Крамор задачи на составление уравнений

Задачи на составление уравнений и методы их решения. Крамор В.С., 2009

Название: Задачи на составление уравнений и методы их решения.

Автор. Крамор В.С.
2009

Цель книги — научить выпускников средней школы самостоятельно решать задачи на составление уравнений и помочь усвоить методы их решения.
Пособие содержит свыше 300 задач с подробными решениями и более 100 задач для самостоятельного решения.
Книга может быть использована при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗ.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. 3
Глава 1. Задачи на проценты. 5
1. Вычисление процентов данного числа. Сложные проценты. 5
2. Нахождение неизвестного числа по его заданным процентам. 16
3. Процентное отношение двух чисел. 19
4. Задачи на проценты, пропорции, пропорциональное деление. 22
5. Разные задачи. 25
Задачи для самостоятельного решения. 34
Глава 2. Задачи на растворы, смеси, сплавы. 37
1. Задачи на смешивание. 38
2. Задачи на разбавление и насыщение. 47
3. Разные задачи. 54
Задачи для самостоятельного решения. 61
Глава 3. Задачи на движение. 64
1. Простейшие задачи на вычисление компонентов движения. 64
2. Задачи на совместное движение двух и более тел. 74
3. Движение по водному пути. 100
4. Движение вдоль окружности. 108
5. Разные задачи. 115
Задачи для самостоятельного решения. 127
Глава 4. Задачи на работу. 131
1. Простейшие задачи на вычисление компонентов работы. 131
2. Задачи на совместную работу. 137
3. Задачи на «бассейны и трубы». 148
4. Разные задачи. 157
Задачи для самостоятельного решения. 172
Глава 5. Другие типы задач. 175
1. Задачи на числовые зависимости. 175
2. Задачи, приводящие к неравенствам. 182
3. Задачи с целочисленными неизвестными. 193
4. Задачи, содержащие параметры. 200
5. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений. 207
6. Задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений системы. 215
7. Разные задачи. 220
Задачи для самостоятельного решения. 247
Использованная литература. 250

ПРЕДИСЛОВИЕ.
В течение многих лет задачи на составление уравнений включаются в экзаменационные билеты по математике для абитуриентов высших учебных заведений, а в последние годы такие задачи предлагаются и при сдаче ЕГЭ. Умение решать эти задачи позволяет проверить у будущих студентов наличие логического мышления, сообразительности и наблюдательности, а также способности к анализу полученных результатов.

Вместе с тем в общеобразовательной школе задачам на составление уравнений уделяется недостаточно внимания. Цель данной книги состоит в том, чтобы научить выпускников средней школы решать подобного рода задачи и прочно усвоить различные методы, применяемые в процессе их решения.

Весь изложенный в книге материал разбит на 5 глав, состоящих из нескольких параграфов. Каждый параграф содержит небольшой справочный материал (основные формулы, утверждения, допущения, используемые при решении задач рассматриваемого типа) и набор задач, сопровождающихся подробными решениями. В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

В общей сложности книга содержит свыше 300 задач с решениями, а также 100 задач для самостоятельного решения.
Наряду с традиционными типами задач (задачи на проценты; задачи на растворы, смеси, сплавы; задачи на движение; задачи на работу) в книге рассматриваются и другие типы задач (задачи на числовые зависимости; задачи, приводящие к неравенствам; задачи с целочисленными неизвестными и т.п.).

Приведенные в книге решения задач сопровождаются подробными пояснениями, каждое действие в процесс решения нумеруется, поскольку оно несет определенную смысловую нагрузку. Все этапы решения включают необходимую информацию о правомерности того или иного шага.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи на составление уравнений и методы их решения. Крамор В.С., 2009 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Сборник. Задачи на составление уравнений по видам

Решение задач — очень сложная тема для усвоения, такой сборник помогает мне при работе с данной темой

Просмотр содержимого документа
«Сборник. Задачи на составление уравнений по видам»

У хозяйки было всего 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?

У хозяйки было всего 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?

Сумма трех чисел равна 80. Первое число меньше второго в 2,75 раза, а третье число составляет

В трех классах 119 учащихся. В первом учатся на 4 человека больше, чем во втором, и на 3 человека меньше, чем в третьем классе. Сколько учеников в каждом классе?

На трех полках стояло 110 книг, причем на первой было в 2 раза больше чем на второй и на 5 больше, чем на третьей. Сколько книг на каждой полке?

2 вид задач – на приравнивание

На первой полке было 33 книги, а на другой – 21 книга. Сколько книг нужно переставить с первой полки на вторую, чтобы книг стало поровну?

На автостоянке легковых машин в 2 раза больше грузовых. После того, как со стоянки уехало 10 легковых машин, а приехало 4 грузовых, количество легковых и грузовых машин стало поровну. Сколько легковых машин было на стоянке первоначально?

В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 литров во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?

На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги, то на полках книг стало поровну. Сколько книг было первоначально?

В двух бочках 725 литров бензина. Когда из первой бочки взяли бензина, а из второй бочки бензина, то в обеих бочках бензина стало поровну. Сколько бензина было первоначально в каждой бочке?

На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую автомашину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих автомашинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую автомашину?

На первом участке было в 3 раза больше кустов малины, чем на втором. Когда с первого участка пересадила на второй 20 кустов, то их стало поровну на обоих участках. Сколько кустов было посажено на каждом участке?

На первом катере было в 2 раза больше людей, чем во втором. Когда на ближайшей пристани с первого катера сошли 98 человек, а со второго 16 человек, то на обоих катерах людей стало поровну. Сколько человек было на каждом катере первоначально?

В одном элеваторе зерна в 3 раза больше, чем в другом. Из первого вывезли 960 т зерна, а во второй привезли 240 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько было в каждом элеваторе зерна первоначально?

В двух вагонах поезда ехало одинаковое количество пассажиров. После того, как из первого вагона вышли 26 пассажиров, а из второго – 17 пассажиров, в первом вагоне стало в 2 раза меньше пассажиров, чем во втором вагоне. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?

3 вид задач – про задуманные числа

Одно число в 4 раза меньше другого, а их сумма равна 60. Найти эти числа.

Одно число в 3 раза больше другого, а их разность равна 10. Найти эти числа.

Некоторое число увеличили на 20 и оказалось, что оно увеличилось в 3 раза. Найти это число.

Некоторое число увеличили на 35 и оказалось, что оно увеличилось в 5 раза. Найти это число.

В двухзначном натуральном числе сумма цифр равна 9. Число десятков меньше числа единиц на 3. Найдите это число.

В двухзначном натуральном числе сумма цифр равна 14. Число единиц меньше числа десятков на 4. Найдите это число

В двухзначном натуральном числе разность цифр равна 6. Число единиц меньше числа десятков в 4 раза. Найдите это число

В двухзначном натуральном числе разность цифр равна 7. Число единиц меньше числа десятков в 8 раз. Найдите это число.

4 вид задач – по формулам

Турист шел 3 часа пешком и 4 часа ехал на велосипеде. Всего он проделал путь в 62 км. С какой скоростью турист шел пешком, если он шел на 5 км/ч медленнее, чем ехал на велосипеде?

Поезд шел 3,5 ч со скоростью 64,4 км/ч. На сколько надо увеличить скорость поезда, чтобы пройти это расстояние за 2,8 ч.

Теплоход проходит за 15 ч против течения столько же, сколько за 13 часов по течению Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 70км/ч. Ответ – 5 км/ч

Из двух сел, расстояние между которыми 21 км, вышли одновременно на встречу друг другу мужчина и женщина. При встрече оказалось, что мужчина прошел в раза больше расстояние, чем женщина. Через сколько часов после выхода они встретились если скорость мужчины 6км/ч? С какой скоростью шла женщина? Ответ через 2 часа, 4.5 км/ч.

Задачи на составление уравнений

Задачи на составление уравнений

Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно превышая норму на 18 деталей, она за 3,5 дня работы не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила бригада?

В упаковке находится 2 кг смеси сухофруктов. Чернослива в этой смеси в 1,6 раза больше, чем яблок, а изюма на 0,2 кг больше, чем яблок. Сколько яблок, чернослива и изюма в упаковке в отдельности?

Каждый из двух пешеходов прошел по 6 км. Скорость первого пешехода на 3 км/ч больше скорости второго, а поэтому время, которое был в пути первый пешеход, отличается от времени второго пешехода на 1 час. Сколько времени был в пути первый пешеход?

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от пункта А. Найдите скорость каждого, если известно, что пешеход, вышедший из А, шел со скоростью на 1км/ч большей, чем второй пешеход, и сделал в пути получасовую остановку.

Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км/ч, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Зарплата лаборанта составляла 100 рублей в месяц, после двух последовательных повышений на одно и то же число процентов она стала составлять 121 р. На сколько процентов каждый раз повышалась зарплата лаборанта?

За 3 м одной ткани и 3 м другой заплатили 90 рублей. Сколько стоит 1 м каждой ткани, если 9 м первой ткани стоят столько же, сколько 6 м второй ткани?

В двух корпусах пансионата было 720 мест для отдыхающих. После реконструкции в первом корпусе число мест увеличилось на 15 %, а во втором – на 10 %. Сколько мест для отдыхающих стало в каждом корпусе, если общее число мест в обоих корпусах увеличилось на 80?

Обозначим через х количество деталей, которое бригада планировала изготавливать за один день. Тогда, выполнив заказ за 5 дней, она по плану должна была изготовить 5х деталей, но превышая норму, бригада изготовляла в день (х + 18) деталей, значит, за 3,5 дня она сделала (х + 18) · 3,5 деталей. По условию задачи бригада за 3,5 дня не только выполнила задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. С учетом этого составляем уравнение: (х + 18) · 3,5 = 5х + 27.

Решаем полученное уравнение (х + 18) · 3,5 = 5х + 27.

5х – 3,5х = 63 – 27; 1,5х = 36; х = 24. Значит, бригада планировала изготовлять в день по 24 детали, а делала 24 + 18 = 42 детали; тогда за 3,5 дня она сделала 42 · 3,5 = 147 деталей.

О т в е т: 147 деталей.

Пусть в упаковке х кг яблок, тогда чернослива в ней 1,6х кг, а изюма – (х + 0,2) кг. Вся смесь имеет массу 2 кг.

Уравнение: х + 1,6х + х + 0,2 = 2.

Решение уравнения: 3,6х = 2 – 0,2,

В упаковке 0,5 кг яблок, 0,7 кг изюма и 0,8 кг чернослива.

О т в е т: 0,5 кг; 0,7 кг; 0,8 кг.

Пусть первый пешеход был в пути х часов, тогда 6 км он прошел за км/ч. Так как скорость первого пешехода была больше скорости второго, то второй пешеход на такое же расстояние времени затратил, по условию задачи, на 1 час больше. Значит он в пути был (х + 1) часов и его скорость была ровна км/ч.

По условию задачи скорость первого пешехода была больше скорости второго пешехода на 3 км/ч. С учетом этого составляем уравнение: . (Уравнение также можно записать в виде , или .

Решаем полученное уравнение:

; ; ; ;

;

+ х – 2 = 0;

;

При х1 = 1 х(х+1) ? 0; при х2 = –2 х(х + 1) ? 0. значит х1 = 1 и х2 = –2 – корни уравнения, но значение х2 = –2 условию задачи не удовлетворяет, так как время движения пешехода не может быть выражено отрицательным числом. Следовательно, х = 1.

О т в е т: первый пешеход был в пути 1 час.

Обозначим скорость пешехода, вышедшего из пункта А, – х км/ч, тогда скорость второго пешехода – (х – 1) км/ч. Первый пешеход был в пути ч, а второй – ч. По условию задачи пешеходы вышли одновременно и встретились, но второй пешеход делал остановку на ч, следовательно, можно составить уравнение: .

Решение уравнения: Решение уравнения: , НОЗ: 2х(х – 1).

D = 9 + 4 · 18 = 91,

,

При х = 6 2х(х – 1) ? 0, при х = –3 2х(х – 1) ? 0, значит, х = 6 и х = –3 – корни составленного уравнения, но х = –3 не удовлетворяет условию задачи, остается х = 6. Скорость пешехода, вышедшего из пункта А – 6 км/ч, скорость второго 6 – 1 = 5 км/ч.

О т в е т: 6 км/ч, 5 км/ч.

Пусть хкм/ч – скорость течения реки, тогда скорость катера по течению (8 + х) км/ч, а против течения – (8 – х) км/ч, и время движения по течению ч, а против течения ч. По условию задачи время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Уравнение: .

Решение уравнения: ;НОЗ: (8 + х)(8 – х),

При х = 2 (8 + х)(8 – х) ≠ 0, при х = –2 (8 + х)(8 – х) ≠ 0, значит х = 2 и х = –2 – корни уравнения, но х = –2 условию задачи не удовлетворяет, следовательно, х = 2, т. е. скорость течения реки 2 км/ч.

О т в е т: 2 км/ч.

Пусть зарплата лаборанта повышалась каждый раз на х %, тогда первый раз она повысилась на 100 : 100 · х = х руб. и стала составлять (100 + х) рублей. Во второй раз она повысилась на (100 + х) : 100 · х рублей и стала составлять после этого рублей, достигнув, по условию задачи, размера 121 рубль в месяц. С учетом этого составляем уравнение: .

Решаем полученное уравнение:

;

;

Значит, х = –210 и х = 10 – корни уравнения, но значение х = –210 условию задачи не удовлетворяет, так как является отрицательным числом. Следовательно, зарплата лаборанта дважды повышалась на 10 %.

Пусть один метр первой ткани стоит х рублей, а один метр второй ткани стоит у рублей. Тогда 3 м первой ткани стоят 3х рублей, а 3 м второй ткани стоят 3у рублей. Так как по условию задачи за 3 м одной ткани и 3 м второй заплатили 90 рублей, составляем уравнение: 3х + 3у = 90.

Поскольку 9 м первой ткани стоят 9х рублей, а 6 м второй ткани стоят 6у рублей, а по условию задачи 9 м первой ткани стоят столько же, сколько 6 м второй ткани, составляем второе уравнение: 9х = 6у.

Так как х и ув обоих уравнениях обозначают одни и те же величины, можно составить систему уравнений:

Решаем систему уравнений.

Итак, решение системы: (12; 18). Значит, 1 м первой ткани стоит 12 рублей, а 1 м второй – 18 рублей.

О т в е т: 12 р., 18 р.

Пусть в первом корпусе было х мест, а во втором у мест. Так как по условию задачи в обоих корпусах вместе было 720 мест, то можно составить уравнение: х + у = 720.

Поскольку число мест в первом корпусе увеличилось на 15 %, то есть на 0,15х мест, а во втором – на 10 %, то есть на 0,1у мест, причем общее число мест в обоих корпусах увеличилось на 80, то можно составить второе уравнение: 0,15х + 0,1у = 80.

Итак, имеем систему уравнений:

Решаем полученную систему уравнений:

Значит, в первом корпусе первоначально было 160 мест, затем стало: 160 · 1,15 = 184; во втором корпусе первоначально было 560 мест, затем стало: 560 · 1,1 = 616 мест.

О т в е т: 184 места и 616 мест.

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

По шоссе движутся две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая машин увеличит свою скорость на 10 км/ч, а вторая – уменьшит на 10 км/ч, то первая автомашина за 5 часов пройдет столько же, сколько вторая за 7 часов. С какой скоростью движутся автомашины?

Два токаря должны изготовить по 40 деталей. Сколько деталей в час изготавливал первый токарь, если второй, изготавливая на 3 детали в час меньше, затратил на всю работу на 3 часа больше?

Группа школьников купила мороженое, уплатив за покупку 1 р. 45 к. монетами достоинством в 10 к. и 15 к. Сколько монет по 10 к. и сколько монет по 15 к. отдали школьники за покупку, если всего было отдано 11 монет?

О т в е т: 60 км/ч.

О т в е т: 8 деталей в час.

О т в е т: 4 монеты по 10 к. и 7 монет по 15 к.