Критерий линейной независимости решений линейного однородного уравнения

Критерий линейной независимости решений линейного однородного уравнения

ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСМОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Высшая математика

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

Справедливо следующее этого уравнения.

Решения y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [ a ; b ] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W ( x ; y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x )) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [ a ; b ] .

Для определителя Вронского W ( x ; y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x )) решений y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [ a ; b ] коэффициентами, справедлива формула Остроградского–Лиувилля:

Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует:

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

N-ГО ПОРЯДКА

(1)

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка, если коэффициенты являются действительными числами или функциями переменной : функция .

Если функция то уравнение (1) принимает вид:

. (2)

Уравнение (2) называют линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка, соответствующим (отвечающим) неоднородному уравнению (1).

Свойства решений линейных однородных уравнений

1. Если решение линейного однородного уравнения (2) на интервале , то для любого числа функция также является решением этого уравнения (2) на .

2. Если решения уравнения (2) на интервале , то также является решением уравнения (2) на .

С л е д с т в и е. Если являются решениями уравнения (2) на интервале , то также является решением этого уравнения на при любых значениях произвольных постоянных .

В теории линейных дифференциальных уравнений важную роль играет понятие линейной независимости системы функций на интервале.

Функции называются линейно независимыми на интервале , если для любого линейная комбинация функций обращается в нуль тогда и только тогда, когда .

В противном случае эти функции называются линейно зависимым на .

Проверку линейной независимости системы решений однородного уравнения n-го порядка удобно выполнять при помощи следующей теоремы.

Теорема 1. Чтобы решения линейного однородного уравнения n-го порядка были линейно независимы на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского был отличен от нуля для :

. (3)

Фундаментальной системой решений линейного однородного уравненияn-го порядка на интервале называют набор n решений этого уравнения, линейно независимых на .

В теореме 1 сформулирован критерий фундаментальности набора (системы) n решений линейного однородного уравнения n-го порядка.

Теорема 2 (об общем решении линейного однородного уравнения). Если функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения n-го порядка (2) на интервале , то общее решение этого уравнения имеет вид:

, (4)

где произвольные постоянные.

Теорема 3 (об общем решении линейного неоднородного уравнения). Если функция является общим решением однородного уравнения (2), является частным решением неоднородного уравнения (1), то функция

(5)

является общим решением уравнения (1).

З а м е ч а н и е (п р и н ц и п с у п е р п о з и ц и и).Если правая часть линейного неоднородного уравнения является суммой функций: то частное решение где частные решения неоднородных уравнений (2) с правыми частями, равными соответственно.

Пример 1. Проверить фундаментальность системы решений дифференциального уравнения и записать его общее решение.

□ Непосредственной подстановкой функций в уравнение убеждаемся в том, что они действительно являются его решениями:

Проверим, являются ли решения уравнения линейно независимыми. Для этого воспользуемся теоремой 1. Составим определитель Вронского:

Известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов: Значит, определитель Вронского отличен от нуля на всей числовой оси. Из теоремы 1 следует, что данная система функций фундаментальная. По теореме 2 составляем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

■

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

(6)

где коэффициенты Такое уравнение называют линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

При помощи подстановки Эйлера процедура решения линейного уравнения (6) сводится к отысканию корней алгебраического уравнения:

(7)

Это уравнение (7) и многочлен, корни которого следует найти, называют характеристическим уравнением и характеристическим многочленом соответственно.

Корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными числами (см. разд. 1.2.3 и 1.6.5).

Рассмотрим два случая.

1. Пусть действительный корень уравнения (7) кратности . Можно доказать, что этому корню соответствует ровно линейно независимых решений:

(8)

При корень называется простым. Простому действительному корню соответствует единственное решение .

2. Пусть комплексный корень кратности . Тогда комплексное число также является корнем кратности характеристического многочлена с действительными коэффициентами. Этой паре комплексно-сопряженных чисел соответствует 2 частных линейно независимых решений уравнения (6):

(9)

Частные решения, соответствующие разным корням характеристического уравнения (7), линейно независимы.

Как только найдено n частных линейно независимых решений, по теореме 2 можно написать общее решение в виде их линейной комбинации.

Алгоритм 1 решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

1. Составить характеристическое уравнение (7).

2. Найти все корни уравнения (7) и определить их кратности.

3. Для каждого найденного корня написать соответствующие частные решения по

формулам (8) или (9).

4. Составить фундаментальную систему решений и записать общее решение по формуле (4).

Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.

Рассмотрим однородное ЛДУ порядка n на [a, b] с непрерывными на отрезке действительными коэффициентами aj(t), j=0,…,n, a0(t) ≠ 0 на [a, b]: a0(t)y(n)(t) +…+an(t)y(t)=0 (8). Рассмотрим систему скалярных функций y1(t)…yn(t), являющихся решением (8). Кол-во функций совпадает с порядком уравнения. Т Для решений y1(t),…,yn(t) линейного однородного ур-я (8) на [a, b] справедливо: либо W[y1…yn](t) = 0 на [a, b] и функции линейно зависимы, либо W[y1,…,yn](t) ≠ 0 для любого t Є [a, b] и функции y1(t),…,yn(t) линейно независимы на [a, b]. Док-во: пусть t0: W[y1,…,yn](t0) = 0. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно c1,…,cn. . Так как определитель равен определителю Вронского и равен 0, то система имеет нетривиальное решение c

kyk(t). Эта функция как линейная комбинация – тоже решение. Из системы она удовлетворяет y

(m)(t0) = 0, m=0,…,n-1. Те она решение (8) и удовлетворяет 0м начальным условиям. По Т единственности решения задачи Коши она равна 0 (тождественный 0 удовлетворяет). Те функции линейно зависимы. Если одна точка отлична от 0 то по Б14 функции линейно независимы.

Билет 16. Фундаментальная система решений (ФСР) для линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Фундаментальной системой решений ЛОДУ n-ого порядка на [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого ур-я. Т у любого ЛОДУ существует ФСР на [a, b]. Док-во: Рассмотрим постоянную матрицу B Є [n, n] такую, что её определитель отличен от 0. Построим n задач Коши yj(t0) = b1j,…,yj(n-1)=bnj, j=1,…,n. Определить Вронского для решений этих задач в t0 равен detB ≠ 0. По Б15 не равен ни в одной точке, значит функции линейно независимы и являются ФСР. ЧТД. Замечание: ФСР определена не однозначно. Замечание: в силу вещественности aj ФСР может быть выбрана вещественной. Общим решением ЛОДУ n-ого порядка называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого ур-я такое, что любое другое решение ур-я может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных. Т Пусть y1(t)…yn(t) – ФСР на [a, b]. Тогда общее решение этого ур-я на рассматриваемом отрезке имеет вид yoo(t) = c1y1(t) + …+cnyn(t), cj Є C. Док-во: Так как линейная комбинация решений однородного решения – решение этого ур-я, то yoo – решение этого ур-я. Покажем, что любое решение может быть получено из yoo. Пусть y

(n-1)(t0)> относительно c1,…,cn. Определитель отличен от 0, значит есть единственное решение. Те получили константы. ЧТД. Следствие: ЛОДУ n-ого порядка не может иметь более чем n линейно независимых решений.

Дата добавления: 2015-08-05 ; просмотров: 13 ; Нарушение авторских прав

Читайте также: Алгоритм решения транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов Анализ алгоритмов линейного поиска Анализ альтернатив управленческих решений Анализ внешней среды при разработке управленческих решений Анализ возможных экологических и связанных с ними социальных, экономических и других последствий реализации альтернатив решений по объекту Анализ существующих аналогов проектных решений квартир студий Анализ существующих решений для построения сети Аналитический обзор существующих решений. Архитектура БД. Физическая и логическая независимость. Б) Коллективные методы принятия решений.