Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы су­ществования и единственности решения для уравнения второ­го порядка

Определена задача Коши, когда в точке Х = X0 заданы значения неизвестной функции и ее производной:

Если выполнены условия теоремы 10.1, то задача Коши (10.13), (10.14) однозначно определяет частное решение.

Однако существует и другой тип задач для дифференци­альных уравнений второго порядка — значения неизвестной функции задаются в двух разных точках. Иными словами, при решении уравнения (10.13) на интервале (А, B) рассмотрим Гра­ничные условия наиболее простого вида на концах интервала

В этом случае уравнение (10.13) совместно с условиями (10.14) называется Первой краевой задачей для уравнения второго по­рядка. Поскольку второе условие в (10.15) равносильно второ­му условию в (10.14), то указанная краевая задача может иметь единственное решение, т. е. определять единственным образом частное решение дифференциального уравнения (10.13), прохо­дящее через точки (X1, Y1), (X2, Y2). Так, для линейного диффе­ренциального уравнения второго порядка первая краевая зада­ча имеет решение, если определитель системы линейных алгеб­раических уравнений относительно произвольных постоянных C1 и С2

Реализующей краевые условия (10.15), отличен от нуля. Здесь в соответствии с теоремой 10.4 (X) — частное решение не­однородного уравнения, У1(х) и У2(х) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения. В таком случае краевая задача с условиями (10.15) однозначно опреде­ляет частное решение дифференциального уравнения (10.8).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

Удовлетворяющее краевым условиям

Общее решение этого уравнения было найдено в примере 4 и. 10.3:

Для отыскания частного решения, соответствующего данным краевым условиям, подставим это решение в эти краевые усло­вия. Получаем систему линейных уравнений относительно про­извольных постоянных С1 и С2

Нетрудно видеть, что определитель этой системы не равен ну­лю, т. е. данная краевая задача имеет решение. Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 2, получаем С2, а затем из первого уравнения — С1:

Отсюда решение данной краевой задачи как частное решение дифференциального уравнения, проходящее через точки (0, 1) и (ln 2, 2), имеет вид

Краевые задачи для уравнений высших порядков

Рассмотрим для простоты уравнение второго порядка

Коэффициенты и будем считать непрерывными в некотором интервале . Тогда каждое решение уравнения (1) будет определено во всем этом интервале. В дальнейшем вместо уравнения (1) будем рассматривать уравнение вида

Уравнения (1) и (2) могут быть преобразованы одно в другое. Уравнение вида (2) называются самосопряженными.

Решение дифференциального уравнения полностью определяется начальными условиями . Однако во многих физических задачах приходится искать решения, заданные иным способом. Например, может быть поставлена задача: найти решение уравнения (2), принимающее в точках и заданные значения и . Обычно в таких случаях значения решения ищутся только для из . Таким образом, заданные значения и находятся на концах интервала, поэтому задачи такого рода называются краевыми (граничными) задачами . В дальнейшем мы положим в основу интервал (основной интервал), что не уменьшает общности рассуждений.

Весьма общий вид краевых условий для уравнения второго порядка следующий:

где — заданные постоянные, причем не равны одновременно нулю.

Если , то краевые условия называются однородными , например:

y'(0)=y'(\pi). \end» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />

Вообще говоря, краевые задачи не всегда разрешимы, т.е. не всегда существует такое решение, которое принимает требуемые значения на концах интервала. Например, краевая задача

не имеет ни одного решения. Задача

имеет ненулевое решение только для целочисленных значений . В самом деле, из общего решения дифференциального уравнения (4)

вытекает, что краевые условия выполнимы в том и только в том случае, если есть квадрат целого числа . Соответствующими решениями являются функции .

Как видно из этого примера, если в уравнении (2) есть функция параметра , то при известных условиях существуют такие значения параметра, для которых однородная краевая задача для уравнения (2) имеет ненулевое решение. Эти значения называются собственными значениями , а соответствующие им решения краевой задачи — собственными функциями . Последние определяются лишь с точностью до произвольного постоянного множителя. Так для краевой задачи , числа и функции являются соответственно собственными значениями и собственными функциями задачи.

Наряду с простыми собственными значениями, когда одному собственному значению отвечает одна собственная функция (с точностью до постоянного множителя), существуют кратные собственные значения, когда собственному значению отвечают две или более линейно независимые собственные функции.

При решении краевых задач (для линейных однородных дифференциальных уравнений) поступают так: находят общее решение данного дифференциального уравнения

где — линейно независимые решения. Затем требуют, чтобы это решение удовлетворяло заданным граничным условиям. Это приводит к некоторой линейной системе уравнений для определения . Разрешая эту систему, если возможно, находят решение данной краевой задачи. При этом, если возникает задача о нахождении собственных значений, условие наличия ненулевого решения у системы, определяющей , является условием, определяющим собственные значения. Это бывает некоторое вообще трансцендентное уравнение для .

Пример 1. Решить краевую задачу .

Решение. Общее решение данного уравнения

Полагая в (6) и в (5) и учитывая краевые условия, получаем для нахождения значений постоянных и неоднородную линейную систему

Определитель этой системы

следовательно, она имеет единственное решение

Подставляя найденные значения и в (5), получаем решение заданной краевой задачи

Пример 2. Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи

Решение. Обшее решение уравнения (7)

Полагая (9) и в (10) и учитывая краевые условия (8), получаем для нахождения и однородную линейную систему

Система (11) будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю; приравняв его нулю, получаем уравнение для нахождения собственных значений данной краевой задачи:

Так как по условию , то , а значит собственные значения

Им соответствуют (с точностью до постоянного множителя , который можно положить равным единице) собственные функции

являющиеся решениями краевой задачи (7)–(8).

Замечание. Собственные значения рассмотренных выше задач образуют возрастающую числовую последовательность. Если же коэффициенты дифференциального уравнения имеют особую точку на границе основной области или если основная область бесконечна, например вся числовая ось, то спектр, т.е. совокупность собственных значений, может обладать иной структурой. В частности, могут встретиться спектры, содержащие все числа какого-либо интервала значений , так называемые непрерывные спектры. Например, пусть требуется решить уравнение для интервала при «краевых условиях»: ограничено на бесконечности. Очевидно, в этом случае всякое неотрицательное число является собственным значением с собственными функциями и .

При решении задач математической физики, приводящих к задачам на определение собственных значений, часто получаются дифференциальные уравнения вида

но такие, что в концевых точках основной области могут иметь место особенности дифференциального уравнения, например, обращение в ноль коэффициента . Для этих особых точек из самого характера задачи возникают условия, например, непрерывности или ограниченности решения или обращение его в бесконечность не выше заданного порядка. Эти условия играют роль краевых условий. Типичным примером является уравнение Бесселя

которое появляется в задачах математической физики. Здесь и сделанное выше предположение, что 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> во всей основной области здесь уже не выполняется, так как . Точка является особой точкой для уравнения Бесселя.

Требование, чтобы решение было ограничено в этой точке, будет специального вида краевым условием для уравнения Бесселя: найти решение уравнения (12), ограниченное при и, например, обращающееся в ноль при .

Пример 3. Решить краевую задачу функция ограничено при .

Решение. Данное уравнение является уравнением Эйлера. Его общее решение имеет вид

По условию решение должно быть ограниченным при . Это требование будет выполнено, если в общем решении положить . Тогда будем иметь . Краевое условие дает . Следовательно, искомое решение .

Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

4.11.2. Краевые задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Общий вид

В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

Основные типы краевых условий, задаваемых на концах промежутка (изменения независимой переменной x ), на котором решается задача, имеют вид:

— условие первого рода

— условие второго рода

— условие третьего рода

На левой и правой границах промежутка могут быть заданы условия одного и того же или разного рода.

Если коэффициенты уравнения и правая часть — непрерывные функции, то краевая задача имеет единственное решение.

Дифференциальное уравнение вида (28) может быть преобразовано в уравнение в так называемой самосопряженной форме:

Для этого умножим обе части уравнения (28) на функцию . С учетом того, что

после умножения уравнение (28) можно записать в виде , т.е. в виде (29), где

4.11.3. Построение трехточечной разностной схемы 2-го порядка аппроксимации.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в самосопряженной форме

на интервале с краевыми условиями первого рода:

Если , , то такая краевая задача описывает стационарное распределение тепла в стержне ( u(x) — температура в точке , — коэффициент теплопроводности). Задача имеет единственное решение, если — кусочно-непрерывные функции.

Введем на отрезке равномерную сетку

и запишем трехточечную разностную схему для краевой задачи (30)-(31) в прогоночном виде

где коэффициенты зависят от значений функций в узлах сетки, а также от шага .

Решение системы уравнений (32), (рассматриваемой вместе с граничными условиями) имеющей трехдиагональную матрицу коэффициентов, может быть найдено методом прогонки. Ранее этот метод описан в связи с построением кубического интерполяционного сплайна.
Формулы метода прогонки также приводятся ниже при рассмотрении вопроса о сходимости разностной схемы.

Выражения для коэффициентов разностной схемы должны обеспечивать аппроксимацию дифференциального уравнения разностной схемой с определенным порядком ее погрешности. Для получения таких выражений запишем разностную схему (32) в виде

где . Схема называется однородной, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любого линейного дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же правилам. Для однородной схемы удобна ее запись с использованием безиндексных обозначений:

Найдем погрешность аппроксимации схемы (34):

Подставляя эти выражения в (35) и группируя члены относительно функии u и ее производных, запишем погрешность аппроксимации в виде:

Условием для того, чтобы схема (34) имела второй порядок аппроксимации, будет выполнение соотношений:

Например, эти условия выполняются при

4.11.4. Сходимость разностной схемы.

Обозначим погрешность разностной схемы в узлах сетки: .

Пользуясь линейностью оператора в уравнении (34) можно установить, что погрешность в узлах сетки удовлетворяет разностной схеме:

где — погрешность аппроксимации.

Выведем оценку для погрешности в узлах сетки. Из формул (36) следует, что

поэтому схема (33) в прогоночном виде (32) запишется следующим образом:

Значения — решение схемы (39) можно найти, используя метод прогонки. Запишем соотношение

с неизвестными коэффициентами . Подставив в (39) соотношение , получим

Таким образом, для получаем рекуррентные формулы:

С учетом того, что соотношение (40) принимает вид

откуда получаем, что . Теперь можно вычислить все значения , , , по формулам (41), а затем спуститься «вниз» по i от N до 1 и найти все значения по формуле (40).

С учетом сделанного выше предположения относительно коэффициентов дифференциального уравнения (30)

, из выражения для коэффициента с следует неравенство:

, с учетом которого из неравенства (42) получаем

Тем самым из (41) следует, что .

Поскольку известно, что , то по индукции мы получаем, во-первых, решение схемы (38) в виде рекуррентных формул (40), (41) и во-вторых, справедливость неравенства

На этом основании из формулы (40) можно получить неравенство:

из которого с учетом, что , получаем неравенство: . Воспользуемся теперь рекуррентной формулой (41) для , умножив обе ее части на положительную величину :

Поскольку первый множитель справа — это коэффициент , величина которого меньше единицы, то, следовательно,

. На этом основании получаем:

с учетом, что . Наконец, поскольку , можно сделать вывод, что

Таким образом, для погрешности в узлах сетки &nbsp &nbsp можно записать неравенство

Так как , то переходя к нормам, получаем оценку погрешности решения

Такая оценка означает, что разностная схема (33) для краевой задачи (30)-(31) при указанных условиях на коэффициенты имеет второй порядок сходимости.

Прмечание. Здесь использована равномерная векторная норма

4.11.5. Краевые условия 2-го и 3-го рода.

Рассмотрим теперь уравнение (29) с краевыми условиями 2-го или 3-го рода :

Будем решать эту задачу с помощью трехточечной разностной схемы (33). Как показано в пункте 4.11.4, схема (33) имеет второй порядок аппроксимации.

Если для апроксимации условий (43) использовать простейшие односторонние двухточечные разностные производные, как в методе Эйлера, то краевые условия для разностной схемы запишутся в виде

Первое из этих условий позволяет, выражая y₀ и сравнивая это выражение с формулой вида (40) для решения y_i при i = 0, найти значения .
Второе из граничных условий вместе с формулой (40) при i = N позволяет определить значение y_N .

Однако использованные выше разностные производные имеют первый порядок погрешности аппроксимации. Чтобы краевые условия не снижали порядок аппроксции разностной схемы (33), необходимо воспользоваться односторонними разностными аппроксимациями производных, имеющими второй порядок по h.
Например, для этих целей подходит разностная производная

где, как обычно, . Действительно, по формулам Тейлора

Аналогично, разностная производная на правой границе имеет вид:

При использовании таких формул разностные аппроксимации краевых условий принимают вид:

В этом случае для разрешения трехточечной схемы (33) также может быть использован метод прогонки.
Уравнение

при i = 1 составляет с краевым условием систему

из которой можно исключить , при этом система преобразуется в уравнение

с некоторыми вполне определенными коэффициентами .

На правом конце отрезка получаем систему

из которой можно найти , а затем и все остальные (по рекуррентным формулам (40)).