Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Балтаева Умида Исмаиловна, Исломов Бозор Исломович
В статье доказана однозначная разрешимость краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений сводятся к интегральному уравнению Вольтерра второго рода и, опираясь на это, методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решения краевых задач.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Балтаева Умида Исмаиловна, Исломов Бозор Исломович
Boundary value problems for the loaded third order equations of the hyperbolic and mixed types
In this paper, the unique solvability is proved for the solution of boundary value problems of a loaded third order differential equation with hyperbolic and parabolic-hyperbolic operators. The boundary value problems for loaded differential equations are reduced to the Volterra integral equation of the second kind. On this basis, existence and uniqueness of the solution of boundary value problems is proved by the method of integral equations.
Текст научной работы на тему «Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка»
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 15-25.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ
У.И. БАЛТАЕВА, И.Б. ИСЛОМОВ
Аннотация. В статье доказана однозначная разрешимость краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений сводятся к интегральному уравнению Вольтерра второго рода и, опираясь на это, методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решения краевых задач.
Ключевые слова: нагруженное уравнение, уравнения смешанного типа, интегральное уравнение, интегральное уравнение со сдвигом, функция Бесселя.
В последние годы в связи с интенсивным исследованием задач оптимального управления, долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги возникла необходимость в изучении нового класса уравнений, получивших название „нагруженное уравнение“. Такие уравнения впервые исследованы в работах Н.Н. Назарова и Н.Н. Кочина. Но ими не был использован термин «нагруженное уравнение». Впервые этот термин был использован в работах А.М. Нахушева, в которых дано наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробная классификация различных нагруженных уравнений: нагруженных дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, функциональных уравнений, а также их многочисленные приложения.
Нагруженным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка посвящены работы А.М. Нахушева, М.Х. Шханкова, А.В. Бородина, В.М. Казиева,
A.Х. Аттаева, С.С. Pomraning, E.W. Larsen, В.А. Елеева, М.Т. Дженалиева, Б. Исломова и Д.М. Курьязова, Д.М. Курьязова, К.У. Хубиева, М.И. Рамазанова и др.
Заметим, что краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического, парабологиперболического, эллиптико-гиперболического типов третьего порядка изучены сравнительно мало. Отметим только работы В.А. Елеева, Б. Исломова и Д.М. Курьязова,
B.А. Елеева и А.В. Дзарахохова.
Данная работа посвящена постановке и исследованию аналога задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа
— (uxx — Uyy — А и) — ц,и(х, 0) = 0, (1)
U.I. Baltayeya, B.I. Islomoy, Boundary value problems for the loaded third order equations of the hyperbolic and mixed types.
© Балтаева У.И., Исломов Б.И. 2011.
Поступила 7 июля 2011 г.
и краевой задач для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа
Ь1п = пхх — пу — Ап, у > 0,
Ь2п = пхх пуу Ап, у 0.
2. Аналог задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения
Пусть I — область, ограниченная характеристиками
АС : х + у = 0, ВС : х — у =1 уравнений (1) и отрезком АВ оси у = 0.
В области I рассмотрим следующий аналог задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения (1)
Задача А. Найти регулярное в области I решение п(х, у) уравнения (1), непрерывное в
I, обладающее непрерывными производными пх,пу вплоть до АВ и АС и удовлетворяющее граничным условиям
пу(х,у)|АВ = V(х), 0 (я) — некоторое решение
ад'» (я) — Лад'(я) = —и (я, 0). (10)
Докажем справедливость соотношения (7). Очевидно, что функция
«(я, у) = ¿(я, у) + —у (с^л/Л(я — ¿) — 1)и(*, 0)^£
есть решение уравнения (1), где ¿(я, у) — решение уравнения (8), а функция
и(я, у) = — J (с^(я — ¿) — 1)и(*, 0)^£
есть частное решение уравнения (1). Следовательно, из (1) следует справедливость представления (7), то есть «(я, у) = ¿(я,у) + ад(я).
Из последнего представления следует, что «(я, 0) = ¿(я, 0) + ад(я). Тогда из (10) имеем
ад»'(я) — Лад'(я) — —ад(я) — — ¿(я, 0) = 0,
а функция ¿(я, у) = и (я, у) — ад(я) удовлетворяет уравнению (8).
Лемма 1. доказана.
Учитывая, что функция а сое л/Ля + Ь эт л/Ля + сеУ^х удовлетворяет уравнению (8), при исследовании задачи без ограничения общности можно предполагать, что
ад(0) = ад’ (0) = ад»(0) = 0. (11)
Решим задачу Коши для уравнения (9) с условиями (11) относительно ад (я). Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению (9), имеет вид
Введем обозначение А = ^.
1) если А > 0, то известно[3], что уравнение (12) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня, которые имеют вид
= и + VI, &2,3 = — ^(«1 + VI) ± — ¿(«1 — VI),
Таким образом, решение задачи Коши для уравнения (9) с условиями (11), при А > 0, имеет вид
w(x) = J Ti(x,t)z(t, 0)dt, о
ef (u1+„) (x-« + V3 (ui + vi) sin ^3 (ui — vi) (t — x) —
— сое (и1 — г^) (£ — я)|е 2(«1+^1)(х *)•
2) если А = 0, то уравнение (12) имеет три действительных корня, причем два из них равны:
к1 = Т’ к2 = кз = — 2Л-
Решение задачи Коши для уравнения (9) с условиями (11), при Л = —3 (—/2)3 имеет вид
w(x) = J T2(x,t)z(t,0)dt, о
3) если A 0. П2 — характеристический треугольник, ограниченный отрезком АВ оси ОХ и двумя характеристиками
АС : я + у = 0, ВС : я — у =1
уравнения (2) при у Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Задача С. Требуется найти функцию и(я,у), обладающую следующими свойствами:
2) их(иу) непрерывна вплоть до ААо и АС (АВ и АС);
3) и(я,у) является регулярным решением уравнения (2) в областях П1 и П2;
4) на АВ выполняются условия склеивания
5) и(я,у) удовлетворяет краевым условиям
и(я,у)|АА0 = ^(у); и(я,у)|вв0 = ^2(у), их(я,у)|АА0 = ^у^ 0 0 и выполнены условия (25) и (26), то в области П существует единственное решение задачи С.
Доказательство теоремы 2.
Имеет место следующая лемма.
Лемма 2. Любое регулярное решение уравнения (2) (при у = 0) представляется в виде
и (я, у) = £ (я, у) + т(я),
где ¿(я, у) — решение уравнения
0 = д I ¿хх — ¿у — Ая, у > 0,
дя \ ¿хх — ¿уу — Л^, у 0, А = 0 и А Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
т(я) = Г зЛл/А(я — ¿Ь(¿ЫЛ — V(1 — сЛл/Ля) +
Исключая из (39) и (42) функцию V(я), с учетом условия склеивания, получим интегральное уравнение со сдвигом относительно т(я):
К1(я, Л) = сЛ—Л(я — Л) — —Л зЛ—Л(я — з)^ —Л(з — Л)
К2(я,Л) = ——Л(я — 5) | К/(8,Л) — К(¿, ¿)_Г1 —Л(5 — z)
Ф1(я) = ^1(0)сЛ—Ля + —^3(0)зЛ,—Ля — У^ К1(я,Л)/1 (¿)^£. (44)
а(я) = Ф1 (я) — — ^1 — сЛ—Ля) + У К2(я,Л)т ^¿, (45)
уравнение (43) запишем в виде
т(я) — J К1(я,Л)т(¿)^£ = а(я), 0 (ж) находим из (39) и (18).
Таким образом, решение задачи С в области П2 с учетом (18) и (19) определяется однозначно по формуле (27), а в области Пі приходим к задаче для ненагруженного уравнения третьего порядка [4].
Итак, решение задачи С в областях П1и П2 можно построить из (27) с учетом (18), (19) и задачи Г11 [4].
Таким образом, задача С однозначно разрешима.
Теорема 2. доказана.
1. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифф. уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 103-108.
2. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифф. уравнения. 1983. Т 19, № 1. С. 86-94.
3. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение. 1966. 335 с.
4. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений парабологиперболического типа. Т.: ФАН. 1986. 220с.
5. Салахитдинов М.С. Уравнение смешанно-составного типа. Т.: Фан. 1974. 156 с.
6. Сабитов К.Б. Построения в явном виде решений задач Дарбу для телегрфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. 1. // Дифф. уравнения. 1990. Т. 26, № 6. С. 1023-1032.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука. 1966. Т. 2. 296 с.
8. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959. 224 с.
9. Салахитдинов М.С. Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Т.: Фан, 1982. 166с.
10. Исломов Б., Балтаева У.И. Аналог задачи Дарбу для нагруженного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // ДАНРУз 2010. № 5.
11. Балтаева У.И. Краевые задачи для нагруженного уравнения смешанного типа третьего порядка Дис. канд. физ.-мат. наук., Ташкент, 2008, 111 с.
Умида Исмаиловна Балтаева,
Ургенчский Государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,
220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: umida-baltayeva@mail.ru
Бозор Исломович Исломов,
Институт математики и информационных технологий АН РУз, ул. Дурмон, 29,