Критерий рауса гурвица по характеристическому уравнению

Критерий рауса гурвица по характеристическому уравнению

8.1. Понятие устойчивости системы

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива «в малом» , если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива «в большом» , когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y вын (t) + y св (t).

Здесь yсв(t) — общее решение однородного дифференциального уравнения , то есть уравнения с нулевой правой частью:

a o y (n) + a 1 y (n-1) + . + a _(n-1) y’ + a _(n) y = 0.

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. y вын (t) — частное решение неоднородного дифференциального уравнения , под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t) . Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный . Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р . После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей y вын = y(t ) . Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P _o sin(t + ) , то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y вын = y _max sin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где p _i корни характеристического уравнения D(p) = a ₀ p _n + a 1 p _n -1 + a 2 p _n -2 + . + a n = 0 . Корни могут быть либо вещественными p _i = a _i , либо попарно комплексно сопряженными p _i = a _i ± ji . Постоянные интегрирования А _i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y св (t) _i , каждому положительному — экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y св (t) i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i , при положительной вещественной части — расходящиеся колебания, при нулевой — незатухающие (рис.64).

Так как после снятия возмущения y вын (t) = 0 , то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y св (t) . zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми , с положительными — правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где a n = 0 ), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости . Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости .

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости . Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).

8.2. Алгебраические критерии устойчивости

8.2.1. Необходимое условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a o p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a _n = a o (p-p ₁ )(p-p ₂ ). (p-p _n ) = 0,

где p ₁ , p ₂ , . p _n — корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать как a _i = -|a _i | . Подставим их в уравнение:

a ₀ (p + |a 1 |)(p + |a 2 | — j2)(p + |a 2 | + j2). = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a ₀ (p + |a 1 |)((p + |a 2 |)2 + (2)2). = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a ₀ p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a n = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a ₀ ,a 1 . a n не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a ₀ > 0, a 1 > 0, . , a n > 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a ₀ > 0 . В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

8.2.1. Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке — с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c _k,i = c _{k+ 1,i — 2} — ric _{k + 1,i — 1} , где ri = c _{1,i — 2} /c _{1,i — 1} , i 3 — номер строки, k — номер столбца.

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова
(геометрический критерий устойчивости)

Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами:

Нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные вещественные части.

Критерий Рауса—Гурвица . Для того чтобы все корни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали выписываются коэффициенты многочлена (2), начиная с и оканчивая . Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних включается коэффициент . Все остальные элементы матрицы, отвечающие коэффициентам с индексами, большими или меньшими , полагаются равными нулю. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид

Таким образом, условие Гурвица гласит: для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

Так как , то условие 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> может быть заменено требованием 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAATBAMAAAAzNgPlAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAhgFdwNcQoTBBIfCwcRgyobwAAADiSURBVCjPY2AgD7DNwicrKuKGW1J5G8MRBTQx4wQYS7WAYd4EdB2BMOk+ARBiYBMpM0OWXgBh2Akw6DkwMKQWdb9A1u0OkZYDyjoxMIUwsGxCNpzTvQEmG8DA+5hB+wCK3ZxHGuB6VZ4x9F1AkeUqaYDbqxfEcK+BoY0N7npOFzBzngDDvAKQgnOKk6XvCkIlNaGu0gb614CBJ4D5CaviuoYpEEnmcKiPGLcxlCowcIUftD7MYMogDpGEhwZDqWEEyBEKbA0MhQzBYD2GcEkGDmE4O5jjWQHuGNnGFd5AcgoAAPGxMydfDSoLAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» />.

Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Здесь . Выписываем диагональные миноры Гурвица

\Delta_4=\begin5&1&0&0\\19&13&5&1\\0&10&19&13\\0&0&0&10\end=4240>0,» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />

\Delta_4>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Следовательно, тривиальное решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.

Вычисление можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор Гурвица . По нему легко выписываются все младшие миноры . Затем начинаем вычислять последовательно и т.д. Если встретился отрицательный минор, решение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.

Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами

Критерий рауса гурвица по характеристическому уравнению

где A k , k +1 и B k , k +1 – постоянные интегрирования.
Из данного выражения следует, что только при отрицательном значении отклонение регулируемой величины с течением времени будет стремиться к нулю. Теперь можно сформулировать необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем:

Чтобы линейная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные корни и вещественные части комплексных корней были отрицательными.

Устойчивость является одним из главных требований к автоматическим системам регулирования (АСР). Если система не способна восстановить равновесное состояние, нарушенное в процессе работы, то она непригодна для практического использования. После того, как вычислены передаточная функция объекта и параметры настройки регулятора, необходимо определить, устойчива система или нет. Для проверки можно использовать как необходимое и достаточное условие устойчивости, приведенное выше, либо критерии устойчивости. Далее рассмотрим три таких критерия:
— критерий Рауса – Гурвица;
— критерий Михайлова;
— критерий Найквиста – Михайлова.

7.2. Критерии устойчивости

Использование для проверки устойчивости системы необходимого и достаточного условия устойчивости связано с решением характеристического уравнения, что может представлять трудности в случае систем высокого порядка, а если рассматривается замкнутая система с запаздыванием, то и вовсе невозможно. Значительно проще можно выполнить проверку устойчивости с помощью специальных критериев.

Критерий Рауса – Гурвица

Критерий Рауса – Гурвица позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам ее характеристического уравнения. Впервые критерий устойчивости был предложен в 1875 году английским математиком Раусом в виде таблицы. В 1895 году швейцарский математик Гурвиц опубликовал критерий устойчивости в виде определителей. Так как оба этих критерия приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам и отличаются только способом их получения, указанные критерии объединяют, называя критерием Рауса – Гурвица.
Пусть имеется характеристическое уравнение системы:

Если хотя бы один из определителей меньше нуля, система будет неустойчивой, поэтому после обнаружения первого отрицательного определителя процесс проверки устойчивости прекращается .
Если отрицательных определителей нет, но есть равные нулю, такая система находится на границе устойчивости (нейтральна).

Пример 1. Характеристическое уравнение имеет вид

Δ 3 вычислять не нужно, т.к. уже второй определитель оказался отрицательным.

Пример 2. Характеристическое уравнение имеет вид

Критерий Михайлова

В 1936 году советским ученым А.В.Михайловым был предложен критерий устойчивости, основанный на взаимосвязи между характером переходных процессов, возникающих при нарушении равновесия системы и амплитудной и фазовой вынужденных колебаний, установившихся в системе под воздействием гармонически изменяющейся входной величины. Анализ устойчивости в соответствии с критерием Михайлова сводится к построению по характеристическому уравнению системы графика, носящего название годограф Михайлова, по виду которого можно судить о состоянии системы (устойчива она или нет).
Годограф строится следующим образом. Пусть характеристическое уравнение имеет вид (7.5).
Обозначим через F(p) многочлен, стоящий в левой части этого уравнения:

Рис. 7.3. Примеры годографов Михайлова для различных систем

Рис. 7.4. Построение годографа Михайлова в Mathcad:

а – для значений ω = 0…120; б – для значений ω = 0…1600

Критерий Найквиста – Михайлова

Критерии Рауса – Гурвица и Михайлова не подходят для замкнутых систем с запаздыванием, так как в их характеристическое уравнение входит экспонента. В 1932 году американский ученый Найквист предложил критерий для исследования устойчивости усилителей с обратной связью. В 1938 году Михайлов обобщил и распространил его на системы автоматического регулирования. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы с отрицательной обратной связью (в том числе, автоматической системы регулирования, АСР) по амплитудно-фазовой характеристике (АФХ) разомкнутой системы.
Любая АСР, как система с обратной связью, является замкнутой. Изменение сигнала на входе какого-нибудь элемента (объекта, регулятора) сказывается на выходных сигналах всех других элементов. Они также изменяются в соответствии со своими динамическими свойствами. Если же нарушить связь между какими-либо двумя элементами, например между чувствительным элементом и элементом сравнения (разорвать обратную связь), то система из замкнутой превратится в разомкнутую.
Рассмотрим разомкнутую систему, состоящую из последовательно соединенных регулятора и объекта регулирования (рис. 7.5).

Если обозначить через W об(p) передаточную функцию объекта, а через W p(p) – передаточную функцию регулятора, передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будут иметь вид:

Подадим от генератора синусоидальных колебаний на вход разомкнутой системы сигнал xвх с частотой ω и амплитудой A вх. Спустя некоторое время на выходе также установятся синусоидальные колебания xвых с той же частотой, амплитудой A вых и сдвигом фазы φ. Предположим, что при некотором значении частоты сдвиг фазы оказался равен +π или –π, а амплитуды колебаний на входе и на выходе оказались равны между собой:

Данное состояние разомкнутой системы соответствует такой точке ее АФХ, которая находится на единичном расстоянии от начала координат (модуль АФХ M раз(ω) = A вых/A вх = 1) с углом π от вещественной положительной полуоси (аргумент АФХ φ раз(ω) = ±π). На комплексной плоскости эта точка имеет координаты (–1, 0i).
Теперь отключим генератор колебаний от входа системы и одновременно замкнем отрицательную обратную связь, как это показано на рис. 7.6. В результате мы получим замкнутую систему, представляющую собой одноконтурную АСР.

Рис. 7.6. Замкнутая и разомкнутая системы

В результате получим замкнутую систему, в которой будут наблюдаться незатухающие колебания с постоянной амплитудой, а, как мы знаем, это характерно для систем, находящихся на границе устойчивости (см. рис. 7.2,е в разделе 7.1). Таким образом, прохождение графика АФХ разомкнутой системы через точку (–1, 0i) свидетельствует о нахождении соответствующей замкнутой системы на границе устойчивости.
Теперь рассмотрим второй случай. Предположим, в ходе того же самого опыта на выходе разомкнутой системы установились колебания с тем же сдвигом фазы π, но с меньшей амплитудой:

Это состояние соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси правее точки (–1, 0i) (M раз(ω) = A вых/A вх раз(ω) = ±π).
После отключения генератора колебаний и замыкания отрицательной обратной связи на вход W раз(iω) поступит сигнал с меньшей амплитудой, чем создавал генератор. Пройдя через регулятор и объект, этот сигнал снова будет несколько ослаблен (так как M раз(ω) раз(iω) с еще меньшей амплитудой, и это будет повторяться снова и снова. Таким образом, в данном случае с течением времени амплитуда колебаний в замкнутой системе будет непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю, т.е. будет наблюдаться затухающий процесс, что, как известно, характерно для устойчивых систем (рис. 7.2,г).
В третьем возможном случае на выходе разомкнутой системы установятся колебания со сдвигом фазы π и большей амплитудой, нежели входные колебания:

что соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси левее точки (–1, 0i) (M раз(ω) = A вых/A вх > 1, φ раз(ω) = ±π).
Здесь при прохождении через регулятор и объект сигнал усиливается (M раз(ω) > 1), и его подача по обратной связи на вход Wраз(iω) приводит к возникновению колебательного процесса с непрерывно нарастающей амплитудой («расходящегося»), как на рис. 7.2,д, т.е. замкнутая система оказывается неустойчивой.
Из сказанного становится ясно, что об устойчивости замкнутой системы можно судить на основании расположения амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы относительно точки с координатами (–1, 0i) (рис. 7.7).
Критерий Найквиста – Михайлова формулируется следующим образом.
Замкнутая система устойчива, если она устойчива в разомкнутом состоянии, и ее амплитудно-фазовая характеристика (построенная для всех значений ω от 0 до бесконечности ) не охватывает точку с координатами (–1, 0 i ) .
Если амплитудно-фазовая характеристика проходит через точку с координатами (–1, 0i), система находится на границе устойчивости. Если АФХ охватывает точку с координатами (–1, 0i), то система неустойчива.

Рис. 7.7. Примеры АФХ для различных разомкнутых систем