Критерии и числа подобия уравнения подобия

Критерии подобия и уравнения подобия

Подобие процессов конвективного теплообмена

Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством перемен­ных. Аналитическое решение полной системы уравнений на­талкивается на серьезные трудности.

Поэтому большое значение при­обретает экспериментальный путь исследования. С помощью экспери­мента для определенных значений аргументов можно получить числовые значения искомых переменных и затем подобрать уравнения, описываю­щие результаты опытов.

Однако для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно из-за большого количества переменных.

Кроме того, при этом нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо конкретной установки (модели), можно перенести и на дру­гие аналогичные процессы (образец).

Эти трудности помогает разрешить теория подобия.

С помощью теории подобия размерные физические ве­личины можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин, из которых составлены эти комплексы. Полученные безразмерные комплексы можно рассма­тривать как новые переменные.

При введении в уравнения безразмерных комплексов число величин под знаком искомой функции формально сокращается, что упрощает исследование физических процессов.

Кроме того, новые безразмерные переменные отражают влияние не только отдельных факторов, но и их совокупности, что позволяет легче определить физические связи в ис­следуемом процессе.

Для практического использования выводов теории подобия необхо­димо уметь приводить к безразмерному виду математические описания изучаемых процессов.

Критерии подобия и уравнения подобия

Помимо безразмерных величин и безразмерных координат , в уравнения конвективного теплообмена входят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физических величин

.

Этим комплексам, называемым числами подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад в развитие теплотехники и механики.

Первый из этих безразмерных комплексов обозначают

и называют числом Нуссельта или безразмерным коэффициентом теплоотдачи.

Число Нуссельта характеризует теплообмен на границе стенка/жидкость. В задачах конвективного теплообмена число Nu обычно является искомой величи­ной, поскольку в него входит определяемая величина α.

называют числом Рейнольдса. Оно характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости.

Третий безразмерный комплекс обозначают

и называют числом Пекле.

Его можно преобразовать следующим образом

здесь числитель характеризует теплоту, переносимую конвекцией, а знаменатель – теплоту, переносимую теплопроводностью.

называют числом Грасгофа. Оно характеризует подъемную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей.

Т.к. при выводе уравнения движения было принято -> , то вместо Gr можно написать его общую модификацию – число Архимеда

В случае однородной среды при условии β=const число Архимеда идентично числу Gr.

Безразмерные величины Θ, W_х, W_y, X, Y, Nu, Re, Ре, Gr можно рас­сматривать как новые переменные. Их можно разделить на три группы:

— независимые переменные – это безразмерные координаты X, У;

— зависимые переменные – это Nu, Θ, W_x, W_y;

— постоянные величины – это Ре, Re, Gr; они заданы условиями однозначности и для конкретной задачи являются постоянными.

В результате можно написать

Здесь Х_с, Y_c соответствуют поверхности теп­лоотдачи (стенки).

Безразмерный комплекс

называют числом Эйлера. Это число характеризует соотношение сил давления и сил инерции.

В уравнения конвективного теплообмена зави­симая переменная Еu входит только под знаком производной. Следова­тельно, для несжимаемой жидкости с постоян­ными физическими параметрами существенно не абсолютное значение давления, а его изменение. Поэтому число Эйлера обычно представляют в виде

,

где р₀ – какое-либо фиксированное значение давления, например давле­ние на входе в канал.

Очевидно, при неизменной математической формулировке задачи новые безразмерные величины могут быть получены комбинированием старых безразмерных величин.

Число Ре можно представить как произведение двух безразмерных переменных

Безразмерная величина представляет собой новую перемен­ную, называемую числом Прандтля. Число Прандтля целиком со­ставлено из физических параметров, и поэтому само является физи­ческим параметром. Его можно записать и в виде

Числу Прандтля можно придать определенный физический смысл.

Уравнение энергии ,

и уравнение движения

по записи аналогичны.

При расчетные поля температур и скоро­стей будут подобны, если только аналогичны и условия однозначности. Таким образом, при определенных условиях числу Прандтля может быть придан смысл меры подобия полей темпе­ратур и скоростей.

Безразмер­ные переменные можно разделить на два вида:

— определяемые – это числа, в которые входят искомые зависи­мые переменные; в рассматриваемом случае зависимыми являются , следовательно, определяемыми являются Nu, Θ, W_x и W_y;

— определяющие – это числа, целиком составленные из незави­симых переменных и постоянных величин, входящих в условия однознач­ности; в рассматриваемом случае определяющими являются X, У, Re, Pr (или Ре) и Gr.

Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 1698 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Теория подобия и критериальные уравнения

Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством переменных. Попытки аналитического решения полной системы уравнений наталкиваются на серьезные трудности. Поэтому большое значение приобретает экспериментальный путь исследования. Однако при изучении столь сложного процесса, как конвективный теплообмен, не всегда легко проводить и опытное исследование.

Для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно или затруднительно из-за большого количества переменных. Кроме того, нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо конкретной установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образец). Эти трудности помогает разрешить теория подобия. С помощью теории подобия размерные физические величины можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин. Полученные безразмерные комплексы можно рассматривать как новые переменные.

При введении в уравнения безразмерных комплексов число величин под знаком искомой функции формально сокращается, что упрощает исследование физических процессов.

Теория подобия устанавливает также условия, при которых результаты лабораторных исследований можно распространить на другие явления, подобные рассматриваемому. Ввиду этого теория подобия является теоретической базой эксперимента, но не только. Теория подобия является важным подспорьем теоретических исследований. Хотя методами теории подобия вид искомой функции не может быть определен, эта теория облегчает в ряде случаев анализ процесса и описание полученных результатов.

Для практического использования выводов теории подобия необходимо уметь приводить к безразмерному виду математические описания изучаемых процессов.

Имеется несколько методов, и один из них — метод масштабных преобразований.

независимые переменные: х, у.

зависимые переменные:

постоянные величины: и др. Для определенной задачи они являются постоянными.

Таким образом, искомые зависимые переменные зависят от большого числа величин: они являются функцией независимых переменных и постоянных величин.

В качестве масштабов удобно принять постоянные величины .

; ; ; ; , тогда

; ; ; ; .

Помимо безразмерных величин и безразмерных координат X, Y, составленных из однородных физических величин, в уравнения входят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физических величин.

Безразмерные соотношения параметров характеризующих процесс, имеющие у подобных явлений в сходственных точках численно одинаковые значения называются числами подобия.

1). У подобных явлений числа подобия численно одинаковы.

2). Интеграл дифференциальной функции (или системы уравнений) может быть представлен как функция чисел дифференциального уравнения.

3). Подобны те явления, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условия однозначности, численно одинаковы.

Условия однозначности: Явление, протекающее в геометрически подобных системах; для рассматривания явления можно составить дифференциальные уравнения; установлены существование и единственность решения уравнений при заданных граничных условиях; известны числовые значения коэффициентов и физических параметров.

Please wait.

We are checking your browser. gufo.me

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6df42cb85baa165a • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare