Краевая задача для уравнения гельмгольца в шаре

Точные решения краевых задач для уравнения Гельмгольца в слое с полиномами в правых частях уравнения и граничных условий Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Алгазин Олег Дмитриевич

Цель работы найти точные решения краевых задач для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гипер плоскостями. Процедура и методы исследования. Рассмотрены краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий. Применено преобразование Фурье для обобщённых функций медленного роста . Результаты проведённого исследования. Показано, что краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью имеют решение, которое является квазиполиномом, содержащим кроме степенных функций ещё гиперболические или тригонометрические функции. Это решение единственно в классе функций медленного роста, если параметр уравнения не является собственным значением. Приведён алгоритм построения этого решения и рассмотрены примеры. Теоретическая/практическая значимость заключается в получении точных решений краевых задач для одного из известных уравнений математической физики.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Алгазин Олег Дмитриевич

EXACT SOLUTIONS TO THE BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR THE HELMHOLTZ EQUATION IN A LAYER WITH POLYNOMIALS IN THE RIGHT-HAND SIDES OF THE EQUATION AND OF THE BOUNDARY CONDITIONS

Purpose. We have found exact solutions to boundary-value problems for the inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side in a multidimensional infinite layer bounded by two hyperplanes. Methodology and Approach. The paper considers Dirichlet and Dirichlet-Neumann boundary-value problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions. The Fourier transform of generalized functions of slow growth is applied. Results. It is shown that the Dirichlet and Dirichlet-Neumann boundary-value problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions for the inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side have a solution that is a quasi-polynomial containing, in addition to power functions, hyperbolic or trigonometric functions. This solution is unique in the class of functions of slow growth if the parameter of the equation is not an eigenvalue. An algorithm for constructing this solution is presented and examples are considered. Theoretical and Practical Implications. Exact solutions to boundary-value problems for one of the well-known equations of mathematical physics have been obtained.

Текст научной работы на тему «Точные решения краевых задач для уравнения Гельмгольца в слое с полиномами в правых частях уравнения и граничных условий»

РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СЛОЕ С ПОЛИНОМАМИ В ПРАВЫХ ЧАСТЯХ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

(национальный исследовательский университет)

105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, Российская Федерация

Аннотация. Цель работы — найти точные решения краевых задач для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гипер плоскостями.

Процедура и методы исследования. Рассмотрены краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий. Применено преобразование Фурье для обобщённых функций медленного роста.

Результаты проведённого исследования. Показано, что краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью имеют решение, которое является квазиполиномом, содержащим кроме степенных функций ещё гиперболические или тригонометрические функции. Это решение единственно в классе функций медленного роста, если параметр уравнения не является собственным значением. Приведён алгоритм построения этого решения и рассмотрены примеры.

Теоретическая/практическая значимость заключается в получении точных решений краевых задач для одного из известных уравнений математической физики. Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, задача Дирихле, задача Дирихле-Неймана, преобразование Фурье, обобщённые функции медленного роста

© ^ BY Алгазин О. Д., 2020.

EXACT SOLUTIONS TO THE BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR THE HELMHOLTZ EQUATION IN A LAYER WITH POLYNOMIALS IN THE RIGHT-HAND SIDES OF THE EQUATION AND OF THE BOUNDARY CONDITIONS

Bauman Moscow State Technical University

ul. 2-ya Baumanskaya 5, stroenie 1,105005 Moscow, Russian Federation

Abstract. Purpose. We have found exact solutions to boundary-value problems for the inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side in a multidimensional infinite layer bounded by two hyperplanes.

Methodology and Approach. The paper considers Dirichlet and Dirichlet-Neumann boundary-value problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions. The Fourier transform of generalized functions of slow growth is applied.

Results. It is shown that the Dirichlet and Dirichlet-Neumann boundary-value problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions for the inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side have a solution that is a quasi-polynomial containing, in addition to power functions, hyperbolic or trigonometric functions. This solution is unique in the class of functions of slow growth if the parameter of the equation is not an eigenvalue. An algorithm for constructing this solution is presented and examples are considered.

Theoretical and Practical Implications. Exact solutions to boundary-value problems for one of

the well-known equations of mathematical physics have been obtained.

Keywords: Helmholtz equation, Dirichlet problem, Dirichlet-Neumann problem, Fourier

transform, generalized functions of slow growth.

К уравнению Гельмгольца приводят многие задачи математической физики, например, задачи, связанные с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, электромагнитными и т. д.), и задачи диффузии некоторых газов при наличии распада или цепных реакций. Также любое уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами приводится к уравнению Гельмгольца [1].

В данной статье получены точные решения в виде квазиполиномов краевых задач Дирихле и Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца в слое в случае, когда правая часть уравнения Гельмгольца и правые части краевых условий являются полиномами. Если параметр уравнения Гельмгольца стремится к нулю, то уравнение Гельмгольца переходит в уравнение Пуассона, а квазиполиномиальные решения краевых задач переходят в полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона [2]. Таким же способом получены точные полиномиальные решения краевых задач для уравнения Трикоми в полосе [3; 4]. Поиску решений уравнений с частными производными в виде полиномов или квазиполиномов посвящены работы многих авторов 5.

1. Постановка задачи

Рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца в неограниченной области (слое) с полиномиальной правой частью:

Au(x,y)+vu(x,y) = P(x,y), ve M, x e M», 0 0, что

J MJu (x, y |(1 + |x|2 ) dx Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

j-2mli (t, y )dt = lim 2m ¡1 (t, y )eixtdt =

=xino J [t2m¡1 (,y)](x,y) = (-l)m lirn—Li (x,y).

Функции p2m(X, y) являются коэффициентами разложения в степенной ряд по х функции:

Sh(x2 + X2 ) ^ (-i)m x2m

Li (x,y) =— . = У p2m (X,y)Ц;-г-,

то есть Li(x, y) является производящей функцией для p2m(X, y). Эти функции можно вычислить по рекуррентной формуле:

p2m (X,y) = -(2m — i)^p2m-2 (X,y), m = i,2. (i4)

Докажем эту формулу. Поскольку

является чётной аналитической функцией комплексного переменного 5, и её особые точки ±ink/a, k е N лежат на мнимой оси, то в круге |s| n (x2 + X2 )n = E >n E 1=0С™Х 2 =E»nx2mE» a2nCmx2n

P2m (X,7) = (—i)m (2m)!Elma2nCmX2n—2m

P0 (X,7) = E= f (X) = gO),

p2m—2 (X,7) = (—i)m—i (2m — 2)!E»=m_U2nCm—iX

—(2m — i)) ^ p2m—2 (X, 7) = X oX

= ( —i)m (2m)!E» a2n Cnm—iX2n—2m =

= (—i)m (2m)!E»=ma2nCnmX2n—2m = p2m (X,7),

что и требовалось доказать. Таким образом,

, . 7ch(X7) ash(Xy)ch(Xa) p2 ( , 7) = —X sh (Xa)+ X sh2 (Xa) ‘

, . 3 7 ch (X7) 3 7 2sh (X7) 67a ch (X7 )ch (Xa) p4 ( , 7) = —X3 sh (Xa)+ X2 sh (Xa) X2 sh2 (Xa) +

3ash(X7)ch(Xa) 6a2sh(X7)ch2(Xa) 3a2sh(X7) + X3 sh2 (Xa) + X2 sh3 (Xa) X2sh (Xa) ‘

При X, стремящемся к нулю, функции p2m(X, y) переходят в полиномы p2m(y) , которые рассмотрены в [2]. Например,

, . sh(X7) у limp0 (X,7) = lim . 7 = -,

limp2 (X,у) = —У (у2 — a2),

lim Ра (X, у ) = ry-(3 У 4 -10 у 2a2 + 7a4).

Выпишем несколько первых решений задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца:

Uk (У) = Ei!20]Cr-2mp2m (X,у). , . sh (Xy) . . sh (Xy)

Uo (У) = ¡НЙ , U1 (У) = x¡ЦЮ)

, ч „ sh (Xy) у ch (Xy) a sh (Xy )ch (Xa)

U2 (x, у ) = x2 —7-Ч—Г\ +- 2/\ .

sh (Xa) X sh (Xa) X sh2 (Xa)

При X, стремящемся к нулю, они переходят в полиномиальные решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа [2]:

limuo (x,у) = у, limui (x,у) = ^, limu2 (x,у) = -у2 + a2).

X^0 v J> a X^o v J> a X^o v J> 3ax ‘

Функции vk(x, y) = uk(x, a — y) являются решениями уравнения Гельмгольца, удовлетворяющими краевым условиям:

vk (x,o) = xk, vk (x,a) = o, x e M.

Пример 2. Рассмотрим задачу Дирихле для неоднородного уравнения Гельмгольца:

Au(x,у) — X2u(x,у) = x2у2, x o o,

0, V (х ,0) = и (х,0)- й (х ,0) = + Х6,

(\ / \ \ x a 2a 2x 8 x, a) = u (x, a) — и (x, a) =—I—I—I—.

‘ 1 ‘ 1 ‘ X2 X4 X4 X6

Решением этой задачи будет функция:

v (x, 7) = X4 U2 (x, a — 7 ) + X6 U0 (x, a — 7) +

Решением исходной задачи будет функция:

U (x, 7) = U (x, 7) + v (x, 7) =

x2 72 272 2×2 8 a2 x2sh (X7) a2 7 ch (X7) = —»X2 — «Xr — X6 + X2 sh (Xa) » X3 sh (Xa) +

a3 sh(X7)ch(Xa) + X3 sh2(Xa) +

sh (X7)(2×2 + 2a2 — 2×2 ch (Xa)) 27 ch (X7)(ch (Xa) — i) X 4sh (Xa) X 5sh (Xa)

2a sh (X7 )ch (Xa )(i — ch (Xa)) 8sh (X7 )(i — ch (Xa)) 2x 2ch (X7)

+ 2 (a — 7 )sh (X7) + 8ch (X7)

При X ^ 0 это решение переходит в полином:

lim U (x, 7) = — x2 74 ——a3x2 7 —— 76 +—a3 73 ——a5 7 , X^0 v » i2 i2 i80 36 45

который является решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона [2] Au (x, 7 ) = x2 72, —» 1

Рассмотрим теперь случай: n > i, x e Mn, (x,7)e Mn x(0,a). Если

то решением задачи Дирихле с краевым условием:

u(x,o) = o, u(x,a) = 1, x e M»

uo (x,у) = l» (|x|,у)* y(x) = JK„v(x-1)l» (|t|,у)dt = JM»l» (|t\,у)dt =

= lim I l» (Itl, у)eixtdt = limЛ I L (It|, у) l(x, у) = lim L» (Ix|, у) = x^o-1 M» м 1 x^o L VI 1 y/Jv x^o Vl 1 ‘

sh(Ix I2 +X2) sh(Xy) = lim —-— = —-—- .

sh((| x I2 +X2) sh(Xa) ‘

у (x) = xk, x e Ш», k — мультииндекс,

то решением задачи Дирихле с краевыми условиями:

u(x,o) = o, u(x,a) = xk, x e M»

uk (x,у) = JM» (x -1)k l» (|t|, у)dt,

(x -1)k =(x1 -11 )k1 ,„(x» -1″) , (15)

и этот интеграл будет отличен от нуля только для тех мономов полинома (15), которые содержат tj в чётных степенях. Поэтому

uk (x,У) = xk-2m J J2ml» (|t|, У)dt =

где C2m = Ck2m1 Ck2m2 . C2m , [k/2] = ([k1/2],[k2/2]. [k»/2]). Пользуясь свойствами преобразования Фурье [12], получим:

p2m (X,у) = J J2ml» (|t|,у)dt = lim J J2ml» (|t|,у)eixtdt =

= lim Л \t2ml» (It|,у)l(x,у) = (-1)|m| limd2xm x^o ^ ‘ x^o „u „ Lp J2

ISSN 2072-8387 j Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика f 2020 / № 1 где

dxlmidx2m2 . dxlm» Для x e Ш» имеем разложение:

Коэффициент при x в этом разложении равен:

p (y)(——- , m! = m . m ! 2m! m!

Функции у*(х, у) = ик(х, а — у) являются решениями уравнения Лапласа, удовлетворяющими краевым условиям:

ук (х,б) = хк, ук (х,а) = 0, х е Ж», к -мультииндекс.

4. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца

Заменяя в (8), (9) X на гц, ц > 0, получим задачу Дирихле:

Аы (х,у)+ц2 и (х, у) = 0, ц> 0, х е М», 0 1, к — мультииндекс, то решения находятся по тем же формулам, в которых теперь

хк = хк1 хк2. хк», C2m = C^1 C^2. C2m , [к / 2] = ([kl / 2], [к2 / 2]. [kn /2]),

p2m (У)= , | ‘ p2\m (У). 2m !m!

4.1. Единственность решения задачи Дирихле

Решение задачи Дирихле (16), (17) будет единственным в классе функций медленного роста (соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальные решения в классе функций медленного роста), если

0 п2/а2, ц2 =п2/а2 + Ь2, Ь2 > 0, то функции

(b1x1)sin(b2x2). .. sin (bnxn )sin

где Ь\, Ь2, . Ь„ — произвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству Ь? + Ь| +. + Ь2 = Ь2, являются нетривиальными решениями медленного роста соответствующей однородной краевой задачи.

Докажем, что в случае 0 (x )sin

где коэффициенты Ь„(х) — функции медленного роста. Подставив эту функцию и(х, у) в уравнение (16), получим уравнения для коэффициентов Ь„(х):

Если 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

J\t\2 + X [ yVtl2 +X2)

J\t\2 + X2 ch [ a^|t|2 + X

Если ф(х) = 1, у(х) = 0, х е М, то решением задачи (19), (20) является функция:

Если ф(х) = 0, у(х) = 1, х е М, то решением задачи (19), (20) является функция:

Если ф(х) = хк, у(х) = 0, х е М, к еК, то решением задачи (19), (20) является функция:

ик (х,у) = ¿Ш01ск2тхк-2тР2т (Х, у),

где функции р2т(Х, у) являются коэффициентами разложения в степенной ряд по х функции:

11 (х, у )= \/ П^ГТ^ = ^ т=0Р2т (Х, У Г

то есть Ь1(х, у) является производящей функцией для р2т(Х, у). Эти функции можно вычислить по рекуррентной формуле:

сЬ (Х(я — у)) 1 д / ч р0 (Х, у ) =-СЬ (Хя)-, р2т (Х, у ) = -(2т — 1) дХ Р2т-2 (Х, у ), Ш = 1,2,. .

, , , , х sh (Ха^ (Ху) и1 (х,у )=х ch (Ху)—•

и2 (х,у) = х2Л(Ху)-х2 ^(Ха)sh(Ху) + уsh(ХаЦ(Ху) + О^ЧМ -к У ‘ ch (Ха) Х Л (Ха) Х

у sh (Ху) а sh2 (Ха^ (Ху) Х Х Л2 (Ха)

При Х ^ 0 функции ик(х, у) переходят в полиномы, являющиеся решениями краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа [2]. Например,

limu0 (х, y) = 1, limu1 (х,y) = х, limu2 (х, y) = х2 + 2ay — y2. Если ф(х) = 0, у (х) = х1, х e M, l e N, то решением задачи является функция:

v (х, у )=EÜ,!0ci2m х1 -2>m (X, y),

где функции q2m(X, y) являются коэффициентами разложения в степенной ряд по x функции:

sh(х2 +X2 ) (-1)m х2m

л/х2 +X2ch(х2 +X2) ^m=0 (2m)! ‘

то есть К1(х, у) является производящей функцией для ^2ш(Х, у). Эти функции можно вычислить по рекуррентной формуле:

qо (Х,у)= \, Ч2т (Х,у) = -(2т-1)1^^т-2 (Х,у), т = 1,2. . (22) Х ch(Ха) Х оХ

, . х2sh (Xy) y ch (Xy) sh (Xy) a sh (Xa)sh (Xy) V2 (х, У )= X ch (Xa ) _ X2 ch (Xa) + X3ch (Xa )+ X2ch2 (Xa ) ‘

При X — 0 функции vi(x, y) переходят в полиномы, являющиеся решениями краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа [2]. Например,

lim v0 (x, y ) = y, lim v1 (x, y ) = xy, lim v2 (x, y ) = x2 y—+ a2 y.

Пример 3. Рассмотрим задачу Дирихле-Неймана для неоднородного уравнения Гельмгольца:

Au (x, y)-X2u (x, y) = x2y2, -i 0,

u(x,0) = 0, uy (x,a) = 0, -i 0,

/ ч 2×2 8 / ч 2x 2a 4a

1 ‘ X4 X6 yy ‘ X2 X4

Решением исходной задачи будет функция:

/ ч x2 y2 2 y2 2×2 8 2 / ч u (x, y) =————-+—u2 (x, y) +

V n X2 X4 X4 X6 X4 П П

8 / ч 2a / \ 4a t ч + — u0 (x, y ) + — v2 (x, y )+»X^ v0 (x, y) =

= x2y2 2y2 2×2 8 2×2 ch(Xy) 2x2sh(Xa)sh(Xy) 2ysh(Xa)ch(Xy) = -_X2 «Xr-«Xr+ X4 X4 ch (Xa) + X5 ch (Xa) +

2a sh (Xy) 2 y sh (Xy) 2a sh2 (Xa )sh (Xy) 8ch((a — y )X) 2a x 2sh (Xy) + X5 X5 X5 ch2 (Xa) + X6 ch (aX ) + X 3ch (Xa)

2ay ch (Xy) 6a sh (Xy) 2a2 sh (Xa)sh (Xy) X4 ch(Xa) X5 ch(Xa ) X4 ch2(Xa)

При X — 0 эта функция переходит в полином:

/ ч 1 , 4 a3 , 1 6 a3 3 3a5

lim u (x, y) = — x2 y4—x2 y—y +—y—y,

X—0 12 3 180 9 10

который является решением краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Пуассона [2]:

Au(x,y) = x2y2, x 0 1

Аналогично случаю задачи Дирихле получаем, что решением задачи Дирихле-Неймана при 9(x) = xk, y(x) = 0, x e Mn, k = (ki, —, kn) — мультииндекс,

Uk (x, y ) = XÜ=!Ck2m xk-2m p2m (X, y ), где C2m = C^1 C^2 — C^’ , [k /2] = ([ki /2], [k2 /2], —, [kn /2]),

p2m ( y )= . . p2 m (X y )• |2m| !m!

При ф(х) = 0, y(x) = xk решением задачи Дирихле-Неймана будет функция:

^k (x, y ) = E [=0Ck2m xk-2>m (X, y ), ,2m (X, y ) = ^^ ^2, m| (X y )•

Функции p2\m\(X, y) и q2\m\(X, y) находятся по формулам (2i) и (22), соответственно.

6. Решение смешанной краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца в случае v = и2

Все формулы, полученные в разделе 5, сохраняются с заменой гиперболических функций на круговые и заменой знака минус на знак плюс в правой части рекуррентных формул (21), (22). А именно, решение задачи Дирихле-Неймана:

Au (x,y) + |2 u (x,y) = 0, |> 0, x e Mn, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Uk (x,у) = Em=0C2m-2mp2m (ц,7),

, ц^п/2а + nk/а, k e N.

Для ф(х) = 0, y(x) = xk, x е Ж, k е Nujo> решением задачи Дирихле-Неймана является функция:

n (x,у) = EmJCk2mxk-2mq2m (ц,у),

ц Эц J ц cos (ца )

, ц^п/2а + пк/а, k e N.

, . x2 sin (цу) у cos (цу) sin (цу) a sin (ца)sin(цу)

V2 ( x, у ) = г» — г +—г +—г ,

цcos(ца ) ц2 cos(ца) ц3cos(ца) ц2 cos2 (ца)

ц^п/2а + nk/а, k e N.

При ц, стремящемся к нулю, v2(x, y) переходит в полиномиальное решение задачи Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа:

lim v2 (x, у) = x2у — + а2у.

Если x e М», n > 1, k, m — мультииндексы, то решения находятся по тем же формулам, в которых теперь

xk = xk1 xk2 .xk» ,Ck2m = CI? Ck22m2 . Ck2nmn , [k/2] = ([k1/2],[k2/2]. [kn/2]),

, , (2m)! Iml! , x ¡ x (2m)! Iml! ¡ x p2m (ц, у )= I I, p2 m (ц, у), q2m (Ц, у )= I I, q2| m| (Ц, у).

6.1. Единственность решения задачи Дирихле-Неймана

Аналогично случаю задачи Дирихле показывается, что решение задачи Дирихле-Неймана (23), (24) будет единственным в классе функций медленного роста, если

0 п2 / 4a2, |2 = п2 / 4a2 + b2, b2 > 0, то функции i(bi x )sin (b2 X2 ). sin (b„x„ )s

где Ь1, Ь2. — произвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству Ь2 + Ь| + . + Ь2 = Ь2, являются нетривиальными решениями соответствующей однородной краевой задачи.

Пример 4. Рассмотрим задачу Дирихле-Неймана для неоднородного уравнения Гельмгольца:

Ди(х,у) + |12и(х,у) = х(2ДД)у3, хеМ3, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. Никольский С. М. Еще о краевой задаче с многочленами // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 286-288.

7. Карачик В. В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 7. С. 1149-1170.

8. Волков Е. А. Критерий разрешимости краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на специальных треугольниках и прямоугольнике в алгебраических многочленах // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 1999. Т. 227.

9. Волков Е. А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Труды математического института им. В. А Стеклова. 2001. Т. 232. С. 102-114.

10. Hayman W. K., Shanidze Z. G. Polynomial solutions of partial differential equations // Methods and Applications of Analysis. 1999. Vol. 6. No. 1. P. 97-108.

11. Differential-symbol method of constructing the quasi-polynomial solutions of a two-point problem for a partial differential equation / Nytrebych Z. M., Il’kiv V. S., Pukach P. Ya., Malanchuk O. M. // Journal of Mathematical Sciences. 2019. Vol. 239. Iss. 1. P. 62-74.

12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

1. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1972. 736 p.

2. Algazin O. D. [Polynomial Solutions of the Boundary-Value Problems for the Poisson Equation in a Layer]. In: Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2017, no. 6, pp. 1-18.

3. Algazin O. D. [Dirichlet problem polynomial solutions for the Tricomi equation in a strip]. In: Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2018, no. 3, pp. 1-12.

4. Algazin O. D. [Polynomial solutions to the mixed Dirichlet-Neumann boundary-value problem for the Tricomi equation in a strip]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow state regional University. Series: Physics-Mathematics], 2018, no. 3, pp. 8-21.

5. Nikol’skii S. M. [A Boundary-Value Problem for Polynomials]. In: Trudy matematicheskogo instituta im. V A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 1999, vol. 227, pp. 223-236.

6. Nikol’skii S. M. [More on a Boundary-Value Problem with Polynomials]. In: Trudy matematicheskogo instituta im. V A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 2001, vol. 232, pp. 286-288.

7. Karachik V. V. [Construction of polynomial solutions to the Dirichlet problem for the polyharmonic equation in a ball]. In: Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 2014, vol. 54, no. 7, pp. 1149-1170.

8. Volkov E. A. [Criterion of Solvability for Boundary-Value Problems for the Laplace and Poisson Equations on Special Triangles and a Rectangle in Algebraic Polynomials]. In: Trudy matematicheskogo instituta im. V A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 1999, vol. 227, pp. 122-136.

9. Volkov E. A. [On the Solvability, in the Class of Polynomials, of the Dirichlet Problem for the Laplace Equation on an Arbitrary Polygon]. In: Trudy matematicheskogo instituta im. V A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 2001, vol. 232, pp. 102-114.

10. Hayman W. K., Shanidze Z. G. Polynomial solutions of partial differential equations. In: Methods and Applications of Analysis, 1999, vol. 6, no. 1, pp. 97-108.

11. Nytrebych Z. M., Il’kiv V. S., Pukach P., Malanchuk O. M. Differential-symbol method of constructing the quasi-polynomial solutions of a two-point problem for a partial differential equation. In: Journal of Mathematical Sciences, 2019, vol. 239, iss. 1, pp. 62-74.

12. Vladimirov V. S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike [Generalized functions in mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Алгазин Олег Дмитриевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики и математической физики Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана (национального исследовательского университета); e-mail: mopi66@yandex.ru

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Oleg D. Algazin — PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor at the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University; e-mail: mopi66@yandex.ru

ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ

Алгазин О. Д. Точные решения краевых задач для уравнения Гельмгольца в слое с полиномами в правых частях уравнения и граничных условий // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2020. № 1. С. 6-27. DOI: 10.18384/2310-7251-2020-1-6-27

Algazin O. D. Exact solutions to the boundary-value problems for the Helmholtz equation in a layer with polynomials in the right-hand sides of the equation and of the boundary conditions. In: Bulletin of the Moscow state regional University. Series: Physics-Mathematics, 2020, no. 1, pp. 6-27.

Краевая задача для уравнения гельмгольца в шаре

Настоящая книга является естественным дополнением пособия А. Г. Свешникова, А. Н. Боголюбова, В. В. Кравцова «Лекции по математической физике». Её основная цель — помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом. В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения.

Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой.

Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой Московского государственного института электронной профессору А. С. Поспелову, профессорам А. В. Ефимову, А. С. Ильинскому и С. Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний.

ТЕМА: Уравнения эллиптического типа

ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ

1 Теоретические обоснования уравнений эллиптического типа………………. 4

1.1. Задачи приводящие к уравнению Лапласа………………. 5

1.2. Уравнение Шредингера и его стационарный аналог. 9

1.3. Уравнение Гельмгольца……………………………………………. ……10

2 Примеры решения задач на уравнения эллиптического типа……………………12

Список использованных источников……………………………………………. …16

В курсовой работе будут рассмотрены уравнения эллиптического типа.

Актуальность исследования заключается в том, что благодаря данному типу уравнений можно описать стационарные процессы, проходящие в различных физических полях. Например, с помощью уравнения Пуассона можно описать электростатическое поле, поле давления [1].

Исследование затронет следующие проблемы: применение уравнений эллиптического типа на практике и способы их решения.

Целью исследования является: изучение вопроса, касающегося применения уравнений эллиптического типа на практике.

Основными задачами, поставленными для достижения цели можно считать:

— ознакомиться с положениями, характеризующими уравнения эллиптического типа;

— выявить основные уравнения, относящиеся к данному типу;

— освоить навык решения задач, используя данные уравнения;

— показать специфику проблем, которые могут возникнуть на этапах решения.

Объектом исследования заданной темы являются дифференциальные уравнения в частных производных.

Предметом исследования выступают уравнения эллиптического типа.

Теоретической и методологической основой исследования послужили труды отечественных и зарубежных деятелей, методические пособия по дисциплине «методы математической физики».

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Помимо физических явлений, развивающихся в пространстве и во времени, существует множество процессов, которые не изменяются с течением времени. Эти процессы называются стационарными. При исследовании данных процессов, различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Примерами могут выступать:

1. Уравнения Лапласа и Пуассона, описывают различные стационарные физические поля.

2. Стационарный аналог уравнения Шредингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.

3. Уравнение Гельмгольца.

4. Уравнения, получаемые из уравнения Максвелла, если предполагается, что электромагнитное поле не изменяется с течением времени [1].

Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа

.

Этим уравнением характеризуется гравитационный и электростатический потенциалы в точках свободного пространства, оно описывает потенциал скорости безвихревого потока несжимаемой жидкости, и оно же справедливо для температуры однородной изотропной среды при установившемся движении тепла.

Функция называется гармонической в области , если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяют уравнению Лапласа.

При изучении свойств гармонических функций были разработанные различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениями гиперболического и параболического типов [1].

1.1. ЗАДАЧИ ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА

1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач.

Рассматривается стационарное тепловое поле. Температура нестационарного теплового может быть представлена дифференциальным уравнением теплопроводности

Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры , не меняющееся с течением времени и, следовательно, удовлетворяющее уравнению Лапласа

(1)

При наличии источников тепла получается уравнение

(2)

где – плотность тепловых источников, а – коэффициент теплопроводности. Неоднородное уравнение Лапласа (2) часто называют уравнением Пуассона.

Рассматривается некоторый объем , ограниченный поверхностью . Задача о стационарном распределении температуры внутри тела формулируется следующим образом:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри Т уравнению

,

(3)

и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:

I. на (первая краевая задача);

II. на (вторая краевая задача);

III. на (третья краевая задача).

где , , , — заданные функции, – производная по внешней нормали к поверхности

Первую краевую задачу называют для уравнений Лапласа часто называют задачей Дирехле, а вторую задачу – задачей Неймана.

Если ищется решение в области , внутренней (или внешней) по отношению к поверхности , то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) краевой задачей [3].

2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля.

В качестве второго примера будет рассмотрено потенциальное течение жидкости без источников. Пусть внутри некоторого объема с границей имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность ), характеризуемое скоростью . Если течение жидкости не вихревое, то скорость является потенциальным вектором, т.е

(4)

где – скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если отсутствуют источники, то

.

(5)

При подстановке сюда выражения (3) для υ, выходит:

,

,

(6)

то есть потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.

Пусть в однородной проводящей среде имеется стационарный ток с объемной плотностью . Если в среде нет объемных источников тока, то

.

(7)

Электрическое поле определяется через плотность тока из дифференциального закона Ома

(8)

где – проводимость среды.

Поскольку процесс стационарный, то электрическое поле является безвихревым или потенциальным, т.е. существует такая скалярная функция для которой

).

(9)

Отсюда на основании формул (6) и (7) заключается, что

,

(10)

т.е. потенциал электрического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа.

Рассматривается электрическое поле стационарных зарядов. Из стационарности процесса следует, что

,

(11)

т.е. поле является потенциальным и

.

Пусть – объемная плотность заряда, имеющихся в среде, характеризуемой диэлектрической постоянной .

Исходя из основного закона электродинамики

(12)

где – некоторый объем, – поверхность, его ограничивающая, где – сумма всех зарядов внутри , и пользуясь теоремой Отроградского

(13)

.

При подстановке сюда выражение (8) для , выходит:

,

(14)

т.е. электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет , то потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа

Нами был рассмотрен ряд процессов. Основные краевые задачи для которых относятся к трем типам, приведенным выше [1].

1.2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И ЕГО СТАЦИОНАРНЫЙ АНАЛОГ

В квантовой механике состояние частицы описывается волновой функцией , квадрат модуля которой имеет смысл плотности вероятности найти частицу в окрестности данной точки в момент времени [2]. Волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

где — постоянная Планка. Оператор Гамильтона для движения частицы в поле имеет вид

Уравнение Шредингера является уравнением в частных производных второго порядка по координатам, но первого порядка по времени. В отличие от волнового уравнения, чтобы выделить частное решение из общего, надо задавать при одно начальное условие, а не два.

Если искать решение в виде стационарных состояний , имеющих определенную энергию , то время можно исключить и получить стационарное уравнение Шредингера

(15)

Требуется найти не только решение , но и такие значения энергии , при которых эти решения удовлетворяют граничным условиям. Такая постановка называется спектральной задачей [3].

1.3 УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, получаемое из уравнение Максвелла, если предполагается, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Может быть представлено как

где – это оператор Лапласа, а неизвестная функция определена в (на практике уравнение Гельмгольца применяется для ).

В уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Для примера рассматривается волновое уравнение:

(16)

Пусть функции и допускают разделение переменных: , и пусть . Нужно заметить, что в пространстве Фурье – преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель . Таким образом, уравнение приводится к виду:

(17)

где = — это квадрат модуля волнового вектора.

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса в полярных координатах уравнение принимает вид:

(18)

Метод разделения переменных позволяет перейти к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от :

(19)

(20)

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:

(21)

Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции , где – i-корень функции Бесселя λ-го порядка [4].

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

В отличие от смешанных задач, для эллиптических уравнений ставится только краевая задача

где – внешняя нормаль к границе области .

При этом, если , задача называется задачей Дирихле, если , задачей Неймана, если то задача называется смешанной.

Задачи буду решаться в полярных или сферических координатах. Заданные краевые условия произвольные, неоднородные. Однородные краевые условия для нахождения собственных функций возникают из-за того, что области имеют специальный вид, а потому решение должно иметь период , а в случае прибавляются условия (уравнение Лапласа в новых координатах при этом имеет особенность). [5].

Предлагаю рассмотреть метод нахождения решения уравнения Лапласа в круге, то есть метод нахождения функции , удовлетворяющий уравнению Лапласа внутри круга радиусом c центром в полюсе полярной системы координат и граничному условию на окружности

где – заданная функция, непрерывная на окружности.

Задача № 1. Решить краевую задачу для уравнения в круге , если на границе круга φ.

Решение: Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид

(22)

1. Частное решение уравнения в соответствии с методом Фурье ищется в виде

причем и периодическая с периодом

При подстановке в уравнение (22) и разделяя переменные, выходит

Поэтому функции и являются решениями связанных задач:

a)

b)

2. Решается задача

Общее решение уравнения имеет вид

(23)

где и – константы.

Это решение периодично при и имеет период при

Если

Если

3. Решается задача

Если Общее решение этого уравнения

Так как

Если ,

Общее решение этого уравнения

Так как

4. Вспомогательные решения имеют вид:

5. Тогда решение исходной задачи ищется в виде

6. При использовании граничного условия sin3φ,

получается sin3φ. Отсюда

В результате

Ответ:

Задача № 2. Решить краевую задачу

Решение: Проводятся преобразования, аналогичные предыдущей задачи до момента нахождения коэффициентов .

Нужно представить граничное условие в виде

Следовательно,

Далее предлагаю рассмотреть примеры решения краевых задач уравнения Гельмгольца.

Задача № 3. Решить краевую задачу для уравнения Гельмгольца в круге

(здесь , где – собственное значение однородной задачи Дирехле для уравнения ).

Решение: Используя метод разделения переменных (метод Фурье). Полагая, и подставляя предполагаемую форму решения в Уравнении Гельмгольца, получается

где – постоянная разделения.

Собственные значения и собственные функции определяются как решения данной задачи:

Выходит

то для определения получается уравнение

(24)

Обозначив , переписывается уравнение (24) в виде

Это уравнение Бесселя порядка . Его общее решение есть

где – функция Бесселя первого рода порядка – функция Бесселя второго рода порядка – произвольные постоянные.

Значит, решение уравнения (1) имеет вид

Поскольку и имеется дело с ограниченными решениями, то полагаем Таким образом, . Решение нашей задачи представляется рядом

(25)

Постоянные находятся из граничного условия. Полагая в (25) , получаем

В частности, при выходит

и в этом случае решение имеет вид

В проделанной нами работе, мы акцентировали внимание на такой теме как «Уравнения эллиптического типа». В ходе нашего исследования мы сумели выполнить поставленные перед нами задачи, что повлекло за собой достижение цели работы. Изучив теоретические материалы, мы разобрались с основными уравнениями, научились выводить их и применять в решениях задач. Были обозначены проблемы и пути их решения. В качестве примера выступили три задачи, требующие решение эллиптического уравнения.

Материалом данного исследования выступали труды советских и российских деятелей, содержащие в себе подробную информацию, касающуюся нашей проблемы.

В ходе выполнения данной работы появилась возможность оценить важность заданной темы в современной науке, определить основные задачи, которые можно решать с помощью уравнений эллиптического типа.

Подводя итог, хочется отметить, что изучение данного вопроса способствовала возникновению большого интереса, что позволило с энтузиазмом продолжать с ознакомлением трудов знаменитых авторов для дальнейшего анализа и использования в работе.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математической физики М., издательство «наука», 1977. – 735 с.

2. Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика,
М., Изд. 4е, «Наука», 1989. – 767 с.

3. Д.А. Шапиро, Конспект лекций по методам математической физики ч.1, кафедра теоретической физики НГУ, 2004. – 123 с.

4. В. С. Владимиров, В. В. Жаринов, Уравнения математической физики. — М.: «Физматлит», 2004. – 400 с.

5. С.И. Колесникова, Методы решения основных задач уравнений математической физики, М., МФТИ, 2015. – 80 с.