Кто придумал уравнения в алгебре

В мире уравнений

В мире уравнений

СОШ №41 с.Аксаково,

Кто и когда придумал первое уравнение? Ответить на этот вопрос, невозможно.

Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времен и народов. Задачи, сводящиеся к простейшим уравнениям, люди решали на основе здравого смысла с того времени, как они стали людьми. А учебные задачи, которые мы сегодня решаем при помощи уравнений, были хорошо известны еще в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции. Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. Там появился трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала», в котором были даны общие правила для решения уравнений первой и второй степени. Это сочинение оказало большое значение на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки -алгебра –области математики, связанной с искусством решения уравнений.

Выбор темы моего исследования не случаен, т.к. решение уравнений — едва ли не самый распространенный тип экзаменационных задач. На протяжении всех лет обучения в школе мы решаем уравнения, но школьный курс алгебры предусматривает ограниченный набор уравнений. Я умею, без ограничений, решать уравнения первой и второй степени, умею так же решать биквадратные уравнения и особого интереса к ним не проявляю. Интересны уравнения больших степеней. Поэтому объектом моего исследования стали уравнения высших степеней. Цель моей работы заключается в поиске методов решения уравнений произвольных степеней.

Под уравнениями высших степеней понимаются уравнения вида f(х)=0,где f(х)- многочлен степени выше двух. Это может быть кубическое уравнение aх 3 +bх 2 +cх+d=0 или уравнение четвертой степени aх 4 +bх 3 +cх 2 +dх+e=0, или уравнение пятой степени, и так далее. Среди них есть такие, решения которых сводятся, как правило, к квадратному уравнению, либо к определенным формулам Виета, Кардано, Феррари. Наиболее общий прием решения уравнений произвольной степени опирается на теорему Безу или ее следствия.

Таким образом, изучив научно-популярную литературу по данной теме, я выяснила, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения не выше четвертой степени можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни. Общей формулы, применимой ко всем уравнениям пятой степени и выше, не существует. Но имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам, т.к. в прикладных задачах нас интересуют только приближенные значения корней уравнения, а его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет.

Настоящая работа будет полезна любознательным школьникам, а так же может служить справочным учебным пособием для выпускников школы. Она позволит улучшить подготовку и математический кругозор в решении уравнений произвольных степеней.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №41 с. Аксаково

муниципального района Белебеевский район РБ

В мире уравнений

МБОУ СОШ№41 с. Аксаково

Андреева Зинаида Маркеловна

1 Алгебра – наука о решении уравнений 5-6

2 Уравнения высших степеней

2.1 Кубические уравнения 7

2.2 Уравнения четвертой степени 8

2.3 Симметрические уравнения четвертой степени 9

2.4 Уравнения высоких степеней

2.5 Алгебраические уравнения и группы Галуа 10

3 Методы решения уравнений высших степеней

3.1 Разложение многочлена на множители 11

3.2 Метод введения параметра 12

3.3 Метод введения новой переменной

3.4 Комбинирование различных методов 13

3.5 Методы решения симметрических уравнений 3-й и 4-й степеней 14

3.6 Теорема Безу и ее следствия

3.7 Метод Кардано 16

3.8 Метод Феррари 17

3.9Теорема Виета 18-19

Приложение 22 2 Введение

1. Важность и актуальность исследования

Кто и когда придумал первое уравнение? Ответить на этот вопрос невозможно. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времен и народов.

«Можно утверждать, что решение полиномиальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времен вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из основных целей» — эти слова французских математиков А. Гротендик (род. 1928) и Ж. Дьедоне (род. 1906), точки зрения которых придерживаются и современные ученые на содержание алгебры.

Выбор темы моего исследования тоже не случаен, так как решение уравнений — самый распространенный тип экзаменационных задач. На протяжении всех лет обучения в школе мы решаем уравнения, но школьный курс алгебры предусматривает ограниченный набор уравнений. Я умею, без ограничений, решать уравнения первой и второй степени и особого интереса к ним не проявляю. Интересны уравнения больших степеней.

Под термином «уравнения высших степеней» понимаются уравнения вида f(x)=0, где f(x)- многочлен степени выше двух. Это может быть кубическое уравнение aх 3 +вх 2 +cх+d=0 или уравнение четвертой степени ах 4 +bх 3 +сх 2 +dх+е=0, или уравнение пятой степени, и так далее. Среди них есть такие уравнения, решения которых сводятся, как правило, к линейным и квадратным по хорошо известным методам. Это разложение на множители многочлена f(х) и введение новой переменной. Но вызвал большой интерес нелинейные уравнения общего вида, решения которых невозможно найти указанными методами. Передо мной встал вопрос: существуют ли другие способы решения уравнений высших степеней? Не попытаться ли, как это делается в математике, отыскать общую формулу, пригодную для решения любых уравнений?

Материал исследования составляют теоретические и практические стороны решения уравнений высших степеней.

Объект исследования- уравнения высших степеней.

Предмет исследования — научно-популярная литература по математике.

3. Цель и задачи исследования

Цель исследования — найти методы решения уравнений высших степеней.

Общая цель исследования определяет конкретные задачи:

-изучить научно-популярную литературу по данной теме;

-выяснить существование специальных методов решения уравнений произвольной степени;

-установить, существует ли формула, выражающая корни любого алгебраического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами;

-на практике убедиться в правильности данных методов.

4. Практическая значимость исследования.

Материал данного исследования имеет практическую значимость и будет полезна любознательным школьникам, а так же выпускникам школы. Она позволит улучшить подготовку и расширить математический кругозор в решении уравнений произвольных степеней.

5. Методы исследования

Основными методами исследования являются:

1 Алгебра – наука о решении уравнений

Алгебра-часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями решались еще в Древнем Египте и Вавилоне. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме, не применяли буквенной символики. Путем проб и ошибок числа в условиях задач подбирались так, чтобы получались «хорошие» ответы (натуральные). Других чисел древние египтяне не знали. Более сложные задачи умели решать в Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени. При этом вавилоняне так же не использовали букв, а излагали решения задач в словесной форме. Способы решения конкретных уравнений дают основание считать, что вавилоняне владели общими правилами нахождения корней уравнений первой и второй степени. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный корень из числа, не являющегося точным квадратом, находили приближенное значение корня. Но эти достижения еще нельзя было назвать наукой, т.к. не было общей теории.

Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Все алгебраические утверждения выражали в геометрической форме. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить отрезок. Большинство задач решалось путем построения циркулем и линейкой, но не все задачи поддавались такому решению. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадраты (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Геометрический путь решения уравнений был гениальной находкой античных математиков, но он сдерживал развитие алгебры. Алгебраические методы, ростки которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции не получили развития.

Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. В Багдаде был создан «Дом мудрости», куда по воле халифа собрали образованных людей со всех сторон халифата. Эти мудрецы не только переводили труды своих великих предшественников, но и творили сами. Одним из них был Мухаммед бен Мусса аль- Хорезми. Наиболее значительным его трудом является трактат по алгебре, в котором впервые были разработаны правила преобразования уравнений. Уравнения у него, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме. Но на этих конкретных примерах он показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. В греческих традициях строго геометрически обосновывает свои способы. Любое уравнение должно было быть преобразовано к одному из рассмотренных видов с помощью двух операций: 1) восполнение-перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть; 2)противопоставление-приведение подобных членов. Это сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр вак-мукабала» оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра ( области математики, связанной с искусством решения уравнений).

Итак, решать линейные и квадратные уравнения можно, не записывая каких-либо формул, не зная буквенных обозначений, а только лишь хорошо запомнив многочисленные правила. Но при решении уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней без настоящей алгебры двигаться было трудно.

Для математиков, уже умевших — после вавилонян, Евклида и аль — Хорезми –решать линейные и квадратные уравнения, самым желанным было научиться решать уравнения третьей степени (кубические).

2 Уравнения высших степеней

2.1 Кубические уравнения

В 11 веке известный поэт, астроном и математик Омар Хайям без буквенной символики и отрицательных чисел описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел геометрический способ их решения.. Занимался кубическими уравнениями и его современник арабский энциклопедист ал–Бируни. Корни уравнений третьей степени они строили при помощи пересечения парабол, гипербол, окружностей, каким способом решали задачи и греческие геометры. Но арабов, чья математика тяготела к вычислениям, интересовало и численное значение корней. Многие ученые пытались найти правило вычисления корней кубического уравнения, но потерпели неудачу.

Все кубические уравнения являются разновидностями уравнения самого общего вида, т.е. уравнения вида

аx 3 + bx 2 + cx + d =0, где а≠0

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнения третьей степени. Были периоды, когда начинало казаться, что сил человеческого ума для решения этой задачи недостаточно. В конце ХV века профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своём знаменитом учебнике «Сумма ‮знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов Даля Ферро, Никколо Тартальей, Джероламо Кардано вскоре такой метод был найден- выделение полного куба. Д.Кардано написал большую книгу, посвященную алгебре. Главным украшением этой книги и была «формула Кардано», как ее называют теперь. Но формулу Кардано нельзя применять без учета некоторых дополнительных условий и ограничений. Пусть практическое значение этих формул невелико-трудно переоценить тот мощный импульс, который они дали развитию современной алгебры.

Важный вклад в развитии науки внес французский математик Франсуа Виет. Пытаясь решить задачу, каким образом корни уравнения выражаются через коэффициенты, он записал систему равенств. Отыскивая одно, он придумал другое: обозначить буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Путем преобразований Ф.Виет доказал, что второй коэффициент данного уравнения приведенного вида равен сумме корней уравнения, взятой с противоположным знаком, третий коэффициент равен сумме попарных произведений корней уравнения, четвертый коэффициент равен сумме всех возможных произведений корней уравнения по три, взятой с противоположным знаком и т.д., свободный член уравнения равен произведению всех корней уравнения, умноженному на (-1) n . Эта связь коэффициентов уравнения приведенного вида с его корнями называется обобщенной теоремой Виета. Она позволяет более легко составлять уравнения по их корням. Хотя буквенная символика Виета обладала некоторыми недостатками, тем не менее это был огромный шаг вперед, до него в математике не было формул. Недаром Виета часто называют «отцом алгебры».

2.2 Уравнения четвертой степени

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в ХVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется — метод Феррари.

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

x 4 +px 3 +qx 2 +rx+s=0

можно избавиться от члена px 3 подстановкой x=y-p/4. Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде А 2 =В 2 , где левая часть- квадрат выражения А=x 2 +s, а правая часть- квадрат линейного выражения В от х, коэффициенты которого зависят от s. После этого останется решить два квадратных уравнения: А=В и А=-В. Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра s.

2.3 Симметрические уравнения четвертой степени

Если уравнение имеет вид Р(Q(x))=0, где Р и Q- многочлены, то замена y=Q(x) сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: Р(y)=0 и Q(x)=y. Замена используется, в частности, при решении биквадратных уравнений.

Более интересный случай- возвратные уравнения, т.е. уравнения четвертой степени

a 2n x 2n +a 2n-1 x 2n-1 +…+a 1 x+a 0 =0,

в которых коэффициенты, одинаково отстоящие от концов, равны: a 2n = a 0, a 2n-1= a 1 и т.д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на x n и последующей заменой y=x±1/x.

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение x k +1/x k при любом k можно представить как многочлен степени k от y=x+1/x.

2.4 Уравнения высоких степеней

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени не превышающей степень уравнения. Более того все уравнения данной степени n(n≤4) можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получили все корни — и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель вначале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля — Руффини звучит так:

Общее уравнение степени n при n≥5 неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени n≥5, не существует.

Хотя уравнения высоких степеней неразрешимо в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнение выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

2.5 Алгебраические уравнения и группы Галуа

Теория Галуа позволяет выяснить для любого конкретного уравнения, решается ли оно в радикалах. Для этого данному уравнению сопоставляется некоторая группа перестановок его корней. Важно, что эту группу, названную сейчас группой Галуа, можно определить, не вычисляя корней уравнения, только по его коэффициентам. Галуа установил связь между разрешимостью алгебраического уравнения в радикалах и особым свойством группы этого уравнения, которое также было названо разрешимостью. В частности, любая коммутативная группа разрешима. Если коэффициенты уравнения рациональны и его левая часть не разлагается на множители с рациональными коэффициентами (неприводима), то это уравнение разрешимо в радикалах только тогда, когда разрешима его группа Галуа.

Например, уравнение x 5 — 4x + 2=0 имеет пять различных корней. Хотя они нам неизвестны, можно показать, что группа Галуа данного уравнения совпадает с группой всех перестановок его пяти корней — это самая «большая» из возможных групп для уравнений пятой степени. Доказывается, что эта группа неразрешима. Следовательно, корни данного уравнения не выражаются в радикалах, а значит, общей формулы для решения уравнений пятой степени в радикалах не существует.

3 Методы решения уравнений высших степеней

3.1 Разложение многочлена на множители

При решении алгебраических уравнений часто приходится разлагать многочлен на множители. Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Некоторые методы разложения многочленов мы употребляем достаточно часто: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, группировка. Рассмотрим ещё некоторые методы.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

1. если многочлен a n +a n-1 x+…+a 0 x n ,a 0 ≠0, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень х= p/q (где p/q- несократимая дробь, p є Z, q є N), то p- делитель свободного члена a n , а q- делитель старшего коэффициента а 0 ;
2. если каким-либо образом подобрать корень х=а многочлена Р n (x) степени n, то многочлен Р n (x) можно представить в виде Р n (х)=(х-а) Р n-1 (х), где Р n-1 (х)- многочлен степени n-1.

Многочлен Р n-1 (х) можно найти либо делением многочлена Р n (х) на двучлен (х-а) «столбиком», либо соответствующей группировку слагаемых многочлена и выделением из них множителя х-а, либо методом неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить на множители многочлен

х 4 -5х 3 +7х 2 -5х+6

Решение. Поскольку коэффициент при х 4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, существуют, являются делителями числа 6, т.е. могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим данный многочлен через Р 4 (х). Так как Р 4 (1)=4 и Р 4 (-4)=23, то числа 1 и -1 не являются корнями многочлена Р А (х). Поскольку Р 4 (2)=0, то х=2 является корнем многочлена Р 4 (х), и, значит, данный многочлен делится на двучлен х-2.

х 4 -5х 3 +7х 2 -5х+6 х-2

х 4 -2х 3 х -3х +х-3

-3х +7х -5х+6

-3х +6х

х -5х+6

х -2х

-3х+6

Следовательно, Р 4 (х)= (х-2)( х -3х +х-3). Так как х -3х +х-3 =

= х 2 (х-3)+(х-3)= (х-3)(х 2 +1), то х 4 -5х 3 +7х 2 -5х+6=(х-2)(х-3)(х 2 +1).

3.2 Метод введения параметра

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода можно пояснить на следующем примере.

Пример. х 3 -(√3+1)х 2 +3.

Решение : рассмотрим многочлен с параметром а:

который при а=√3 превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трехчлен относительно а:

а 3 -ах 2 +(х 3 -х 2 ).

Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена есть а 1 =х и а 2 =х 2 -х, то справедливо равенство а 2 -ах 2 +(х 3 -х 2 ) = (а-х)(а-х 2 +х). Следовательно, многочлен х 3 -(√3+1)х 2 +3 разлагается на множители √3-х и √3-х 2 +х, т.е.

х 3 -(√3+1)х 2 +3=(√3-х)( х 2 -х-√3).

3.3 Метод введения новой переменной

В некоторых случаях путем замены выражения f(х), входящего в многочлен через у можно получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замены у на f(х) получаем разложение на множители многочлена Р n (х).

Пример: разложить на множители многочлен

Решение : преобразуем данный многочлен следующим образом:

(х+1)(х+2)(х+3)-15= = (х 2 +3х)( х 2 +3х+2)-15.

Обозначим х 2 +3х через у. тогда имеем

х(х+1)(х+2)(х+3)-15=( х 2 +3х+5)( х 2 +3х-3).

Пример: разложить на множители многочлен (х-4) 4 +(х+2) 4

Решение : обозначим = х-1 через у.

Тогда (х-4) 4 +(х+2) 4 =(у-3) 4 +(у+3) 4 =у 4 -12у 3 +54у 3 -108у+81+у 4 +12у 3 +54у 3 +108у+81=

=2у 4 +108у 2 +162=2(у 4 +54у 2 +81)=2((у 2 +27) 2 -648)=2(у 2 +27-√648)(у 2 +27+√684)=

=2((х-1) 2 +27-√684)((х-1) 2 +27+√684)=2(х 2 -2х+28-18√2)( х 2 -2х+28+18√2).

3.4 Комбинирование различных методов

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов.

Пример: разложить на множители многочлен

Решение : Применяя группировку, перепишем многочлен в виде

х 4 -3х 2 +4х-3=( х 4 -2х 2 )-(х 2 -4х+3).

Применяя к первой скобке метод выделения полного квадрата, имеем:

х 4 -3х 2 +4х-3=(х 4 -2∙1∙х 2 +1)(х 2 -4х+4).

Применяя формулу полного квадрата, можно теперь записать, что:

х 4 -3х 2 +4х-3=(х 2 -1) 2 -(х-2) 2 .

Наконец, применяя формулу разности квадратов, получим, что:

х 4 -3х 2 +4х-3=( х 2 -1+х-2)( х 2 -1-х+2)=( х 2 +х-3)(х 2 -х+1).

3.5 Решение симметрических уравнений третьей и четвертой степеней

а) решение симметрических уравнений третьей степени.

Пример: решить уравнение 3х 3 +4х 2 +4х+3=0.

Решение : это уравнение является симметрическим уравнением третьей степени.

Поскольку 3х 3 +4х 2 +4х+3=3(х 3 +1)+4х(х+1)=(х+1)(3х 2 -3х+3+4х)=

=(х+1)(3х 2 +х+3), то данное уравнение равносильно совокупности уравнений

Решение первого из этих уравнений есть х= -1, второе уравнение решений не имеет.

б) решение симметрических уравнений четвертой степени.

Пример: решить уравнение х 4 -5х 3 +8х 2 -5х+1=0.

Решение : Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х=0 не является его корнем, то, разделив данное уравнение на х 2 , получим равносильное ему уравнение:

х 2 -5х+8-5/х+1/х 2 =0

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

х 2 +1/х 2 -5(х+1/х)+8=0

Заменив х+1/х на у, получим уравнение

имеющее два корня у 1 =2 и у 2 =3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений х+1/х=2 и х+1/х=3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х =1, а решение второго есть х и х 3 = .

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: х , х , х 3.

3. 6 Теорема Безу и ее следствия.

Наиболее общий прием решения уравнений высших степеней опирается на теорему Безу и ее следствия. Рассмотрим эту теорему и её следствия.

Пусть имеем многочлен М(х)=а 0 х n +а 1 х n-1 +…+a n , целый относительно х, т.е. многочлен с целыми неотрицательными показателями х, х-а- двучлен. Тогда теорема Безу утверждает:

Остаток от деления многочлена, целого относительно х, на двучлен х-а равен значению многочлена при х=а.

Если разделить многочлен М(х) на х-а, то в частности получится многочлен Q(x), степень которого на 1 меньше степени многочлена М(х), и некоторый остаток R. Очевидно, что остаток R не содержит х, т.е равен постоянному числу, так как степень остатка меньше степени делителя.

Тогда М(х)=(х-а)Q(х)+R. Это равенство верно при любом значении х. Оно является тождеством. Положим в нем х=а. Получим:

т.е М(а)=R, R= М(а). Теорема доказана.

Значение а, при котором R=0, называется корнем многочлена М(х). Оно является и корнем уравнения М(х)=0, так как М(а)=0.

Основная теорема алгебры утверждает, что любой многочлен с числовыми коэффициентами, целый относительно х, имеет по крайней мере один корень х 1 . Из теоремы Безу в этом случае следует, что М(х)=(х- х 1 ) Q(x),где степень многочлена Q(x) на 1 меньше степени многочлена М(х). Заменим в уравнении М(х)=0 левую часть произведения (х- х 1 ) Q(x). Получим (х- х 1 ) Q(x)=0. Приравнивая к нулю множитель х- х 1 , получим уже найденный корень х 1 . Приравняем к нулю второй множитель Q(x)=0. Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что последнее уравнение имеет хоть один корень х 2 . Тогда левую часть уравнения Q(x)=0 можно заменить произведением (х-х 2 )Q 1 (х)=0, где Q 1 (х)-многочлен степени n-2. Продолжая рассуждать дальше, убеждаемся, что уравнение n-й степени имеет ровно n действительных или мнимых корней.

Если все коэффициенты в уравнении — действительные числа, то каждый мнимый корень уравнения обязательно имеет сопряженный ему корень этого уравнения, т.е. если уравнение с действительными коэффициентами имеет корень х 1 =а+bi, то оно имеет и корень х 2 =а-bi.

Пример: решить уравнение х 4 -3х 3 -8х 2 +12х+16=0.

Решение : выписываем делители свободного члена 16:

При х=1 в левой части уравнения получим 1-3-8+12+16≠0. Единица не является корнем уравнения.

Проверим х=-1. Левая часть уравнения будет равна 1+3-8-12+16=0, х 1 = -1-корень уравнения.

Делим левую часть уравнения на х-х 1 =х+1:

х 4 -3х 3 -8х 2 +12х+16 х+1

± х 4 ± х 3 х 3 -4х 2 -4х+16

±4 х 3 ±4х 2

±4х 2 ±4х

16х+16

Приравниваем к нулю полученное частное:

Проверяем, является ли х=2 корнем этого уравнения:

8-16-8+16=0, т.е. х 2 =2 – корень этого уравнения.

3.7 Метод Кордано

Данным методом решаются лишь уравнения вида х 3 + рх + q = 0

Используем формулу куба суммы: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab·(a + b)

Заменим (а + b) на х:

х 3 – 3abx – (a 3 – b 3 ) = 0

Исходное уравнение равносильно системе уравнений:

Эту систему можно решать по-разному, но результат один:

Это и есть формула Кардано , часто использующаяся при решении кубических уравнений, когда обычные методы не помогают.

Пример. Решим уравнение х 3 + 15х + 124 = 0

Решение. Имеем p = 15, q = 124.

3.8 Метод Феррари

х 4 + dx 3 + ax 2 + bx + c = 0

Избавляемся от dx 3 подстановкой

х 4 + ах 2 + bx + с = 0.

Идея в том, чтобы представить уравнение в виде А 2 =В 2 , где А = х 2 + s, а В – линейная функция от х. Тогда останется решить уравнение А = ± В.

Возьмем Тогда, учитывая исходное равенство, получим:

Пусть t 0 – корень последнего уравнения. Тогда при t = t 0 правая часть-квадрат:

Решив эту систему, мы найдем решение исходного уравнения.

Это и есть метод Феррари.

Пример. х 4 + 8х 3 + 11 = 68х

Решение . Добавив к обеим частям уравнения 16х 2 и перенеся свободный член вправо, перепишем уравнение следующим образом:

(х 2 +4х) 2 =16х 2 +68х-11

Введем неизвестное t и добавим к обеим частям уравнения выражение t 2 -2(х 2 +4х)t.

( х 2 + 4х – t) 2 = ( 16 — 2t)х + ( 68 — 8t)х — ( 11 – t 2 ).

Левая часть уравнения является квадратом. Найдем такое значение t, при котором квадратный трехчлен от х, стоящий в правой части, тоже является полным квадратом. Для этого нужно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена равнялся нулю, т.е. чтобы выполнялось равенство

( 34 — 4t) 2 + (16 — 2t) (1 1 – t 2 ) = 0.

Раскрыв в нем скобки, придем к кубическому уравнению

t 3 – 147t + 666 = 0, где t = 6 –корень уравнения.

При t = 6 исходное уравнение принимает вид:

( х 2 + 4х – 6 ) 2 = ( 2х + 5 ) 2 .

Значит, х 2 + 4х – 6 = ±(2х + 5).

Решая оба получившихся уравнения, найдем четыре корня данного уравнения:

3.9 Теорема Виета

х 3 + px 2 + qx + r = 0

Если х 1 , х 2 , х 3 – корни уравнения, то его можно записать в виде

(х – х 1 )·(х – х 2 )·(х – х 3 ) = 0

Преобразуем, раскрыв скобки:

х 3 – (х 1 + х 2 + х 3 )х 2 + (х 1 х 2 + х 1 х 3 + х 2 х 3 )х – х 1 х 2 х 3 = 0

Имеем возможность вместо одного уравнения третьей степени записать такую систему из трех уравнений:

Эти загадочные уравнения

Окружная научная конференция учащихся

Эти загадочные уравнения

Наумов Виктор, ученик 6 класса

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

с. Красный Яр, 2013 г.

· Введение. Актуальность проблемы изучения способов решения

Глава 1. Исторические сведения…………………………………….4-8

Глава 2. Эти загадочные уравнения………………………………..8-15

2.1. Что мне было известно про уравнение………………………..8-9

2.2. Решение простейших уравнений …………………..……

2.3. Что я нового узнал об уравнениях из школьных учебников……………………………………………………………11-15

Глава 3. Что я нового узнал об уравнении из дополнительной

3.1. Тайное становится явным (исследование)………….……… 15-18

3.2. Способы решения уравнений……………………….……….. 18-20

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестной компоненты…………………………………………………….…………..18

б) Решение уравнений методом весов…………………………..18

в) Решение уравнений методом проб и ошибок………………..19

г) Решением уравнений методом перебора……………. 19

3.3 Математические фокусы…………………………………. 21-23

· Список использованной литературы……………………. 25

· Приложения. Задания для моих одноклассников

Введение. Актуальность проблемы

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить выражение, которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение для определения неизвестной величины. Кто и когда придумал уравнения? Кто ввёл неизвестные величины? Как решаются уравнения? Эти проблемные вопросы, думаю, интересны многим, в том числе и мне. Я высказал гипотезу, что существуют какие-то определенные способы решения уравнений и поставил перед собой цель:

• изучить способы решения уравнений

• углубить математические знания по этой теме

• расширить представления о математике как о языке описания окружающего мира

• изучить литературу и систематизировать материал по данной теме

• исследовать свойства преобразования уравнений

• выявить основные доступные способы решения уравнений

• выработать навыки поисково-исследовательской работы

• систематизация изученного материала

• классификация уравнений по способам их решения

Объект исследования: Уравнения

Предмет исследования: Способы решения уравнений

Слова уравнение и равенство имеют один и тот же корень. Да, и на самом деле, уравнение – это равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти.

Уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

В начальной школе я научился решать самые простые уравнения, в пятом и шестом классах мы уже решали более сложные уравнения, а в старших классах я научусь решать разные виды уравнений. Существует целая наука алгебра, которая изучает различные виды уравнений и способы их решения. С алгеброй, как учебным предметом, мне предстоит встретиться только в седьмом классе.

Но мне не захотелось ждать седьмого класса. Из дополнительной литературы я решил узнать новое, интересное и загадочное об уравнениях. Поэтому тема моей работы «Эти загадочные уравнения».

Глава 1.Исторические сведения

Кто и когда придумал первое уравнение?

Задачи, которые довольно просто мы сегодня можем решить при помощи уравнений, решали хорошо обученные науке мудрецы, чиновники и жрецы ещё в Древнем Вавилоне и Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Индии и Древней Греции. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние учёные владели какими-то общими приёмами решения задач с неизвестными. Однако ни в одном папирусе, ни на одной глиняной табличке не дано описание приёмов. Авторы лишь изредка снабжают выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты верно нашёл!» В те времена не было ещё общепринятых теперь обозначений неизвестных буквами, а действий – знаками. Древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначающее неизвестное число, но так как у них не было ещё знаков равенства и знаков действий, то записывать уравнения они, конечно, не умели. Уравнения записывались словами.

Но и в «словесной форме» уравнения существенно облегчали решение задач.

Первым придумал обозначение для

неизвестных греческий математик

Диофант, живший в III веке.

Посредством уравнений, теорем

Он уйму всяких разрешал проблем.

И засуху предсказывал, и ливни –

Поистине его познанья дивны.

Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней и переведена на русский язык.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки ещё не знали цифр и обозначали числа при помощи букв своего алфавита. Первые девять букв: обозначали числа от 1 до 9; следующие девять:обозначали числа от 10 до 90; наконец, следующие девять: обозначали числа от 100 до 900. чтобы не ошибиться и не принять число за слово, над буквами, обозначающими число, ставилась чёрточка. Букв в алфавите было 28, одна из них была особой – она обозначалась (сигма концевая), ставилась только в конце слов и числового значения не имела. Вот ею-то Диофант и стал обозначать неизвестную величину, так же как мы обычно обозначаем её буквой х.

Придумав это, Диофант стал двигаться дальше. И вместо слова «получится» или «равняется» стал писать — две первые буквы слова («исос» — равный). Диофант придумал знак и для вычитания – им служила буква (пси), только перевёрнутая. А без знака сложения Диофант обходился довольно просто – слагаемые записывал рядом друг с другом. Придумал Диофант и два основных приёма решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону уравнения и приведение подобных членов. С этими приёмами я познакомлюсь при изучении математики в этом году.

Первым руководством по решению уравнений, получившим широкую известность, стал труд арабского учёного IX века Мухаммеда Бен Мус аль -Хорезми. Об аль – Хорезми известно лишь, что он написал ряд трудов по астрономии и географии. И самое главное – он написал сочинение, которое по-арабски называется «Китаб аль-джебр валь-мукабала» (Книга о восстановлении и противопоставлении). Это сочинение оказало большое влияние на развитие математики в Европе, а само слово «аль-джебр», входившее в название книги, постепенно стало названием науки – алгебра. Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Аль-Хорезми одним из первых стал обращаться с уравнениями так, как торговец обращается с рычажными весами. Пусть, например, имеется равенство 5х – 16 = 20 – 4х. Считая, что оно задаёт равновесие некоторых грузов на чашах весов, торговец вправе заключить, что равенство не изменится, если он на обе чаши добавит одно и то же количество:

было 5х – 16 = 20 – 4х,

стало 5х = 36 – 4х.

После этой операции прибавления одинаковых количеств число 16 исчезло из левой части исходного равенства, зато со знаком плюс оно возникло (восстановилось) в правой части. Точно так же на обе чаши весов можно добавить одно и то же количество 4х:

было 5х = 36 – 4х.,

Опять из правой части равенства выражение 4х пропало, а в левой части оно восстановилось со знаком плюс. Из полученного простого равенства 9х = 36 уже легко вычислить, что х = 4.

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (если оно не нуль). Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми.

Новый великий прорыв в решении уравнений связан с именем французского учёного XVI века Франсуа Виета. Он первым из математиков ввёл буквенные обозначения для неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (х, у или z) мы обязаны соотечественнику Виета – Рене Декарту.

Таким образом, решению уравнений уделялось всегда большое внимание. В древности считалось, что уравнения связаны с тайной, которую нужно разгадать, найдя значение неизвестной величины. Людей, которые могли решать уравнения, считали мудрецами, посвященными в эту тайну, так как уравнения были связаны с решением житейских проблем.

Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы» С. Коваль

Сезам – заклинание в арабской сказке, силой которого раскрывалась тайная сокровищница.

Глава 2. Эти загадочные уравнения.

2.1.Что мне было известно про уравнение

В учебнике «Математика – 4, часть 2» в разделе «Справочный материал» на странице 92 про уравнение можно прочитать следующее:

« Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестное число в таком равенстве обозначают латинской буквой (например, х, а, b и др.). Решить уравнение – значит найти такое значение буквы, чтобы равенство стало верным. Например: 15 + х = 18 – уравнение. х = 3 – решение уравнения, так как 15 + 3 = 18 – верное равенство».

В учебнике Виленкина «Математика – 5», в п.10 на страницах 58-59 мы прочтём про уравнение почти то же самое.

Задача. На левой чашке весов лежит арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке – гиря в5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?

Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, то должно выполняться равенство х + 2 = 5.

Нужно найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3. Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.

Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.

Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.

Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. (Например, корнем первого уравнения х + 2 = 5 является число3).

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

Таким образом, уравнение характеризуется двумя свойствами, которые легко определить на глаз, по внешнему виду: 1) уравнение – это равенство; 2) в этом равенстве есть буква.

2.2. Решение простейших уравнений

Пример 1. Решим уравнение х + 37 = 85.

Решение. По смыслу вычитания неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого. Поэтому х = 85 – 37 , то есть х = 48.Число 48 является корнем уравнения х + 37 = 85, потому что 48 + 37 = 85.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример 2. Решим уравнение у – 94 = 18.

Решение. По смыслу вычитания у является суммой чисел 18 и 94. Значит, у = 18 + 94, то есть у = 112.Число 112 является корнем уравнения у – 94 = 18, так как верно равенство у – 94 = 18.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Пример 3. Решим уравнение 91 – z = 36.

Решение. По смыслу вычитания число 91 является суммой z и 36 , то есть z + 36 = 91. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 91 – 36, то есть z = 55.Число 55 является корнем уравнения 91 – z = 36, так как верно равенство 91 – 55 = 36.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Пример 4. Решим уравнение 35х = 175.

Решение. По смыслу деления имеем: х = 175 : 35, то есть х = 5. Число 5 является корнем уравнения 35х = 175, так как верно равенство 355 = 175.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.

Пример 5. Решим уравнение у : 8 = 16.

Решение. По смыслу деления у – произведение множителей 8 и 16. Значит, у = 168, то есть у = 128. Число 128 является корнем уравнения у : 8 = 16, так как верно равенство 128 : 8 = 16.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Пример 6. Решим уравнение 252 : z = 21.

Решение. По смыслу деления число 252 – произведение множителей 21 и z, то есть 21z = 252. Применяя правило нахождения неизвестного множителя, находим: z = 252 : 21, то есть z = 12. Число 12 является корнем уравнения 252 : z = 21, так как верно равенство 252 : 12 = 21.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Таким образом, при решении этих уравнений я использовал правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя).

Компонент — слово латинского происхождения, на русский язык переводится как составляющая часть, элемент чего-либо. По этим правилам мы решаем уравнения, начиная со второго класса.

2.3.Что я узнал об уравнениях из школьных учебников

При решении уравнений кроме способа нахождения неизвестного компонента, мы использовали еще второй способ, при котором упрощали выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойства сложения, вычитания и умножения.

Рассмотрю несколько заданий из учебника.

№ 000. Решите двумя способами уравнение:

а) (х + 98) + 14 = 169; б) (35 + у) – 15 = 31 .

Решу первое уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное слагаемое х + 98:

а потом найду слагаемое х: х = 155 – 98,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя сочетательное свойство сложения

а затем найду неизвестное слагаемое х:

Решу второе уравнение двумя способами:

1) сначала найду неизвестное уменьшаемое 35 + у:

а потом найду слагаемое у: у = 46 – 35,

2) сначала упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, используя свойство вычитания: (35 + у) – 15 = 31,

а затем найду неизвестное слагаемое у:

№ 000. Решите уравнение:

а) 3х + 5х + 96 = 1568;

Используя распределительное свойство умножения относительно сложения, упрощу левую часть первого и третьего уравнения, а распределительное свойство умножения относительно вычитания для второго и получу более простые уравнения. а) 8х + 96 = 1568;

б) 208z – 1843 = 11469;

После этого найду неизвестные компоненты: слагаемое, вычитаемое и множитель а) 8х + 96 = 1568,

х = 144. Ответ: 144.

б) 208z – 1843 = 11469,

208z = 11469 + 1843,

у = 167. Ответ: 167.

Еще в пятом классе я научился решать задачи с помощью уравнений.

Решу задачи из нашего учебника.

№ 000. Для школы купили 220 столов и стульев, причем стульев – в 9 раз больше, чем столов. Сколько столов и сколько стульев купили?

Решение. Пусть столов купили х штук, тогда стульев – 9х штук. Всего купили (х + 9х) штук, или 220. Получил уравнение: х + 9х = 220. Решу его. х + 9х = 220,

х = 22. Итак, купили 22 стола, тогда стульев – 229 = 198 .

№ 000(1). Первое число в 2,4 раза больше третьего, а второе число на 0,6 больше третьего числа. Найдите эти три числа, если их среднее арифметическое равно 2, 4.

Решение. Пусть третье число равно х, тогда 2,4х – первое число, а второе х + 0,6 . Среднее арифметическое этих чисел (2,4х + х + 0,6 + х) : 3 по условию задачи равно 2,4. Составлю уравнение и решу его.

(2,4х + х + 0,6 + х) : 3 = 2,4,

4,4х + 0,6 = 2,43,

1,5 –третье число, тогда 1,5 + 0,6 = 2,1 – второе число и 1,52,4 = 3,6 – первое число. Ответ: 3,6; 2,1 и 1,5.

Я провел маленькое исследование и убедился, что в учебнике «Математика – 5» достаточно много заданий, связанных с решением уравнений. Это задания первого вида: «Решите уравнение», «Угадайте корни уравнения» или «Найдите корни уравнения» и задания второго вида: «Решите задачу с помощью уравнения», «Придумайте задачу по уравнению», «Решите задачу».

372, 374, 375, 376, 379, 380, 395, 396, 439, 442, 445, 446, 462, 464, 482, 483, 485, 487, 490, 491, 496, 504, 505, 523, 524, 525 , 551, 568, 569, 570, 574, 576, 592, 593, 614, 615, 635, 639, 647, 660, 707, 727,

878, 1018, 1022, 1036, 1042, 1058, 1107, 1127, 1165, 1210, 1236, 1238, 1251, 1268, 1326, 1329, 1348, 1358, 1362, 1373, 1379, 1389, 1441, 1459, 1489, 1517, 1752, 1817.

373, 377, 397, 410, 440, 447, 484, 486, 489, 512, 526, 571,

572, 577, 578,579, 580, 581, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 594, 602, 603, 607, 618, 619, 621, 622, 623, 624, 641, 643, 665, 669, 704, 705, 706, 726, 777, 837, 870, 871, 997, 1126, 1081, 1073, 1105,

1140, 1170, 1253, 1328, 1349, 1350, 1351, 1430,1460, 1461, 1462, 1463, 1490, 1491, 1558, 1559, 15 97, 1647, 1669, 1755, 1756, 1757, 1758, 1760, 1838, 1839, 1840.

То есть, 155 номеров всех заданий учебника, а их 1849, связаны с решением уравнений, то есть = 0, 083 829…. 8,4%. Но если учесть, что в данном учебнике первое задание, связанное с решением уравнения начинается с номера 372, то 1849 – 371 = 1478 и = 0, 10 487… 10%.

Теперь можно сделать вывод, что после изучения темы «Уравнение», каждое 10-е задание учебника требует умений решать уравнения. И это еще раз подчеркивает важность изучения темы «Уравнение»

Глава 3. Что я узнал об уравнении из дополнительной литературы.

3.1.Тайное становится явным (исследование)

Представьте, что в очень лёгком — практиче­ски невесомом — кошельке содержится какое-то количество монет одинакового достоинства. Как узнать, сколько монет в кошельке, не за­глядывая внутрь? Есть очень простой способ: положим кошелёк на одну чашу рычажных ве­сов и уравновесим его монетками на другой чаше. Сколько монет для этого потре­буется — столько же их и в кошельке.

В кошельке семь монет.

Весы — испытанный измерительный инструмент продавцов, химиков и аптекарей приходит на помощь и в чуть более сложном случае.

На левой чаше находящихся в равновесии весов лежат кошелёк с неизвестным числом монет и ещё 5 монет рядом с ним, а на правой чаше — 15 точно таких же монеток. Для того чтобы узнать, сколько монет в кошельке, снимем по 5 монет с обеих чаш — равновесие при этом не нарушится.

Следовательно, внутри кошелька 10 монет

Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. В своём сочинении об уравнениях арабский учёный аль – Хорезми замечает, что равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушится и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число, если оно не равно нулю. Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества – стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль – Хорезми. Попробую и я воспользоваться этой палочкой, и насколько мне позволяют знания, исследовать и доказать, что аль – Хорезми был прав. Рассмотрю это на простом уравнении.

Проведу исследования и узнаю, на самом ли деле значение х = 19, останется везде одинаковым.

1) Прибавлю к обеим частям уравнения число 12, получу новое уравнение 2х + 28 + 12 = 66 + 12,

воспользуюсь правилом, что два соседних слагаемых можно заменять их суммой, тогда 2х + 40 = 78,

2) Вычту из обеих частей уравнения 16,

чтобы найти неизвестное уменьшаемое (2х + 28) нужно к разности прибавить вычитаемое 2х + 28 = 50 + 16,

1) Умножу обе части уравнения на 3,

(2х + 28) 3= 663,

воспользуюсь правилом, что при умножении суммы на число можно на него умножить каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить. 2х 3 + 28 3 = 198, применю правило, что от перестановки множителей произведение не изменяется, и получу 3 2х + 84 = 198,

4) Разделю обе части уравнения на 2,

(2х + 28) : 2 = 66 : 2,

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить 2х : 2 + 28 :2 = 66 : 2,

Вывод: значение корня не изменится, если :

— к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Эти правила применяются для решения уравнений методом весов.

3.2. Способы решения уравнений.

Из дополнительной литературы я узнал о некоторых способах решения уравнений, с которыми я разобрался, и они оказались мне понятными.

а) Решение уравнений с помощью правила нахождения неизвестного компонента. Решение уравнений этим методом я подробно рассмотрел в главе 2.

б) Решение уравнений методом весов. Решение уравнений методом весов я рассматривал в главе «Исторические сведения».

Решу уравнения таким методом.

а) 4х – 9 = 2х + 11, в) 8х – 10 = 5х + 8,

из обеих частей уравнения из обеих частей уравнения

отнимем по 2х и прибавим 9, отнимем по 5х и прибавим 10,

получим уравнение получим уравнение

х = 20 : 2, х = 18 : 3,

Проверка. 4 10 – 9 = 2 10 + 11, Проверка. 8 6 – 10 = 56 + 8,

40 – 9 = 20 + 11, 48 – 10 = 30 + 8,

Ответ: х = 10. Ответ: х = 6.

Уравнения такого вида мы научимся решать в конце 6 класса, используя правила преобразования выражений, а пока их можно решать методом весов.

в) Решение уравнений методом проб и ошибок

а) Решите уравнение х (х + 3) = 70.

Никакие известные нам правила не помогают найти решение этого уравнения. Попробуем тогда подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

Нам надо найти такое число х, чтобы значение выражения х(х + 3) было равно 70. Попробуем подставить в это выражение, например, х = 4: 4 (4 + 3) = 28. Мы видим, что выбранное число х слишком мало.

Возьмём теперь х = 6: 6 (6 + 3) = 54, и снова выбранное значение мало, хотя ближе к искомому. А следующая попытка оказывается удачной: при х = 7, имеем 7 (7 + 3) = 70. Значит, при х = 7 данное в условии равенство верно.

Казалось бы, уравнение уже решено, но это не так: ведь может оказаться, что буквенное выражение равно 70 при разных значениях букв. Поэтому нужны некоторые дополнительные рассуждения. Если бы число х было больше 7, то число х + 3 было больше 10, и тогда произведение оказалось бы больше 70. Точно так же число х не может быть меньше 7, иначе произведение будет меньше 70. Следовательно, среди натуральных чисел, есть только одно решение этого уравнения. Ответ: х = 7.

Итак, метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, если уравнение представляет собой новый, не изученный ещё объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одно не пропущено.

г). Решение уравнений методом перебора.

При решении уравнений методом проб и ошибок мы видели, что простой подбор одного неизвестного числа не даёт уверенности в том, что найдены все искомые значения. В этом состоит существенный недостаток метода проб и ошибок.

Указанного недостатка лишен другой метод решения уравнений – метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и даёт решение уравнение.

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем просто перебор всех чисел по — порядку.

Например, глядя на уравнение х (х + 3) = 54, можно заметить, что его натуральные корни должны быть делителями числа 54. Значит, х может принимать лишь значения: 1, 2, 3,6, 9, 18, 27, 54. Подставляя эти числа вместо буквы х в уравнение, находим единственный корень х = 6.

Решим еще одно уравнение методом перебора.

Делители числа 20 – 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Можно проанализировать и сделать вывод, что среди натуральных решений могут быть только числа большие 3, но меньшие 7. такими числами будут 4 и 5. проверим это.

х = 4, 4( 4 –– 4) = 4 13 = 12.

х = 5, 5(5 – 2)(7 – 5) = 52 2 = 20.

х= 5 – корень уравнения.

Если бы мы не делали анализа, то нам нужно было проверить все 6 чисел. А если число имеет много делителей, то перебор вариантов может оказаться слишком громоздким. Не всегда удаётся подобрать корни уравнения, и тем более доказать единственность решения. Может оказаться, что среди натуральных чисел решения нет, а среди других чисел оно есть.

Именно поэтому математики всегда стремились найти общие решения различных классов уравнений.

3.3. Математические фокусы.

В этом разделе я хочу показать, как с помощью уравнений отгадывать математические загадки и показывать математические фокусы. Основной темой математических фокусов являются угадывание задуманных чисел или результатов действий над ними. Весь секрет фокусов в том, что «отгадчик» знает и умеет использовать особые свойства чисел, а задумавший этих свойств не знает. Математический интерес каждого фокуса и заключается в разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы. Рассмотрю один из математических фокусов. Фокусник предложил каждому из публики задумать число. Потом он сказал: «Прибавьте к задуманному числу 5. Теперь из результата вычтите 2. Теперь к результату прибавьте 7». Потом фокусник спросил у желающих, какое число получилось. Услышав ответ, он немедленно объявил каждому, какое число тот задумал. Этот фокус легко разгадать, если умеешь составлять и решать уравнения. Слева запишу задания «фокусника», а справа — выражения, которые он мысленно при этом составляет.

Задумайте число. Обозначаю его буквой х. Прибавьте к нему число 5. Получается число х + 5.

Из результата вычтите 2. Получается (х + 5) – 2.

К результату прибавьте 7. Получается ((х + 5) – 2) + 7. Скажите ваш результат. Допустим, он равен 17.

Приравнивая составленное выражение ((х + 5) – 2) + 7 к 17, получаю уравнение. ((х + 5) – 2) + 7 = 17, Упростим левую часть уравнения, воспользовавшись свойствами сложения и вычитания: ((х + 5) – 2) + 7 = (х + (5 – 2)) + 7 = (х + 3) + 7 = х + (3 + 7) = х + 10. Уравнение теперь получилось совсем простое : х + 10 = 17. Задуманное число х = 17 – 10, х = 7. Такие фокусы нетрудно придумать и самому. Например, эти два фокуса я придумал сам.

· Задумайте число, утройте его. Прибавьте к результату 10, а затем вычтите 1.Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 9 и результат разделить на 3).

· Задумайте число, прибавьте к нему 15, затем вычтите 7 и прибавьте задуманное число. Скажите, сколько получилось? А я скажу, какое число вы задумали (нужно от названного числа отнять 8 и результат разделить на 2).

Удивительной для непосвященных кажется способность отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые. Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычисть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (x-1)2 – x, где x – задуманное число. Раскрыв скобки, и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно x-2. Если ответ равен 23, то задумано число 21. Чтобы угадать задуманное число нужно от результата отнять 2

1.Задумайте число. Умножьте его на 3. К полученному прибавьте полученное разделите на 3. Скажите, сколько получилось?

Решение. (3х + 6) : 3 = х + 2. Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 2.

2. Задумайте число. Умножьте его на 4. Из полученного вычтите 3. Полученное умножьте на 3, К полученному прибавьте 5. Полученное разделите на 4. К полученному прибавьте 1. Скажите, сколько получилось? Решение. ((4х – 3)3 + 5) : 4 + 1 = (12х – 9 + 5) : 4 + 1 = ( 12х – (9 – 5)) : 4 + +1 = (12х – 4) : 4 + 1 = 3х – 1 + 1 = 3х – (1 – 1) = 3х – 0 = 3х.

Чтобы получить задуманное число, нужно названное число разделить на 3.

3. Задумайте число. Прибавьте к нему 3. Умножьте полученное на 6. Отнимите от полученного 3. Вычтите из полученного результата задуманное число. Полученное разделите на 5. Скажите”, сколько получилось?

Решение (( х + 3) 6 – 3 – х ) : 5 = ( 6х + 18 – 3 – х) : 5 = ( 5х + 15) : 5 = х + 3 . Чтобы получить задуманное число, нужно от названного числа отнять 3.

4. Задумайте любое число. Удвойте его. К полученному прибавьте 3. Полученное число умножьте на задуманное. От полученного результата отнимите задуманное. Полученное разделите на удвоенное задуманное число. Скажите, сколько получилось? Чтобы получить задуманное число, надо от названного числа отнять 1.

Очень эффектно выглядят фокусы на отгадывание даты рождения и возраста зрителей, особенно в малознакомой компании.

Возраст и дата рождения

Порядковый номер месяца рождения нужно умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить число месяца, на которое приходится день рождения. Затем полученную сумму нужно умножить на 2 и к тому, что получится, прибавить 8. Результат нужно умножить на 5, к произведению прибавить 4 и получившуюся сумму умножить на 10. К тому, что получится, остается прибавить полное число лет (возраст), увеличенное на 4. Пусть каждый, выполнивший все эти вычисления, запишет на листочке бумаги свою фамилию, получившееся число и передаст листочек вам. Получив эти листочки, вы по ним каждому можете сказать его возраст и дату рождения. Придется поступать так: из получившегося числа, записанного на листочке, каждый раз вычитайте по 444 и разность разбивайте на грани справа налево по две цифры в каждой. Первая грань справа даст возраст, вторая — число и третья — порядковый номер месяца рождения.

Работа над данной темой помогла узнать мне много нового из истории математики. Мне пришлось рассмотреть дополнительную математическую литературу, чтобы узнать что-то новое про уравнения, и я подтвердил гипотезу, что существуют различные способы решения уравнений.

Просмотрев все учебники по математики с 5 по 11 классы, я убедился в важности выбранной темы. В течение всех лет мы расширяем знания по теме «Уравнения». Я узнал решение более сложных уравнений с помощью правила

нахождения неизвестной компоненты и решение задач на составление уравнений, решал уравнения с применением их свойств, узнал названия уравнений: линейные, квадратные, дробно — рациональные, биквадратные, тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические уравнений.

Конечно, эти названия мне ни о чём не говорят, но я теперь знаю, какие бывают уравнения, и что со временем я научусь их решать.

Мне было интересно узнать, что уравнения и математические фокусы, которые сейчас могут решать ученики 5-6 класса, в древности были по силам только математикам и мудрецам. И что, используя известные мне свойства сложения и умножения, я смог провести исследования и доказал на простых уравнениях, что значение корня не изменится, если:

— к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число;

— обе части уравнения умножить или разделить на число, неравное нулю.

Я научился решать более сложные уравнения, используя 4 способа, о них я прочитал в дополнительной литературе. При выполнении работы мне пришлось решить более 120 уравнений. Во время недели математики я показал математические фокусы в 5-х классах и в 3 – 4 классах.

Вместе с моим руководителем мы составили задания для одноклассников. Среди этих заданий есть те, для решения которых достаточно знаний, полученных на уроках. Но есть и такие уравнения, которые решаются новыми способами, о которых я рассказал в работе, то есть требуют дополнительных знаний. Это для тех ребят, кто захочет научиться решать уравнения, используя новые способы.

Я, думаю, что новые знания, которые я получил, пригодятся мне в дальнейшей учёбе. Все цели и задачи, которые я ставил перед собой, я выполнил.

Список использованной литературы

общеобразовательных учреждений. // М.: Мнемозина, 2005.

2. , БеленковаЕ. Ю. Математика 5 класс.

Задания для обучения и развития учащихся.// М.: Интеллект-

3. Математика: Учебник-собеседник для 5 – 6 классов средних школ//

Просвещение, 1989. (Б-ка учителя математики), стр.187

4. , и др. Математика. Учебник для 4 класса нач.

Школы в 2 ч. Ч. 2. (Второе полугодие) – М.: Просвещение, 2005.

5. Энциклопедический словарь юного математика //

Сост. . М.: Педагогика, 1985, стр.345

6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика // Ред. коллегия:

М. Аксёнова, В. Володин и др. – М.: Аванта, 2005, стр.237

Кто придумал уравнения в алгебре

Математика — удивительнейшая наука, без которой не может существовать человечество. В ней интерсно абсолютно всё — от арифметических действий и решения различных задач до её истории.

Но историей люди зачастую пренебрегают, ссылаясь на то, что математика и история — науки совершенно противоположные. Позвольте разрушить этот стереотип, доказав, что изучать историю очень интересно и, к тому же, важно для знания и понимания самой математики, царицы всех наук.

 Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:

«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а – длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе.

Прошли тысячелетия, в алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение х²= 16, мы получаем два числа: 4, –4.

 Разумеется, в задаче египтян мы приняли бы X = 4, так как длина поля может быть только положительной величиной.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел!».

Греческий математик Диофант составлял и решал квадратные уравнения. В его «Арифметике» нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате «Ариа-бхатиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида ах ² + bх = с.

​ В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам. стали прыгать, повисая. ​

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

​ Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

 Наиболее древние из дошедших до нас китайских математических текстов относятся к концу I в. до н.э. Во II в. до н.э. была написана «Математика в девяти книгах». Позднее, в VII в., она вошла в сборник «Десять классических трактатов», который изучали в течение многих столетий. В трактате «Математика в девяти книгах» объясняется, как извлечь квадратный корень с помощью формулы квадрата суммы двух чисел.

Метод получил название «тянь-юань» (буквально – «небесный элемент») – так китайцы обозначали неизвестную величину. ​

 Первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр»– со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми стало отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их следующим образом:

— квадраты равны корням , то есть ах ² = bх;

— квадраты равны числу , то есть ах ² = с;

— корни равны числу , то есть ах = с;

— квадраты и числа равны корням , то есть ах ²+ с = bх;

— квадраты и корни равны числу , то есть ах ² + bх = с;

— корни и числа равны квадратам , то есть bх + с = ах ²;

Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» были включены почти во все европейские учебники XVI-XVII в. и частично XVIII в.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х ² + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он также признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в., благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.