Кто придумал графический метод решения уравнений

Графический метод. Описание, примеры решения уравнений

Эта статья посвящена одному из направлений функционально-графического метода решения уравнений, а именно, графическому методу. Сначала дано описание графического метода: раскрыта его суть, сказано, на чем базируется метод, приведено его обоснование, обговорены особенности метода, связанные с точностью. Дальше идет практическая часть: записан алгоритм решения уравнений графическим методом и показаны решения характерных примеров.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Графический метод решения уравнений состоит в использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения с их помощью решения уравнения. Базируется он на следующем утверждении:

Решение уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Обоснованием этого утверждения займемся в следующем пункте. А сейчас выудим из него полезные сведения.

Основное из них таково: по количеству точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) можно судить о количестве корней уравнения f(x)=g(x) , а по абсциссам точек пересечения можно судить о корнях этого уравнения. Проиллюстрируем сказанное.

Взглянем на чертеж, на котором изображены графики функций и .

Очевидно, в видимой области графики изображенных функций не имеют точек пересечения. За пределами видимой области графики тоже не имеют точек пересечения. Это мы можем утверждать в силу известного нам поведения графиков степенных функций и линейных функций. Отсутствие точек пересечения позволяет нам сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

Другой пример. На следующем рисунке изображены графики функций и .

Сколько точек пересечения мы видим? Две. Известное поведение графиков показательных функций и линейных функций позволяет утверждать, что за пределами видимой области точек пересечения нет. Значит, графики функций и пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня. А каковы значения этих корней? Для ответа на этот вопрос определяем абсциссы точек пересечения графиков. По рисунку находим, что абсциссы точек пересечения есть −2 и 1 . Через проверку подстановкой убеждаемся, что это действительно корни уравнения :

Здесь стоит заметить, что к проверке подстановкой мы обратились не случайно. Дело в том, что найденные по графикам значения корней можно считать лишь приближенными до проведения проверки. Подробнее об этом мы поговорим в одном из следующих пунктов этой статьи, раскрывающем особенности графического метода.

Обоснование метода

Докажем, что множество решений уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Для этого достаточно показать, во-первых, что если x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) , то x₀ – это абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , и, во-вторых, если x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , то x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Приступаем к доказательству.

Пусть x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Тогда f(x₀)=g(x₀) – верное числовое равенство. Это равенство можно трактовать так: значения функции y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ совпадают. А из этого следует, что x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Это означает, что значения функций y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ равны, значит, f(x₀)=g(x₀) . А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) .

Так доказана вторая часть.

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

Другая особенность касается получаемых по графикам результатов. Полученные по графикам результаты можно считать лишь приближенными. Дело здесь в том, что сами по себе графики функций — вещь не совсем точная (но при этом очень наглядная и во многих отношениях удобная), особенно если говорить о графиках, построенных от руки. Это следует из принципов, которыми мы руководствуемся при построении графиков функций. Что мы делаем для построения графика функции в общем случае? Проводим исследование функции, чтобы получить ряд «опорных» точек, таких как граничные точки области определения, максимумы-минимумы, точки перегиба, и понять поведение функции на всех интервалах ее области определения. После этого определяем несколько контрольных точек. Дальше переносим все определенные в ходе исследования точки на координатную плоскость и, сейчас внимание, соединяем их плавной линией в соответствии с выясненным в ходе исследования поведением функции. Эта «плавная линия» и есть график функции. О какой точности можно здесь говорить? Понятно, что она определяется точностью нашего построения.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x 2 +6·x−5 .

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1 , 2 и 2,7 . Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

Алгоритм решения уравнений графическим методом

Анализ приведенной выше информации позволяет записать алгоритм решения уравнений графическим методом. Чтобы решить уравнение графически, надо:

• Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
• По чертежу определить все точки пересечения графиков:
  • если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
  • если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.
• По чертежу определить абсциссы всех точек пересечения графиков – это приближенные значения всех корней исходного уравнения.
• Если есть основания полагать, что некоторые или все определенные на предыдущем шаге значения являются точными значениями корней решаемого уравнения, то осуществить их проверку, например, подстановкой.

Дадим краткий комментарий к последнему шага алгоритма. Иногда определенные по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения является точными корнями уравнения, сначала нужно осуществить проверку этих значений, например, проверку подстановкой.

Решение примеров

Графический метод решения уравнений начинает входить в арсенал изучающих математику в 7 классе сразу же после знакомства с координатной плоскостью и самой первой функцией – линейной функцией y=k·x+b . Именно тогда мы сталкиваемся с заданиями, наподобие следующего: с помощью графика линейной функции y=2·x−6 определить, при каком значении x будет y=0 [1, с. 50-51]. Для ответа на поставленный вопрос мы строим график указанной линейной функции y=2·x−6 .

По чертежу находим точку пересечения графика с осью Ox (ось Ox отвечает графику функции y=0 ), и определяем абсциссу точки пересечения: x=3 . По сути, мы решаем уравнение 2·x−6=0 графическим методом.

Чуть позже в 7 классе изучается функция y=x 2 . После этого опять заходит разговор о графическом методе решения уравнений, но уже более детальный, где метод уже называется своим именем и дается его алгоритм [1, с. 149-151; 2, с. 109]. Там с его помощью решаются уравнения, одной части которых отвечает функция y=x 2 , а другой – линейная функция y=k·x+b . Например, уравнение x 2 =x+1 . Для его решения строятся в одной системе координат соответствующие графики функций y=x 2 и y=x+1 :

Графики, очевидно, пересекаются в двух точках. Можно определить приближенные значения их абсцисс: .

В 8 классе изучаются новые виды функций: y=k/x , квадратичная функция y=a·x 2 +b·x+c , . И, естественно, рассматривается графический метод решения соответствующих уравнений. Особенно тщательно разбирается графическое решение квадратных уравнений. В учебнике Мордковича А. Г. приведены аж пять способов графического решения уравнения x 2 −2·x−3=0 [2, с. 127-131].

И так далее: изучаются функции , степенные функции, тригонометрические, показательные, логарифмические, …, — рассматривается решение соответствующих уравнений графическим методом. Так к концу школьного курса математики мы начинаем воспринимать графический метод решения уравнений как общий метод, позволяющий решать уравнения не только определенных видов, но и уравнения, в которых уживаются самые разнообразные функции: показательные с корнями, тригонометрические с логарифмическими и т.д. Покажем решение такого уравнения.

Решите уравнение

В заключение вспомним, что в этой статье при разговоре об особенностях графического метода решения уравнений мы обращались к иррациональному уравнению . В качестве «благодарности» этому уравнению за помощь в обретении знаний приведем ссылку на его решение графическим методом.

Графический метод решения уравнений

Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Моя исследовательская работа поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода. В современной жизни изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Для решения таких уравнений графический метод является весьма эффективным, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра α. Задачи с параметрами представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Они обладают диагностической ценностью, так как с помощью них можно проверить знание основных разделов математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса математики в высших учебных заведениях. В моей работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов, ведь уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают в список заданий на едином государственном экзамене ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Графический метод решения уравнений с параметром Автор: Назарова Алёна у ченица 11 класса « Тарбагатайской СОШ» Руководитель: Покацкая Анна Фёдоровна учитель математики

Цель работы : выявить наиболее рациональное решение, быстро приводящее к ответу. Задача: — рассмотреть теорию методов решения задач с параметрами; — разобрать поэтапно способы решения задач с параметрами на примерах; — сделать выводы по изученному материалу. Объект исследования : Уравнения с параметрами. Методы исследования: Эмпирический: формирование проблемы, гипотезы, задач, составление плана работы, оформление результатов исследовательской работы. Теоретический: анализ литературных и архивных данных, работа в Интернете

История возникновения Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате « Ариабхатиам », составленном в 499 году. Индийский учёный изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к канонической системе.

Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx . 2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c. 3) «Корни равны числу», т. е. αx = c. 4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx . 5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c. 6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = αx 2 .

Теорема Виетта (α + b ) x – x 2 = α b , Т. е. x 2 — (α – b ) x + α b =0, то x 1 = α, x 2 = b . Теорема Виетта — теорема, выражает связь между параметрами, коэффициентами квадратного уравнения и его корнями . Таким образом, Виета установил единообразие в приёмах решения уравнений.

Основные понятия Параметр — независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку. Уравнение с параметром — математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Системой допустимых значений переменных a ,с, k , х называется любая система значений переменных, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения. Равносильными уравнениями , называются два уравнения содержащие одни и те же параметры.

Методы решения уравнений с параметрами 1. Аналитический метод 2. Графический метод 3. Алгебраический метод 4. Метод симметрии 5. Решение с помощью производной

Небольшая история возникновения этого метода. Исследование общих зависимостей началось еще в 14 веке. Французский учёный Николай Орем стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им « линией интенсивности» Понятие переменный величины, ввёл французский философ и математик Рене Декарт. Также он ввёл фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношение других отрезков к нему. Таким образом, графики функций за всё время прошли через фундаментальные преобразования., приведших их к тому виду, как мы привыкли.

Графический метод График функции- множество точек, у которых с абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х , а ординаты- соответствующими значениями функции у. При графическом решении уравнения с параметром необходимо: 1.Найти область определения уравнения, т.е. область допустимых значений неизвестного и параметра, при которых уравнение может иметь решения. 2.Выразить параметр как функцию от x: 3.В системе координат хОa построить графики функций и для тех значений х , которые входят в область определения уравнения. 4.Определить точки пересечения прямой с графиком функции .

Виды уравнений с параметрами Линейное ( ax=b) Квадратное (ax^2+bx+c=0) Логарифмическое Тригонометрическое

Решение логарифмического уравнения с параматером

Заключение Таким образом, графический способ определения числа корней уравнения зависимости от входящего в него параметра, является более удобным, чем аналитический. И в заключении хотелось бы сказать, что работа над данной темой была интересной и познавательной. Изучив метод решения уравнений с параметром, я обогатила свой опыт: -Новыми понятиями -Узнала методы, которые выходят из рамки школьной программы. -Углубила и расширила свои знания. Изучив данную тему, можем сделать вывод. Параметр- это буква, которая никому ничем не обязана и может принимать любые допустимые значения .

Презентация по математике «Графический способ решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

эпиграф «Расскажи – и я забуду, Покажи – и я запомню, Дай попробовать – и я пойму» Китайская пословица

Графический метод решения уравнений 9 класс 14.11

№ 1. Повторение. Линейные функции. y = kх + b Верно!

№ 1. Повторение. Функции прямой пропорциональности. у = kx Правильно!

№ 1. Повторение. Функции обратной пропорциональности. у = k/x И все!

№ 1. Повторение. Квадратичные функции. Молодцы! у = ах2 + bx +c

у = а y = kx y = kx + m y = x2 y = 1/x Прямая, параллельная оси Ох Парабола Гипербола Прямая, проходящая через начало координат Прямая №2. Выберите описание каждой математической модели.

Повторение. №3. Найдите соответствия: Какой график является графиком функции прямой пропорциональности?

№4. Найдите соответствия: 1. 3. 2. 4.

№5. Найдите соответствия: Хорошо!

Задание . Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже: 1 2 6 4 3 5 0 Х У а)у = 6 — х; б)у = 2х + 3; в)у = (х + 6)2; г)у = -(х — 7)2 +1;

Алгоритм решения Для того чтобы решить уравнение графическим способом необходимо: Привести уравнение к виду f(x)=g(x); Построить графики функций у=f(x) и у=g(x); Найти и отметить точки пересечения графиков (если они есть); Значение абсциссы точки пересечения считать решением уравнения.

Х=-1 Х=2 По готовому рисунку составить уравнение и решить его

По готовому рисунку составьте уравнение и решите его у=х2 х2=√х х=0 х=1 у=√х

Историческая справка. Графическое решение уравнений стало возможным, благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начиная с 17 века. Но первоначально идея координат зародилась в древности в связи с потребностями астрономии и географии. Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (2 век до н.э.) применил метод координат для определения для определения местонахождения мореплавателя. Идеей координат пользовались в средние века для определения положения светил на небе. Применять координаты в математике впервые стали Пьер Ферма и Рене Декарт. Метод координат позволяет строить графики уравнений, изображать геометрически различные зависимости с помощью уравнений и формул, решать различные геометрические задачи с помощью алгебры.

Решить графически уравнение =-2 у=(х+1)/(х-2) у=-2 Ответ: один корень, х=1 1

Повторить §13 (глава II), №355 (б), № 342(а) , №356 Домашнее задание. 2. Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно? Рефлексия. 1.Что вы ожидали от работы на данном уроке? Сравните свои предварительные цели и реально достигнутые результаты. 3. Перечислите основные трудности, которые вы испытывали во время урока. Как вы их преодолевали?

Надо же как все просто. Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного. Р.Бах “Иллюзии”

Спасибо за урок

источник шаблона: Сайт: http://pedsovet.su/

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 956 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 897 материалов в базе

Другие материалы

• 25.09.2015
• 1384
• 0

• 25.09.2015
• 1897
• 14

• 25.09.2015
• 4181
• 19

• 25.09.2015
• 432
• 0

• 25.09.2015
• 3929
• 41

• 25.09.2015
• 2323
• 7

• 25.09.2015
• 4846
• 299

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 25.09.2015 703
• PPTX 557.3 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Борисова Елена Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 11613
• Всего материалов: 8

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.