Краевые задачи для уравнения лапласа

Краевые задачи для уравнения Лапласа

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Ноября 2011 в 18:30, курсовая работа

Краткое описание

Рассмотрение понятия краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Как частный случай — уравнение Лапласа (простейшее уравнение эллиптического типа). Для уравнения Лапласа краевая задача I рода — задача Дирихле; краевая задача II рода — задача Неймана. Краевое условие III рода — смешанная краевая задача. Рассматриваются также задача Дирихле в пространств/на плоскости, решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Неймана (второй краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Дирихле для кольца.

Содержание

Введение
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
Корректность краевой задачи.
Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
Задача Дирихле в пространстве
Задача Дирихле на плоскости
Задача Неймана
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Примеры.
Решение задачи Дирихле для кольца.

Вложенные файлы: 1 файл

Понятие краевой з.doc

ПЕНЗЕНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ В. Г. БЕЛИНСКОГО

Кафедра «Математического анализа»

«Краевые задачи для уравнения Лапласа»

Введение
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
1. Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
2. Корректность краевой задачи.
Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
1. Задача Дирихле в пространстве
2. Задача Дирихле на плоскости
3. Задача Неймана
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
1. Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
2. Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
3. Примеры.
4. Решение задачи Дирихле для кольца.

Уравнениями математической физики называются уравнения, описывающие математические модели физических явлений. Среди них процессы, изучаемые в теории упругости, гидродинамике, электродинамике, квантовой физике и т. д. Во многих случаях их изучение приводит к уравнениям с частными производными второго порядка.

Дифференциальным уравнением с частными производными (в частных производных) называется уравнение, связывающее функцию , независимые переменные и частные производные от функции , то есть соотношение

где известная функция и .

При этом предполагается, что в области, где рассматривается данное уравнение, функция имеет частные производные порядка

Порядок старшей из частных производных, входящих в уравнение (1), называется порядком этого уравнения. Например, уравнение второго порядка для функции, имеющей непрерывные частные производные второго порядка, в общем случае может быть записано в виде

Уравнение (1) называется линейным, если данное уравнение линейно относительно этой функции и ее производных.

Решением уравнения (1) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в указанное уравнение, обращает его в тождество по всем переменным.

Для полного описания физических процессов помимо уравнений необходимо указать некоторые дополнительные условия. В частности, может быть задана картина процесса в фиксированный момент времени, т.е. начальные условия. Кроме того, задают значения изучаемых величин на границе рассматриваемой области – граничные (или краевые) условия. Дифференциальное уравнение вместе с соответствующими краевыми (и начальными) условиями называется краевой задачей математической физики.

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.

Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

и уравнение Лапласа

Исключительную роль в математической физике играет уравнение Лапласа

Для уравнения Лапласа обычно считают, что необходимо найти функцию , удовлетворяющую этому уравнению внутри некоторой области , ограниченной поверхностью (кривой) , или вне этой области. Если при этом функция должна удовлетворять краевому условию

то говорят, что необходимо решить соответственно внутреннюю или внешнюю задачу Дирихле.

Если краевые условия имеют вид

где есть производная по внешней нормали к границе области , то говорят, что требуется решить задачу Неймана (внутреннюю или внешнюю).

Если краевые условия записываются в форме

то это – третья краевая задача для уравнения Лапласа.

Здесь M текущая точка границы ; , заданные функции.

Если какая-то из последних трех функций тождественно равна нулю, то соответствующее условие называется однородным.

Для уравнения теплопроводности и волнового уравнения во многих случаях приходится решать так называемую смешанную задачу, то есть задачу с начальными и граничными условиями. Если при этом на границе пространственной (плоской) области задано значение искомой функции, то говорят, что поставлена первая смешанная задача.

Если в качестве краевого условия задано значение производной от искомой функции в направлении внешней нормали к границе, то говорят, что решается вторая смешанная задача. Если задана линейная зависимость между значениями функции на границе и ее производной по нормали, то это – третья смешанная задача.

Описание многих физических явлений требует использования интегральных уравнений. Они появляются также при изучении свойств уравнений с частными производными.

Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа.

Чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать начальное состояние этого процесса (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Математически это связано с не единственностью решения

дифференциальных уравнений. Действительно, даже для обыкновенных д. у. n-го порядка общее решение зависит от n-произвольных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения в классе функций, зависящих от переменных и , имеет вид , где — произвольная функция класса . Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия. Соответствующая задача называется краевой задачей.

Краевые условия (граничные условия)— условия, которым должно удовлетворять искомое решение заданного дифференциального уравнения на границе (или ее части) области, где это решение ищется.

Краевые условия обычно задаются с помощью дифференциальных операторов, однако встречаются краевые условия и других типов.

Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений:

Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия, область совпадает со всем пространством , граничные условия отсутствуют.
Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе , начальные условия, естественно, отсутствуют.
Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные и граничные условия, .

— область, где происходит процесс, — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Таким образом, есть область изменения аргументов в уравнении, описывающем стационарный процесс – область задания уравнения.

Уравнения эллиптического типа возникают обычно при исследовании стационарных процессов. Время t в эти уравнения не входит, и обе независимые переменные являются

координатами точки. Для задач такого типа ставятся только краевые условия, т. е.

указывается поведение неизвестной функции на контуре области. Для эллиптического уравнения характерно то, что краевые условия задаются на всей границе. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа.

Уравнение Лапласа является основным представителем дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка эллиптического типа, на котором вырабатывались и вырабатываются основные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений.

– уравнение Лапласа для случая функций двух независимых переменных.

–уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными, называют оператор Лапласа или лапласиан.

Уравнение Лапласа играет важную роль в приложениях.

Например, ему должно удовлетворять всякое стационарное распределение температуры в теле.

Действительно, если температура не зависит от времени t, то и

уравнение теплопроводности , где — коэффициент

теплопроводности, сводится к уравнению Лапласа.

Применение уравнения Лапласа выходит далеко за рамки вопроса стационарного распределения температуры. Однако при изучении этого уравнения представление функции как температуры очень удобно и наглядно.

Краевые задачи для уравнения лапласа в круговом цилиндре

Настоящая книга является естественным дополнением пособия А. Г. Свешникова, А. Н. Боголюбова, В. В. Кравцова «Лекции по математической физике». Её основная цель помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом. В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения.

Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой.

Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой Московского государственного института электронной профессору А. С. Поспелову, профессорам А. В. Ефимову, А. С. Ильинскому и С. Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний.

Краевые задачи для уравнения лапласа в круговом цилиндре

3.3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению

внутри кольца.

(1)

Необходимо поставить краевые условия на каждой из границ:

(2)

где — заданные функции, — полярный угол.

Для простоты вычислений возьмем и

тогда краевые условия примут вид

(2*)

Запишем уравнение (1) в полярных координатах

Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать решение уравнения (1) вида

Тогда уравнение (1) примет вид

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения.

Необходимо определить знак . В уравнении Лапласа в круге мы выяснили, что и решения уравнений (3)-(4) имеет вид

и при получили

Удовлетворим краевым условиям (2*). Необходимо выяснить, какие из коэффициентов являются лишними.

Решения краевых задач для уравнения Лапласа в круге

Уравнением Лапласа описываются различные физические процессы и в каждой задаче искомое решение должно удовлетворять уравнению в некоторой области D, а также некоторому дополнительному условию на границе S этой области D.

В зависимости от вида граничного условия различают следующие основные виды граничных задач:

1) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям первого рода: — первая краевая задача или задача Дирихле;

2) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям второго рода: — вторая краевая задача или задача Неймана;

3) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям третьего рода: — третья краевая задача,

где — определенные на поверхности S функции; Р – точка поверхности S; — внешняя нормаль к S; .

Краевые задачи могут быть внутренними или внешними. Они различаются в зависимости от того, в какой области внутренней или внешней относительно поверхности S ищется решение.

Внутренняя задача Дирихле формулируется следующим образом: Найти непрерывную в замкнутой области функцию и(М), которая удовлетворяла бы в области D уравнению Лапласа и принимала бы на поверхности S заданные значения F(P). Математически это можно записать следующим образом:

Внутренняя задача Неймана формулируется так: найти внутри области D решение и(М) уравнения Лапласа

непрерывное в замкнутой области и удовлетворяющее на поверхности S условию

Рассмотрим теперь краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его. Пусть существует область, представляющая собой круг радиуса R. Запишем двухмерное уравнение Лапласа в полярных координатах, полагая, что , а

или . (18.12)

Для нахождения частных решений уравнения (18.12) используем метод Фурье и представим эти решения в виде

(18.13)

После подстановки решения (18,13), первой и второй производной от этой функции по r, а также второй производной от нее по φ в исходное уравнение (18.12), получим

Разделим в этом уравнении переменные

(18.14)

Это равенство выполняется тогда и только тогда, если обе его части равны одной и той же постоянной, например, λ

Тогда для каждой функции и получим два уравнения

, (18.15)

. (18.16)

Рассмотрим сначала уравнение (18.15) для функции . Ясно, что при изменении угла φ на величину 2π однозначная функция должна вернуться к исходному значению, т.е. . Отсюда . Значит, , т.е. функция является периодической функцией с периодом 2π. Уравнение (18.15) является линейным однородным уравнением второго порядка и поэтому его решение будем искать в виде

После подстановки которого в уравнение (18.15) получим характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения являются исключительно мнимыми, поэтому общее решение уравнения (18.15) при будет иметь вид,

. (18.17)

и в силу периодичности функции должно быть выполнено равенство , где n ≥ 0 – целое число.

В самом деле, из равенства

, (18.18)

Следовательно, частные решения уравнения (18.15) при различных значениях n можно записать в виде

(18.19)

Исходя из (18.18) следует, что уравнение (18.16) можно записать в виде

(18.20)

Уравнение (18.20) в случае, когда представляет собой уравнение Эйлера с переменными коэффициентами, которое можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами используя замену переменной по правилу . Вычислим производные уравнения (18.20) в новых переменных

Следовательно, подставив эти производные в уравнение (18.19) получим обыкновенное линейное и однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

. (18.21)

Решение этого уравнения будем искать в виде

Вычислим от этой функции производные и подставим в уравнение (18.21)

следовательно общее решение уравнения (18.21) имеет вид

и возвращаясь к переменной r, получим

. (18.22)

Если в уравнении (18.20) , то это уравнение принимает вид

(18.23)

Это уравнение также является уравнением Эйлера, поэтому, производя замену , приходим к уравнению

решение которого будет иметь вид

и возвращаясь к переменной r, получим

. (18.24)

решение уравнения (18.20) при , а при любых значениях n частные решения уравнения (18.20) запишем в виде

. (18.25)

Подставляя (18.19) и (18.25) в решение (18.13) получим набор частных решений

используя принцип суперпозиции, а также вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа можно утверждать, что сумма частных решений также будет его решением, следовательно, общее решение уравнения Лапласа будет иметь вид

(18.26)

Пользуясь этой формулой и задавая граничные условия первого, второго и третьего рода можно решать как внутренние, таки внешние граничные задачи – Дирихле, Неймана и смешанную задачу.

I.Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R

Для решения этой задачи используем формулу (18.26), учитывая при этом, что функция должна быть ограничена, поэтом мы должны принять, что все коэффициенты , поскольку в противном случае функция имела бы разрыв в точке r = 0 и не была бы гармонической в круге. Исходя из этого, и полагая, что все коэффициенты , а также в формуле (18.26) выделяя члены при n = 0,

получим решение уравнения Лапласа

(18.27)

Удовлетворим в этом решении поставленным граничным условиям

Разложим функцию f(φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

следовательно, можно записать

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства

найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.27), получим окончательное решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

(18.28)

где c_n и d_n коэффициенты, заданные поставленными граничными условиями.

Решение задачи Дирихле также можно получить и используя формулу Пуассона

, (18.29)

которая при непрерывной функции дает классическое решение задачи Дирихле в круге.

II.Рассмотрим внешнюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R

Для решения этой задачи используем формулу (18.26), учитывая при этом, что функция должна быть ограничена на бесконечности и неограниченна при r → 0, поэтом мы должны принять, что все коэффициенты . Исходя из этого, и полагая, что все коэффициенты , получим решение уравнения Лапласа

(18.30)

Удовлетворим в этом решении поставленным граничным условиям

, и разложим функцию f(φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

Следовательно, можно записать

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства

найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.30), получим окончательное решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

, (18.31)

где c_n и d_n коэффициенты, заданные поставленными граничными условиями.

III.Рассмотрим внутреннюю задачу Неймана:

(18.32)

Для решения этой задачи вычислим производную от решения (18.27)

. (18.33)

И запишем граничные условия

и разложим функцию f(φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

Следовательно, можно записать

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства, найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.33), получим окончательное решение внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге

, (18.31)

где С – произвольная постоянная.

Необходимо отметить, что решение задачи Неймана существует только при условии

(18.32)

и определяется с точностью до произвольной постоянной.

Смешанная граничная задача для уравнения Лапласа в круге радиуса R решается аналогично задачам рассмотренным выше.

Пример 18.1. Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части круга радиуса R, удовлетворяющее краевому условию

. (П18.1.1)

▲ Здесь задана задача Дирихле, где правая часть граничного условия (П18.1.1) . Решение ищется в круге , значит выписывать решение будем по (18.28). Найдем в этой формуле коэффициенты

Для этого подставим само решение (18.28) в левую часть граничного условия (П18.1.1) при , а правую часть, т.е. функцию разложим в ряд Фурье по синусам и косинусам

.(П18.1.2)

Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами и при свободном члене в левой и правой частях полученного равенства (П18.1.2)

(при ), т.к. справа нет слагаемых с ,

а также все остальные (кроме ). Подставим ненулевые в решение (18.28) и получим ответ, т.е. найдем функцию

▲

Пример 18.2. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга радиуса R , удовлетворяющее на границе условию Неймана

(П18.2.1)

▲ Здесь задана задача Неймана, где правая часть граничного условия (П18.2.1) (уже разложена в ряд Фурье), которую можно представить в виде двух функций