Краевые задачи и интегральные уравнения

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Краевые задачи и интегральные уравнения

Метод разделения переменных и метод функции Грина позволяют получить явное решение краевых задач только в случае областей простейшего вида. Сведение краевых

задач при помощи поверхностных потенциалов к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода удобно для исследования разрешимости краевых задач. Метод интегральных уравнений дает также алгоритм численного решения краевых задач для достаточно широкого класса областей.

В этом параграфе метод интегральных уравнений применяется для исследования внутренних и внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в трехмерном случае. Получены интегральные уравнения для этих задач и изучены вопросы их разрешимости.

1. Основные свойства интегральных уравнений

Интегральные уравнения широко применяются при исследовании краевых задач математической физики. В нашем курсе они будут использованы при изучении разрешимости краевых задач для уравнения Лапласа.

В этом параграфе будут приведены (без доказательства) основные теоремы теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

при этом будем считать, что конечная область размерности Ядро предполагается вещественным. Функция называется союзным ядром, а интегральное уравнение с союзным ядром

называется союзным интегральным уравнением. В дальнейшем предполагается, что ядро либо непрерывно но совокупности аргументов, либо полярно, т. е. представимо в виде

где и функция непрерывна. Если то ядро называется слабо полярным.

Число Я называется собственным значением ядра если существует нетривиальное решение однородного уравнения

Нетривиальное решение уравнения (7.3) называется собственной функцией, соответствующей данному собственному значению х.

Вещественное, симметричное, непрерывное или полярное ядро, отличное от тождественного нуля, имеет по крайней мере хотя бы одно собственное значение. Множество собственных значений не более чем счетно и не имеет конечных точек сгущения. Если число собственных значений конечно, то ядро является вырожденным. Рангом собственного значения называется максимальное число линейно независимых собственных функций, соответствующих этому собственному значению. Ранг собственного значения конечен.

Вопросы разрешимости неоднородного интегрального уравнения решаются теоремами Фредгольма.

Первая теорема Фредгольма. Если X не является собственным значением ядра (т. е. однородное уравнение (7.3) имеет только тривиальное решение), то неоднородное уравнение (7.1) и союзное ему уравнение (7.2) имеют и при этом единственные решения при любых непрерывных правых частях.

Вторая теорема Фредгольма. Если X является собственным значением ядра то оно будет и собственным значением союзного ядра, и ранги их одинаковы.

Третья теорема Фредгольма. Если X является собственным значением ядра то неоднородное уравнение (7.1) либо не имеет решения, либо решение его существует, но неединственно. Для разрешимости уравнения (7.1) необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения была ортогональна всем собственным функциям союзного ядра, соответствующим данному значению

Заметим, что теоремы Фредгольма справедливы и в том случае, если интегральное уравнение рассматривать в пространстве

Напомним еще теорему Гильберта-Шмидта, справедливую для случая непрерывного или слабо полярного ядра.

Теорема Гильберта — Шмидта. Функция истокообразно представимая при помощи ядра т. е. представимая в виде

разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся в ряд по собственным функциям данного ядра.

Доказательство приведенных выше теорем можно найти в руководстве по теории интегральных уравнений.

Интегральные уравнения и краевые задачи для функций от двух переменных Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лукьяненко В.А.

Метод решения интегральных уравнений типа свертки и соответствующих им краевых задач теории аналитических функций типа Римана и Карлемана обобщается для функций от двух переменных. Приведены случаи точного решения.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Лукьяненко В.А.

Текст научной работы на тему «Интегральные уравнения и краевые задачи для функций от двух переменных»

Интегральные уравнения и краевые задачи для функций от двух переменных

Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: art-inf@mail.ru

Аннотация. Метод решения интегральных уравнений типа свертки и соответствующих им краевых задач теории аналитических функций типа Римана и Карлемана обобщается для функций от двух переменных. Приведены случаи точного решения.

Ключевые слова: интегральные уравнения типа свертки, обобщенные задачи Римана, обобщенные задачи Карлемана.

Решение многих прикладных задач требует сочетания различных приближенных и численных методов с аналитическими, позволяющих для модельных уравнений строить решения в квадратурах. Ф.Д. Гаховым, Ю.И.Черским и их учениками найдено решение в квадратурах широкого класса задач теории аналитических функций, сингулярных интегральных уравнений и уравнений типа свертки [1]—[5].

Целью работы является продолжение исследования данного направления на класс интегральных уравнений и краевых задач теории аналитических функций для тех случаев, когда решением является функция двух переменных. Выбор классов функций и обозначений соответствует [2]—[4]. Алгоритмы решения представим на примере нескольких характерных задач, допускающих дальнейшее обобщение.

Рассмотрим интегральное уравнение (ИУ) для функций от двух переменных.

Схема решения (0.1) следующая: обозначая через

U(x,t) = G(x, t) — C(x,t) C(x,t)+ f M(x,t,T)C(х,т)dr =f M(x,t,T)G(x,r) dr = H(x,t),

т.е. далее необходимо задавать представление для М(х,Ь,г), например, в виде

С(х) = [ А(х, т)и(х,т)йт, ./о

получим и(х,Ь) = С(х,Ь) — С(х) и при выполнения условия

и (х,т) = К-1С = С(х,Ь) — Если ядро ИУ представлено в виде

то обозначим через

D(x) = [ B(x,r)U(x,r)dr, о

,1 ]-1 ,1 1+ A(x, r)B(x, r)dr / B(x, r)G(x, r)dr. оо

и (х,г) = с(х,г) — А(х,г)Б(х). Из представления (0.6) и выражения (0.5) находим:

Решение уравнения получаем из (0.6) в виде

Аналогом уравнений (0.1)-(0.2) являются уравнения типа свертки вида

и(х,Ь) +—а(х — в, т)и(в, т)йвйт = д(х,Ь). .¡о J- Xy (1.1)

заменой x — Xy = s — Xt = а, сводится к уравнению

— J dt J m(£ — a, y — t)v(a,t)da = h(£,y), y € R, £ > 0, (1.2)

где у) = Щ + Ху, у), у(а, г) = и(а + Хг, г), у) = д(£ + Ху, у). Полученное уравнение приводится к уравнению Винера-Хопфа

_ т(х — s)w(s)ds = Н(х), х > 0. (1.3)

Если учесть, что функции и и д являются односторонними по переменной х:

и(х + Ху,у)= ‘ш+(х,у), д(х + Ху,у) = Ь+(х,у), (1.4)

приходим к уравнению

— dt m(x — s,y — t)w+ (x,y)ds = h+(x,y) + w-(x,y), x,y € R, (1.5)

w+(x,y)=^ V,x 0′ +v ,yj \ 0, x 0,

w_ (x,y) = const > 0. (1.7)

W±(x, y) : w±(a, t) € L2(R2). (1.9)

Пусть, для примера, индекс функции M(x, y) по переменной x равен:

и не зависит от y.

Заметим, что техника решения краевых задач типа (1.6) сохраняется в более общем случае.

Факторизуем коэффициент M(x, y) :

Тогда из (1.6) получаем

x + г W +(x,y) = W-(x,y) + H +(x,y) = C(y).

к= н+(х,у)] + + С (у)>, С (у) е Ь2(Щ. (1.10;

Для нахождения решения (1.1), (1.2) необходимо вернуться к исходным функциям:

Uix, y) = W+(x,y + Xx) = *+(x- + +Xx) j

х > Хр + цд, (р, д) е М2,

-—Г3/2 йа I йв к(х — а,р — в,д — Ь)и+(а, в,Ь)йЬ = и-(х,рр,д) + д+(х,р,д),

К(х,р, д)и +(х,р, д) = и-(х,р, д) + С+(х,р, д), (х,р, д) е М3. При индексе коэффициента % > 0 примем гипотезу

ix + Ах X (x,p,q) \x — г)

x — г) X+(x,p, q) Тогда

U + = U- + (x — г)хМ(x,p, q).

Используя соответствующие проекторы, получим представление:

М (x,p,q) = — = М + — М X-

U+—(x—г)xH + U- — (x—)xH- = Co(p,q)+C1(p,q)x+. +Cx-1(p,q)xx-1

приводит к решению задачи.

2. Уравнение типа свертки на четверть-плоскости.

Рассмотрим уравнение 1

/ / k(x — s)m(y — t)u(s,t)dsdt = g(x,y), x> 0, y> 0, 00

являющееся обобщением известного уравнения Винера-Хопфа. Искомая функция здесь и(х,у). Пространства для искомой и заданных функций нетрудно выбрать так, чтобы все дальнейшие преобразования были осуществимы. Доопределим уравнение на всей плоскости (х, у)

k(x — s)m(y — t)u++(s,t)dsdt = g++(x,y) +

Здесь значки (—, +) означают равенство функций нулю на соответствующей полуплоскости, например,

Преобразование Фурье Ф ‘»(^О функции ф__у(х,у) будет аналитической функцией в

полуплоскостях 1тг 0. Применим преобразование Фурье к доопределенному уравнению, получим краевую задачу типа Римана

К(х)М(у)и++(х,у) = С++(х,у) + Ф+_(х,у) + Ф_+(х,у) + Ф__(х,у), (х,у) € R2.

Как и в одномерном уравнении Винера-Хопфа факторизуем функции:

и придаем условию краевой задаче Римана форму

где, наряду с и++(х,у) неизвестная функция 0.(х,у) :

На обе части краевого условия действуем оператором Р++ [Ф] = Ф++. Получим:

(нетрудно убедиться, что = 0). Итак, искомая и++(х,у) найдена

и остается вернуться к Фурье-оригиналу.

3. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения.

Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения (СИУ) специального вида возникают в том случае, когда полуплоскости аналитичности отличаются от классических, например, ах + ЬС + с 0. Приведем соответствующий пример. Рассмотрим односторонние функции следующего вида:

тогда Ф++(х,£) = Ф(и,а), и = 1п-, а = 1п—, С(х,£) = М(и, а). Контур 7

проведен так, что значение логарифма для отображения и> = 1п- на верхнем берегу

разреза, соединяющего точки —1 и 1, вещественно. Для и = 1п-, следует, что когда

х = —1+е, и ^ —ж, и когда х = 1—е, и ^ Из (4.3) следует, при замене и = 1п ■

J_) M (rn(1 + x)(1 — s) n(1 + i)(1 — s))(1X -Jf-

2nJ V (1 — x)(1 + s)’ (1 — i)(1 + s)) \s) (1 — s2)

v 2W \1 — xs 1 — is) (1 — s2) y J

Можно показать, что

0″ Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.