Краевая задача для уравнения диффузии

Метод прямых решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Геккиева С.Х., Керефов Б.М.

В работе исследована первая краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка. Методом прямых получено решение в разностной форме.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Геккиева С.Х., Керефов Б.М.

METHOD OF LINES SOLUTION FOR SOLUTION OF THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DIFFUSION EQUATION OF FRACTIONAL ORDER

In the paper we study the first boundary value problem for the diffusion equation of fractional order. A solution in its difference form is obtained by the method of lines .

Текст научной работы на тему «Метод прямых решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4-1(16). C. 27-31. ISSN 2079-6641

МЕТОД ПРЯМЫХ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

С.Х. Геккиева1, Б.М. Керефов2

1 Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, г. Нальчик, ул. Шор-танова, 89А

2 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173

E-mail: gekkieva_s@mail.ru, kerefov-1997@mail.ru

В работе исследована первая краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка. Методом прямых получено решение в разностной форме.

Ключевые слова: уравнение диффузии, дробная производная, метод прямых.

(с) Геккиева С.Х., Керефов Б. М., 2016

METHOD OF LINES SOLUTION FOR SOLUTION OF THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DIFFUSION EQUATION OF FRACTIONAL ORDER

S. Kh. Gekkieva1, B. M. Kerefov2

1 Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia

2 Kabardino-Balkarian State University, 3600004, Nalchik, Chernyshevsky St, 173, Russia

E-mail: gekkieva_s@mail.ru, kerefov-1997@mail.ru

In the paper we study the first boundary value problem for the diffusion equation of fractional order. A solution in its difference form is obtained by the method of lines.

Key words: diffusion equation, fractional derivative, method of lines.

© Gekkieva S. Kh., Kerefov B.M., 2016 27

ТББЫ 2079-6641 Геккиева С. Х., Керефов Б. М.

В настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к дробному исчислению. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного интегро-дифференцирования при описании широкого класса физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических процессов 3. В монографии [4] приведена подробная библиография по уравнениям в частных производных дробного порядка, в частности, рассматривается диффузионно-волновое уравнение. В работе [5] рассмотрены краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной.

Целью исследования является постановка и решение первой краевой задачи для уравнения диффузии с дробной производной в разностной форме.

Первая краевая задача в разностной форме

В области = (0,1) х (0, Т) рассмотрим первую краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка:

Я^и = (ких)х + f (х, г), к (х, г) > с > 0,

и (0, г) = и (1, г) = 0, |г=0 = и0 (х). (2)

Будем решать задачу (1)-(2) методом прямых [6]. Получим приближенное решение в виде системы функций, приближенно представляющих искомое решение вдоль прямых х, = ,й, , = 0,1. N. Для этого разобьем отрезок [0,1 ] точками х, = ,й, й = у и заменим производные по переменной х на разностные производные:

(а (х, г) их)х = И (а,+1 и — а,»‘ Иг-1

а (х,, г) = к (х, — 0.5И, г) = к. 1 (г).

Тогда для сеточной функции у (х,, г) получим следующую систему уравнений метода прямых:

а у,+1(г) — у,(г) а у,(г) — у,-1(г) а,+1-т.—а,»

ф(х,, г) = ф(х,, г) + О (й2), а, > с > 0,, = 1, 2, . N — 1,

У0 (г) = уу (г) = 0, яа 1у (х,, 0) = и0 (х,),

где у, (г) = у (х,,г), или:

6 я£у (х,, г) + ^ (я£у (х,+1, г) + я£у (х,=1, г)) =

у,+1 (г) — у, (г) у, (г) — у,- (г) а,+1-;—а,-

+ 5 ф (х,, г) +12 (ф (хк-1, г) + Ф (хк+1, г)) + О (й4

ai > c > 0,A > 0, i = 1,2, . N — 1,

У0 (t) = yN (t) = 0, Dt 1y (xi, 0) = uo (Xi) ,

где у, (?) = у (х. ). При этом (3) дает аппроксимацию уравнения с точностью й2, а (4) — с точностью й4.

Сходимость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка (3), (4) доказывается методом априорных оценок.

Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую системе (3) при ак = 1, к = 1, 2, . N — 1:

Я0а?у = 1 [(Ук+1 (?) — 2ук (?) + Ук-1 (?))], (5)

Уо (?) = УN (?) = о, (*«, 0) = ио (х,-), к = 1, 2, . N — 1.

Общее решение системы (5) можно получить методом Фурье в виде [7]

yk,s(t) = £ sin(y*k)csr(k)(0)tа-1Ei/a (-8sta;а), (6)

где cs — произвольная постоянная, Е1/а (z; v) — функция Миттаг-Леффлера, sin4I?) ‘ (s = N — 1).

Как известно [7], точное решение первой краевой задачи для уравнения (6) имеет вид:

u(x, t) = £ СкГ( a)ta-1Ei/ a (-Akt а; а) sin ^-yxj,

где E1/ а (-Akt а; а) = £ —-г, Ak = I — . Для решения задачи (7)-(8) на пря-

мой x = — имеем: 2

2,0=г( a)ta-‘E,/„ (-Як, а; а)=Г( a)t а- £ г^а+О)

Данные, полученные программированием в среде MAPLE, например, при а = 1

на прямой x = — при аппроксимации уравнения с точностью h2 выглядят следующим

Точное решение 0.4869 0.2421

Приближенное решение 0.5823 0.3025

При аппроксимации уравнения с точностью h4 (табл. 2):

Точное решение 0.4869 0.2421

Приближенное решение 0.5005 0.2506

[1] Нахушев А.М., Дробное исчисление и его применение, ФИЗМАТЛИТ, М., 2003, 272 с., [Nakhushev A. M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie. Moskva. FIZMATLIT, 2003. 272 p. (in Russian)].

[2] Нахушева В. А., Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов, Наука, М., 2006, 173 с., [Nakhusheva V. A. Differentsial’nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal’nykh protsessov. M.: Nauka, 2006. 173 p. (in Russian)].

[3] Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев М. Х., «Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка», Журнал вычислительной математики и математической физики, 46:10 (2006), 1871-1881, [Taukenova F. I., Shkhanukov-Lafishev M. Kh. Raznostnye metody resheniya kraevykh zadach dlya differentsial’nykh uravneniy drobnogo poryadka // Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 200б. vol. 46, no 10. pp. 1871-1881 (in Russian)].

[4] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с., [Pskhu A. V. Uravneniya v chastnykh proizvodnykh drobnogo poryadka. Moskva. Nauka, 2005. 199 p. (in Russian)].

[5] Керефов М. А., Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной, Дис. . . . канд. физ.-мат. наук, Нальчик, 2000, 75 с., [Kerefov M. A. Kraevye zadachi dlya modifitsirovannogo uravneniya vlagoperenosa s drobnoy po vremeni proizvodnoy: Dis. . kand. fiz.-mat. nauk. Nal’chik, 2000. 75 p. (in Russian)].

[6] Березин И. С., Жидков Н. П, Методы вычислений. Т. 2, ГИФМЛ, 1962, 640 с., [Berezin I. S. Zhidkov N. P. Metody vychisleniy. vol. 2. GIFML. 1962. — 640 p. (in Russian)].

[7] Геккиева С. Х., Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени, Дис. . . . канд. физ.-мат. наук, Нальчик, 2003, 75 с., [Gekkieva S. Kh. Kraevye zadachi dlya nagruzhennykh parabolicheskikh uravneniy s drobnoy proizvodnoy po vremeni: Dis. . kand. fiz.-mat. nauk. Nal’chik, 2003. 75 p. (in Russian)].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

[2] Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.

[3] Таукенова Ф.И., Шхануков-Лафишев М. Х. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики.2006. Т. 46. № 10. С. 1871-1881

[4] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

[5] Керефов М. А. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной. Дис. . .. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2000.

[6] Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2. ГИФМЛ,1962. 640 с.

[7] Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени. Дис. . .. канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2003. 75 с.

Для цитирования: Геккиева С. Х., Керефов Б. М. Метод прямых решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. №4-1(16). C. 27-31. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-27-31

For citation: Gekkieva S. Kh., Kerefov B. M. Method of lines solution for solution of the first boundary value problem for diffusion equation of fractional order, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 16: 4-1, 27-31. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-27-31

Поступила в редакцию / Original article submitted: 25.11.2016

Краевые задачи теории диффузии

Дифференциальное уравнение диффузии, выведенное на основе общих законов физики, устанавливает связь между временным и пространственным изменением концентрации в любой точке тела, в которой происходит диффузионный процесс. Дифференциальное уравнение диффузии имеет бесконечное множество решений. Чтобы из этого множества выбрать решение, характеризующее конкретный рассматриваемый процесс, и дать полное математическое описание процесса, необходимо к основному дифференциальному уравнению присоединить дополнительные условия, включающие геометрические, физические и краевые условия.

Геометрические условия определяют форму и линейные размеры тела.

Физические условия определяют физические параметры: коэффициент диффузии,

константу растворимости, объемную плотность потока диффузанта.

Краевыми условиями называют совокупность начального и граничного условий. Начальные условия задаются только при изучении нестационарных процессов и состоят в задании распределения концентрации внутри тела в момент времени, выбранный за начальный. Граничные условия отображают условия диффузионного взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела.

Граничные условия для изучаемой задачи могут быть заданы несколькими способами; в теории диффузии различают граничные условия I, II, III, IV родов. (Граничные условия IV рода иначе называют условиями сопряжения). Следует помнить, что число граничных условий превышает число границ. Так, в задаче по дегазации шарика (одномерный случай), необходимо задать условия как на внешней поверхности шарика, так и в центре. Часто граничные условия задаются «на бесконечности».

Граничные условия 1-го рода

В граничных условиях I – рода задается распределения концентрации диффузанта по поверхности Σ тела, как функция координат и времени.

В частном случае концентрация на поверхности – функция только времени

При наличии двух плоскостей (как это имеет место в методе газопроницаемости) задаются

две функции изменения концентрации диффузанта на входе в образец (например, пластину толщиной Н). Тогда граничные условия первого рода принимают вид:

Подобный режим в теории диффузии обозначается как граничная задача I-I.

В более простом случае – концентрация постоянна (условие Дирихле).

Если концентрация на границе в процессе эксперимента поддерживается равной нулю, то

вводится понятие поглощающей стенки.

Типичным примером, в котором на различных границах поддерживаются различные

варианты граничных условий первого рода, является случай проницаемости плоской мембраны толщиной Н. Здесь С(0,t)=C0, C(H,t)=0.

Условия 2-го рода

В условиях II – рода задается распределение плотности потока диффузанта для каждой точки поверхности как функция координат и времени

j = −D ∂C

где n — внутренняя нормаль к поверхности Σ.

Если поток за поверхности зависит от координаты, но не зависит от времени, граничное условие называется условием Неймана.

Важным частным случаем является отражающая стенка (отсутствие потока через внешние

поверхности образца – условие диффузионной изоляции):

В последнем случае граничная поверхность изолирована (диффузия через нее невозможна,

поток диффузанта через такую границу равен нулю).

Если образец имеет две границы (например, тонкая пластина), то в зависимости от условий на его внешних поверхностях различают граничные задачи II-II, I-II и II-I.

В центре шарика (сферы) поток отсутствует, следовательно, в центре – граничное условие

II-го рода (на поверхности I-го рода).

4.3 Условия 3-го рода

В граничных условиях III – рода задают закон конвективного массообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

∂n Σ

– концентрация на поверхности; Cc

– концентрация примеси в окружающей среде, ks –

коэффициент пропорциональности, характеризующий интенсивность концентрационного взаимодействия среды с заданной концентрацией диффузанта Сс с поверхностью тела. В нестационарных процессах концентрация диффузанта в окружающей среде в общем случае изменяется во времени.

В этом случае на поверхности тела задается плотность потока диффузанта, возникающего из-за разности концентраций диффузанта на поверхности тела и в окружающей среде.

Ур.36 является аналитическим выражением граничного условия III рода, которое широко применяется при аналитических исследованиях массо-переноса в твердых телах, обтекаемых потоками жидкости или газа на границе между телом и флюидом.

Уравнение для упругой стенки полностью идентично уравнению Ньютона для теплообмена лучеиспусканием. Оно подразумевает, что концентрация не мгновенно устанавливается на поверхности, а в процессе некоторого времени, т.е. граница оказывает сопротивление диффузионному потоку (иногда более сильное, чем собственно диффузия). В этом случае поток не является постоянным, а изменяется как разность между концентрациями в твердом теле и в окружающем объеме.

Приведем вывод выражения для упругой стенки.

При справедливости закона Генри можно записать следующие выражения для потоков на поверхности твердого тела:

j1 = −k1C1x=0 →

поток газа из твердого тела;

поток из газа в твердое тело,

где k1 – константа дегазации; k2 – константа насыщения.

Если бы установилось равновесие, то

В нашем случае равновесия нет и

Внешний поток: k 2 p − k1C x=0 =

внут ∂x

x=0

jвнеш – т.к. нет накопления примеси на поверхности раздела фаз.

− D ∂C

D ∂C

x=0

Мы получили выражение, идентичное общему случаю.

= −

∂ ⎛ ⎞

Граничные условия III-го рода представляют собой общий случай. Из него может быть

получены выражения для условий I-го и II-го рода.

– условие I-го рода (закон

⎛ ⎞

Генри). При k = 0 , граничное условие II-го рода.

При сорбции C x=0 Cравн .

Граничные условия 3-го рода можно разделить на три категории: 1) Линейные; 2)

Нелинейные; 3) Нестационарные. Следует отметить, что наличие на поверхности (поверхностях) образца сложных химических процессов, в том числе — сопровождающихся выделением или поглощением тепла, приводит к граничным условиям 3-го рода весьма сложного вида.

В общем виде, при исследовании процессов диффузии в двустороннем образце возможно возникновение различных граничных задач: I-I, II-II, III-III, I-II, II-I, I-III, III-I, II-III, III-II, что может существенно затруднить обработку и интерпретацию данных диффузионных экспериментов.

К счастью, на практике часто встречаются согласованные (однородные нулевые)

CΣ = 0 – поглощающая стенка;

∂C

= 0 – отражающая стенка;

∂C + hC

= 0 – упругая стенка.

В первой части Курса лекций мы будем оперировать именно ими.

Условия 4-го рода

Граничные условия сопряжения (IV–рода) соответствуют массообмену поверхности тела с окружающей средой или массообмену соприкасающихся твердых тел, когда концентрация на соприкасающихся поверхностях одинакова (в случае газообразного диффузанта подчиняется закону Генри). Задаются они в виде

− D ∂C1

∂n

где Кр1 и Кр2 – константы растворимости, а D1 и D2 – коэффициенты диффузии диффузанта в

соприкасающихся средах 1 и 2, соответственно.

к поверхности раздела.

∂ означает дифференцирование вдоль нормали

Первое равенство выражает условие непрерывности концентрационного поля, а второе – закон сохранения энергии на поверхности соприкосновения двух сред (или тел) — Потоки на границе должны быть равны друг другу.

В отличие от случая теплопроводности где разрыва температуры на границе раздела фаз нет, в диффузии на границе раздела твердых тел возможны разрывы концентраций. Лишь в частном случае, при равенстве констант растворимости диффузанта в обеих фазах (при

Kp1 = K p2 ), то в точке

C1 = C2 и разрыва в концентрационном поле на границе фаз нет.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АДВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ

Исаева Л. М. 1 , Эдилова Р.М. 2

1 Аспирант, Кафедра высшей математики, Московский государственный строительный университет; 2 Ассистент факультета среднего профессионального образования, Грозненский государственный нефтяной университет

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АДВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ

Аннотация

Рассматривается одна из краевых задач для одномерных дифференциальных уравнений дробного порядка. Используя метод Фурье, в явном виде выписано решение этой задачи. Полученные результаты могут найти применение в теории течения жидкости во фрактальной среде и моделировать изменения в температуре.

Ключевые слова: уравнение дробного порядка, дробная производная, метод Фурье, коэффициенты Фурье, собственные значения и собственные функции, функция Миттаг-Леффлера.

Isaeva L.M. 1 , Edilova R.M. 2

1 Post-graduate student, Chair of higher mathematics, Moscow State University; 2 Assistant of the faculty of secondary vocational education, Grozny state oil University

THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE ONE-DIMENSIONAL FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ADVECTION-DIFFUSION

Abstract

Considers one of boundary value problems for one-dimensional differential equations of fractional order. Using the Fourier method, explicitly written the solution to this problem. The results can find application in the theory of fluid flow in a fractal environment and to simulate changes in temperature.

Key words: the equation of fractional order, fractional derivative, Fourier method, the Fourier coefficients, eigenvalues and eigenfunctions, the Mittag-Leffler function.

Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости и газа в сильно-пористых (фрактальных) средах [1], [2], [3], приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка. Рассмотрим одну из таких краевых задач для одномерного дифференциального уравнения дробного порядка:

_{(1) (2) (3)}

где , – дробные производные порядков α и β соответственно (0 0 ряд (11) представляет собой функцию, дифференцируемую почленно по t и два раза по x, а значит, имеющую производные порядков α и β, так как 0 Ключевые слова