравенства

Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:

1 ) дискриминанта квадратного уравнения: D = b ² — 4 ac , (²- ас)

2) формул корней квадратного уравнения: х ₁ =, х ₂ =,

(х _{1,2 =} )

Квадратными называются неравенства вида

Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).

Если дискриминант квадратного трехчлена a х 2 + b х + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R .

Если квадратный трехчлен имеет корни (х _{1 2} ), то при а > 0 он положителен на множестве (-; х ₂ )( х _2; +) и отрицателен на интервале

(х ₁ ; х ₂ ). Если а ₁ ; х ₂ ) и отрицателен при всех х (-; х ₁ )( х _2; +).

Пример 1. Решить уравнение ах² — 2 (а – 1)х – 4 = 0.

Это квадратное уравнение

Решение: Особое значение а = 0.

При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.

При а ≠ 0. Найдем дискриминант.

Если а = -1, то D = 0 – один корень.

Найдем корень, подставив вместо а = -1.

-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.

Если а ≠ — 1 , то D >0 . По формуле корней получим: х=;

х ₁ =2, х ₂ = —.

Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и

а ≠ — 1 уравнение имеет два корня х ₁ =2, х ₂ =-.

Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а

y = х²-2х-8— графиком является парабола;

y =а— семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Ответ: При а -9, уравнение имеет два решения.

Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х ?

Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если

, откуда следует, что a > 6 .

§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,

сводящиеся к линейным

Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.

В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение = 0

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2

При а = -2 корней нет.

Пример 2 . Решить уравнение— = (1)

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² — 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.

Найдем дискриминант = (1 – а)² — (а² — 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х ₁ = а + 1, х ₂ = а — 3.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х ₁+1=0, х ₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

Если х ₁+2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = — 3. Таким образом, при а = — 3, х₁ — посторонний корень уравнения. (1).

Если х₂+1=0, то есть (а – 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х₂ — посторонний корень уравнения (1).

Если х₂+2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,

х₂ — посторонний корень уравнения (1).

В соответствии с этим при а = — 3 получаем х = — 3 – 3 = -6;

при а = — 2 х = -2 – 3= — 5;

при а = 1 х =1 + 1= 2;

при а = 2 х=2+1 = 3.

Можно записать ответ.

Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2, то х= -5; 3) если а= 0, то корней нет; 4) если а= 1, то х= 2; 5) если а=2, то х=3; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х₁ = а + 1, х₂ = а-3.

§4. Иррациональные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.

Уравнение вида = g ( x ) равносильно системе

Неравенство f ( x ) ≥ 0 следует из уравнения f ( x ) = g 2 ( x ).

При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:

≤ g(x) ≥g(x)

Пример 1. Решите уравнение = х + 1 (3)

Это иррациональное уравнение

Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе .

При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.

При а≠ 2 х=. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1: ≥ — 1, ≥ 0,

откуда а ≤ или а > 2.

Ответ: При а≤, а > 2 х= , при уравнение решений не имеет.

Пример 2. Решить уравнение = а (приложение 4)

Решение. y =

y = а – семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Пример 3 . Решим неравенство (а+1)

Решение. О.Д.З. х ≤ 2. Если а+1 ≤0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то

(а+1)

откуда х (2- 2

Ответ. х (- ;2 при а ( —;-1, х (2- 2

при а ( -1;+).

§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Sinx = a x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, , n Z, ≤1. (2)

Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют .

tg x = a x= arctg a + πn, n Z, aR

ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, aR

Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:

1. sin x > a arcsin a + 2 πn Z,

при a xR ; при a ≥ 1, решений нет.

при а≤-1, решений нет; при а >1, xR

3. cos x > a — arccos a + 2 πn x arccos a + 2 πn , n Z ,

при а xR ; при a ≥ 1 , решений нет.

при а≤-1 , решений нет ; при a > 1, x R

5. tg x > a, arctg a + πnZ

Пример1. Найти а, при которых данное уравнение имеет решение:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Решение. Запишем уравнение в виде

Уравнение cosx = 5- а имеет решения при условии -1≤ 5- а ≤1 4≤ а ≤ 6, а уравнение cosx = — а-1 при условии -1≤ -1- а ≤ 1 -2 ≤ а ≤0.

Ответ. а -2; 0 4; 6

Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство + b > 0 выполняется при всех х ≠ πn , n Z .

Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а π /2 при а ≥0.

§ 6. Показательные уравнения и неравенства

1. Уравнение h ( x ) f ( x ) = h ( x ) g ( x ) при h ( x ) > 0 равносильно совокупности двух систем и

2. В частном случае ( h ( x )= a ) уравнение а f ( x ) = а g ( x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем

и

3. Уравнение а f ( x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению

f ( x )= log _a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.

Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f ( a x ) > 0 при помощи замены переменной t = a x сводится к решению системы неравенств а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f ( x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.

Пример 1 . При каких а уравнение 8 х = имеет только положительные корни?

Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 8 х >1 >1 >0, откуда a (1,5;4).

Ответ. a (1,5;4).

Решение. Рассмотрим три случая:

1. а . Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых х R .

3. а > 0 . a 2 ∙2 x > a 2 x > x > — log ₂ a

Ответ. х R при а > 0; решений нет при a =0; х (- log ₂ a ; +) при а> 0 .

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.

В частности, если а >0, а ≠1, то

log _a g (x)= log _a h(x)

2. Уравнение log _a g (x)=b g (x)= a b ( а >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Неравенство log _{f ( x )} g ( x ) ≤ log _{f ( x )} h ( x ) равносильно совокупности двух систем: и

Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то

log _a f (x) ≤ b

log _a f (x) > b

_{Пример 1. Решите уравнение}

Решение. Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение

log х – 2 = 4 – log _a x log х + log _a x – 6 = 0, откуда log _a x = — 3

х = а -3 и log _a x = 2 х = а 2 . Условие х = а 4 а – 3 = а 4 или а 2 = а 4 не выполняется на ОДЗ.

Ответ: х = а -3 , х = а 2 при а ( 0; 1) (1; ).

Пример 2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

2 log — + a = 0 имеет решения.

Решение. Выполним замену = t и получим квадратное уравнение 2 t 2 – t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8 a . Рассмотрим D ≥0, 1-8 а ≥0 а ≤.

При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.

Ответ. а =

Пример 3 . Решить неравенство log ( x 2 – 2 x + a ) > — 3

Решение. Решим систему неравенств

Корни квадратных трехчленов х _1,2 = 1 ± и х _3,4 = 1 ±.

Критические значения параметра : а = 1 и а = 9.

Пусть Х₁ и Х₂ – множества решений первого и второго неравенств, тогда

Х ₁ Х ₂ = Х – решение исходного неравенства.

При 0 a ₁ = (- ;1 — )( 1 + ; +), при а > 1 Х ₁ = (-;+).

При 0 a ₂ = (1 —; 1 +), при а ≥9 Х ₂ – решений нет.

Рассмотрим три случая:

1. 0 a ≤1 Х = (1 —;1 — )(1 + ;1 +).

3. a ≥ 9 Х – решений нет.

Высокий уровень С1, С2

Пример 1. Найдите все значения р, при которых уравнение

р ∙ ctg 2 x + 2 sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение. Преобразуем уравнение

р ∙ ( — 1) + 2 sinx + p = 3, sinx = t , t , t 0.

— p + 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Пусть f ( y ) = 3 t 2 – 2 t 3 . Найдем множество значений функции f ( x ) на . у / = 6 t – 6 t 2 , 6 t — 6 t 2 = 0, t ₁ =0, t ₂ = 1. f (-1) = 5, f (1) = 1.

При t , E ( f ) = ,

При t , E ( f ) = , то есть при t , E ( f ) = .

Чтобы уравнение 3 t 2 – 2 t 3 = p ( следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно p E ( f ), то есть p .

Ответ. .

При каких значениях параметра а уравнение log (4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 имеет ровно один корень?

Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:

4 x 2 – 4 a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .

Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.

4∙ 0 2 — 4 a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

1) a ₁ = 1. Тогда уравнение имеет вид: log (4 x 2 +4) =2. Решаем его

4 x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4 x 2 + 4 = х 4 + 4 x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.

2) a ₂ = 3. Уравнение имеет вид: log (4 x 2 +4) =2 х = 0 – единственный корень.

Высокий уровень С4, С5

Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение

х 2 – ( р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7рх 2 + 2х 2 – 14 рх — 3х +21 р ≤ 0.

Решение. Пусть х _1, х ₂ – целые корни уравнения х 2 – ( р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х ₁ + х ₂ = р + 3, х ₁ ∙ х ₂ = 1. Произведение двух целых чисел х ₁ , х ₂ может равняться единице только в двух случаях: х ₁ = х ₂ = 1 или х ₁ = х ₂ = — 1. Если х ₁ = х ₂ = 1, то р + 3 = 1+1 = 2 р = — 1; если х ₁ = х ₂ = — 1, то р + 3 = — 1 – 1 = — 2 р = — 5. Проверим являются ли корни уравнения х 2 – ( р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая р = — 1, х ₁ = х ₂ = 1 имеем

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ ( — 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ ( — 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = — 5, х₁ = х₂ = — 1 имеем ( — 1) 3 – 7 ∙ ( — 5) ∙ ( -1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ ( -5) × ( — 1) – 3 ∙ ( — 1) + 21∙ ( -5 ) = — 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = — 1 и р = — 5.

Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а, при которых число 1 принадлежит области определения функции

у = ( а — а ).

Решение. у = ( а — а ). Область определения данной функции составляют все значения х, для которых а — а ≥ 0.

Если значения х = 1 принадлежит области определения, то должно выполняться неравенство а— а ≥ 0, а≥ а (1)

Таким образом, необходимо найти все а > 0, удовлетворяющие неравенству (1).

1) а = 1 удовлетворяет неравенству (1).

2) При а > 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а ≥ а 2 +6,

а 2 — 5а + 4 ≤ 0. Решение этого неравенства: 1≤ а ≤ 4. Учитывая условие а >1, получим 1

а 2 — 5а + 4 ≥ 0. Его решение а ≤ 1; а ≥ 4 с учетом условия 0