Краевые задачи для дифференциальных уравнений matlab

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)

Кафедра «Управление и защита информации»

«Решение дифференциальных уравнений в Matlab»

«ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ

В ОБЛАСТИ УПРАВЛЕНИЯ»

Выполнила: студентка группы ТУУ-151

Проверила: доц. Зольникова Н.Н.

Решить дифференциальное уравнение:

при начальном условии

Решим данную задачу Коши с помощью метода Рунге-Кутта 4-5 порядка точности, используя функцию ode45(). Для этого запишем исходное уравнение как функцию в Matlab:

function y = dy( x, y )

%Уравнение, задающее производную

y = 2*cos(2*x) + sin(y);

end
Также необходимо задать начальные условия и интервал, на котором будет искаться решение.

interval = [0, 50];
%Решение с помощью метода Рунге-Кутта 4-5 порядка точности

[X,Y] = ode45(@dy, interval, y0);

plot(X, Y) %изображение графика функции

grid on %создание сетки на графике

Решить задачу Коши и краевую задачу для дифференциального уравнения

Для нахождения решения данного дифференциального уравнения следует найти общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение. Так как в исходном уравнении правая часть представляет собой константу, то частное решение будет иметь вид:

Подставляем частное решение в исходное уравнение. Получаем:

Таким образом, частное решение имеет вид:

Общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде:

При этом производная

Решение задачи Коши.

Для нахождения и подставим начальные условия и решим систему:

Таким образом, при данных начальных условиях получаем решение в виде:

Решение краевой задачи.

Для определения и подставим краевые условия.

Таким образом, при данных краевых условиях получаем решение в виде:

Решим задачу Коши аналитически с помощью метода dsolve() и методом Рунге-Кутта с помощью функции ode45().

В функцию dsolve() необходимо записать исходное уравнение, начальные или граничные условия и переменную, по которой происходит дифференцирование. Символ «Dy» обозначает первую производную, «D2y» соответственно вторую производную.

Y = dsolve(‘D2y+2*Dy+y=1.5’, ‘y(0)=0’, ‘Dy(0)=0’, ‘x’)

y = ezplot(Y, [0,20]) %изображение графика символьного выражения

set(y, ‘LineWidth’, 2); %установка толщины линии

axis([0 20 0 2]); %задание границ графика

grid on; %создание сетки на графике

hold on; %следующий график будет рисоваться в этом же окне

Для использования функции ode45() запишем исходное уравнение в виде системы:

function F = dy2( x, y )

% ОДУ первого порядка

%Решение с помощью метода Рунге-Кутта 4-5 порядка точности

%Интервал, на которм будет находится решение

[X,Y] = ode45(@dy2, interval, y0);

%Значения искомой функции находятся в первом столбце матрицы Y

plot(X, Y(:,1), ‘:r’, ‘LineWidth’, 1.5) %изображение графика функции

legend(‘Аналитическое решение’,’Метод Рунге-Кутта’);
Оба графика решений полностью совпали.

Решение краевой задачи также найдем аналитически через функцию dsolve() и с помощью методов bvp4c() и ode45().

Y = dsolve(‘D2y+2*Dy+y=1.5’, ‘y(0)= 1’, ‘Dy(5)=6.5’, ‘x’)

y = ezplot(Y, [0,20]); %изображение графика символьного выражения

set(y, ‘LineWidth’, 2); %установка толщины линии

axis([0 20 -100 50]); %задание границ графика

grid on; %создание сетки на графике

hold on; %следующий график будет рисоваться в этом же окне

Для того чтобы решить уравнение с помощью ode45(), необходимо знать начальные условия. Для нахождения начальных условий по граничным условиям можно воспользоваться функцией bvp4c().

function res = boundCon( ya, yb )

%Функция, вычисляющая разность между значением в граничной точке

% и точным значением

%Задаем стартовые значения для поиска начальных условий

solinit = bvpinit(linspace(0,5), [1 1]);

%Нахождение значений y(x) и y'(x) на интервале [0;5]

sol = bvp4c(@dy2, @boundCon, solinit);

[X,Y] = ode45(@dy2, interval, y0);

%Значения искомой функции находятся в первом столбце матрицы Y

plot(X, Y(:,1), ‘:r’, ‘LineWidth’, 1.5) %изображение графика функции

legend(‘Аналитическое решение’,’Метод Рунге-Кутта’);

Графики решений полностью совпали.

Изобразим фазовый портрет системы. Для этого решим ее с помощью функции ode45() при различных начальных условиях.

%Интервал, на которм будет находится решение

[X,Y] = ode45(@dy2, interval, y0);

%Значения функции y(x) находятся в первом столбце

%Значения производной y'(x) находятся во втором столбце

Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB, Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э., 2008

Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB, Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э., 2008.

Данный учебник представляет собой весьма полный современный вводный курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Довольно подробно освещены все темы, затрагиваемые в классических вводных курсах, включая применение матричных методов, операционного исчисления, степенных рядов и рядов Фурье. Не обойдены вниманием и современные исследования в области дифференциальных уравнений, такие как, например, хаос в динамических системах и нелинейные явления и системы. Особое внимание авторы уделяют численным методам и обучению построения математических моделей самых разнообразных (например, экологических, физических, инженерных) систем. Для изучения таких моделей авторы используют самые современные математические пакеты: MATLAB, Maple и Mathematica. Кроме того, для каждого раздела имеются задачи различной сложности, а также проекты для самостоятельной разработки студентами. Несомненно, книга будет полезна всем, кто изучает дифференциальные уравнения — как математикам, так и студентам других специальностей — инженерам, физикам, химикам, биологам, географам и геологам.

Дифференциальные уравнения первого порядка.
Однако весьма возможно, что ни одно решение дифференциального уравнения не соответствует всей известной информации. В таком случае мы должны заподозрить, что дифференциальное уравнение неточно описывает реальный мир. Например, решения уравнения (6) имеют вид P(t) = Cekt, где С — положительная константа, но ни для какого значения констант к и С функция P(t) не описывает точно фактический рост населения во всем мире в течение нескольких прошлых столетий. Возможно, мы должны поэтому написать более сложное дифференциальное уравнение, в котором принимается во внимание влияние перенаселения на коэффициент рождаемости, нехватка продовольствия и другие факторы. Это должно быть расценено не как отказ от модели, разобранной в примере 5, а как понимание того, что нужно учесть влияние дополнительных факторов при изучении роста численности населения. Действительно, уравнение (6) является весьма точным при некоторых обстоятельствах. Например, оно выполняется для роста численности колонии бактерий при условиях неограниченного продовольствия и пространства.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу