Краевая задача уравнения лапласа в прямоугольнике

МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике (полупо- лосе), решаются методом разделения переменных в декартовых коорди- натах, в круговой областях (круг, сектор, кольцо) методом разделения пе- ременных в полярных координатах. При решении краевых задач для ци-линдрических и сферических областей используются соответственно ци- линдрические и сферические координаты бесселевы функции, полиномы и присоединённые функции Лежандра, а также шаровые функции. Возни- кающие здесь задачи Штурма Лиувилля своеобразны, их граничные ус- ловия определяются спецификой областей:

следует искать в виде суммы u(x,y)=v(x,y)+w(x,y),где v(x,y) и w(x,y) гар- монические функции в том же самом треугольнике, точнее они суть ре-шения краевых задач

Штрихованные краевые задачи решаются методом разделения пере- менных в терминах тригонометрических и гиперболических функций.

Рассмотрим задачу Дирихле для круга

где f(j)кусочно-непрерывная функция.

Следуя схеме метода Фурье полагаем

подставляем в (87) и разделяем переменные. В результате получим ра -венство

(90)

Угловая функция F(j) обязана быть периодической с периодом 2p. Присоединяя условие периодичности к дифференциальному уравнению для F(j), найдем задачу Штурма Лиувилля

откуда следует, что

(91)

Возвращаясь к (80), решаем уравнение для радианальной функции. При

r 2 R² + rR¢ n 2 R = 0,

решение следует искать в виде степенной функции R=r m . Для определе- ния m получим соотношение

m(m 1)r m +m r m n 2 r m =0Û m 2 n 2 =0,

Если же n=0, то уравнение, как нетрудно проверить, rR² + R¢ =0имеет своими решениями функции

R₀(r) = 1; lnr.

С учетом (89) мы должны составить произведения угловых и радиаль- ных функций и получить набор функций, гармонических в круге

Если предположить, что ряд

(93)

можно дифференцировать почленно дважды по r и j , то его сумма также будет гармонической функцией, т. е. будет решением уравнения (87). Подставляя (93) в (88), найдем

(94)

откуда с учетом формул коэффициентов Фурье следует

(95)

(96) Итог состоит в том, что решение задачи (87 88) дается рядом (93), коэффициенты которого определены равенствами (95-96).

Замечание 1. Мы можем говорить, очевидно, что ряд (93) дает общий вид гармонической функции для круга r — n и lnr, поскольку они разрывны в

центре круга r=0.

Напротив, если рассматривать область r>a, то нельзя привлекать r — n и lnr, и общий вид гармонической функции для внешности круга будет да- ваться рядом

(97)

В случае кругового кольца a 2 q= 1-x 2 , найдем

(104¢)

Соответственно и граничные условия (105) перейдут после замены в неравенства

(105′)

Задача (104¢) (105¢) есть известная задача для присоединенных функций Лежандра, ее решение (см., например, [3], стр. 115)

и возвращаясь к переменной q, найдем собственные значения и собствен- ные функции задачи (104), (105):

(106)

Составив произведения функций (106) на найденные выше функции F_m(j), получим множество решений уравнения (102)

(107)

Эти решения принято называть сферическими функциями, их основ-ное свойство в приводимой ниже теореме.

Теорема 1. Сферические функции взаимно ортогональны на единич- ной сфере, т.е. при m₁¹m₂ или n₁¹n₂

(108)

Теперь возвращаясь к равенству (101), возьмем уравнение для ради- альной функции

Оно имеет решение в виде степенной функции R=r m . Действительно, после подстановки

откуда находим значения m=n; (n+1) и соответственно решения

(109)

Умножая первые из функций (109) на сферические функции (107), получаем множество частных решений уравнения Лапласа в шаре:

Согласно схеме метода Фурье. составляем ряд с произвольными коэффи- циентами

(110)

который будет гармонической функцией в шаре, если только его можно дифференцировать почленно.

Для нахождения коэффициентов А_nm подставим (110) в (100), тогда

и с учетом (108) найдем

(111)

Последний интеграл вычисляется и при m=0 :

(112)

если же |m| ³ 1, то имеем

(113)

Завершая рассмотрение задачи (99),(100), скажем, что мы нашли ее решение в виде ряда (110), коэффициенты которого определяются в согласии с (111),(113).

Замечание 3. Напомним, что нормированные полиномы Лежандра вы- числяяются по формулам

(114)

В свою очередь присоединенные функции Лежандра выражаются че- рез производные от полиномов Лежандра, т. е.

(115)

в частности будем иметь

(116)

где С_n определенная константа.

С учетом (107), (115) и (116) выпишем несколько сферических функций:

(117)

Замечание 4. При решении краевых задач для внешности шара вместо соотношения (110) нужно использовать ряд

(118)

Общий вид гармонической функции в шаровом слое a 4 , и получим

Таким образом, частным решением будет функция

Вводим новую неизвестную функцию w(r,j) , полагая

Тогда относительно w(r,j) нужно решать задачу Дирихле для урав- нения Лапласа

Согласно (93), решение этой задачи дается формулой

Подставляя ее в граничное условие, получим

Ответом в задаче будет функция

254. Найдите решение первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца

предполагая, что k не является собственным значением задачи

Р е ш е н и е. Запишем уравнение в сферических координатах

Беря u(r,j,q,)=R(r)Y(j,q), после разделения переменных придем к дифференциальным уравнениям:

Функция будет решением уравнения (72), которое нужно решать при условии ограниченности и 2p-периодичности по j. В результате при- дем к сферическим функциям при l=n(n+1):

Относительно радиальной функции R(r) нужно решать дифференци- альное уравнение

Выполняя в этом уравнении замену

придем к соотношению относительно новой функции Z(r):

Последнее уравнение в качестве ограниченных в окрестности нуля

r=0 решений имеет бесселевы функции

соответственно будем иметь набор радиальных функций

Умножая их на сферические функции, получим набор решений урав- нения Гельмгольца:

Составляем ряд с числовыми коэффициентами

(119)

и определяем коэффициенты так, чтобы выполнялась граничное условие при r=a

где d = 4 при m = 0 и d =2 при

При найденных коэффициентах A_nm ряд (119) будет решением рассматриваемой краевой задачи для уравнения Гельмгольца.

255. Найдите такую гармоническую u(r,j,q) функцию внутри шарового слоя 1

Краевая задача уравнения лапласа в прямоугольнике

Настоящая книга является естественным дополнением пособия А. Г. Свешникова, А. Н. Боголюбова, В. В. Кравцова «Лекции по математической физике». Её основная цель — помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом. В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения.

Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой.

Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой Московского государственного института электронной профессору А. С. Поспелову, профессорам А. В. Ефимову, А. С. Ильинскому и С. Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний.