Кривые первого порядка и их уравнения

Кривые линии в начертательой геометрия

Содержание:

Кривая линия — это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики. определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек.

Любую кривую линию можно рассматривать с помощью двух подходов:

а) геометрический подход – линия является упорядоченной совокупностью точек (рис. 3.1 а);

б) кинематический подход (от греческого κινεµα – движение) – линия является траекторией точки (рис. 3.1 б).

Способы задания кривых линий

Бесконечную совокупность кривых можно разделить на такие виды:

а) по математической форме записи:

1) алгебраические – кривые, которые задаются алгебраическими уравнениями в данной системе координат. Например,

2) неалгебраические – кривые, которые задаются системой параметрических уравнений (см. п. 3.1.1.2 –3.1.1.6, 3.1.2). Например: (t – переменный параметр);

б) по размещению в пространстве

1) плоские– кривые, все точки которых принадлежат плоскости;

2) пространственные – кривые, точки которых не принадлежат одной плоскости (см. п. 3.1.2).

Алгебраические кривые, в зависимости от степени уравнения, которым они описаны, подразделяются на кривые второго порядка и кривые высших порядков (см. п. 3.1.1.1.2). Алгебраические кривые удобно задавать геометрическим способом.

К плоским алгебраическим кривым второго порядка относятся линии, которые описываются таким алгебраическим уравнением:

Форма кривой зависит от соотношений коэффициентов a, b, c, d этого уравнения.

Все плоские кривые второго порядка являются контурами конических сечений – плоских сечений прямого кругового конуса (см. п. 4.2.1, табл. 4.1, рис. 4.13). Конические сечения (рис. 3.2) были известны в часы Древней Греции. Наиболее полным произведением , посвящённым этим кривым, является произведение Аполлония Пергского «Конические сечения».

Конические сечения

Существуют три основных вида конических сечений: эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, существуют их отдельные и вырожденные формы: окружность, как отдельный случай эллипса; две прямые, как крайний случай гиперболы; прямая, как крайний случай параболы; точка, как крайний случай окружности.

Эллипс (от греческого έλλειψις – недостаток) – геометрическое место точек М плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 (фокусов) является постоянной(рис. 3.3 а). Эллипс является контуром сечения конуса плоскостью, не параллельной его оси и образующей линии ,а также, не перпендикулярной его оси (рис. 3.2).

Плоские алгебраические кривые второго порядка

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые пересекаются в его центре О. В случае, когда большая и меньшая полуоси а, b Эллипса одинаковы ,эллипс вырождается в окружность. Эллипсом является прямоугольная, косоугольная, аксонометрическая проекции окружности, которая принадлежит плоскости общего положения (см. рис. 4.14; пп. 6.2 – 6.3, рис. 6.5 а – в, рис. 6.9 а – в).

Аполлоний Пергский (‘Aπολλώνιος ό Περγαϊος) – математик Древней Греции, один из трёх (наряду с Эвклидом и Архимедом) великих геометров античности. В произведении «Конические сечения» ввёл понятия «эллипс», «гипербола», «парабола». Один из исследователей неравномерного движения планет.

Гипербола (от греческого ύπερβολή – избыток) – геометрическое место точек М плоскости, разность расстояний от которых до двух заданных фокусов F1, F2 постоянно (рис. 3.3 б). Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии х, у, которые пересекаются в точке, равноудаленной от его фокусов F1, F2. Гипербола имеет две ветви, сбоку каждой из которых есть фокус. Гипербола является контуром сечения конуса плоскостью параллельной его оси.

Парабола (от греческого παραβολή – дополнение) – геометрическое место точек М, равноудаленных от его фокуса F и прямой d – директрисы (рис. 3.3 в). Парабола имеет одну ось симметрии, которая проходит через фокус F перпендикулярно директрисе d. Парабола является контуром сечения конуса плоскостью, параллельной его образующей линии (см. п. 4.2.1, рис. 4.15).

С кинематической точки зрения плоские кривые второго порядка являются возможными траекториями космических тел. Например, по первому закону Кеплера все планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, одним из фокусов которых является Солнце.

Плоские алгебраические кривые строят как лекальные кривые – линии, построенные с помощью специального чертёжного инструмента – лекала.

Для построения эллипса строятся две концентрические окружности с радиусами, которые равны полуосям a, b эллипса. Деление окружностей на равное количество N частей (как правило, N = 12) позволяет определить вспомогательные точки Искомые точки 1, 2, …, N эллипса являются точками пересечения вспомогательных горизонтальных и вертикальных линий, проведенных из соответствующих вспомогательных точек (рис. 3.4 а).

Построение эллипса (а) и гиперболы (б)

Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) – немецкий математик, астроном, оптик. Один из основоположников современной астрономии. Открыл законы движения планет, базируясь на многочисленных наблюдениях датского ученого астронома Тихо Браге.

Для построения гиперболы выбираются две точки О, А (рис. 3.4 б). Из точки А проводятся два взаимно перпендикулярных луча l, m под углом 45° к горизонту. Из точки О строятся лучи k1, k2, … и определяются точки их пересечения с лучами l, m. Из полученных точек проводятся линии, параллельные l, m, до пересечения. Точки пересечения 1, 2, … принадлежать гиперболе. Они симметрично отображаются относительно горизонтальной оси. Искомая гипербола проходит через точки …, 2, 1, А, 1, 2, …

Для построения параболы (рис. 3.5) посередине между заданным фокусом F и директрисой d строится точка О пересечения параболы. Строится множество концентрических окружностей (с центром в фокусе F, радиусами …) и множество параллельных директрисе d прямых, удаленных от неё на расстояния … Точки 1, 2, … параболы являются точками пересечения построенных параллельных прямых с соответствующими концентрическими окружностями. Парабола строится по точкам …, 2, 1, О, 1, 2, …

Существуют и другие способы построения эллипса, гиперболы и параболы. Способами компьютерной техники плоские кривые строятся с помощью процедур интерполяции, в том числе с помощью кривой Бернштейна-Безье, числовых интерполяций и т.д.

Построение параболы

Кривые высших порядков

К плоским алгебраическим кривым высших порядков принадлежат линии, которые описываются алгебраическими уравнениями третьего и высшего порядков. Существует бесконечное количество таких кривых. Однако, для их изучения достаточно рассмотреть только основные виды.

Кубическая парабола – плоская кривая третьего порядка, которая описывается уравнением (рис. 3.6 а).

Парабола Нейла – плоская кривая третьего порядка, которая описывается уравнением (рис. 3.6 б). Она является траекторией точки, которая за равные промежутки времени опускается на одинаковые вертикальные отрезки. Эту кривую исследовал Вильям Нейл (1637 – 1670) – английский математик, астроном, член Королевского общества. Он решил задачу по определению длины дуги этой кривой.

Кубическая парабола (а) и парабола Нейла (б)

Лист Декарта – плоская кривая третьего порядка, для которой сумма объёмов кубов, построенных на координатах х, у, равна объёму прямоугольного параллелепипеда со сторонами х, у, а (рис. 3.7) . Эта кривая названа в честь Рене Декарта, который отправил письмо Пьеру Ферма со сформулированной задачей на объёмы обозначенных тел.

Локон Аньези – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.8). Строится окружность диаметром ОС. Из точки О проводятся отрезки , …, концы которых находятся на линии а, перпендикулярной диаметру ОС. Находятся точки В1, В2, … пересечения отрезков … с окружностью. Точки 1, 2, … кривой являются точками пересечения горизонтальных и вертикальных линий, проведенных из точек А1, А2, …, В1, В2, …

Лист Декарта Локон Аньези

Циссоида Диокла (от греческого χισσος – плющ) – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.9). Из точки О окружности диаметром ОС проводятся отрезки ОА1, ОА2, …, концы которых находятся на линии а, перпендикулярной ОС. Находятся точки В1, В2, … пересечения этих отрезков с окружностью. Из точек А1, А2, … откладываются отрезки …, длины которых равны длинам отрезков ОВ1, ОВ2, … По точкам …, 2, 1, О, 1, 2, … строится искомая линия.

Впервые циссоида была исследована Диоклом (246 до н. э –180 до н. э.) – математиком Древней Греции часов Аполлония Пергского. В его произведении «О зажигательных зеркалах» с помощью этой кривой решены задачи по удвоению объёма куба и по построению пропорциональных отрезков.

Циссоида Диокла

Строфоида (от греческого στροφή – оборот) – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.10). Из точки С оси у проводятся лучи СА1, СА2, … Точки А1, А2, … принадлежат оси х. На построенных лучах по обе стороны от точек А1, А2, …откладываются отрезки … и , … с длинами, равными длинам , … Искомая линия проходит через точки

Исследованиями строфоиды занимался Ж. Роберваль в 1645 г. Первым названием строфоиды была птероида (от греческого πτερος – крыло). Линия получила нынешнее название в 1849 г.

Строфоида

Рене Декарт (René Descartes) – французский философ, физик, математик, физиолог. Создал аналитическую геометрию и ввёл современную алгебраическую символику. Автор философского метода радикального сомнения. Основатель механицизма в физике. Основал рефлексологию.

Мария Гаэтана Аньези (Maria Gaetana Agnesi) – итальянский математик, профессор Болонского университета. Автор трудов по дифференциальному исчислению и аналитической геометрии. Автор работы «Основы анализа для итальянского юношества ».

Овал Кассини – геометрическое место точек М плоскости, произведение а расстояний от которых до двух заданных фокусов F1, F2 является постоянным (рис. 3.11).

Для лемнискаты Бернулли произведение а в четыре раза меньше квадрата расстояния F1F2 между фокусами.

Овалы Кассини

Жиль Роберваль (Персонье) (Gilles Personne de Roberval) – выдающийся французский математик, физик, астроном, член Парижской академии наук. Занимался проблемами бесконечно малых величин. Изобрёл оригинальные способы определения объёмов тел. Автор кинематического способа построения касательной к кривой линии. Внёс значительный вклад в теорию тригонометрических функций.

Джованни Доменико Кассини (Giovanni Domenico Cassini) – итальянский и французский астроном, инженер. Автор теории атмосферной рефракции. Открыл четыре спутника Сатурна, Автор большой карты Луны. Определил расстояние от Земли до Марса. Ошибочно считал, что орбитами планет являются построенные им овалы.

Кривая Персея – плоская кривая четвертого порядка, которая является линией пересечения открытого тора (см. п. 4.2.1, табл. 4.1, рис. 4.13) плоскостью Σ, параллельной его оси (рис. 3.12). Эта линия названа в честь древнегреческого геометра Персея (ІІ ст. до н. э.), который провёл исследования разных способов задания кривых линий.

Плоские алгебраические кривые четвёртого порядка

Частным случаем кривой Персея является лемниската Бута, названная в честь английского математика Джеймса Бута. Эта линия образуется, когда секущая плоскость Σ является касательной к внутренней образующей линии тора (см. п. 4.2.1, рис. 4.16).

Конхоида Никомеда (от греческого κωνχος – раковина, εϊδος – вид) – линия, которая образуется изменением (увеличением или уменьшением ) на постоянную величину а расстояний от начала отсчёта О до каждой точки М прямой l (рис. 3.13).

Конхоида Никомеда Улитка Паскаля

Конхоида Никомеда является плоской кривой четвертого порядка и названа в честь древнегреческого математика, который жил в ІІІ ст. до н. э. и занимался проблемой квадратуры окружности и трисекции угла.

Якоб Бернулли (Jacob Bernoulli) – швейцарский математик, профессор Базельского университета. Внёс значительный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождения вариационного исчисления. Значительных достижений добился в теории чисел и рядов, теории вероятностей. Автор термина «интеграл». Заложил основы изучения лемнискат.

Улитка Паскаля – линия, которая образуется изменением (увеличением или уменьшением) на постоянную величину а расстояние от начала отсчёта О до каждой точки М окружности.

Эта линия посвящена Этьену Паскалю (1623 – 1662) – королевскому чиновнику, отцу выдающегося ученого Блэза Паскаля.

На рис. 3.14 построена улитка Паскаля для случая, когда начало отсчёта О удалено от окружности на величину радиуса. Значение а равно радиусу окружности.

Овал Декарта – геометрическое место точек плоскости, расстояния MF1, MF2 от каждой точки М которой до двух фокусов F1, F2 связаны линейным соотношением = с (рис. 3.15), где a, b, c –постоянные параметры.

Овал Декарта не является овалом по определению (см. п. 3.1.1.7, рис. 3.38 а), а является кривой четвертого порядка. При определённых значениях а, b, с он вырождается в эллипс или окружность, гиперболу, параболу, улитку Паскаля.

Тригонометрические кривые

К тригонометрическим кривым относятся плоские кривые линии, которые описываются тригонометрическими уравнениями у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, или уравнениями на их основе. Поскольку все тригонометрические функции можно выразить через функцию, например, синуса, рассмотрим только синусоиду.

Синусоида – траектория точки М, которая равномерно движется по окружности радиусом а, которое скользит без качения по плоской поверхности.

Для построения синусоиды (рис. 3.16) строится окружность радиусом а. Последняя делится на равное количество N частей (как правило, N = 12). Из крайней правой точки 1 окружности строится горизонтальный отрезок длина которого равна длине окружности 2πа. Отрезок делится на N равных частей. Из точек 1, 2, …, N окружности и отрезка проводятся вертикальные и горизонтальные линии до их взаимного пересечения. Точки 1, 2, … пересечения этих линий является точками искомой синусоиды.

Синусоида

Первые исследования синусоиды начались в Древней Индии. Сначала эта кривая называлась «арха-джива», что означает «полу тетива». Позже слово трансформировалось в «джайб» – «впадина». Европейский термин «sinus» был основан австрийским математиком Георгом фон Пойербахом (1423 – 1461), который составил таблицу значений этой функции. Значительный вклад в развитие тригонометрических функций внёс выдающийся французский математик Ж. Роберваль. Он впервые в 1634 г. построил синусоиду.

Циклоидальные кривые

К классу циклоидальных кривых принадлежат траектории точки окружности, которая движется по неподвижной поверхности без скольжения.

Циклоида (от греческого κυκλοειδής – круглый) – траектория точки окружности, которая катится по прямой без скольжения.

Для построения циклоиды (рис. 3.17) окружность заданного радиуса а делится на N равных частей (например, N = 12). Эта окружность равномерно дублируется N раз (с шагом 2πа/N) в направлении луча, который выходит из центра О окружности. Из точек … окружности проводятся горизонтальные лучи до пересечения с построенными окружностями. В результате по полученным точкам 1, 2, … строится циклоида.

Циклоида

Первым названием циклоиды была «рулета». Термин «циклоида» ввёл Галилео Галилей, современники которого изучали эту кривую. Доказательные исследования циклоиды принадлежат Я. Бернулли.

Перевернутая циклоида называется брахистохроной – кривой скорейшего спуска материальной точки.

Х. Гюйгенс открыл свойство точки сохранять период собственных колебаний во время движения по перевернутой циклоиде. Это свойство было использовано им при создании точных часов.

Галилео Галилей (Galileo Galilei) – итальянский физик, механик, астроном, философ, математик, который сделал значительный вклад в науку своего времени. Он впервые использовал телескоп для исследования небесных тел и совершил многочисленные астрономические открытия. Галилей является основателем экспериментальной физики. Своими экспериментами он «уничтожил» метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики.

Христиан Гюйгенс (Chrisiaan Huygens) – нидерландский физик, механик, математик, астроном, изобретатель, президент Парижской академии наук. Изобрёл маятниковый механизм, а также точные карманные часы. Открыл кольца Сатурна и один из его спутников. Открыл теорию эвольвент и эволют. Заложил основы теории вероятностей. Его «Книга мирозрения» является первой переведенной на Руси книгой, где изложена гелиоцентрическая теория Коперника.

Эпициклоида (от греческого έπί – над, κυκλος – окружность) – траектория точки окружности радиусом r, которая катится по внешней стороне окружности радиусом R без скольжения. Существует бесконечное количество эпициклоид, форма которых зависит от соотношения а = R/r радиусов окружностей. При а = 1 эпициклоида называется кардиоидой (от греческого καρδιοειδές – сердцеобразный). На рис. 3.18 а построена кардиоида. Окружность заданного радиуса катится по центральной окружности такого же радиуса. Качение условно моделируется двенадцатью положениями окружности. С помощью вспомогательных точек и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 12 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 12 строится кардиоида.

Эпициклоиды

Первые упоминания про кардиоиду встречаются в труде французского ученого Луи Карре (1705 р.). Название этой линии в 1741 г. дал итальянский ученый Джованни Кастиллоне. Кардиоида, кроме того, что принадлежит классу циклоидальных кривых, также является отдельным случаем улитки Паскаля (см. п. 3.1.1.1.2, рис. 3.14).

В случае, когда а = 2, эпициклоида называется нефроидой (от греческого νεφρόειδής – почкообразный). На рис. 3.18 б построена нефроида. Окружность заданного радиуса катиться по центральной окружности вдвое большего радиуса. Качение условно моделируется двенадцатью положениями меньшей окружности. С помощью вспомогательных точек и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 12 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 12 строится нефроида.

Гипоциклоида (от греческого γιπό – под, κυκλος – окружность) – траектория точки окружности радиусом r, которая катится по внутренней стороне окружности радиусом R без скольжения.

Среди бесконечного числа гипоциклоид, форма которых зависит от соотношения радиусов окружностей а = R/r, необходимо выделить такие. При а = 3 гипоциклоида называется кривой Штейнера, или дельтоидой (от греческого δελτοειδής – дельтообразный). На рис. 3.19 а построена дельтоида. Окружность заданного радиуса катится по внутренней стороне окружности втрое большего радиуса. Качение условно моделируется восемнадцатью положениями меньшей окружности. С помощью точек и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 18 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 18 строится кривая Штейнера (дельтоида).

Гипоциклоиды

В случае, когда а = 4, гипоциклоида называется астроидой (от греческого αστέριειδής – звёздообразный). На рис. 3.19 б построена астроида. Окружность заданного радиуса катится по внутренней стороне окружности вчетверо большего радиуса. Качение условно моделируется двадцатью четырьмя положениями меньшей окружности. С помощью вспомогательных точек и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 24 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 24 строится астроида.

Линии класса циклоид являются одними из наиболее распространённых кривых в машиностроении, поскольку являются траекториями точек деталей механизмов и машин. Например, точки автомобильных колёс движутся по циклоидальным и трохоидальным траекториям; точки сцепления зубчатых колёс планетарных и дифференциальных передач движутся по эпи- и гипоциклическим траекториям.

Трохоида (от греческого τροχοειδής – колесообразный) – траектория непериферической точки окружности, которая катится по прямой без скольжения.

Для построения трохоиды (рис. 3.20) окружность заданного радиуса r делится на N равных частей (например, N = 12). Эта окружность вместе с окружностью радиусом R равномерно (с шагом 2πа/N) дублируется N раз в направлении луча, который выходит из центра О. Из точек … окружности радиусом r проводятся лучи до пересечения с построенными окружностями. В результате по полученным точкам 1, 2, … строится трохоида

На практике трохоида используется в электровакуумных приборах для перемещения электронов. Трохоидальное сцепление используется в шестеренных гидромашинах.

Якоб Штейнер (Jacob Steiner) – швейцарский математик, член Берлинской академии наук. Основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей.

Трохоида

Эпитрохоида (от греческого έπί – над, τροχος – колесо) – траектория непериферической точки круга радиусом r, который катится по внешней стороне окружности радиусом R без скольжения.

На рис. 3.21 а показан простейший вид эпитрохоиды. Для её построения круг заданного радиуса катится по центральной окружности того же радиуса. Качение условно моделируется восемью положениями круга. Кругу принадлежит точка, которая находится на половине радиуса от его центра. С помощью вспомогательных точек …, 8 и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 8 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 8 строится эпитрохоида.

Эпи- и гипотрохоида

Построенная на рис. 3.21 а эпитрохоида является улиткой Паскаля (см. п. 3.1.1.1.2, рис. 3.14). Гипотрохоида – (от греческого γιπό – под, τροχος – колесо) – траектория непериферической точки круга радиусом r, который катится по внутренней стороне окружности радиусом R без проскальзывания.

На рис. 3.21 б показан простейший вид гипотрохоиды. Для её построения круг заданного радиуса катится по внутренней поверхности окружности вдвое большего радиуса. Качение условно моделируется восемью положениями круга. Кругу принадлежит точка, которая находится на половине радиуса от его центра. С помощью вспомогательных точек , …, и дуг окружностей, выходящих из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 8 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 8 строится гипотрохоида.

Построенная на рис. 3.21 б гипотрохоида является эллипсом (см. п. 3.1.1.1.1, рис. 3.4 а).

Спиральные кривые

Любая спиральная кривая (от латинского spira – изгиб) является траекторией точки, движущейся по прямой, которая вращается вокруг неподвижного центра. Среди большого количества спиральных кривых необходимо выделить такие.

Спираль Архимеда – траектория точки, равномерно движущейся по прямой, равномерно вращающейся вокруг неподвижной точки.

Для построения спирали Архимеда (рис. 3.22) окружность заданного диаметра делится на N равных частей … (как правило, N = 12). Из центра О окружности строятся N отрезков О-1, О-2, …, один из которых О-12 делится на N равных частей точками , … С помощью дуг окружностей находятся точки 1, 2, … Спираль Архимеда строится по точкам О, 1, 2, …

Спираль Архимеда

Архимед из Сиракуз (Άρχιµήδης) – древнегреческий математик, физик, механик и инженер-изобретатель. Совершил множество открытий в геометрии. Заложил основы механики и гидростатики.

Изогональная спираль (от греческого ίσος – равный, γωνία – угол) – траектория точки М, неравномерно движущейся по прямой линии l, которая равномерно вращается вокруг неподвижной точки О, причём угол χ между касательной (см. п. 3.3) и радиусом-вектором r (вектором, начало которого совпадает с началом отсчёта О, конец – с данной точкой М) не изменяется (рис. 3.23).

Логарифмическая спираль

Изогональная спираль является логарифмической, поскольку угол φ между радиусом-вектором r точки М и горизонтальной осью х пропорционален натуральному логарифму от модуля r: φ = ln(r). Исследованиями логарифмической спирали занимался швейцарский математик Я. Бернулли.

Логарифмическая кривая является линией, которой могут быть описаны строение Вселенной, природные явления, живые существа и т.д. Например, на рис. 3.24 а показана галактика Водоворот; на рис. 3.24 б – зона низкого давления над Исландией; на рис. 3.24 в – раковина моллюска.

Проявления логарифмических спиралей

Клотоида (от греческого κλωθοειδής – ниткообразный) – линия, радиус кривизны которой (см. п. 3.4.2) пропорционален длине дуги (рис. 3.25).

Спираль Корню

Другое название клотоиды – спираль Корню – посвящено французскому физику, который использовал эту кривую в исследованиях дифракции света.

Клотоида используется как переходная дуга в дорожном строительстве. Форма дороги в форме клотоиды позволяет преодолевать повороты без существенного снижения скорости и с равномерным вращением руля.

Для приблизительного построения клотоиды (рис. 3.26) из точек О, 1 проводятся две окружности заданного радиуса . Проводится окружность радиусом 2а, касательная к отрезку О1 (в точке 1) с центром в точке Из точки 1 строится окружность радиусом а до пересечения с окружностью радиусом 2а. Проводится окружность радиусом 3а, касательная к отрезку 1 – 2 (в точке 2) с центром в точке . Из точки 2 строится окружность радиусом а пересечения с окружностью радиусом 3а … Приближённой клотоидой является линия, проходящая через точки 1, 2, …

Построение клотоиды

Мари Альфред Корню (Marie Alfred Cornu) – французский физик, президент Парижской академии наук. Измерял среднюю плотность Земли.. Усовершенствовал метод определения скорости света . Научные труды касаются оптики, кристаллофизики, спектроскопии.

Спираль Ферма – траектория точки М, неравномерно движущейся по прямой l, вращающейся вокруг неподвижного центра O, причём угол φ между радиусом-вектором r и горизонтальной осью пропорционален квадрату длины r: φ = (рис. 3.27 а).

Спирали Ферма в природе встречаются как линии в узорах цветов , например, подсолнуха. (рис. 2.28 а).

Спираль Ферма -это разновидность параболической спирали, для которой угол φ между радиусом-вектором r и горизонтальной осью равен , где а – заданное расстояние (рис. 3.27 б).

Спираль Ферма (а) и параболическая спираль (б)

Пьер де Ферма (Pierre de Fermat) – французский математик, юрист, полиглот. Один из основателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Автор Большой теоремы Ферма. Советник Тулузского парламента.

Параболическая спираль часто встречается в природе (рис. 3.28 а) и технике (рис. 3.28 б), например, определяет профиль твердосплавных свёрл по бетону, кирпичу и керамике.

– Проявления и применение спиральных кривых

Кроме выше обозначенных, существует также большое количество других видов спиралей:

б) спираль Галилея: (рис. 3.29 б);

в) жезл: (рис. 3.29 в) и т.д..

Спиральные кривые

Трансцендентные кривые

Плоской трансцендентной кривой (от латинского transcendo – переступать) является линия, которую невозможно описать уравнением, которое прямо связывает координаты х, у каждой точки М. Как правило, трансцендентные кривые задаются системой параметрических уравнений(см. с. 21).

Среди большого разнообразия трансцендентных кривых выделяют такие.

Квадратриса Динострата (от латинского quadro – площадь) – траектория точки М пересечения двух прямых h, r, первая из которых равномерно опускается по вертикали, вторая – равномерно вращается вокруг неподвижной точки О (рис. 3.30 а).

Квадратриса Динострата

Для построения квадратрисы (рис. 3.30 б) четверть окружности а делится на N равных частей (например, N = 6) точками … Из центра О окружности проводятся отрезки , … Радиус делится на N равных частей точками , … Точки 1, 2, … пересечения отрезков … с горизонтальными лучами, проведенными из точек , …, являются точками квадратрисы.

Трактриса (от латинского trahere – волочить) – плоская кривая, любая точка М которой удалена от оси х в направлении касательной (см. п. 3.3) на одинаковое расстояние а (рис. 3.31 а).

Трактриса

Первые упоминания о квадратрисе принадлежат Паппу Александрийскому и Ямвлоху и датируются концом ІІІ ст. Кривая открыта софистом Гиппием из Элиды в V ст. до н. э. и использована им для решения задачи про трисекцию угла – деление угла на три равные части. Динострат в конце ІV ст. до н. э. с помощью квадратрисы решал задачу про квадратуру круга – построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

Трактриса изобретена в 1670 г. К. Перро. Свойства трактрисы исследовали Исаак Ньютон, Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм фон Лейбниц.

П. Бугер решил задачу Леонардо да Винчи на определение формы верёвки, которой тащат предмет по горизонтальной поверхности, и установил, что эта линия является трактрисой.

Трактриса также является кривой погони – решением такой задачи. Пусть точка А движется равномерно прямолинейно. Необходимо найти линию, по которой должна двигаться точка М так, чтобы прямая АМ была к ней касательной (рис. 3.31 а).

Для приближённого построения трактрисы (рис. 3.31 б) на оси у откладывается отрезок заданной длины а. Вдоль оси х последовательно откладываются одинаковые отрезки …, длина которых значительно меньше величины а. Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 1 её пересечения с осью у. Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 2 её пересечения с отрезком Из точки строится окружность радиусом а и определяется точка 3 её пересечения с отрезком … Трактриса приближённо строится по точкам О, 1, 2, …

Цепная линия – линия, форму которой приобретает цепь с закреплёнными концами (рис. 3.32 а).

Применение и проявления цепной линии

Клод Перро (Claude Perrault) – французский инженер, механик, архитектор, врач и математик. Брат известного сказочника Шарля Перро. Один из первых членов Французской академии наук. Автор Парижской обсерватории, Триумфальной арки, колоннады восточной части Лувра.

Пьер Бугер (Pierre Bouguér) – французский физик и астроном, основатель фотометрии. Известны его труды по теории кораблестроения, геодезии.

Имя Бугера внесено в список семидесяти двух величайших учёных Франции.

Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу – траектории точки, которая одновременно осуществляет два гармоничных колебания с разными частотами во взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 3.33).

Фигуры Лиссажу

Впервые эти кривые были изучены Ж. Лиссажу. Фигуры Лиссажу строятся на мониторе электронного осциллографа (от латинского oscillo – колебаться – и греческого γραφω – писать) – устройства для исследования часовых и амплитудных параметров электрических сигналов, которые подаются на его входы (рис. 3.34).

Проявления фигур Лиссажу

Жуль Антуан Лиссажу (Jules Antoine Lissajous) – французский математик, член-корреспондент Парижской академии наук. Его научный посвящён вибрационной акустике решеток.

Одним из простейших видов фигур Лиссажу является лемниската Жероно – траектория точки, которая одновременно осуществляет два гармоничных колебания во взаимно перпендикулярных направлениях с частотами, которые отличаются вдвое(рис. 3.35 а). Эта линия названа в честь Камиля-Кристофа Жероно (1799 – 1891) – французского математика, профессора Парижской политехнической школы. Его научная деятельность посвящена проблемам геометрии и Диофантова анализа. Он является автором учебников по аналитической геометрии и тригонометрии и сооснователем научного журнала “Nouvelles Annales de Mathématiques”.

Построение фигур Лиссажу

Для построения лемнискаты Жероно (рис. 3.35 а) строятся две окружности (необязательно одинаковых диаметров) с разными центрами. Одна окружность делится на N одинаковых частей (например, на восемь) точками … , другая– на 2N частей точками … С помощью вертикальных и горизонтальных линий, проведенных из построенных одноименных точек, последовательно определяются точки 1, 2, … пересечения. По найденным точкам строится плоская кривая – лемниската Жероно.

На рис. 3.35 б построена фигура Лиссажу для точки, которая одновременно осуществляет два колебания , частоты которых отличаются в полтора раза. Строятся две окружности (не обязательно одинаковых диаметров) с разными центрами. Одна окружность делится на N одинаковых частей (например, на восемь) точками … , другая – на 1,5N частей точками … С помощью вертикальных и горизонтальных линий, проведенных из построенных одноименных точек, определяются точки 1, 2, … пересечения. По найденным точкам строится фигура Лиссажу.

Сопряжения

Сопряжением называется плавный переход от одной линии l к другой m, выполненный с помощью дуги окружности (рис. 3.36).

Любое сопряжение характеризуется такими параметрами:

а) центр сопряжения– центр О окружности, с помощью дуги которого строится сопряжение;

б) точки сопряжения– точки А, В начала и конца дуги, которой выполняется сопряжение;

в) радиус сопряжения – радиус R дуги, которой выполняется сопряжение.

Сопряжение

Свойства элементов сопряжения:

а) центр О сопряжения равноудален от точек А, В сопряжения, причём расстояния ОА, ОВ равны радиусу R сопряжения;

б) прямые перпендикулярные отрезкам ОА, ОВ, являются касательными (см. п. 3.3) к линиям l, m, которые сопрягаются ;

в) прямые ОА, ОВ проходят через центры кривизны (см. п. 3.4.2) линий l, m соответственно.

Существуют десять классических типов сопряжений:

а) сопряжение двух окружностей (рис. 3.37 а – є);

б) сопряжение двух прямых линий (рис. 3.37 ж);

в) сопряжение окружности и прямой (рис. 3.37 з – к).

Виды сопряжений

Для построения сопряжения двух окружностей (рис. 3.37 а – є) необходимо из центров этих окружностей провести дуги окружностей радиусами до их пересечения. Полученная точка является центром сопряжения. Значения радиусов в зависимости от типа сопряжения приведены в табл. 3.1. Из центра О сопряжения строится дуга окружности радиусом R и находятся точки А, В сопряжения.

Для построения сопряжения двух прямых (рис. 3.37 ж) проводятся линии, им параллельные и расположенные на расстоянии R. Точкой пересечения прямых является центр сопряжения, из которого проводится дуга окружности радиусом R, и определяются точки А, В сопряжения.

Для построения сопряжения окружности и прямой (рис. 3.37 з – к) из центра окружности проводится окружность радиусом (табл. 3.1). Строится линия, параллельная заданной прямой, на расстоянии R. Из центра сопряжения, который является точкой пересечения построенных окружности и прямой, строится дуга окружности радиусом R и определяются точки А, В сопряжения.

К отдельному классу сопряжений относятся коробовые кривые – совокупности дуг окружностей (с кривизной одного направления),которые в точках перехода имеют общие касательные (рис. 3.38).

Коробовые кривые

К коробовым кривым относятся такие линии:

а) овал (от французского ovalе – яйцо) – замкнутая линия, полученная одинаковыми по радиусам сопряжениями двух одинаковых эксцентрических окружностей (рис. 3.38 а);

б) овоид (от латинского ovum – яйцо, греческого εϊδος – вид) – замкнутая линия, полученная одинаковыми по радиусам сопряжениями двух разных эксцентрических окружностей (рис. 3.38 б);

в) завиток – кривая, которая выполняется с помощью сопряжения двух окружностей разных диаметров, одна из которых полностью находится в середине другой (рис. 3.38 в).

Для построения овала (рис. 3.38 а) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами R – r до их пересечения. Полученные точки являются центрами сопряжений. Из центров строятся дуги окружностей радиусом R и находятся точки сопряжений.

Для построения овоида (рис. 3.38 б) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами до их пересечения. Полученные точки являются центрами сопряжений. Из центров строятся дуги окружностей радиусом R и находятся точки сопряжений.

Для построения завитка (рис. 3.38 в) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами до их пересечения. Полученная точка О является центром сопряжения. Из центра О строится дуга окружности радиусом R и находятся точки А, В сопряжения.

Коробовые кривые распространены в природе. Форму овала и овоида имеют магматические породы, известковые зерна, заготовительные изделия насекомых (рис. 3.39 а – б); в форме завитка встречаются соцветия растений, раковины улиток (рис. 3.39 в) и т.д..

Проявления коробовых кривых

Коробовыми кривыми условно можно заменить плоские кривые линии. Например,, эллипс упрощённо строится в форме овала (рис. 3.40 а), спираль Архимеда – в форме завитка (рис. 3.40 б) и т.д

.

Сравнение коробовых кривых с плоскими кривыми линиями

С развитием современных способов компьютерного моделирования сопряжение может быть выполнено не только с помощью дуги окружности, а и другой кривой, например, эллипсом (рис. 3.41).

Сопряжение произвольной плоской кривой

Винтовые линии

Винтовая линия– траектория конца М отрезка ОМ, который удлиняется или укорачивается и движется вдоль перпендикулярной ему оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42).

Горизонтальная проекция винтовой линии (рис. 3.42 а) в общем случае является спиральной кривой, фронтальная – тригонометрической кривой.

Винтовые линии

Простейшими случаями винтовых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Цилиндрическая винтовая линия – траектория конца М отрезка ОМ, который равномерно движется вдоль его перпендикулярной оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42 б).

Горизонтальная проекция цилиндрической винтовой линии является окружностью, фронтальная – синусоидой.

Коническая винтовая линия – траектория конца М отрезка ОМ, который равномерно удлиняется или укорачивается и равномерно движется вдоль перпендикулярной ему оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42 в).

Горизонтальная проекция конической винтовой линии — это спираль Архимеда, фронтальная – тригонометрическая кривая.

Винтовые линии распространены в природе. Например, форму винтовых линий имеют молекула ДНК (рис. 3.43 а), ус растения (рис. 3.43 б).

Проявления и применение винтовых линий

Винтовые линии нашли своё применение в технике. В форме винтовых линий изготовляют сверлильный инструмент (рис. 3.43 в), пружины (рис. 3.43 г), шнеки мясорубок (рис. 3.43 д). Винт Архимеда, изобретённый ок. 250 р. до н. э., используется и сейчас как рабочий орган машины для осушения затопленных низин сельскохозяйственных угодий (рис. 3.43 е). Винтовые линии можно также строить по их развёрткам (см. п. 5.3). Например, цилиндрическая винтовая линия имеет развёртку в форме прямой линии (рис. 3.44).

Построение равномерной винтовой линии по развёртке

На рис. 3.45 по заданной горизонтальной проекции неравномерной цилиндрической винтовой линии и её развёртке в форме произвольной кривой построена фронтальная проекция винтовой линии.

Построение неравномерной винтовой линии по её развёртке

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Уравнения кривых.

В аналитической геометрии всякому уравнению вида F(x; у) = 0 может соответствовать некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением.

Под F(x; у) = 0 понимаем многочлен степени n; степень многочлена n – порядок линии.

Значит, кривая первого порядка, в декартовой системе координат, описывается алгебраическим уравнением первого порядка ax + by + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов a или b отличен от нуля. Это уравнение называют также линейным уравнением. А само выражение, типа ax+by+c=0 и a 2 +b 2 ≠ 0, принято обозначать как общее уравнение прямой.

Следовательно, любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая.

Общее уравнение кривой второго порядка в декартовых координатах имеет вид:

причем, в зависимости от значения произведение аb получаем:

— эллипс, частный случай — окружность ( когда ab > 0);

Кривые линии в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Кривую линию можно рассматривать как множество последова­тельных положений точки, непрерывно перемещающейся в пространстве. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой поверхностей или поверхности и плоскости.

Различают плоские и пространственные линии. Кривая линия называется плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если ее точки нс лежат в одной плоскости. Плоскими линиями являются, например, окружность, эллипс, овал. Примером пространственной линии может служить винтовая линия.

Проекциями пространственной кривой являются плоские линии. Плоская кривая проецируется в виде плоской линии или в виде прямой линии, если кривая находится в проецирующей плоскости.

В общем случае секущая АВ кривой проецируется секущей се проекции, а касательная CD к кривой проецируется касательной к ее проекции (рис. 5.1).

Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена какому-либо геометрическому зако­ну. Закономерные линии подразделяют на алгебраические и трансцендентные. В первом случае линию можно описать алгебраическим уравнением, а во втором — трансцендентным (например, тригонометрическим). Порядок алгебраической кривой равен степени ее уравнения или максимальному числу точек ее возможного пересечения с плоскостью или прямой.

На комплексном чертеже кривая линия задается своими проекциями, которые строят по проекциям точек, принадлежащих этой линии. Если плоскость плоской кривой занимает проецирующее положение (рис. 5.2, а), то одна проекция этой кривой имеет форму прямой. У пространственной кривой все проекции — кривые линии (рис. 5.2, б).

Чтобы определить по чертежу, какая задана кривая (плоская или пространственная), необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости. Заданная на рис. 5.2, б кривая является пространственной, так как прямые AD и BF не пересекаются, а скрещива­ются (то есть не лежат в одной плоскости).

В начертательной геометрии кривая часто строится как линия, последовательно проходящая через задающие ее точки. Упорядоченное множество точек, определяющих линию, составляет се точечный каркас. Точки каркаса подразделяют на опорные и промежуточные. Промежуточные точки должны обеспечить необходимую и достаточную плотность каркаса, то есть обеспечивают количественную характеристику кривой. Наиболее важны опорные точки, которые отражают качественную характеристику кривой. Рассмотрим некоторые из опорных точек.

Экстремальные точки это точки, которые удалены от плоскостей проекций на максимальное или минимальное расстояние (верхняя и нижняя, крайние правая и левая точки).

Точки видимости. Если кривую рассматривать как линию на какой-то непрозрачной поверхности, то те точки, в которых меняется видимость кривой, называют точками видимости (обычно они расположены на контурных линиях поверхности).

К опорным относят и точки, в которых кривая пересекает свою ось или плоскость симметрии (если таковые имеются).

Кривые второго порядка:

Уравнениям второй степени соответствуют кривые второго порядка. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола. Окружность является частным случаем эллипса; точка, две пересекающиеся, парал­лельные и две совпавшие прямые есть вырожденные случаи кривых второго порядка. Все эти линии (кроме двух параллельных прямых) можно встретить на конической поверхности вращения, поэтому часто их называют кониками.

Кривые линии

Кривую линию можно рассматривать как непрерывное множество последовательных положений точки, движущейся в пространстве, то есть как траекторию движущейся точки. На протяжении кривой линии не должно быть прямолинейных участков. Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек, точки кривой определяются их координатами. Если координаты любой точки кривой удовлетворяют некоторому уравнению, то такие кривые называются закономерными. Закономерные кривые линии образуются по определенному закону и могут быть заданы графически и аналитически.

Аналитически кривую линию на плоскости можно задать уравнением

(может оказаться, что данному уравнению не удовлетворяют координаты ни одной действительной точки на плоскости. Тогда условно говорят, что данные уравнения изображаются мнимой кривой), в пространстве — двумя уравнениями (как линию пересечения двух поверхностей)

Существуют также незакономерные кривые, образование которых носит эмпирический характер. Незакономерные кривые линии задаются только графически на чертеже.

Одна и та же кривая линия может быть образована разными способами:

1. движением точки в пространстве;
2. пересечением кривой поверхности с плоскостью;
3. взаимным пересечением двух поверхностей, из которых хотя бы одна кривая.

Кривые линии подразделяют на плоские и пространственные. У плоских кривых все точки принадлежат плоскости, у пространственных кривых точки не принадлежат одной плоскости. Пространственные прямые называются также линиями двоякой кривизны. Наиболее известными из плоских и пространственных кривых линий являются соответственно окружность и цилиндрическая винтовая линия.

Закономерные кривые, определяемые в декартовой системе координат алгебраическим уравнением вида где — многочлен й степени от одного или нескольких переменных называются алгебраическими.

Порядком алгебраической кривой линии называется степень ее уравнения. Геометрически порядок плоской алгебраической кривой линии характеризуется наибольшим числом точек ее пересечения с прямой линией. Порядок пространственной алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек ее пересечения с плоскостью общего положения.

К линиям первого порядка относятся прямые линии, рассмотренные ранее.

Линии второго порядка — это эллипс, гипербола и парабола.

Из линий третьего порядка наиболее известны Аньези локон, декартов лист, полукубическая парабола, строфоида.

Из линий четвертого порядка — улитка Паскаля, конхоида Никомеда, лемниската Бернулли.

Из линий высших порядков — кривая Ламе, синусоидальная спираль.

Если закономерная кривая определяется неалгебраическим уравнением, то она относится к числу трансцендентных. Среди трансцендентных кривых выделяют графики тригонометрических функций, показательной и логарифмической функции, класс циклоидальных кривых, спирали.

Локальные элементы кривой

Локальные свойства характеризуют кривую и относятся к весьма малым частям ее. Каждая из кривых линий обладает большей или меньшей степенью искривленности. Эта искривленность задается некоторым числом и называется кривизной. Кривизна в точке — это число, характеризующее отклонение кривой (в малой ее части, заключающей точку ) от прямой линии.

Радиусом кривизны в точке кривой называется величина, обратная кривизне Чем больше искривлена кривая вблизи заданной точки, тем больше и меньше в этой точке. В общем случае для любой точки кривизна и радиус кривизны различны, они характеризуют кривую на бесконечно малом участке, составляющем окрестность точки .

Секущей называется прямая, пересекающая кривую в одной, двух или более точках.

Касательная к кривой в точке определяется как предельное положение секущей, проходящей через и соседнюю точку кривой, при условии, что стремится к (рис. 135). Касательная указывает направление движения точки.

Нормаль для плоских кривых — это прямая, перпендикулярная касательной в точке касания

Для пространственных кривых линий в каждой точке в общем случае, определяются три прямые и три плоскости, взаимно пересекающиеся в под прямыми углами и образующие сопровождающий трехгранник (рис. 136). На рисунке видно, что касательная к кривой в точке перпендикулярна нормальной плоскости. Все прямые, проходящие через и лежащие в этой плоскости, называются нормалями пространственной кривой в точке

Соприкасающаяся плоскость — это предельное положение плоскости, проходящей через три близкие точки кривой и когда и стремятся к Соприкасающаяся плоскость содержит в себе касательную.

Главная нормаль — это линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей (та из нормалей, которая лежит в соприкасающейся плоскости).

Бинормаль — прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.

Спрямляющая плоскость — проходит через касательную и бинормаль.

Длина отрезка кривой (плоской или пространственной) определяется в общем случае приближенно путем замены кривой линии вписанной в нее ломаной линией с максимально большим числом ее сторон, достаточно хорошо передающей форму кривой.

Свойства проекций кривой линии

Из всех инвариантных свойств проецирования для кривой линии можно выделить следующие:

• — проекции кривой в общем случае есть кривые. В частном случае плоская кривая проецируется в прямую, если она принадлежит проецирующей плоскости;
• — если точка лежит на кривой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой кривой;
• — если прямая касается кривой в пространстве, то проекции этой прямой касаются одноименных проекций кривой. Секущая кривой проецируется как секущая проекции кривой;
• — кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Плоские кривые линии

При построении проекций плоской кривой линии необходимо указывать на их так называемые характерные точки, к которым относятся особые точки кривой, а также точки, наиболее удаленные от плоскости проекций и наиболее близкие к ним. Плоская кривая, к каждой точке которой можно провести касательную, называется плавной. Однако на кривой могут существовать точки, в которых имеются две касательные, общая касательная для двух ветвей или нескольких витков кривой. Кривая в таких точках не является плавной.

Пусть касательная перекатывается по кривой при этом переменная точка касания совершает поступательное движение по касательной (рис. 137). В каждом своем положении переменная точка касания совпадает с произвольной точкой перемещающейся по кривой и т.д.

Если в некоторой точке изменяется направление поступательного движения ее по касательной, то она называется особой точкой.

Если в некотором положении изменяется направление поворота касательной то она называется особой касательной.

Если таких изменений не происходит, то точка и касательная называются обыкновенными. Соответствующая точка кривой также называется обыкновенной (рис. 138, а).

На рис. 138 представлены некоторые особые точки кривых:

• — точка перегиба (с особой касательной) (см. рис. 138, б);
• — точка возврата первого рода или заострения (особая точка) (см. рис. 138, в);
• — точка возврата второго рода, или «клюв» (особая точка с особой касательной) (см. рис. 138, г);
• — точка излома в которой имеются две касательные (см. рис.138, д);
• — узловая точка в которой кривая пересекает себя и имеет две касательные (см. рис. 138, е);
• — точка самоприкосновения в которой кривая встречает самое себя, но обе касательные совпадают (см. рис. 138, ж).

На комплексном чертеже задаются проекции нескольких обыкновенных и всех особых точек кривой линии. Касательные и нормали к кривым линиям строят или графически, или пользуясь специальными приборами.

На рис. 139 показано построение касательной к кривой линии, проходящей через заданную вне кривой точку Через точку проводят пучок прямых, пересекающих кривую по хордам 11, 22, 33, . . Через середины хорд проводят кривую которая называется кривой ошибок. Эта вспомогательная кривая пересекает данную кривую в точке являющейся точкой касания. Прямая есть касательная к данной кривой линии.

Построение нормали к кривой линии, проходящей через заданную точку вне кривой, показано на рис. 140. Принимая точку за центр, проводят ряд окружностей, пересекающих кривую по хордам 11, 22, 33 и т.д. Из концов хорд проводят разносторонне направленные перпендикуляры к ним, на которых откладывают отрезки, равные длинам соответствующих хорд. Концы отрезков этих перпендикуляров намечают кривую ошибок — линию пересекающую данную кривую в точке Прямая задает направление искомой нормали к данной кривой.

Кривые линии называются соприкасающимися. если в общей их точке они имеют общую касательную. Нормали кривых линий в точке соприкасания лежат на одной прямой.

Соприкасание называется внутренним, если в точке соприкасания нормали кривых совпадают (рис. 141, а). Если нормали направлены в разные стороны, то кривые линии имеют внешние соприкасания (рис. 141,б).

Соприкасающаяся окружность в данной точке кривой определяет кривизну плоской кривой в этой точке. Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны кривой называют предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две бесконечно близкие к ней точки кривой. Радиус этой окружности есть радиус кривизны, а центр — центр кривизны кривой линии в данной точке (рис. 142).

Геометрическое место центров кривизны для всех точек данной кривой есть кривая, называемая эволютой (рис. 143).Она является огибающей нормалей данной кривой.

Рассматриваемую кривую линию по отношению к своей эволюте называют эвольвентой. Касательные эволюты являются нормалями эвольвенты. Через каждую точку касательной к эволюте проходит одна и только одна эвольвента. Всякая плоская кривая линия есть геометрическое место центров кривизны бесчисленного множества эвольвент.

Плоские кривые линии второго порядка и их проекции

Алгебраическую кривую линию, которая описывается в системе декартовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют линией второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид

После приведения уравнения кривой к каноническому виду кривые могут быть квалифицированы следующим образом:

1. кривые эллиптического типа. Это эллипс (в частном случае окружность, одна точка или мнимое место точек);
2. кривые гиперболического типа. Это гипербола или пара пересекающихся прямых;
3. кривые линии параболического типа — парабола, пара параллельных прямых (в частном случае совпадающих) или мнимое место точек.

Кривые линии второго порядка называют кониками или линиями конических сечений, так как они могут быть получены при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью. Конические сечения будут рассмотрены далее (Раздел VII. 1.). Кривую второго порядка однозначно определяют заданием пяти точек общего положения: через заданные пять точек проходит одна и только одна кривая второго порядка. Если хотя бы три точки лежат на одной прямой, то получается распадающееся коническое сечение.

Эллипс представляет собой геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная. Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где

Оси координат являются осями симметрии эллипса (рис. 144). Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса, точки пересечения эллипса осями симметрии — вершинами эллипса. Отрезки, соединяющие противоположные вершины эллипса, равные и называют соответственно большой и малой осями эллипса. Два фокуса эллипса — точки и расположены на расстоянии друг от друга. Величину называют фокусным расстоянием. Любая точка плоскости принадлежит эллипсу, если соблюдается условие где — большая ось эллипса.

Диаметры эллипса — это отрезки прямых, проходящие через центр эллипса. Геометрическим местом середин хорд, параллельных одному из диаметров эллипса, является диаметр, сопряженный заданному. На рис.145 диаметры и является сопряженными. Большая и малая оси эллипса являются сопряженными взаимно перпендикулярными диаметрами.

Касательные, проведенные к эллипсу в концах какого-либо диаметра, параллельны другому диаметру, сопряженному с первым. Касательная к эллипсу составляет равные углы с фокальными радиусами-векторами точки касания. Нормаль эллипса в заданной точке является биссектрисой угла между фокальными радиусами-векторами этой точки (см. рис. 144).

Частным видом эллипса является окружность. Если фокусы и совпадают, то из условия имеем получается геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки, т.е. окружность. Эллипс есть кривая, родственная окружности. На родстве двух фигур основан ряд способов построения эллипса.

На рис. 146 представлен один из способов построения эллипса по его сопряженным диаметрам. Этот способ используют в случае, когда эллипс проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов.

Пусть заданы проекции двух произвольно выбранных и делящихся пополам отрезков — и Эти отрезки можно рассматривать как сопряженные диаметры эллипса. Один из отрезков, например примем за диаметр окружности, родственной эллипсу. Здесь диаметр окружности совпадает с диаметром эллипса. Диаметры и родственной эллипсу окружности являются взаимно сопряженными, т.е. взаимно перпендикулярными. Построив окружность и наметив на ней ряд точек можно определить соответствующий им ряд точек эллипса.

Другой способ построения эллипса по его сопряженным диаметрам показан на рис. 147. На полудиаметрах эллипса и строят параллелограмм. Стороны параллелограмма делят соответственно на одинаковое число равных отрезков. Лучи, проведенные из точек и — концов полудиаметров через одинаково нумерованные точки сторон параллелограмма, пересекаются в точках эллипса.

На рис. 148 показан способ построения эллипса по заданным осям. Для построения точек эллипса из центра проводят две окружности, диаметрами которых являются большая и малая оси эллипса. Из центра произвольно проводят луч, который пересекает окружности в точках и Из этих точек проводят прямые, параллельные соответственно осям и эллипса. Точка их пересечения является точкой эллипса. Выбирая другие лучи и помечая точки на окружностях, строят соответствующие точки эллипса.

В начертательной геометрии эллипсы чаще всего рассматривают как проекции окружности. При ортогональном параллельном проецировании окружность может проецироваться на плоскости проекций в виде отрезка прямой, окружности (частные случаи) или в виде эллипса (общий случай).

Окружность проецируется на плоскость проекций без искажения, если ее плоскость параллельна плоскости проекций. Пусть окружность лежит во фронтальной плоскости уровня, тогда ее фронтальная проекция есть окружность, а горизонтальная — отрезок, равный диаметру и параллельный оси проекций (рис. 149).

Если окружность принадлежит проецирующей плоскости, то одна из ее проекций совпадает со следом плоскости и равна диаметру окружности, а другая есть эллипс.

Пусть окружность данного диаметра принадлежит заданной горизонтально-проецирующей плоскости (рис. 150). Горизонтальная проекция окружности равна диаметру и совпадает со следом плоскости Фронтальная проекция окружности есть эллипс, большая ось которого а есть проекция вертикального диаметра окружности. Большая ось эллипса является горизонтально-проецирующей прямой и на изображается в истинную величину, равную диаметру окружности. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси и параллельна оси она является горизонталью. Таким образом, фронтальная проекция горизонтального диаметра окружности есть малая ось эллипса.

Построение других точек эллипса выполняют способом хорд. Хорды параллельны вертикальному диаметру и на проецируются в натуральную величину. Для более точного построения на чертеже ось проекций проводят через фронтальную проекцию центра эллипса — точку Вводят дополнительную плоскость проекций которая совпадает с плоскостью (на чертеже новая ось совпадает со следом ). На плоскости проекций изобразится только половина окружности с положительными координатами равными половине хорд. Величину координаты откладывают от оси по линиям связи вверх и вниз. Получаются две точки эллипса и симметричные относительно малой оси. Аналогично строят другие точки эллипса.

Если окружность принадлежит плоскости общего положения, то ортогональными проекциями ее являются эллипсы. Большая ось эллипса равна и параллельна тому диаметру окружности, который параллелен данной плоскости проекций. Малая ось эллипса равна проекции диаметра окружности, являющегося линией наибольшего ската плоскости этой окружности.

Пусть окружность лежит в плоскости общего положения, заданной горизонталью и фронталью точка пересечения которых принимается за центр окружности (рис. 151). Диаметр окружности 12 совпадает с горизонталью, а диаметр 34 совпадает с фронталью. На горизонтальной плоскости проекций большая ось эллипса совпадает с проекцией горизонтали Малую ось эллипса определяют с помощью дополнительной плоскости проекций перпендикулярной заданной плоскости

На окружность проецируется в отрезок, равный диаметру. В системе плоскостей решаем ранее рассмотренную задачу построения эллипса как проекции окружности, лежащей в проецирующей плоскости. Аналогично можно построить большую и малую оси эллипса — фронтальной проекции окружности. Однако здесь приведен другой способ построения эллипса. На фронтальной плоскости проекций большая ось эллипса совпадает с направлением фронтали плоскости и равна диаметру 34 окружности. Для построения малой оси эллипса проводят окружность с диаметром, равным большой оси эллипса. Через точку перпендикулярно большой оси строят соответственно полухорды и эллипса и окружности. Полухорду вращением вокруг точки совмещают с большой осью.

Точки и соединяют прямой линией, параллельно которой из точки проводят прямую до пересечения в точке с направлением малой оси эллипса. Отрезок определяет величину малой полуоси эллипса — фронтальной проекции окружности.

По заданным осям можно построить другие точки эллипса рассмотренным выше способом (см. рис. 148).

Гипербола — это геометрическое место точек, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных фиксированных точек (фокусов) есть величина постоянная.

На рис. 152 точки и являются фокусами гиперболы. Расстояние между ними Точка пересечения координатных осей является центром симметрии. Точки и — вершины гиперболы, расстояние между ними называют действительной осью гиперболы. Ось симметрии которая не пересекает гиперболу, называют мнимой осью.

Асимптоты гиперболы — прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. Асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами и

Каноническое уравнение гиперболы (оси координат совпадают с осями гиперболы) имеет вид

где

Любая точка плоскости принадлежит правой ветви гиперболы, если соблюдается условие Точки, для которых принадлежат левой ветви. Касательная и нормаль к гиперболе являются биссектрисами соответственно внутреннего и внешнего углов, образованных радиусами-векторами, проведенными из фокусов в точку касания.

На рис. 153 показано построение гиперболы по точкам, если известны величины ее полуосей и Из точки как из центра, проводят окружность радиусом Окружность пересекает ось в точках и являющихся фокусами гиперболы. Из фокусов, как из центров, проводят дуги окружностей соответственно радиусами и Точки их пересечения являются точками гиперболы, так как разность расстояний от каждой точки до фокусов равна и есть величина постоянная. Изменяя и повторяя построения, находят новые точки гиперболы.

Парабола — это геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и от заданной прямой (директрисы).

На рис. 154 точка есть фокус параболы, а прямая перпендикулярная оси — ее директриса. Ось совпадает с осью симметрии параболы, точка является вершиной параболы. Расстояние от фокуса до вершины параболы равно Величина называется фокальным параметром и равна расстоянию от фокуса до директрисы или половине хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси

Каноническое уравнение параболы: где Любая точка плоскости принадлежит параболе, если

Касательная и нормаль к параболе являются биссектрисами углов между фокальным радиусом-вектором точки параболы и диаметром, проходящим через эту же точку. Под диаметром параболы понимают прямую, параллельную оси параболы. На рис. 155 показан способ построения параболы, если известна ее вершина — точка и одна из точек — точка Соединив вершину с точкой определяют разности координат и между этими точками. Расстояния и делят на одинаковое количество равных частей, точки деления обозначают. Через точки деления с одинаковыми номерами проводят линии построения, на пересечении которых определяют искомые точки параболы.

Пространственные кривые линии и их проекции

Пространственную кривую линию на чертеже задают последовательным рядом ее точек. Чтобы установить особые точки пространственной кривой, необходимо наличие двух ее проекций, в отличие от плоской кривой, для определения особых точек которой достаточно одной проекции. Сопоставление горизонтальной и фронтальной проекций на рис. 156 показывает, что хотя на горизонтальной проекции имеется двойная точка, но на самой кривой двойной точки нет.

Так же, как и для плоской кривой, касательная к кривой в пространстве проецируется в касательную к проекции этой кривой. Проецирующая плоскость, проведенная через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Но если для плоской кривой можно было провести только один перпендикуляр к касательной в точке то для пространственной кривой таких перпендикуляров в точке касания можно провести бесчисленное множество, что приводит к понятию нормальной плоскости.

Тремя плоскостями — спрямляющей, соприкасающейся и нормальной (см. рис.136), образующими трехгранник, пользуются как координатными при рассмотрении кривой в данной ее точке. Положение трехгранника зависит от положения точки на кривой.

Если касательные к пространственной кривой линии во всех ее точках одинаково наклонны к какой-либо плоскости, то такие линии называются линиями одинакового уклона.

Цилиндрические винтовые линии одинакового уклона широко применяются в технике. Моделью такой линии может служить цилиндрическая пружина.

Цилиндрическая винтовая линия — гелиса — есть траектория сложного движения точки, равномерно перемещающейся по образующей и равномерно вращающейся вместе с этой образующей вокруг оси цилиндра.

Винтовая линия имеет три параметра: диаметр цилиндра, шаг и направление. Шаг — это смещение точки вдоль образующей за один оборот. Различают два направления винтовой линии: правое — при движение точки вверх против часовой стрелки и левое — при движении точки вверх по часовой стрелке.

На рис. 157 построена гелиса заданного радиуса правого направления и с шагом, равным высоте цилиндра. Для построения проекций такой линии длина окружности (горизонтальная проекция цилиндра) и высота прямоугольника (фронтальная проекция цилиндра) делятся на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят вертикальные линии связи.

На фронтальной плоскости проекций через точки деления прямоугольника проводят прямые, параллельные основанию. Точки пересечения линий связи с соответствующей горизонтальной прямой определяют фронтальную проекцию цилиндрической винтовой линии. На видимой части цилиндра гелиса будет видимой, на невидимой — нет. Направление винтовой линии на чертеже определяет стрелка, поставленная на горизонтальной проекции. Итак, горизонтальная проекция винтовой линии есть окружность, а фронтальная — синусоида.

При построении развертки цилиндрическая поверхность развертывается в прямоугольник со сторонами, равными длине окружности основания и высоте цилиндра. Винтовая линия на развертке преобразуется в прямую — диагональ прямоугольника, так как для каждой точки этой прямой существует пропорциональная зависимость между отрезками длины окружности и высоты цилиндра.

Что такое поверхности

В существующем мире нас окружает неограниченное количество разнообразных поверхностей. Некоторые могут быть математически описаны, другие настолько сложны, что не поддаются математическому описанию.

В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, если между координатами точек этого множества может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида где — многочлен й степени, или в форме какой-либо трансцендентной функции. В первом случае поверхности называются алгебраическими, во втором — трансцендентными.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением й степени, то поверхность считается го порядка.

Любая произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность.

Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, считая все точки (действительные и мнимые).

Что такое кривые линии

Кривой линией называется траектория точки, перемещающейся в пространстве по какому-либо закону. Однако, имеются кривые линии, не описываемые какой-либо закономерностью (незакономерные кривые линии). Кривая линия может быть также определена как однопараметрическое множество точек.

На рисунке 8.1 представлена классификация кривых линий.

Плоской кривой линией называется линия, каждая точка которой принадлежит одной плоскости. В противном случае кривая линия называется пространственной (винтовая линия, линии пересечения двух поверхностей, из которых хотя бы одна является кривой поверхностью).

Закономерные линии описываются уравнениями и делятся на алгебраические второго и высшего порядков и трансцендентные, описываемые тригонометрическими функциями. Порядок кривой линии -это степень её уравнения или количество точек пересечения кривой линии с прямой линией (для плоских кривых) или количество точек пересечения с плоскостью (для пространственных линий). Кривые второго порядка иногда называются кониками.

Коробовыми линиями (или обводами) называются составные кривые линии, дуги которых последовательно определены парами точек обвода. Если на стыках можно построить общую касательную, то обвод называется гладким. Циркульными линиями называются линии, построение которых можно осуществить циркулем (овал, овоид, завиток и др.).

Лекальными кривыми называются плоские закономерные линии, при вычерчивании которых используются лекала (эллипс, парабола, гипербола и др.). Циклические кривые линии — это линии, повторяющиеся в процессе образования (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида и др.).

Гладкие кривые линии состоят из обыкновенных точек. Обыкновенные точки кривой линии — это точки, в которых можно построить только одну касательную к кривой линии. Если кривая линия содержит особые точки (см. далее), то линия называется негладкой.

Эквидистантные и эквитангентные линии — это линии, равноудаленные от некоей кривой линии и повторяющие её форму. Аппроксимированные линии — это линии, приближенно замененные другими более удобными для вычерчивания линиями (например, эллипс иногда заменяют овалом).

Кривые линии могут быть образованы движением точки в пространстве, пересечением кривой поверхности плоскостью (кривые Персея), взаимным пересечением двух поверхностей. Кривые Персея, например, образуются при пересечения торовых поверхностей плоскостью.

На рисунке 8.2 представлены некоторые алгебраические кривые линии второго, третьего и четвертого порядков, а также трансцендентные кривые линии.

Наиболее часто в технике применяются лекальные кривые линии, которые могут быть плоскими и пространственными. К ним относятся эллипс, парабола, гипербола, эвольвента, циклоида, винтовая линия и другие, примеры которых приведены на рисунке 8.3. Способы построения лекальных кривых обычно рассматривается в курсе технического черчения.

Эвольвента — траектория точки касательной, перекатываемой без скольжения по окружности. Иногда её неправильно называют разверткой окружности.

Синусоида — кривая линия, описываемая уравнением

Гипербола — геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Винтовая линия — траектория точки, перемещающейся по образующей цилиндра, конуса или тора, в то время как сама образующая равномерно вращается вокруг оси упомянутых поверхностей.

Эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Парабола — геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой.

Циклоида — траектория точки окружности, перекатываемой без скольжения по прямой линии. При построении эпи- и гипоциклоиды окружность перекатывают по окружности.

На рисунке 8.4 представлены особые точки кривых линий. Особыми точками называются точки, в которых можно провести не одну, а две и более касательных или в которых изменяется направление движения точки или вращения касательной.

На эпюре кривые линии задаются множеством точек, принадлежащих линии (рисунок 8.5). Возможны табличный и аналитический способы задания.

Проекции кривой линии имеют следующие свойства:

1. В общем случае проекция кривой линии есть кривая линия;
2. Если точка принадлежит кривой линии, то её проекции принадлежат одноименным проекциям кривой;
3. Касательная к кривой линии проецируется в касательную к проекциям кривой линии.

Пример: Построить проекции правой цилиндрической винтовой линии, проходящей через точку поверхности цилиндра.

Решение: Находим точку Начиная с точки , делим окружность основания цилиндра на 12 частей. Высоту цилиндра Н делим на 12 частей, начиная с точки На пересечении вертикальных и горизонтальных одноименных линий находим точки винтовой линии, которые плавно соединяем (рисунок 8.6).

Кривые линии и кривые поверхности

Линию можно рассматривать как множество последовательных положений движущейся точки – траекторию точки.

Кривая – разновидность линии, которая получается, когда движущая точка изменяет направление своего движения. Кривая линия может являться результатом пересечения кривой поверхности плоскостью или кривых поверхностей между собой.

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Если все точки кривой лежат в одной плоскости, кривую называют плоской, в противном случае – пространственной.

Кривая — это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей (рисунок 7.1), как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Рисунок 7.1 – Кривая, как линия пересечения двух поверхностей

Способы задания кривых. Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Различны и способы задания кривых:

• Аналитический – кривая задана математическим уравнением;
• Графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;
• Табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.

Кривые линии делятся на плоские и пространственные.

Об этом можно узнать по наличию конкурирующих точек на двух ее проекциях. Изображения пространственных кривых могут и не иметь конкурирующих точек. В таком случае, если требуется, кривую проверяют на плоскостность. Для этого соединяют попарно четыре произвольные точки кривой прямыми. Если прямые пересекаются, то исследуемая кривая плоская, а если скрещиваются — пространственная.

Из пространственных кривых более всего применяются гелисы -цилиндрические винтовые линии. Обычно их ориентируют относительно плоскостей проекций так, чтобы ось была перпендикулярна к одной из них. Тогда проекции гелисы — окружность и синусоида.

Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь проходимый точкой по образующей пропорционален углу поворота цилиндра.

Все плоские кривые разделяются на циркульные, состоящие из сопряженных дуг окружностей (их проводят при помощи циркуля), и лекальные, вычерчивающиеся с помощью лекала по предварительно построенным точкам.

Некоторые кривые, часто встречающиеся в практике

Рассмотрим построение некоторых плоских кривых (эллипса, синусоиды, спирали Архимеда), а также пространственных винтовых линий [5].

Эллипс (рис 7.2.) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М) до двух заданных точек F1 и F2 (фокус эллипса) есть величина постоянная, равная большой оси эллипса АВ (F1M+F2M=AB).

Рисунок 7.2 — Эллипс Рисунок 7.3 — Построение эллипса

Отрезок CD – малая ось эллипса, точка О – центр эллипса. Точка F1 и F2 расположены на большой оси АВ симметрично относительно точки О и удалены от концов малой оси (точек С и D) на расстояние, равное половине большой оси эллипса.

Существует ряд способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рис. 7.3).

Синусоида- кривая, характеризующая изменение синуса угла в зависимости от величины центрального угла (рис.7.4).

Расстояние между крайними точками синусоиды по высоте, равное диаметру производящей окружности, называется амплитудой. Расстояние — шаг синусоиды. Построение точек синусоиды показано на рисунке 7.4.

Рисунок 7.4 — Построение точек синусоиды

Спираль Архимеда (рис. 7.5 ) – кривая , которую описывает точка, равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки (полюса О) и одновременно равномерно удаляющаяся от него. Расстояние ОА, пройденное точкой от полюса О при повороте на 360 º — шаг спирали.

Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят, исходя из определения кривой, задаваясь шагом ОА и направлением вращения.

Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей (12) и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. По каждой касательной откладываем отрезки и т.д.,равные соответственно и т.д. Полученные точки соединяем плавной кривой.

Рисунок 7.5 — Спираль Архимеда

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) – пространственная кривая, которая образуется на поверхности цилиндра вращения в результате двойного равномерного движения точки – вращение вокруг оси цилиндра и поступательного движения вдоль образующей цилиндра (рис. 7.6).

Рисунок 7.6 — Цилиндрическая винтовая линия

Шаг винтовой линии (Н) – расстояние между двумя ее соседними витками в направлении параллельности. Для построения цилиндрической винтовой линии делим окружность основания цилиндра и шаг Н винтовой линии на ровное число частей (12). Определим соответствующие фронтальные проекции перемещаемой точки и соединим их плавной кривой.

Горизонтальная проекция цилиндрической винтовой линии – окружность, а фронтальная синусоида. Разверткой цилиндрической винтовой линии является прямая.

Угол α – угол подъема винтовой линии: . Различают правые и левые винтовые линии. У правой подъем слева вверх направо, у левой – справа вверх налево.

Коническая винтовая линия – пространственная кривая, которая образуется на поверхности конуса вращения в результате двойного равномерного движения точки – вращения вокруг оси конуса и поступательного движения вдоль образующей конуса (рис. 7.7) .

Рисунок 7.7 — Коническая винтовая линия

Шаг конической винтовой линии Р — величина прямолинейного перемещения точки в направлении оси конуса при полном обороте вокруг оси.

Для построения проекций конической винтовой линии разделим окружность основания конуса и шаг Р на равное число частей (12). Проводим проекции образующих конуса и определим на них положение соответствующих проекций точек и соединим их плавной кривой.

Горизонтальная проекция винтовой линии – спираль Архимеда, а фронтальная – затухающая синусоида (синусоида с уменьшающейся амплитудой).

Образование и классификация поверхностей

Перемещающаяся в пространстве линия или поверхность называется образующей, которая при движении может сохранять или изменять свою форму.

Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями (иногда точками), называемыми направляющими, по которым скользит образующая при своем движении, а также условием движения образующей.

Различают три основных способа задания поверхности:

• — аналитический (поверхность задается уравнением);
• — каркасный (поверхность задается совокупностью точек или линий);
• — кинематический (поверхность образуется непрерывным перемещением в пространстве какой–либо линии поверхности).

В начертательной геометрии пользуются, главным образом, кинематическим способом образования поверхностей (Рисунок 7.8) [1]. При этом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону.

Линия, производящая поверхность в каждом ее положении, называется образующей (L). Образующая может быть как прямой, так и и любой кривой, постоянной или менять свою форму в процессе перемещения.

Неподвижная линия, по которой скользит образующая, называется направляющей (М).

Совокупность нескольких последовательных положений образующей и направляющих создает каркас поверхности. Не трудно убедиться (рис. 7.8), что образующие L и направляющие М можно менять местами. При этом поверхность получается одна и та же.

Рисунок 7.8 — Образование поверхности

Поверхность на чертеже считается заданной полностью, когда по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить вторую ее проекцию. Точка принадлежит поверхности, если принадлежит какой-либо линии, лежащей на этой поверхности.

Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволят построить каждую ее точку. Совокупность элементов поверхности, позволяющих построить каждую ее точку, называется определителем поверхности (Ф). Определитель состоит из 2-х частей: Ф(Г), /А/:(Г) – геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними и [А] -алгоритмической, содержащей закон построения отдельных точек и линий данной поверхности. Условно геометрическую часть заключают в круглые скобки, а алгоритмическую – в квадратные. Для придания чертежу поверхности наглядности наряду с проекцией определителя в большинстве случаев дается еще и очертание её.

Очерком поверхности называется след (линия) на плоскости проекций проецирующей поверхности, который огибает заданную поверхность. Это, как правило, контурная линия, которую называют линией видимости.

В зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве поверхности условно можно разделить на следующие классы [1]:

1. Линейчатые поверхности;
2. Поверхности вращения;
3. Винтовые поверхности;
4. Поверхности второго порядка;
5. Циклические поверхности;
6. Топографические поверхности.

Следует отметить, что отдельные поверхности могут быть отнесены не к одному, а к нескольким классам.

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная перемещением в пространстве прямолинейной образующей, закон движения которой может быть различным.

В общем случае линейчатые поверхности однозначно определяется тремя направляющими линиями.

В зависимости от вида направляющих и закона движения образующей получаются различные типы линейчатых поверхностей.

Рисунок 7.9 — Образование цилиндрической поверхности

Рассмотрим некоторые линейчатые поверхности с одной направляющей. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии L по некоторой кривой линии М и имеющей постоянное направление S. На рис. 7.9 показана цилиндрическая поверхность, у которой L — прямолинейная образующая, М – криволинейная направляющая, S – заданное направление перемещения образующей.

Следует отметить, что одна и та же поверхность может быть получена различными способами. Например, цилиндрическая поверхность может быть получена в результате перемещения прямолинейной образующей по кривой направляющей, или движением кривой образующей по прямолинейной направляющей.

Для большей наглядности изображения поверхностей в ряде случаев используют ее очерк – границы видимости на плоскостях проекций. Очерк проекции получается при пересечении с плоскостью проекций проецирующей поверхности, обертывающей данную. Например, очерком сферы является окружность радиуса, равного радиусу сферы.

В зависимости от формы образующей поверхности разделяются на линейчатые (образующая – прямая линия) и нелинейчатые (криволинейная образующая). Линейчатые поверхности называются развертывающимися, если их можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Не развертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Поверхности с постоянной образующей – поверхности, образующая которых не имеет своей формы при образовании поверхности. Поверхности с переменной образующей – поверхности, образующая которых изменяется при образовании поверхности.

Винтовые поверхности

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей.

Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси.

При этом поступательное и угловое перемещение находятся в определенной зависимости – линейное перемещение за время – угловое перемещение за то же время, k – коэффициент пропорциональности. Если k = Const, то шаг поверхности постоянный.

Линейчатые винтовые поверхности (образующая — прямая линия) называются геликоидами.

Прямой геликоид (рис. 7.10) образуется движением прямой, которая пересекает винтовую линию, а также ось винтовой линии i под прямым углом [5].

Поскольку образующая перпендикулярна оси винтовой линии, то она параллельна плоскости проекций Н. Поэтому другое название прямого геликоида — винтовой коноид.

Рисунок 7.10 — Прямой геликоид Рисунок 7.11 — Косой геликоид

Косой геликоид (рис. 7.11) образуется движением прямой, которая пересекает винтовую линию и ось винтовой линии i под постоянным углом не равным 90° [5].

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают ее форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Поверхности вращения

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i (рис. 7.12).

Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i .

Алгоритмическая часть включает две операции:

1. На образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F;
2. Каждую точку вращают вокруг оси i.

Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей), плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:

1. Плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели.
2. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам.

Плоскость проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным меридианом.

Рисунок 7.12 — Поверхность вращения

Замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью) называют геометрическим телом.

Рассмотрим наиболее распространенные поверхности вращения с прямолинейными и криволинейными образующими.

Цилиндр вращения (рис. 7.12) образуется вращением прямой вокруг параллельной ей оси i. Все точки образующей (например, точка А) описывают окружности (параллели) равные окружностям оснований цилиндра.

Рисунок 7.12 — Цилиндр вращения Рисунок 7. 13 — Конус вращения

Конус вращения (рис. 7.13) образуется вращением прямой вокруг пересекающейся с ней оси i. Все точки образующей описывают окружности различных радиусов. Величина радиуса изменяется от нуля до радиуса окружности основания конуса.

Однополостный гиперболоид вращения (рис. 7.14) образуется вращением образующей линии ℓ вокруг скрещивающейся с ней оси i. Точки образующей ℓ описывают окружности переменных радиусов. Радиус параллели наименьшего радиуса (горла) равен кратчайшему расстоянию между образующей ℓ и осью i.

Рисунок 7.14 — Однополостный

Рисунок 7.15 — Сфера гиперболоид вращения

Сфера (рис. 7.15) образуется вращением окружности вокруг ее диаметра. Точки образующей окружности описывают окружности переменных радиусов. Точка А описывает параллель наибольшего радиуса (экватор). Для сферы экватор и меридианы — равные между собой окружности.

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. При вращении эллипса вокруг его большой оси получается вытянутый эллипсоид, при вращении вокруг малой — сжатый эллипсоид. Для эллипсоида вращения меридианом является эллипс.

Рисунок 7.16 – Тор

Рисунок 7.17 – Однополостный гиперболоид

Рисунок 7.18 – Двуполостный гиперболоид

Тор (рис. 7.16) образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр.

В зависимости от взаимного расположения образующей окружности и оси вращения различают: открытый тор (круговое кольцо), замкнутый, самопересекающийся.

Внутреннюю часть открытого тора в технике называют глобоидом.

Пример применения — глобоидная червячная передача.

Однополостный гиперболоид вращения (рис.7.17) образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси.

Двуполостный гиперболоид вращения (рис. 7.18) образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

Меридианами гиперболоидов вращения являются гиперболы.

Параболоид вращения (рис. 7.19) образуется вращением параболы вокруг ее оси.

Меридианом параболоида вращения является парабола.

Рисунок 7.19 –Параболоид вращения

Поверхности вращения: цилиндр, конус, однополостный гиперболоид — являются также и линейчатыми поверхностями.

Тор является поверхностью четвертого порядка, что соответствует максимальному числу точек пересечения поверхности с прямой линией. Все остальные перечисленные выше поверхности вращения являются поверхностью второго порядка.

Поверхности циклические, каркасные и с плоскостью параллелизма

Циклическая поверхность образуется окружностью постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении.

Каналовая поверхность (рис. 7.20) образуется движением окружности переменного радиуса вдоль кривой направляющей, причем плоскость образующей окружности остается перпендикулярной к заданной направляющей, по которой движется центр окружности. Если радиус об-разующей окружности постоянен, то такая каналовая поверхность называется трубчатой.

Когда направляющей кривой является цилиндрическая винтовая линия, образуется трубчатая винтовая поверхность. Она может быть получена и движением сферы постоянного диаметра, центр которой перемещается по цилиндрической винтовой линии. Примером такой поверхности является поверхность цилиндрической пружины с круглым сечением витков.

Рисунок 7.20 – Каналовая поверхность

Каркасными называют поверхности, заданные некоторым числом линий — каркас поверхности может быть получен линиями пересечения ее плоскостями параллельными плоскостям проекций.

Примером каркасных поверхностей могут служить поверхности корпусов судов, самолетов, автомобилей. К разряду каркасных поверхностей относится и топографическая поверхность. Эта изображается совокупностью горизонталей, т.е. линий, получаемых в сечении земной поверхности поверхность горизонтальными плоскостями.

Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) представляют собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n.

Поверхности с плоскостью параллелизма имеют применение в архитектуре, строительстве, в конструировании технических форм.

Рисунок 7.15 – Поверхности с плоскостью параллелизма

Точка и линия на поверхности

Точка принадлежит поверхности в том случае, если она находится на линии лежащей на этой поверхности. В качестве таких линий могут быть выбраны образующие, параллели, меридианы и др.

Рисунок 7.16 – Точка и линия на поверхности

Рассмотрим построение точек, лежащих на геометрических телах и поверхностях.

Точка на поверхности цилиндра

Поверхности цилиндра вращения (рис. 7.17) является горизонтально проецирующей, образующие цилиндра перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, вследствие чего поверхность цилиндра проецируется на эту плоскость окружностью [5].

Рисунок 7.17 — Точка на поверхности цилиндра

Горизонтальные проекции точек А и В (А’ и В’) лежат на окружности.

Профильные проекции этих точек А»‘ и В «‘ находятся при помощи линий.

Очерковые образующие цилиндра разделяют фронтальную и профильные проекции на видимую и невидимые части. Так образующие L1 и L2 делят цилиндрическую поверхность на видимую спереди и невидимую, образующие L3 и L4 на видимую слева и невидимую. Невидимые проекции точек указаны в скобках.

Точка на поверхности конуса

Конус вращения является также и линейной поверхностью, поэтому для построения точек на его поверхности можно использовать и образующие и параллели.

На рис. 7.18а показано построение горизонтальной А’ и профильной А»‘ проекций точки А по заданной фронтальной проекции А» при помощи образующей [5].

Рисунок 7.18 — Точка на поверхности конуса

Если задана горизонтальная проекция В’ точки В, то построение начинается с проведения горизонтальной проекции S ‘2’ образующей S2, на которой находится точка В. Определить фронтальную проекцию S» 2″ этой образующей, по линиям связи находим фронтальную проекцию — В» точки В, а затем и профильную В”’.

Образующие L1 и L2 разделяют коническую поверхность на видимую спереди и невидимую, а образующие L3 и L4 на видимую слева и невидимую.

Проекции B» и В»‘ находятся на невидимой части конуса. Горизонтальная проекция поверхности конуса является видимой.

На рис. 7.18 б показано построение недостающих проекций точек A и В при помощи параллелей. Через заданные проекции А» и В’ проводятся проекции m»1 и m’ 2 параллелей m1 и m2 Используя т.1 и 2, лежащие на очерковых образующих, определим положение проекций m’1 и m»2 проведенных параллелей. По линиям связи определим положение проекций А’ и А » точки А и проекций В» и В»’ точки В.

Точка на поверхности сферы

На рис. 7.19 приведены проекции сферы, которые ограничены экватором К, фронтальным меридианом m и профильным n [5]. Каждый из них проецируется на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину (окружность), на остальные — в виде отрезков прямых длиной, равной диаметру сферы. На этом же рисунке показано построение недостающих проекций точек А, В и С по заданным фронтальным проекциям этих точек. Точка А находится на экваторе К, точка В — на фронтальном меридиане m, точка С — на профильном меридиане n. Недостающие проекции определяются при помощи линий связи (проведение линий связи на рисунке показано стрелками).

Рисунок 7.19 — Точка на поверхности сферы

Экватор К разделяет сферу на видимую (верхняя половина) на горизонтальной проекции невидимую части. Фронтальный меридиан m разделяет сферу на видимую (ближняя половина) и невидимую части на фронтальной проекции.

Профильный меридиан n разделяет сферу на видимую (левая половина) и невидимую части на профильной проекции.

Так на рис. 7.19 горизонтальная проекция С’ точки С невидимая (взята в скобки), т.к. находится на нижней (невидимой) половине сферы.

На поверхности сферы можно провести множество параллелей, соответственно параллельных плоскостям проекций. Эти параллели используются для построения проекций точек на сфере.

По данной фронтальной проекции А» точки А, найдена горизонтальная А’ как принадлежащая горизонтальной параллели L1. Для построения горизонтальной проекции L’2 использована точка 1, принадлежащая фронтальному меридиану. Профильная проекция А'» точки А построена при помощи линий связи и находится на невидимой (правой половине) части сферы.

Точка на поверхности тора

На рисунке 7.20 представлены проекции открытого тора (кругового кольца), полученного вращением окружности радиуса r вокруг оси i.

Проекции экватора обозначены k, горла — m, крайних параллелей n1 (верхняя) и n2 (нижняя).

Стрелками на рисунке показано построение фронтальных проекций точек А, В, С по заданным горизонтальным, расположенных соответственно на экваторе k, горле — m, и крайней (верхней) параллели п1.

Для построения горизонтальной проекции D’ точки D, через фронтальную проекцию D» проведена фронтальная проекция L»1 параллели L1. Горизонтальная проекция L’1 параллели L1 построена при помощи точки 1, лежащей на образующей окружности.

Горизонтальная проекция точки В найдена при помощи линий связи, как принадлежащая параллели L1.

Для построения фронтальной проекции точки Е (по заданной гори-зонтальной), лежащей на внутренней части тора, использована параллель L2. Фронтальная проекция этой параллели строится при помощи точки 2, принадлежащей образующей окружности.

Рисунок 7.20 — Точка на поверхности тора

Экватор k разделяет тор на видимую (верхняя половина) и невидимую части на горизонтальной проекции. На фронтальной проекции видимой является ближняя наружная часть открытого тора.

Определение кривых линий

Проектирование обводов сложных технических форм напрямую связано с вопросом конструирования кривых по наперед заданным условиям. Последнее в большой степени обусловлено способом задания и формирования кривых.

Принято рассматривать кривые по отношению их к трехмерному пространству. Если кривые полностью принадлежат гиперпространству (двумерной плоскости) расширенного Евклидова пространства ,то такие кривые называет плоскими. Все остальные относят к пространственным кривым.

В общем случае кривые рассматриваются как результат пересечения поверхностей. В этом смысле плоские кривые являются результатом пересечения поверхности с плоскостью.

Все кривые на чертеже задаются проекциями, которые являются плоскими кривыми, поэтому большая честь раздела и посвящена конструированию плоских кривых.

В практической работе проектировщику приходится иметь дело с двумя большими классами кривых, представляющих дуги простых кривых (графиков функций) и составных (сложных). Составные кривые, получившие в технике название обводов, конструируются из ряда дуг простых с соблюдением заданных условий на стыках.

Дифференциальные характеристики кривой

Форма и характер поведения плоской кривой в окрестности любой точки определяется ее дифференциальными характеристиками.

Рисунок 7.1 — Характеристики кривой линии F(x,y)=0

К основным характеристикам плоской кривой относят касательную t, нормаль т и кривизну р (рисунок 7.1).

Касательная (в точке Р) — предельное положение секущей 12 при бесконечном приближении точек У и 2 к точке

Уравнение касательной имеет вид:

— первая производная в точке

Нормаль — линия, перпендикулярная касательной в фиксированной точке кривой.

Кривизна — величина, обратная значению радиуса круга кривизны кривой p=l/R в фиксированной точке Р, определится уравнением:

где штрихи означают дифференцирование по X .

Круг кривизны — предельное положение соприкасающейся окружности 1Р2 при бесконечном приближении точек 1 и 2 к точке

Приведенные уравнения показывают, что касательная и кривизна не являются полными аналогами первой и второй производной (такая аналогия принята в вычислительной математике), хотя и связаны с ними.

Особые точки кривых

«Поведение кривой» можно оценить и по типу точек, которые она несет на себе (рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 — Точки кривой

Точка кривой, в которой определена единственная касательная, называется обыкновенной (регулярной). Если в обыкновенной точке (А, В, С, D) кривизна достигает экстремального значения (например, ноль), то такая точка называется специальной. К специальным точкам относятся точки перегиба М, точки экстремума (вершины кривой В, D) и несобственные точки (рисунок 7.2). В точке перегиба ветви кривой расположены по разные стороны от касательной, кривизна в ней равна нулю (радиус кривизны стремится к бесконечности). Несобственная точка — это точка пересечения кривой с несобственной прямой плоскости. Такие точки на чертеже задаются асимптотами.

Точка кривой, в которой не определено положение касательной, получила название особой. К таким точкам относят (рисунок 7.3) узловые точки

А, точки возврата С и D , излома K, прекращения L, точки изолированные В, асимптотические M и точки самоприкосновения E.

Рисунок 7.3 — Особые точки кривых

При проектировании технических форм следует избегать работы с дугами, несущими на себе особые точки.

Алгебраические кривые

Кривые могут быть классифицированы по виду их уравнения. Кривые, определяемые уравнениями в виде полиномов типа:

или отношения полиномов, получили название алгебраических. Все прочие кривые называют трансцендентными.

Для алгебраических кривых существует специальная характеристика -порядок кривой. Она совпадает по значению с максимальной степенью полинома. Геометрически порядок определяется числом точек пересечения алгебраической кривой с произвольной прямой линией. Эти точки могут быть: действительными (А и В), или мнимыми (D) (в соответствии с рисунком 7.4). Еще одна существенная характеристика — жанр (род) кривой.

Рисунок 7.4 — Точки пересечения кривой линии с прямой

Жанр (род) кривой определяется как разность между возможными для данного порядка и существующими количествами двойных (совпавших) точек. Кривые нулевого жанра называют рациональными. Эти кривые нашли широкое применение для описания гидро — и аэродинамических профилей.

Конические сечения

Кривые, получающиеся при пересечении прямого кругового конуса плоскостью, называются кониками или коническими сечениями (рисунок 7.5).

Рисунок 7.5 — Коники

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, то в сечении (в общем случае) получается окружность. При прохождении такой плоскости через вершину конуса окружность вырождается в точку.

Плоскость, пересекающая конус одновременно по всем образующим, позволяет получить эллипс.

Плоскость, параллельная образующей, отсекает параболу. В частном случае, когда секущая плоскость касается образующей, парабола вырождается в две совпавшие прямые.

Плоскость, параллельная оси вращения, отсекает гиперболу. В частном случае, при прохождении плоскости через саму ось, получаются две пересекающиеся прямые.

Наиболее употребительные графические способы построения дуг кривых второго порядка основаны на методах проективной геометрии. В соответствии с рисунком 7.6 дуга кривой второго порядка может быть определена тремя точками и касательными в двух точках. Например, точки А, В, С и касательные

Рисунок 7.6 — Построение коник

Порядок построения точек дуги коники следующий: строится треугольник АТВ, где а затем внутри этого треугольника — точки кривой второго порядка.

Для построения текущей точки дуги объединяются точки А, В и С. Проводится произвольная прямая l, которая в пересечении с прямой ВС определит положение точки N. Точки N и Т (пересечение касательных) соединяются прямой. Пересечение прямых NT и АС позволяет получить точку Р. Положение текущей точки дуги коники — найдется в пересечении прямых ВР и AN.

Меняя положение точки N, можно получить множество точек дуги кривой второго порядка.

Изменение положения точки С приведет получению другой формы коники. Такая возможность управления формой кривой широко используется в инженерной практике, для чего введено понятие инженерного дискриминанта.
В этом случае точка С задается на медиане DT . Инженерный дискриминант f определяется из отношения f = CD/TD. Он характеризует тип коники:при f 0.5 — дуга гиперболы.
В отдельных случаях, если известен тип коники, построение кривой может быть значительно упрощено. Например, парабола может быть построена, как пропорциональная кривая (рисунок 7.7).

Рисунок 7.7 — Парабола

Исходная информация для построения дуги параболы: граничные точки А, В и точка пересечения касательных Т.

Отрезки АТ и ВТ делятся точками 1 и 2 пополам. Прямая 12 также делится пополам. Точка М — точка параболы.

Затем процесс повторяется (в обе стороны): граничные точки А, М и точка пересечения касательных 1 и т.д.

Эллипс удобнее стоить по его полуосям (большой ОВ и малой ОА).

Для построения эллипса проводятся две соосные окружности радиусами ОВ и ОА (рисунок 7.8). Проведение произвольной прямой ОС и дальнейшее построение «ключа” (треугольника СDM со сторонами параллельными осям эллипса) позволяет определить положение текущей точки эллипса М.

Плоские обводы

Решение практических задач по формированию сложных технических контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления всего контура единственной кривой. Это и породило необходимость конструирования составных кривых (кривых, сформированных из дуг простых).

В технике такие кривые получили название обводов, в математике они более известны как сплайны (spline). Основной характеристикой обвода является гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших производных (уравнений стыкующихся кривых) в точках стыка.

Наиболее простой вариант построения составной кривой — из дуг окружностей.

Окружности могут сопрягаться таким образом, что в точках стыка будут располагаться общие касательные. Такой стык соответствует первому порядку гладкости (совпадают только первые производные).

Для построения этого обвода используется идея радиусо — графического сопряжения дуг окружностей. Исходной информацией является точечный ряд (1,2,3. n) и касательная на одном из концов этого ряда (например,

Вследствие того, что окружность трехпараметрическая кривая, для её построения кроме точки i нужно определить еще одну, например (i+1) или (i-1). He нарушая общности рассуждений, рассмотрим вариант с (i+1)-ой точкой (рисунок 7.9).

Рисунок 7.9 — Дуга окружности с заданными параметрами

Рисунок 7.10 — Обвод первого порядка гладкости

Графическое решение выглядит следующим образом: через точку i проводится нормаль n . Конечные точки i и (i+1) соединяются хордой. В средней точке хорды строится перпендикуляр h . Пересечение нормали п и перпендикуляра h и определит положение центра искомой окружности. Радиус окружности совпадает с отрезками [o-i] и [o-(i+Касательная к построенной окружности будет перпендикулярна радиусу, проведенному в (i+1)-ю точку.

Центры соприкасающихся окружностей лежат на одной прямой, проходящей через точку касания. Таким образом, определение центра окружности сопрягающейся с i-той найдется на пересечении линии с перпендикуляром к середине хорды (i+l)(i+2) (рисунок 7.10).

Пространственные кривые

В отличие от плоских кривых, пространственные кривые (линии двоякой кривизны) не лежат всеми своими точками в одной плоскости.

Общие свойства пространственной кривой, ее проекции связаны со свойствами проецирования и справедливы для проекций плоских кривых:

• несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее
• проекции;
• касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции;
• порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой. В частных случаях проекция может распадаться и иметь меньший, чем у кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в «двойную» прямую.

Исследование свойств кривой в окрестности ее точки, так называемых дифференциальных (локальных) свойств, производится путем построения проекций кривой на гранях сопровождающего трехгранника (рисунок 7.11).
Сопровождающий трехгранник (трехгранник Френе) состоит из трех ребер — касательной t, нормали n и бинормали b и из трех граней — соприкасающейсянормальной Г, спрямляющей плоскостей.

Рисунок 7.11 — Оснащение пространственной кривой

Рассмотрим наиболее часто встречающуюся на практике пространственную кривую — цилиндрическую винтовую линию (рисунок 7.12.)

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой траекторию точки, совершающей равномерное движение вдоль некоторой прямой, которая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ей оси.

Расстояние h, на которое точка М перемещается вдоль образующей за один ее оборот, называется шагом винтовой линии. Описываемая при этом точкой М дуга называется витком.

Число р = h/2 называется параметром винтовой линии и определяет перемещение z точки М вдоль прямой m за время поворота последней на угол

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.