Кривая производственных возможностей задана уравнением 5x 4y 100

2.4 Оптимизация на КПВ

Имеем: КПВ некоторый страны задана функцией $x^2+y^2=100$, цены товаров $x$ и $y$ соответственно равны $10$ и $5$, найти при каком объёме производства данных товаров выручка от их продажи будет максимальной.

Теперь разберемся с функцией выручки (выручка обозначается буквами $»TR»$ (от англ «total revenue»)):

$TR=PQ$, где $P$ — цена товара, $Q$ — его количество.

В данном случае у нас $2$ товара, поэтому функция $TR$ будет зависеть от двух переменных $Q_x$ и $Q_y$:

Далее для простоты будем писать не $Q_x$, $Q_y$, а просто $x$, $y$

Данная функция выручки может быть построена в трехмерной плоскости. Что мы можем сделать с этой функцией, чтобы перевести её в двухмерное пространство? В первую очередь можно выразить $y$ через $2$ другие переменные ($TR$;$x$):

$y=\dfrac<5>-2x$.

Так как значение $TR$ нам не задано, мы можем сами выбрать оптимальную для нас величину выручки. Будем фиксировать значение $TR$ на разных уровнях (будем преходить на более высокие графики — увеличивать значение выручки), пока не достигнем оптимального ($TR_1 \to TR_2 \to TR_3$). $TR_3$ будет оптимальной величиной, ибо точка, в которой функция выручки касается графика КПВ, будет на границе нашей области производственных возможностей, следовательно, точка касания будет приносить максимальную выручку, а график выручки будет занимать самое высокое положение из всех доступных (выручка будет наибольшей из всех возможных). Если бы мы выбрали меньшее значение выручки, то мы недополучили бы часть денег — мы смогли бы произвести ещё больше товаров $x$ и $y$ и продать их (в этом случае у нас была бы возможность улучшения ситуации). Если бы выбрали большее значение переменной $TR$ ($TR_4$), то не смогли бы произвести соответствующий ей объём товаров, ибо нет такой точки (с точки зрения производства), в которой мы бы получили такую выручку.

Как мы уже выяснили, оптимальная точка будет лежать на графике КПВ. Её положение на данной линии будет зависеть от соотношения цен товаров $x$ $y$, которые и задают наклон функции выручки.

Линейная функция $y=\dfrac<5>-2x$ будет иметь постоянный $tg$ угла наклона, равный по модулю $2$. Чтобы найти положение оптимальной точки на графике КПВ необходимо взять производную функции КВП (обычно это делается по переменной $x$) и приравнять её к производной функции выручки (взятой также по $x$ — $y'(x)$) . То есть угол наклона касательной в оптимальной точке должен совпадать с углом наклона функции выручки.

Отсюда находим $x$ и соответствующее ему значение $y$:

У этой задачи есть более легкое и быстрое решение: подставляем функцию КПВ вместо переменной $x$ в функции выручки:
$TR=10x+5\sqrt<100-x^2>$
Получаем функцию, зависимую от одной переменной. Максимизируем данную функцию обычным способом, беря производную и приравнивая её к 0.

В общем виде:

$TR$:
$TR=P_x\cdot+P_y\cdot$
$y=\dfrac-\dfrac$

Фиксируем $TR$=$TR^*$ на некотором оптимальном уровне:

Берем производные функций КПВ и выручки, приравниваем их:

Находим оптимальные $x$, $y$, $TR$

Особого внимания заслуживает случай с линейной функцией КПВ (аналогично поступаем и с выпуклой).
Имеем: КПВ задана функцией $y=10-2x$; $P_x=5$, $P_y=10$. Найти максимальную выручку.
В данном случае у нас нет возможности провести касательную к графику функции КПВ, но мы также можем воспользоваться методом фиксации значения $TR$ и поиска оптимальной точки.

Точно также будем двигать в право функцию выручки, пока она не займет наивысшее положение из всех возможных — пока значение выручки, приносимой комбинациями $x$ и $y$, не станет максимальным из всех доступных. Максимальную выручку в данном случае мы можем получить в точке $y=10$, $x=0$. Считаем $TR=10\cdot<10>=100$. При линейной функции КПВ метод тот же, но функция выручки уже не будет касательной.

Также интересен случай с функцией КПВ, имеющей излом. Воспользуемся тем же методом, что и в двух предыдущих случаях, только опять же здесь функция выручки не будет касательной, проведенной к графику КПВ.

Имеем: график КПВ состоит из двух участков, заданных функциями $y=15-\dfrac<2>$ при $x$ принадлежащем $[0;10]$, $y=30-2x$ при $x$ принадлежащем $[10;15]$. $P_x=P_y=5$.

$TR=5x+5y$
$y=\dfrac<5>-x$

Двигаем график выручки вправо, пока он не займет максимально доступное значение. В данном случае это значение оказалось в точке излома графика КПВ (такое бывает не всегда). Так случилось, потому что угол наклона графика выручки был меньше угла наклона одной из функций КПВ, но больше угла наклона второй.

В общем виде:

$TR$:
$TR=P_x\cdot+P_y\cdot$
$y=\dfrac-\dfrac$

Фиксируем $TR$=$TR^*$ на некотором оптимальном уровне:

Двигаем функцию выручки вправо, пока не достигнем наибольшего уровня $TR$ из всех возможных. Находим соответствующие точке пересечения значения $x$, $y$, $TR$.

Вообще весь данный метод поиска максимальной выручки основан на фиксации переменной $TR$ и её движении вправо до того момента, пока мы не достигнем максимально высокого уровня графика, которому соответствует максимально возможное значение выручки и оптимальные $x$ и $y$. Просто методы подсчета этих оптимальных значений товаров различны для различных функций КПВ.

Еще одним распространённым типом задач является поиск оптимальных объёмов производства товаров при заданной пропорции их потребления.

КПВ некоторой страны задана функцией $x^2+y^2=100$. Жители потребляют товары $x$ и $y$ только в пропорции $\dfrac<1><2>$. Найти оптимальные объёмы производства данных благ.

Как обычно начнем с построения КПВ

Далее у нас имеется ограничение — потребление $x$ и $y$ в определенной пропорции. Если $\dfrac=\dfrac<1><2>$, то $y=2x$. Все точки, для которых верна пропорция $\dfrac=\dfrac<1><2>$, будут лежать на одной прямой, являющейся лучом решений.

Как известно, эффективная точка будет лежать на границе производственных возможностей. Одновременно он будет принадлежать лучу решений. Найдем её:

Из уравнения находим $x$ и соответствующий ему $y$:

В общем виде:

Кривая производственных возможностей задана уравнением 5x 4y 100

Название работы: Предмет управленческой экономики

Категория: Практическая работа

Предметная область: Экономическая теория и математическое моделирование

Описание: Кривая производственных возможностей задана уравнением. Управленческая экономика. Производственные возможности 40 человек в день

Дата добавления: 2017-09-18

Размер файла: 520.5 KB

Работу скачали: 84 чел.

Практическое занятие №1

«Предмет управленческой экономики»

по дисциплине «Управленческая экономика»

Практическое занятие №1. «Предмет управленческой экономики»

Иванов, Петров и Сидоров приглашены на конференцию в город N. До города N можно добраться поездом или самолетом. Билет на поезд стоит 20 долл., на самолет – 70 долл. Если ехать поездом, до города N можно добраться за 20 ч, самолетом – за 2 ч. При этом Иванов зарабатывает 4 долл. в час, Петров – 6 долл. в час, а Сидоров – 5 долл. в час.

Каким видом транспорта будут добираться до города N Иванов, Петров и Сидоров, если будут действовать рационально? Определите, каким будет выбор, если билет на самолет будет стоить 95 долл. Какой должна быть цена билета на самолет, чтобы все трое предпочли ехать поездом?

Рассчитав упущенные выгоды Иванова, Петрова и Сидорова:

1. Иванов: 20*4=80+20=100

2. Петров: 20*6=120+20=140

3. Сидоров: 20*5=100+20=120

1. Иванов: 2*4=8+70=78

2. Петров: 2*6=12+70=82

3. Сидоров: 2*5=10+70=80.

Таким образом, можно сделать вывод, что они поступят рационально, если полетят на самолет, при стоимости билета 70 долл, т.к. их упущенные выгоды в этом случае составят меньше, чем на поездку на поезде.

Для того, чтобы определить каким будет выбор, если билет на самолет будет стоить 95 долл., также рассчитаем упущенные выгоды Иванова, Петрова и Сидорова:

1. Иванов: 2*4=8+95=103

2. Петров: 2*6=12+95=107

3. Сидоров: 2*5=10+95=105.

Таким образом, выбор будет следующим: Иванов поедет на поезде, Петров-на самолете, Сидоров – тоже на самолете.

Для того, чтобы все трое поехали поездом цена билета на самолет должна быть выше 128 долларов.

Кривая производственных возможностей задана уравнением: х2 + у = 25. Определите:

1) максимальные количества товаров Х и У, которые могут быть произведены при данных условиях;

2) альтернативные издержки производства шестнадцатой единицы товара У;

3) если новая технология производства позволит производить товара У в 2 раза больше, чем прежде, то какими будут новая кривая производственных возможностей, новое уравнение кривой производственных возможностей и альтернативные издержки производства шестнадцатой единицы товара У;

4) если новая технология производства позволит производить товара Х в 2 раза больше, чем прежде, то какими будут новая кривая производственных возможностей, новое уравнение кривой производственных возможностей и альтернативные издержки производства четвертой единицы товара X. (Данное изменение рассматривать относительно первоначального состояния.)

Изобразите все произошедшие изменения графически, и сравните их с первоначальной ситуацией.

1. Альтернативные издержки: У=0,16Х
2. Нов. КПВ: Х max =5, Ymax =50. Новое уравнение: х2+0,5у=25. Таким образом, альтернативные издержки будут выглядеть так:

Найдем у при двух значениях х.

у=0,16*25=4 и у=0,16*24,84=3,9744.

1. Если новая технология производства позволит производить товара Х в 2 раза больше, то нов. КПВ: Х max =10 , Ymax =25. Новое уравнение будет таким: 0,25х2+у=25. Альтернативные издержки производства четвертой единицы товара X: Х=0,04У.

Подставим в уравнение:

Найдем х при двух значениях у.

х=0,04*25=1 и х=0,04*15000=600.

Кривая производственных возможностей задана уравнением: 5х + 4у2 = 100. Определите:

1) максимальные количества товара Х и У, которые могут быть произведены при данных условиях;

2) альтернативные издержки производства четвертой единицы товара У;

3) если новая технология производства позволит производить товара Y в 2 раза больше, чем прежде, то какими будут новая кривая производственных возможностей, новое уравнение кривой производственных возможностей и альтернативные издержки производства четвертой единицы товара Y;

4) если новая технология производства позволит производить товара Х в 2 раза больше, чем прежде, то какими будут новая кривая производственных возможностей, новое уравнение кривой производственных возможностей и альтернативные издержки производства двенадцатой единицы товара X. (Данное изменение рассматривать относительно первоначального состояния.)

Изобразите все произошедшие изменения графически, и сравните их с первоначальной ситуацией.

1. Альтернативные издержки производства четвертой единицы товара У: У=0,04Х
2. Нов. КПВ: Х max =20, Ymax =10. Новое уравнение: 5х+у2=100. Таким образом, альтернативные издержки будут выглядеть так: 5х+4*0,0016х2=100

х=100 и 0,0064х=95

Найдем значение у при двух значениях х:

у=0,04*100=4 и у=0,04*14843,75=593,75.

1. Нов. КПВ: Х max =40, Ymax =5. Новое уравнение: 2,5х+4у2=100. Альтернативные издержки производства четвертой единицы товара X: Х=0,12У. Подставим в уравнение:

Найдем значение х при двух значениях у:

х=0,12*100=12 и х=0,12*24,85=2,982.

На острове живет племя из 40 человек. Все жители острова заняты сбором бананов и ловлей рыбы. Каждый житель способен собрать за день либо 100 кг бананов, либо наловить 20 кг рыбы.

1) изобразите графически кривую производственных возможностей острова;

2) как изменится кривая, если завезенные на остров рыболовные сети позволят каждому из жителей острова ловить по 40 кг рыбы? Изобразите графически;

3) допустим, что первые 10 жителей острова за день могут либо собрать 100 кг бананов, либо поймать 20 кг рыбы; вторые 10 жителей могут за день либо собрать 90 кг бананов, либо поймать 15 кг рыбы; третьи 10 жителей – либо 80 кг бананов, либо 10 кг рыбы; последние 10 жителей – либо 70 кг бананов, либо 5 кг рыбы. Изобразите, как в этом случае будет выглядеть кривая производственных возможностей данного острова.

1. Производственные возможности 40 человек в день: а) бананы=40*100=4000; б) рыба=40*20=800.

1. Производственные возможности 40 человек в день в случае, если завезенные на остров рыболовные сети позволят каждому из жителей острова ловить по 40 кг рыбы: а) бананы также 4000; б) рыба=40*40=1600.

1. Найдем производственные возможности:

1-ые 10 жителей: а) бананы = 10*100=1000; б) рыба = 10*20=200.

2-ые 10 жителей: а) бананы = 10*90=900; б) рыба = 10*15=150.

3-и 10 жителей: а) бананы = 10*80=800; б) рыба = 10*10=100.

4-ые 10 жителей: а) бананы = 10*70=700; б) рыба = 10*5=50.

Таким образом, получается: а) бананы = 1000+900+800+700=3400; б) рыба = 200+150+100+50=500.

Изобразим это графически.

На острове живет племя из 60 человек. Все жители острова заняты сбором фиников и ловлей крабов. Каждый житель острова способен собрать за день либо 80 кг фиников, либо поймать 40 кг крабов.

1) изобразите графически кривую производственных возможностей острова;

2) как изменится кривая, если завезенные на остров приспособления позволят каждому из жителей острова ловить по 60 кг крабов? Изобразите графически;

3) допустим, что первые 15 жителей острова за день могут либо собрать 80 кг фиников, либо поймать 40 кг крабов; вторые 15 жителей могут за день либо собрать 60 кг фиников, либо поймать 30 кг крабов; третьи 15 жителей – либо 40 кг фиников, либо 20 кг крабов; последние 15 жителей – либо 20 кг фиников, либо 10 кг крабов. Изобразите, как в этом случае будет выглядеть кривая производственных возможностей данного острова.

1. Производственные возможности 60 человек в день: а) финики=60*80=4800; б) крабы=60*40=2400.

2. Производственные возможности 60 человек в день в случае, если завезенные на остров приспособления позволят каждому из жителей острова ловить по 60 кг крабов: а) финики также 4800; б) крабы=60*60=3600.

3. Найдем производственные возможности:

1-ые 15 жителей: а) финики = 15*80=1200; б) крабы = 15*40=600.

2-ые 15 жителей: а) финики = 15*60=900; б) крабы = 15*30=450.

3-и 15 жителей: а) финики = 15*40=600; б) крабы = 15*20=300.

4-ые 15 жителей: а) финики = 15*20=300; б) крабы = 15*10=150.

Таким образом, получается: а) финики = 1200+900+600+300=3000; б) крабы= 600+450+300+150=1500.

Архитектор Борисов обычно за час работы зарабатывает 90 руб. Его соседка Глафира Игнатьевна получает пенсию 800 руб. в месяц. В магазине можно купить молоко в пакетах по 15 руб. за литр и разливное – по 8 руб. за литр. Однако за разливным молоком надо 40 мин стоять в очереди. В каком случае архитектор Борисов и его соседка Глафира Игнатьевна будут стоять в очереди за разливным молоком?

В месяце в среднем 160 рабочих часов (смена 8ч/день, 5/2).

Борисов в месяц получает 14 400 руб. (160 ч * 90 руб/ч.);

Глафира Игнатьевна получает 800 руб/мес., то есть по 5 р/час (800руб / 160 ч).

Пенсионерка всегда будет стоять в очереди, так как для нее не имеют значения эти 40 минут.

Борисов за 40 минут может заработать 60 рублей.

Разница молока в цене = 15 руб. (в пакетах) – 8 руб. (разлив) = 7 рублей

Допустим, что Борисов купит 9 литров молока: 1- в пакетах (9л*15руб=135руб), 2 – разлив (8р*9л=72руб). В разлив дешевле на 63 руб. (135 р – 72 р=63руб). В этом случае Борисову без разницы – покупать в пакетах или на разлив, так как 63 руб., которые он сэкономил, простояв в очереди 40 минут, он мог заработать на работе. 63 – 60 = 3 руб. (выгода от того, что он простоял в очереди).

Итак, архитектору Борисову целесообразно стоять в очереди за разливным молоком, если он покупает от 9 литров и больше.

Гражданин Сергеев получает пособие по безработице 1000 руб. в месяц. Его сын Антон работает переводчиком и зарабатывает 100 руб. в час. Творог в магазине можно купить фасованный (в пачках) и развесной. Развесной творог стоит 23 руб. за кг., но за ним нужно стоять в очереди 1 час. Творог в пачках можно купить без очереди по цене 12 руб. за 1 пачку (в 1 пачке 250 г). В каком случае г-н Сергеев и его сын Антон будут стоять в очереди за творогом?

Так как Сергеев безработный, он будет стоять в очереди за развесным творогом.

Антон, простояв в очереди 1 час, теряет 100 руб. от заработка переводчика. Для того, чтобы он стоял в очереди – ему необходимо компенсировать эти 100 рублей покупкой более дешевого творога.

1 кг творога фасованного будет стоить: 12 руб. * 4 пачки = 48 руб./кг.

Допустим, что Антон купит 4 кг творога. Фасованный ему обойдется в 192 руб. (12*4*4=192руб), а развесной в 92 руб. (23*4=92 руб.). Разница составляет ровно 100 рублей.

Таким образом Антону целесообразно покупать развесной творог от 4 и более кг и стоять 1 час в очереди.

Кривая производственных возможностей задана уравнением: 5х + 4у2 = 100. Определите: а) максимальные количества товара Хи Y, которые могут быть произведены при данных условиях

Готовое решение: Заказ №10095

Тип работы: Задача

Статус: Выполнен (Зачтена преподавателем ВУЗа)

Предмет: Экономика

Дата выполнения: 10.11.2020

Цена: 219 руб.

Чтобы получить решение , напишите мне в WhatsApp , оплатите, и я Вам вышлю файлы.

Кстати, если эта работа не по вашей теме или не по вашим данным , не расстраивайтесь, напишите мне в WhatsApp и закажите у меня новую работу , я смогу выполнить её в срок 1-3 дня!

Описание и исходные данные задания, 50% решения + фотография:

ЗАДАНИЕ №3

Кривая производственных возможностей задана уравнением: 5х + 4у 2 = 100. Определите:

а) максимальные количества товара Хи Y , которые могут быть произведены при данных условиях;

б) альтернативные издержки производства 4-й ед. товара Y ;

в) если новая технология производства позволит производить товара Y в 2 раза больше, чем прежде, то какими будут новая кривая производственных возможностей, новое уравнение кривой производственных возможностей и альтернативные издержки производства 4-й ед. товара Y ;

г) если новая технология производства позволит производить товара X в 2 раза больше, чем прежде, то какими будут новая кри­вая производственных возможностей, новое уравнение кривой производственных возможностей и альтернативные издержки производства 12-й ед. товара X. (Данное изменение рассматривать относительно первоначального состояния.)

Изобразите все произошедшие изменения графически и срав­ните их с первоначальной ситуацией.

Решение:

а) Определим максимальные количества товаров Х и У, которые могут быть произведены:

х = 20 шт. — максимальное количество товара X.

у = 5 шт. — максимальное количество товара Y.

б) Рассчитаем альтернативные издержки производства 4-й ед. товара Y :

5х= 64, х = 12,8 ед.

• Когда молоко стоило 8 руб. за 1 л, было продано 110 л. Когда молоко стало стоить 10 руб. за 1 л, то продали только 90 л. Значение коэффициента прямой эластичности спроса равно: а) -200/9; б) -9/200
• Функция спроса описывается уравнением: Pd= 10 – 0,5q. Продавец продает товар по цене 6 руб. за штуку. Если продавец желает увеличить выручку от продажи, то ему следует: а) повысить цену
• Используя приведенные выше данные, рассчитайте: а) ВВП по расходам; б) ВВП по доходам; в) валовой национальный доход; г) чистый национальный продукт; д) валовой национальный располагаемый доход
• Кривая производственных возможностей задана уравнением: х2 + у = 25. Определите: а) максимальные количества товаров Х и У, которые могут быть произведены при данных условиях

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.