Кривошип оа вращается по уравнению

Тест по дисциплине «Теоретическая механика» для ТулГУ

Вопрос 1

Стержень движется так, что скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным направляющим. Как называется кривая, которая является неподвижной центроидой стержня?

Вопрос 2

Кривошип ОА, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг оси О, приводит в движение ползун В с помощью шатуна АВ. Точка А — полюс. Многоугольник ускорений, построенный для точки В, приведён на рисунке. Какой из векторов отмечен цифрой 4?

Вопрос 3

Обсуждаем проблему » От чего зависит переносная скорость точки?». Какие из приведенных ниже утверждений верные?

Вопрос 4

В планетарном механизме с внутренним зацеплением зубчатое колесо 1, катящееся по внутренней поверхности неподвижного колеса 2, приводится в движение кривошипом ОА, вращающимся вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w . Где расположен мгновенный центр ускорений колеса 1?

Вопрос 5

На рисунке показано твердое тело с неподвижной точкой, углы Эйлера и их производные. По какой формуле определяется проекция угловой скорости тела на ось ?

Решения типовых задач из раздела «Кинематика»

Ниже приведены решения типовых задач из раздела «КИНЕМАТИКА» учебника «Краткий курс теоретической механики». М.: «Наука», 19с.

52 (стр. 144). Кинематика точки. Движение точки в плоскости Оху задано уравнениями

; ,

где a и w — постоянные величины. Найти траекторию точки и закон движения вдоль траектории.

Уравнения движения частиц тела (из условия равенства смещений)

; .

Компоненты векторов смещения, скорости и ускорения

; ; ; ; ; .

и пройденный путь («естественный способ описания движения»)

Так как траектория не является прямой, длины векторов смещения и пройденный частицами путь не совпадают: первый изменяется периодический, второй все время возрастает.

Рассматриваемая в условиях задачи точка тела имела начальные координаты , . Точка вращается по окружности с центром в начале координат

.

Компоненты смещения, скорости и ускорения для неё одинаковы, как и для других точек тела, в связи с поступательным характером движения тела (иначе данных о движении одной точки недостаточно, чтобы описать движение всех частиц тела).

53. Движение точки задано уравнениями (х, у – в метрах, t – в секундах):

x = 8t – 4t2; y = 6t – 3t2.

Определить траекторию, скорость и ускорение.

Заданные уравнения соответствуют смещениям точки по осям координат. Уравнения движения произвольных частиц тела

Компоненты скорости и ускорения

Траекториями частиц являются прямые линии

При t 1 они становятся отрицательными. В моменты времени t = 0 и t = 2 частицы находятся в одной и той же точке пространства наблюдателя. Движение гармоническим считать нельзя, так как в дальнейшем тело равноускоренно удаляется от начала координат в третьем квадранте системы отсчета наблюдателя. Пройденный частицами путь все время возрастает в соответствии с уравнениями

При t =1: s = 5[1+(t-1)2].

54. Движение точки задано уравнениями

; ; ,

где a, w и u — постоянные величины. Определить траекторию, скорость, ускорение и путь частиц тела.

; ; .

Компоненты векторов смещения, скорости и ускорения

; ; ;

; ; ;

; ; .

Траекториями движения являются винтовые линии пересечения цилиндрической

и синусоидальной поверхностей

.

Пройденный частицами путь определяет уравнение

.

Так как траектория не является прямой, длины векторов смещения и пройденный частицами путь не совпадают: первый изменяется периодический, второй все время возрастает и на развертке может быть представлен геометрической суммой двух его проекций (перемещения по окружности a w t и образующей цилиндра ut).

55. Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте H, двигаясь прямолинейно со скоростью u. С какой скоростью будет двигаться конец тени человека? ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.

Задача на преобразование, т. е. в большей степени по математике, чем по механике: найти координату пересечения прямой, проходящей через источник света (фонарь) и точку (x, h) при перемещении последней вдоль оси «х» с заданной скоростью. Таким образом, текущие координаты «вершины головы» удаляющегося от фонаря человека (x=ut, h) и координаты источника света (0, H). Уравнение прямой, проходящей через эти две точки

Прямая пересекает ось «х» при

Это и есть уравнение движения «конца тени».

65. Груз В (рис. 160) приводит во вращение вал радиуса r и сидящую на одной оси с валом шестерню 1 радиуса r1.Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением «а». Определить, по какому закону будет при этом вращаться находящаяся в зацеплении с шестерней 1 шестерня 2 радиуса r2.

Совместим начало координат с осью вала. Тогда поступательное равноускоренное движение груза описывают уравнения

x = — r; y = b — at2/2; xt = 0; yt = at.

Угловая скорость вращения (из кинематической связи – нерастяжимая нить и отсутствие проскальзывания) wr = at; w = at/r. Смещения по окружности на контуре шестерни 1 за время dt: r1*(at/r) dt . Такими же должны быть смещения на контуре шестерни 2. Для угловой скорости тогда находим . Угол поворота за время t при начальном условии y = 0 при t =0: .

66. (Аналогична задаче 327 Мещерского). Ползуны А и В, к которым прикреплена линейка эллипсографа, перемещаются по взаимно перпендикулярным направляющим (рис. 172, стр. 182). Расстояние АВ = L. Определить траекторию точки М линейки.

В приведенной постановке задачи упоминания о кривошипе или другом способе привода линейки нет. Поэтому рассмотрим общий случай плоскопараллельного движения твердого тела, для которого известны:

Так как любое движение твердого тела в общем случае можно рассматривать как вращение вокруг подвижного центра, воспользуемся уравнениями движения

; ,

где С – полюс или центр вращения.

Подставляя приведенные выше соотношения для двух точек, двигающихся по осям координат, получаем систему 4-х уравнений

;

; (а)

;

.

Расстояние между точками А и В в процессе движения остается постоянным

или

и смещения точек должны быть связаны соотношением

, (в)

т. е. смещения u и v должны иметь противоположные знаки.

С учетом полученной связи (в) уравнения (а) содержат 4 независимых известных величины (2 начальные координаты точек А и В, а также их смещения), а также 4 неизвестных: 2 начальные координаты центра вращения, 2 текущие его координаты и угол поворота для каждого момента времени, задаваемого смещением, например точка А.

Можно показать, что записанная система имеет решение

т. е. центр вращения остается неподвижным и находится посредине между точками А и В. Тогда система преобразуется к двум уравнениям

; .

В качестве проверки покажем, что условие постоянства расстояния между этими точками выполняется

Траектория произвольной точки М

;

,

с учетом полученных выше соотношений координат А, В и центра вращения С определяется уравнениями

или, после преобразований,

; (c)

При условии, что точка М находится на линии АВ, т. е.

; или = const

и переходя к фиксированным в процессе движения расстояниям АВ = L и AM = b, когда

; ; ; ,

;

.

Таким образом, траекторией точки М является эллипс с полуосями b и (L — b), симметричный относительно осей координат

.

Окончательный результат непосредственно следует из последних двух уравнений и весь предшествующий анализ можно считать излишним. Вместе с тем, он позволяет получить траектории и любых других точек твердого тела, две из которых перемещаются вдоль осей координат наблюдателя, в том числе не расположенных на прямой АВ. Для этого из системы уравнений (с) следует определить тригонометрические функции и

; ;

,

а затем воспользоваться, как и в уравнении (d), условием

.

В этом случае решение является достаточно громоздким, более просто его можно получить, рассматривая траектории частиц шатуна механизма из задачи 327 (Мещерский 1965).

67. Найти скорость точки обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 175), если скорость центра колеса С равна v , а угол DKM=f.

Общий вид уравнений движения твердого тела, вращающегося относительно подвижного центра

; .

Компоненты скорости и ускорения

; .

; .

Приведенные в условиях задачи данные позволяют рассматривать только один начальный момент времени, т. е. заданы начальные координаты. Совместим начало координат с точкой контакта колеса и рельса, тогда

; ; ; .

Из условия движения без проскальзывания следует, что скорость нижней точки равна 0 (мгновенный центр скоростей), тогда угловая скорость колеса составляет

.

Для компонент скорости рассматриваемой точки находим

; .

При этом модуль скорости составит

.

Учитывая, что , можно утверждать, что вектор скорости ортогонален прямой, соединяющей точку с мгновенным центром скоростей.

70. Определить скорость центра С подвижного блока радиуса r и его угловую скорость w (рис. 184, стр. 190, Тарг 1968), если груз А поднимается со скоростью vA, а груз В опускается со скоростью vB. Нить при своем движении по подвижному блоку не проскальзывает, а её ветви вертикальны.

Блок С вращается относительно подвижного центра, перемещающегося по вертикали, которую совместим с осью «у». Пусть в начальном состоянии ось С совпадает с началом отсчета. Тогда уравнения движения частиц блока

; .

Компоненты скорости и ускорения

; .

; .

Так как по условиям задачи требуется найти скорость центра С только в один момент времени, его можно принять за начальный и рассмотреть уравнения движения при t=0.

Скорости точек А и В при их начальных координатах А(r, 0) и B(-r, 0) соответственно будут

; ;

;

Скорости точек А и В (нить движется по блокам без проскальзывания) равны скоростям подъема и опускания соответствующих грузов с обратным знаком. Два уравнения содержат 2 неизвестных: угловую скорость вращения блока С и линейную скорость перемещения его центра. Из решения системы находим

; .

Решение отличается от приведенного в учебнике знаками, так как в приведенном анализе все величины рассматриваются как алгебраические. Если оба груза поднимаются (или опускаются) с одной скоростью, с такой же скоростью опускается (или поднимается) блок С, т. е. их скорости будут равны по величине, но противоположны по знаку.

72. Кривошип ОА (рис. 187), вращающийся вокруг оси О с угловой скоростью =, несет на себе ось подвижной шестерни 1, катящейся по неподвижной шестерне 2. Радиусы шестерен (в условии задачи – одинаковы) равны R (шестерня 2) и r (шестерня 1). К шестерне 1 шарнирно прикреплен шатун ВD длиной L, соединенный с коромыслом DC. Определить угловую скорость шатуна в момент, когда он перпендикулярен к кривошипу ОА, если в этот момент угол BDC = 450.

Совместим начало координат с осью кривошипа. В качестве начального примем момент времени, когда кривошип горизонтален (см. рис. 187).

По условиям шестерня 2 неподвижна, её угловая скорость равна 0. Шестерня 1 катится по шестерни 2 без проскальзывания, следовательно скорость точки их контакта Р1 равна также 0, тогда как скорость её оси А, как и всех других частиц кривошипа, определяются угловой скоростью его вращения =.

; .

Уравнения движения частиц шестерни 1 (точка А – ось вращения) можно получить, используя принцип суперпозиции. Вложенным является вращение тела относительно точки А с угловой скоростью

; .

Наложенным – не вращение относительно начала координат с угловой скоростью , а относительно перемещение оси А по заданной кривой – дуге окружности с радиусом ОА = (R+r)

.

Уравнения совмещенного движения, с учетом , совпадают с уравнениями вращения твердого тела относительно подвижного центра. Следовательно, для уравнений движения частиц шестерни 1 (вращение относительно подвижного полюса, точка А – ось вращения)

; .

с учетом текущих координат оси А следует записать

;

.

Скорости точек кривошипа

; .

Скорости точек шестерни 1:

; .

Угловую скорость находим из условия равенства 0 компонент скорости в точке контакта шестерен 1 и 2 (aP1 = R, bP1 = 0: 0=) или независимости определения скорости центра вращения А относительно центра О и МЦС Р1

(но не , см. ниже).

Аналогичные уравнения описывают и движение точки В, расположенной на радиусе r шестерни 1 и имеющей начальные координаты (R+r, —r). Таким образом, координаты точки В при любом заданном угле поворота кривошипа

;

.

Для приведенных выше переменных Лагранжа они принимают вид

;

.

Точка В перемещается по сложной кривой (см. Excel), но не по окружности (см. ниже). При повороте кривошипа на 900 и равных радиусах шестерен координаты точки В составят (0, R+2r). При повороте кривошипа на -900 и равных радиусах шестерен координаты точки В составят (0, — R).

Компоненты скорости точки В в начальный момент времени (учтен отрицательный знак угловой скорости кривошипа)

; ,

т. е. скорость точки В ортогональна прямой, соединяющей её с МЦС.

Уравнения движения шатуна BD аналогичны записанным выше для шестерни 1

; .

Уравнения движения коромысла, совершающего вращение вокруг неподвижной оси С(a, b):

; .

Наложенные кинематические связи для определения угловых координат, скоростей и ускорений шатуна и коромысла в общем случае можно записать в виде

; ,

где a, b – координаты неподвижного шарнира коромысла С. Угловые скорости шатуна и коромысла можно определить из системы уравнений, получаемой из предыдущей путем дифференцирования по времени

; ,

;

.

В аналитической форме дальнейшее решение для произвольных углов поворота кривошипа представляется нецелесообразным. Предпочтительнее использовать численные методы. Вместе с тем, для приведенного в условиях задачи положения механизма при равенстве компонент скорости точки В (см. выше) и значении угла наклона коромысла 450 угловая скорость кривошипа равна , что совпадает с результатом, полученным «общепринятым» методом. Для коромысла отсюда же получаем .

73. На ось О (рис. 188) независимо друг от друга насажены шестерня 1 и кривошип ОА, вращающийся с угловой скоростью. Кривошип несет ось А шестерни 2, наглухо скрепленной с шатуном АВ, проходящим через качающуюся муфту С. Радиусы шестерен 1 и 2 R и r (в задаче – одинаковы). Определить угловую скорость шестерни 1 в момент, когда ОА ортогонально ОС, если при этом угол АСО равен 300.

Решение для кривошипа, шатуна и коромысла является стандартным для кулисных механизмов с неподвижной осью направляющей (качающейся муфты). Угловую скорость шатуна можно найти из дифференцирования по времени уравнений, описывающих кинематические связи (a, b – координаты оси муфты)

; ,

где . После дифференцирования получаем

; .

Любое из приведенных уравнений, с учетом скорости изменения расстояния между шарнирами А и С

,

может быть использовано для расчета угловой скорости шатуна. Для рассматриваемых в задаче условий получаем .

Скорость точки Е, принадлежащей шатуну, находим из общего уравнения (вращение твердого тела относительно подвижного центра)

; .

Рассматриваемый момент времени можно принять за начальный. Тогда

; .

Так как проскальзывание между шестернями 1 и 2 отсутствует, такую же скорость должна иметь точка Е, принадлежащая шестерне 1. При её радиусе она должна иметь угловую скорость . При равенстве радиусов шестерен, как задано в условии, получаем , .

76. По неподвижной шестерне 1 радиуса r1 =0,3 м обкатывается шестерня 2 радиуса r2 = 0,2 м, насаженная на кривошип ОА (рис. 194, а). Кривошип, вращающийся вокруг оси О, имеет в данный момент угловую скорость = 1 с-1 и угловое ускорение = -4 с-2. Определить в этот момент ускорение точки D, лежащей на ободе подвижной шестерни (радиус АD перпендикулярен кривошипу).

Уравнения движения и компоненты скорости для шестерни 2 рассмотрены в задаче 72:

; .

; ;

; .

Для шестерни 2 уравнения движения

; .

Скорости точек шестерни 2:

; .

Угловую скорость шестерни 2 находим из условия равенства 0 компонент скорости в точке контакта шестерен 1 и 2 (aP1 = R, bP1 = 0: 0=) или независимости определения скорости центра вращения А относительно центра О и МЦС Р1

(=1*(0,3+0,2)/0,2=2,5 с-1) .

Уравнения для ускорений получаем дифференцированием по времени компонент скорости шестерни 2

;

.

Начальные (лагранжевы) координаты точки А: (0,R+r), её компоненты скорости = -1*0,5 = -0,5 м/с, и ускорения = -(-4)*0,5= 2 м/с2,

= -0,5*1=-0,5м/с2.

Угловое ускорение шестерни 2 находим из соотношения для скоростей

с-2 .

Начальные координаты точки D: (—r,R+r), её компоненты скорости =-0,5 м/с; =-0,5 м/с и ускорения = 4*0,5+1*0,25/0,2=2+1,25=3,25 м/с2, =

Модуль ускорения при заданных в задаче условиях 3,58 с-2 . Все результаты совпадают с приведенными в учебнике.

77. К кривошипу ОА, равномерно вращающемуся вокруг оси О с угловой скоростью = 4 1/с (рис. 195), прикреплен шатун АВ, соединенный с коромыслом ВС. Даны размеры: ОА=r=0,5 м, АВ = 2r, ВС = r. В положении, изображенном на чертеже, угол ОАВ = 900, угол АВС = 450. Определить для этого положения ускорение точки В шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение коромысла ВС и шатуна АВ.

Уравнения кинематических связей в общем случае

; ,

После дифференцирования по времени получаем

; .

Решая систему линейных относительно угловых скоростей шатуна и коромысла уравнений, получаем

; .

Для приведенных в задаче условий

(, ) получаем

, .

Повторное дифференцирование позволяет определить угловые ускорения (уравнения записаны для постоянной угловой скорости кривошипа)

;

.

Для условий задачи получаем

,

Для определения компонент скорости и ускорения точки В можно воспользоваться уравнения для шатуна или коромысла. Из уравнений для шатуна (записаны для начальных координат, которые заданы в условии) следует (индекс «С» надо поменять на «А»)

; .

; .

(В ответе , vA = 2 м/с)

; .

; .

= -0,5*16=-8 м/с2, .

.

Из уравнений для коромысла

; ,

;

;

; .

(xtt)B =-8*(-1+0,5) -(-4)2*(0,5-1) =4 +8 = +12 м/с2,

(ytt)B = 8*(0,5-*(-1+0,5)=-4+8 = 4 м/с2.

При этом модуль ускорения в точке В равен 12,65 м/с2, что совпадает в ответом в учебнике.

78. Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость его центра постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса, если хорда, соединяющая его с точкой контакта колеса и рельса составляет с вертикалью (ось «у») угол «fi».

Общий вид уравнений движения твердого тела, вращающегося относительно подвижного центра

; .

Компоненты скорости и ускорения

; .

; .

По условиям задачи (xt)C = v = const. Тогда , ,

;

.

Вектор ускорения направлен к оси колеса и его модуль равен v2/r (совпадает с ответом).

81 (стр. 216). Точка М движется вдоль прямой ОА со скоростью u (рис. 211), а сама прямая вращается в плоскости Ох1у1 вокруг центра О с угловой скоростью w. Определить скорость точки М относительно осей Ох1у1 в зависимости от расстояния ОМ=r.

Принцип суперпозиции: вложенное движение вдоль заданной прямой со скоростью u:

; ;

наложенное движение – вращение относительно начала координат

; ;

; ;

; (1)

.

; ;

с компонентами скорости (u = const)

;

.

Как следует из условий задачи, в исходном состоянии рассматриваемая точка находилась в начале координат, а время определяется расстоянием ОМ: ОМ = s = ut. Тогда ,

;

,

;

.

Несмотря на достаточно громоздкий вид полученных уравнений, после возведения в квадрат и суммирования левых и правых частей уравнений получим простое выражение

Результат совпадает с приведенным в учебнике. Его удобно интерпретировать геометрической суммой скоростей поступательного и вращательного движения.

103. Динамика. Грузу массы m, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость v0 . Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится и какой путь он пройдет до остановки.

Кинетическая энергия в начале движения Ek = mv2/2. Работа сил сопротивления до полной остановки тела (по условию сила постоянна!) A = Fs. Из закона сохранения энергии s = mv2/(2F). Движение равнозамедленное, что следует из равенства б. м. изменений энергии и работы

d(mv2/2) = mxttdx = Fdx.

При таком характере движения s = xttt2/2, отсюда t = mv/F.

Курсовая, реферат, контрольная – в чем же разница?

Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью > и приводит в движение колесо II радиусом R и весом Р (рис. 16). Определить количество движения системы, если R1 = R2 = R, ОА — однородный стержень весом Р1.

Определить главный вектор количества движения центробежного регулятора, вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . При этом углы изменяются по закону и верхние стержни поворачиваясь, поднимают шары А и В (рис. 17). Весом муфты пренебречь и весом стержней. Шары считать точечными массами весом Р каждый.

Определить главный вектор количеств движения данной системы, если угловая скорость первого колеса > , . Вес колес Р1 и Р2, центры тяжести их лежат на осях вращения О1 и О2 (рис. 18).

На невесомом стержне, вращающемся вокруг оси О по закону > , находятся на расстоянии ОМ1 = l1, ОМ2 = l2 две точки массой m1 и m2. Определить количество движения этой системы (рис. 19).

Прямоугольный параллелепипед поставлен на горизонтальную плоскость. На него положено тело А весом Р1, а В Р2 соединено с телом гибкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок С (рис. 20).

Определить зависимость между скоростью параллелепипеда > и скоростью u тела А по отношению к параллелепипеду, если опорные поверхности гладкие, и в начале движения система покоилась. Вес параллелепипеда Q, весом нити и блока пренебречь.

Может ли человек во время прыжка в воду изменить траекторию своего центра тяжести?

Какое условие должно выполнятся, чтобы центр масс не перемещался?

Влияют ли внутренние силы на движение центра масс?

Определить главный вектор > внешних сил, приложенных к однородному диску, вращающемуся вокруг неподвижной оси, центр тяжести диска расположен на его оси вращения.

Все ответы верны.

Какой будет траектория центра масс однородного стержня АВ (рис. 21) при падении его на плоскость? В начальный момент стержень покоился. Плоскость гладкая.

Тонкий однородный стержень ОА = l весом Р вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью > (рис. 22). Определить главный вектор внешних сил. Массой оси пренебречь.

На однородный цилиндр О, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, намотан трос, на свободном конце его подвешен груз А весом Р (рис. 23).

Определить давление на ось цилиндра, если груз опускается с ускорением а, а вес цилиндра равен Q.

Два однородных стержня соединены шарниром С и расположены так, что СД перпендикулярен АВ (рис. 24).

Определить перемещение стержня АВ, если стержень СД упадет на горизонтальную плоскость. Сопротивления движению не учитывать. Вес стержня АВ — 2Р, стержня СД — Р, АС = ВС = СД = l. В начальный момент система покоилась.

Нет верного ответа.

Груз весом G поднимается при помощи блочного приспособления (рис. 25).

Определить величину реакции оси блока если груз М весом Р опускается с ускорением а. Трением и блоков пренебречь.

На каком рисунке (26 или 27) верно изображены силы, приложенные к ведущему и ведомому колесам автомобиля?