Критерий фундаментальности системы решений дифференциальных уравнений

Решение задач. Выполним

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.

Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y1(x), y2(x), …, yn(x) его n частных решений.

Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).

Док-во. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) — фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение yчо(x) этого уравнения этого уравнения содержится в формуле y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C1, C2, …, Cn как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C1, C2, …, Cn и сравним её с функцией yчо(x). Функции y(x) и yчо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x0, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + … + Cn yn(x). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.

Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

.

Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения (21) n задач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя:

Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) — решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос — как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

N-ГО ПОРЯДКА

(1)

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка, если коэффициенты являются действительными числами или функциями переменной : функция .

Если функция то уравнение (1) принимает вид:

. (2)

Уравнение (2) называют линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка, соответствующим (отвечающим) неоднородному уравнению (1).

Свойства решений линейных однородных уравнений

1. Если решение линейного однородного уравнения (2) на интервале , то для любого числа функция также является решением этого уравнения (2) на .

2. Если решения уравнения (2) на интервале , то также является решением уравнения (2) на .

С л е д с т в и е. Если являются решениями уравнения (2) на интервале , то также является решением этого уравнения на при любых значениях произвольных постоянных .

В теории линейных дифференциальных уравнений важную роль играет понятие линейной независимости системы функций на интервале.

Функции называются линейно независимыми на интервале , если для любого линейная комбинация функций обращается в нуль тогда и только тогда, когда .

В противном случае эти функции называются линейно зависимым на .

Проверку линейной независимости системы решений однородного уравнения n-го порядка удобно выполнять при помощи следующей теоремы.

Теорема 1. Чтобы решения линейного однородного уравнения n-го порядка были линейно независимы на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского был отличен от нуля для :

. (3)

Фундаментальной системой решений линейного однородного уравненияn-го порядка на интервале называют набор n решений этого уравнения, линейно независимых на .

В теореме 1 сформулирован критерий фундаментальности набора (системы) n решений линейного однородного уравнения n-го порядка.

Теорема 2 (об общем решении линейного однородного уравнения). Если функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения n-го порядка (2) на интервале , то общее решение этого уравнения имеет вид:

, (4)

где произвольные постоянные.

Теорема 3 (об общем решении линейного неоднородного уравнения). Если функция является общим решением однородного уравнения (2), является частным решением неоднородного уравнения (1), то функция

(5)

является общим решением уравнения (1).

З а м е ч а н и е (п р и н ц и п с у п е р п о з и ц и и).Если правая часть линейного неоднородного уравнения является суммой функций: то частное решение где частные решения неоднородных уравнений (2) с правыми частями, равными соответственно.

Пример 1. Проверить фундаментальность системы решений дифференциального уравнения и записать его общее решение.

□ Непосредственной подстановкой функций в уравнение убеждаемся в том, что они действительно являются его решениями:

Проверим, являются ли решения уравнения линейно независимыми. Для этого воспользуемся теоремой 1. Составим определитель Вронского:

Известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов: Значит, определитель Вронского отличен от нуля на всей числовой оси. Из теоремы 1 следует, что данная система функций фундаментальная. По теореме 2 составляем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

■

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

(6)

где коэффициенты Такое уравнение называют линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

При помощи подстановки Эйлера процедура решения линейного уравнения (6) сводится к отысканию корней алгебраического уравнения:

(7)

Это уравнение (7) и многочлен, корни которого следует найти, называют характеристическим уравнением и характеристическим многочленом соответственно.

Корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными числами (см. разд. 1.2.3 и 1.6.5).

Рассмотрим два случая.

1. Пусть действительный корень уравнения (7) кратности . Можно доказать, что этому корню соответствует ровно линейно независимых решений:

(8)

При корень называется простым. Простому действительному корню соответствует единственное решение .

2. Пусть комплексный корень кратности . Тогда комплексное число также является корнем кратности характеристического многочлена с действительными коэффициентами. Этой паре комплексно-сопряженных чисел соответствует 2 частных линейно независимых решений уравнения (6):

(9)

Частные решения, соответствующие разным корням характеристического уравнения (7), линейно независимы.

Как только найдено n частных линейно независимых решений, по теореме 2 можно написать общее решение в виде их линейной комбинации.

Алгоритм 1 решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

1. Составить характеристическое уравнение (7).

2. Найти все корни уравнения (7) и определить их кратности.

3. Для каждого найденного корня написать соответствующие частные решения по

формулам (8) или (9).

4. Составить фундаментальную систему решений и записать общее решение по формуле (4).

Фундаментальная система решений

Содержание:

Одним из важнейших понятий в теории однородных систем линейных ОДУ является понятие фундаментальной системы решений.

Определение 5.2. Линейно независимую в промежутке систему из вектор-функций вида (5.7), каждая из которых является в нем решением однородной системы п линейных ОДУ (5.3), называют фундаментальной системой решений для (5.3) в этом промежутке.

Теорема 5.7. Фундаментальные системы решений существуют.

Пусть чисел

образуют единичную матрицу размера n, определитель которой Рассмотрим n решений однородной системы (5.3), которые определены в некотором промежутке числовой прямой точке удовлетворяют начальным условиям Тогда получим в промежутке Т.

На основании теоремы 5.5 и определения 5.1 отсюда следует, что эти решения линейно независимы в промежутке Т и, согласно определению 5.2, образуют в нем фундаментальную систему решений для (5.3).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Запись в виде (5.3) соответствует нормальной однородной системе линейных ОДУ с переменными коэффициентами, поскольку элементы матрицы A(t) этой системы являются функциями независимого переменного t.

• Такие системы удается проинтегрировать и получить решение в виде аналитической зависимости лишь в исключительных случаях. Однако существует одна замечательная формула, связывающая между собой решения произвольной однородной системы (5.3) ОДУ с переменными коэффициентами.

Вычислим производную по t от определителя Вронского (5.6), составленного из решений системы ОДУ (5.3):

В (5.8) использовано правило вычисления производной от определителя квадратной матрицы размера п [II]. Так как определитель представляет собой сумму слагаемых с соответствующими знаками, а каждое слагаемое есть произведение п элементов, то, используя правило дифференцирования произведения п функций [II], приходим к записи (5.8). Вектор-функция является решением однородной системы (5.3), т.е. Поэтому первый определитель в правой части (5.8) имеет вид

Здесь использовано правило сложения определителей, а также то, что определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аналогично второе, третье и т.д. (вплоть до последнего) слагаемые в (5.8) равны: С учетом этих выражений (5.8) принимает вид Отсюда следует, что определитель Вронского удовлетворяет линейному однородному ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем соотношение которое называют формулой Остроградского — Лиувил-ля (Ж. Лиувилль (1809-1882) — французский математик и механик, а о русском математике и механике М.В. Остроградском (1801-1861) см. Краткий исторический очерк.

Пример с решением №1

Рассмотрим нормальную систему ОДУ где — произвольная функция, непрерывная в некотором промежутке .

Решение:

Матрица этой системы Отсюда следует, что и формула Остроградского — Лиувилля принимает вид где

Итак, для двух произвольных решений рассматриваемой системы справедливо (5.11). Отметим, что (5.11) можно использовать для контроля точности получаемых решений системы

ОДУ при ее численном интегрировании

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система m линейных уравнений с п переменными называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.

В общем случае однородная система (или система однородных уравнений) имеет вид:

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0; 0; 0). Действительно, набор значений неизвестных

удовлетворяет всем уравнениям системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. По отношению к системе (1.25) система (1.34) называется приведенной.

Если в системе (1.34) то она имеет только одно нулевое решение (см. теорему 1.7).

ТЕОРЕМА 1.11. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных, т.е. при

Следствие 1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение. Следствие 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Обозначим решение системы (1.34) в виде строки

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если строка — решение системы (1.34), то и строка — также решение этой системы.

2. Если строки — решения системы (1.34), то при любых с> и с2 их линейная комбинация — также решение данной системы.

Убедиться в справедливости указанных свойств решений системы линейных однородных уравнений можно непосредственной подстановкой их в уравнения системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы. Поэтому целесообразно найти такие линейно независимые решения системы (1.34), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы (1.34) является линейной комбинацией решений

ТЕОРЕМА 1.12. Если ранг г матрицы однородной системы линейных уравнений (1.34) меньше числа неизвестных n, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из решений (или матрица фундаментальной системы имеет столбцов).

Поэтому общее решение системы (1.34) линейных однородных уравнений имеет вид:

(1.35)

где —любая фундаментальная система решений; — произвольные числа и Замечание. Общее решение системы линейных уравнений с п неизвестными (1.25) равно сумме общего решения соответствующей ей приведенной системы линейных уравнений (1.34) и произвольного частного решения этой системы (1.25).

Для нахождения фундаментальной системы решений предположим, что ранг Тогда базисные неизвестные этой системы линейно выражаются через свободные переменные Положим значения свободных переменных Затем находим второе решение, принимая Иными словами, мы последовательно присваиваем каждой свободной переменной единичное значение, положив остальные нулями.

Пример с решением №2

Найти решение и фундаментальную систему решения системы линейных однородных уравнений: Решение:

Составим матрицу системы, и прямым ходом метода Гаусса приведем ее к ступенчатому виду:

Выпишем систему уравнений: Обратный ход метода Гаусса дает значения базисных неизвестных выраженные через свободную переменную . Обозначим ее

Из последнего уравнения находим Затем, поднимаясь вверх по системе, определяем все неизвестные

Эти последние выражения представляют запись общего решения нашей однородной системы. Если теперь давать переменной с числовые значения, можно получить фундаментальное решение системы.

Поскольку ранг однородной системы равен четырем, то фундаментальная система решений для нее состоит из решения.

Положив значение свободной переменной (других свободных переменных у нас нет), получим фундаментальное решение системы:

Заметим, что если и решением будет нулевой вектор о; его называют тривиальным решением; этот вектор всегда есть среди решений однородной системы.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.