Кудряшов аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений

«Н.А. Кудряшов МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Рекомендовано УМО „Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Москва 2008 УДК . »

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Рекомендовано УМО „Ядерные физика и технологии”

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

Москва 2008 УДК 517.958(075) ББК 22.161.1я7 К 88 Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики: Учебное пособие. — М.: МИФИ, 2008. — 352 с.

Основное внимание в книге уделено методам построения аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений. Для решения задач Коши для уравнений Кортевега — де Вриза и sin-Гордона представлен метод обратной задачи рассеяния. Для ряда других нелинейных дифференциальных уравнений предложены методы, с помощью которых находятся точные решения.

Для демонстрации методов, представленных в книге, выбраны наиболее популярные нелинейные дифференциальные уравнения: уравнение Кортевега — де Вриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение sin-Гордона, уравнение Курамото — Сивашинского, уравнение Гинзбурга — Ландау, уравнение нелинейной теплопроводности и хорошо известные системы уравнений: система Лоренца и система Хенона — Хейлеса. Книгу можно рассматривать как справочник по наиболее известным нелинейным дифференциальным уравнениям и методам их решения. В ней дается краткая история открытия известных нелинейных дифференциальных уравнений и предлагается информация о физических процессах, при описании которых они встречаются.

Предназначена для студентов, аспирантов и научных работников интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов и методами построения решений нелинейных дифференциальных уравнений.

Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы.

Рецензент проф., д-р физ.-мат. наук О.В. Нагорнов c Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2008 ISBN 978-5-7262-0943-2 Оглавление Предисловие. 10 Глава 1. Нелинейные математические модели

1.1. Уравнение Кортевега—де Вриза для описания волн на воде. 15

1.2. Иерархия уравнений Кортевега—де Вриза.

1.3. Уравнение Кадомцева—Петвиашвили. 28

1.4. Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс. 29

1.5. Иерархия модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза. 37

1.6. Уравнение Буссинеска. 38

1.7. Фазовая и групповая скорости волн. 38

1.8. Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей вол

При описании процессов в физике, биологии, экономике, химии и в ряде других наук используются нелинейные математические модели, основу которых составляют нелинейные дифференциальные уравнения. Детальное исследование нелинейных математических моделей, как правило, проводится с помощью вычислительных экспериментов. Однако одним из важных этапов исследования таких моделей является поиск возможных аналитических решений. Необходимость аналитического изучения нелинейных моделей, описываемых дифференциальными уравнениями, объясняется тем, что при численном моделировании задач возможно появление ошибок, которые могут быть устранены при сравнении результатов численного моделирования с аналитическими решениями. Аналитические решения уравнений часто используются при анализе устойчивости разностных схем, по которым проводятся расчеты. Кроме того найденные аналитические решения математических моделей чрезвычайно полезны и сами по себе, поскольку в ряде случаев знание аналитических решений упрощает понимание изучаемых физических процессов и позволяют оценить роль тех или иных параметров решаемой задачи.

Предлагаемая книга посвящена изложению одного из самых эффективных подходов, используемых для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Методы, обсуждаемые в данной книге, основаны на замечательных работах С.В. Ковалевской, А. Пуанкаре, П. Пенлеве и многих дру

гих выдающихся ученых. В настоящее время такие методы носят название методов Пенлеве и являются предметом изучения аналитической теории дифференциальных уравнений.

Как нередко бывает в науке, направление, о котором пойдет речь в книге, прошло все этапы своего развития, от этапа бурного развития, последующего за ним этапа забвения, до этапа возрождения, когда многие подходы и методы были открыты вновь. Однако главным является то обстоятельство, что в настоящее время методы Пенлеве стали мощным инструментом решения задач и с их помощью даны ответы на многие вопросы теории дифференциальных уравнений.

Для демонстрации методов, предложенных в книге, выбраны наиболее популярные нелинейные дифференциальные уравнения и знаменитые системы уравнений: система Лоренца и система Хенона—Хейлеса. Книгу можно рассматривать как справочник по наиболее известным нелинейным дифференциальным уравнениям и методам их решения. В ней дается краткая история открытия известных нелинейных дифференциальных уравнений и предлагается информация о физических процессах, при описании которых эти уравнения встречаются. Отличительной особенностью книги является тот факт, что основное внимание в ней уделено построению точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Еще одна отличительная черта книги — для успешного и эффективного применения представленных в ней методов следует использовать математические пакеты вычислений типа MAPLE и MATHEMATICA.

Уравнения, которые рассматриваются в данной книге, условно можно разделить на два класса. К первому классу относятся нелинейные уравнения в частных производных, для которых может быть решена задача Коши при начальном условии достаточно общего вида. О таких уравнениях будем говорить как о точно решаемых нелинейных уравнениях. В зарубежной литературе, а в последнее время и в русскоязычной об уравнениях этого типа говорят как об интегрируемых уравнениях. Для наиПредисловие более популярных нелинейных уравнений математической физики — Кортевега—де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и sin-Гордона — можно сказать, что они являются и точно решаемыми, и интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями. Точно решаемых нелинейных уравнений в частных производных в настоящее время известно достаточно много.

Строго говоря, их бесконечно много, если принять во внимание тот факт, что каждому интегрируемому уравнению соответствует целая иерархия уравнений.

Второй класс уравнений условно можно назвать классом частично интегрируемых уравнений. Задача Коши для них в общем случае не решается. При поиске точных решений уравнений указанного класса обычно используются автомодельные переменные или переменные бегущей волны. Задача Коши для таких уравнений может быть решена только для конкретного, как правило, заранее неизвестного начального условия.

Предлагаемая читателю книга состоит из пяти разделов. В первом приводятся наиболее популярные нелинейные дифференциальные уравнения (уравнение Кортевега—де Вриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение sin-Гордона, уравнение Бюргерса, уравнение Курамото—Сивашинского и др.) и известные нелинейные системы дифференциальных уравнений. Предлагаются выводы некоторых уравнений и дается информация о физических процессах, при описании которых встречаются обсуждаемые дифференциальные уравнения.

Во втором разделе обсуждаются элементы группового анализа дифференциальных уравнений. Применение методов теории группового анализа в настоящее время детально изложено в целом ряде книг (см., например, монографии [30, 61, 62]). Этот раздел в данной книге имеет вспомогательный характер, поскольку решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных часто находятся путем перехода к обыкновенным дифференциальным уравнениям, используя инвариантные переменные, полученные с помощью групп преобразований.

Предисловие

В третьем разделе книги содержатся сведения, которые можно классифицировать как аналитические свойства нелинейных дифференциальных уравнений. В этом разделе описаны наиболее общепринятые в настоящее время алгоритмы анализа обыкновенных дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве и обсуждается связь нелинейных уравнений в частных производных с ОДУ, имеющими свойство Пенлеве. Предложены пары Лакса для уравнения Кортевега—де Вриза, позволяющие решить задачу Коши для этого уравнения. Даются выводы преобразований Бэклунда для второго уравнения Пенлеве, для уравнения sin-Гордона и для уравнения Кортевега—де Вриза.

В четвертом разделе предложены методы решения, применимые для широко известных нелинейных уравнений в частных производных: для уравнения Кортевега—де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и уравнению sin-Гордона. Задача Коши для перечисленных уравнений решается методом обратной задачи рассеяния, но их простейшие решения находятся с помощью перехода к обыкновенным дифференциальным уравнениям, используя переменные бегущей волны.

В этом разделе обсуждается также метод обратной задачи рассеяния решения задачи Коши для уравнений Кортевега—де Вриза и sin-Гордона. Для уравнения Кортевега—де Вриза рассмотрен метод Хироты, с помощью которого находятся солитонные решения точно решаемых нелинейных уравнений в частных производных. Часть материала, относящаяся к методу обратной задачи рассеяния решения задачи Коши для уравнений Кортевега—де Вриза и sin-Гордона, изложена конспективно. Указанный метод в настоящее время детально изложен в недавно изданной книге автора: Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

В пятом разделе содержится ряд методов, которые применяются при построении точных решений нелинейных дифференциПредисловие альных уравнений. Методы, предлагаемые в этом разделе, могут использоваться и при нахождении точных решений интегрируемых уравнений, но наиболее эффетивны они при поиске решений уравнений, для которых задача Коши в общем случае не решается. Процедура построения решений обычно содержит этап перехода к обыкновенным дифференциальным уравнениям, и методы по существу применяются для построения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Автор надеется, что книга будет полезна студентам и аспирантам, научным сотрудникам и преподавателям, интересующимся построением нелинейных математических моделей и методами нахождения аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений.

Предлагаемая книга написана на основе курса лекций, читаемого автором более двадцати лет студентам четвертого и пятого курсов кафедры Прикладная математика Московского инженерно-физического института (государственного университета). Вопросы затронутые в книге неоднократно обсуждались на научных семинарах с коллегами по кафедре, а также на конференциях, посвященных изучению нелинейных эволюционных уравнений и динамических систем. Особенно полезны были дискуссии с профессорами А.В. Аксеновым, В.И. Громаком, М. Крускалом, Р. Контом, Э. Пикерингом и В.И. Цигельником. Всем им автор выражает свою искреннюю признательность.

При подготовке рукописи к печати оказали большую помощь Н.Б. Логинова и М.А. Чмыхов, которым автор выражает благодарность.

Глава 1 Нелинейные математические модели

1.1. Уравнение Кортевега—де Вриза для описания волн на воде Явление распространения волн на поверхности воды издавна привлекало к себе внимание исследователей. Это — пример волн, которые каждый мог наблюдать еще в детстве и которые обычно демонстрируются в рамках школьного курса физики. Однако это довольно сложный тип волн. По выражению Ричарда Фейнмана, «более неудачного примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах» [69].

Если рассмотреть бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить впадину, 16 Глава 1. Нелинейные математические модели находясь под действием силы тяжести. Эволюция этого явления с течением времени и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы являются смесью тех и других. С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьшаются до тех пор, пока не станут равными нулю [70].

Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что эта скорость зависит от ее амплитуды.

Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения, умноженному на сумму амплитуды волны и глубины бассейна. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести.

Для коротких волн возникновение восстанавливающей силы обусловлено силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна корню квадратному из частного, в числителе которого стоит поверхностное натяжение, а в знаменателе — произведение длины волны на плотность воды. Для волн средней длины скорость их распространения зависит от всех перечисленных выше параметров задачи. Из сказанного ясно, что волны на воде и в самом деле явление довольно сложное.

Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 г. Рассел занимался изучением пропускной способности канала Юнион, который начинается у Эдинбурга и соединяет через канал Форз — Клайд два берега Шотландии. Обратимся к замечательному описанию этого наблюдения самим Расселом [66].

«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого

1.1. Уравнение Кортевега—де Вриза

одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости.

Я поскакал за ним верхом, и, когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 года мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции; теперь это название общепринято».

Джон Рассел на протяжении всей своей жизни неоднократно возвращался к наблюдению за уединенной волной. Он верил, что открытая им волна играет очень важную роль во многих явлениях в природе. Им были установлены некоторые свойства этой волны. Во-первых, он заметил, что она движется с постоянной скоростью и без изменения формы. Во-вторых, он нашел зависимость скорости этой волны от глубины канала h и высоты волны a:

C= g (a + h),

где g — ускорение свободного падения; причем a h. В-третьих, Рассел обнаружил, что возможен распад одной большой волны на несколько волн. В-четвертых, он отмечал, что в экспериментах наблюдаются только волны возвышения. Известно также, что он заметил, что открытые им уединенные волны проходят друг через друга без каких-либо изменений, но на последнее очень важное свойство он не обратил серьезного внимания.

Работа Рассела, которая была опубликована им в 1844 году как «Доклад о волнах» [143], вызвала осторожную реакцию в среде ученых. В европейских странах работу не заметили, но в самой Англии на нее обратили внимание Эйри и Стокс. Эйри 18 Глава 1. Нелинейные математические модели подверг критике результаты экспериментов, которые наблюдал Рассел, и отметил, что из теории длинных волн на мелкой воде выводы Рассела не получаются, а также утверждал, что длинные волны не могут сохранять неизменной формы. Эйри не поверил наблюдениям Рассела.

Один из основателей современной гидродинамики — Джордж Габриэль Стокс также не согласился с результатами наблюдений уединенной волны, полученными Расселом, и критически отнесся к факту существования уединенных волн.

После столь негативного отношения к уединенной волне долгое время о ней никто не вспоминал, кроме самого Рассела. Даже приближаясь к старости он писал: «Это самое прекрасное и необычайное явление; день, когда я впервые увидел его, был лучшим днем моей жизни. Никому никогда не посчастливилось наблюдать его раньше или, во всяком случае, понять, что оно значит. Теперь оно известно как уединенная волна трансляции. Никто прежде и вообразить не мог, что уединенная волна возможна.

Когда я описал ее сэру Джону Гершелю, он сказал: «Это просто вырезанная половина обычной волны». Но это не так, поскольку обычные волны идут отчасти ниже поверхности воды; кроме того, ее форма совсем иная. Это не половина волны, а несомненно вся волна целиком, с тем отличием, что волна как целое не находится попеременно то ниже, то выше поверхности, а всегда выше ее. Этого вполне достаточно, чтобы такой холм воды не стоял на месте, а двигался».

Определенную ясность в результаты наблюдений Рассела внесли Буссинеск (1872 год) и Рэлей (1876 год), которые независимо друг от друга получили формулу, описывающую характер возвышения свободной поверхности на воде в виде квадрата гиперболического секанса, и вычислили скорость распространения уединенной волны на воде.

Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями, которые подтвердили его результаты.

Окончательная ясность в проблеме, возникшей после опытов

1.1. Уравнение Кортевега—де Вриза

Джона Рассела по изучению уединенной волны, наступила только после появления работы датских ученых Кортевега и де Вриза, которые попытались разобраться в существе дела. Эти ученые, обобщив метод Рэлея, вывели в 1895 году уравнение для описания одноволнового приближения при распространении волн на воде.

Следуя их работе, рассмотрим процесс распространения малых, но конечных возмущений на поверхности жидкости. О таких возмущениях обычно говорят как о гравитационных волнах, подчеркивая тем самым, что ответственными за возникновение и распространение этих волн являются гравитационные силы.

Предположим, что плотность жидкости при возмущениях поверхности не меняется (0 = const), тогда уравнение непрерывности запишется [54] div u = 0. (1.1.1)

то уравнение (1.1.1) перейдет в уравнение Лапласа:

Пользуясь формулой векторного анализа

t 2 В формуле (1.1.6) принято, что ось z направлена вертикально вверх против ускорения свободного падения (рис. 1.1), зависимость от времени, полученная при интегрировании уравнения (1.1.5) по z, включена в потенциал, P0 — давление окружающей атмосферы на поверхность жидкости.

Рис. 1.1. Характеристики плоского возмущения на поверхности жидкости, используемые при выводе уравнения Кортевега—де Вриза

Пусть над поверхностью воды находится воздух, и пусть эта поверхность описывается уравнением (1.1.7) f (x, y, z, t) = 0, где x, y и z — пространственные координаты, t — время. По определению, поверхность раздела — это поверхность, которую не пересекают частицы жидкости [54]. Вследствие этого компонента скорости жидкости, нормальная к поверхности раздела, и нормальная компонента скорости самой поверхности раздела должны совпадать. Обозначим компоненты скорости жидкости u1, v и u2 в направлениях x, y и z.

Нормальная компонента скорости поверхности раздела равна

(1) = t + x (1). (1.1.16) z x Нелинейное граничное условие (1.1.14) является кинематическим условием и отражает тот факт, что нормальная компонента скорости частиц жидкости на поверхности совпадает со скоростью самой поверхности. Принимая во внимание динамическое условие на поверхности, которое без учета сил поверхностного натяжения сводится к равенству давлений в жидкости и в атмосфере, из (1.1.6) получаем еще одно граничное условие

Предполагая, что на нижней границе жидкости — твердое горизонтальное дно, считаем, что нормальная компонента скорости жидкости на этой границе равна нулю:

nxx + (n + 2)(n + 1)n+2 = 0. (1.1.23) Учитывая граничное условие (1.1.19), находим, что 1 = 0, при этом из рекуррентной формулы (1.1.23) следует, что 2k+1 = 0 и все нечетные члены в (1.1.22) обращаются в нуль.

24 Глава 1. Нелинейные математические модели Теперь (1.1.22) превращается в

f = c0 f, z1 = h 1 +, и подставляя (1.1.28) в (1.1.25) и (1.1.26), получаем с точностью до членов первого порядка малости по и 2 следующие выражения (далее штрихи в безразмерных переменных опускаем):

u1t + u1 u1x + x = 0. (1.1.32) Учитывая выражения для компонент вектора скорости на свободной поверхности (1.1.29) и (1.1.30), из (1.1.31), (1.1.32) с точностью до первого порядка малости по и 2 находим

1.2. Иерархия уравнений Кортевега—де Вриза Уравнение Кортевега—де Вриза (1.1.45) является первым представителем так называемой иерархии уравнений Кортевега — де Вриза [39]

1.3. Уравнение Кадомцева—Петвиашвили В теории длинных слабонелинейных волн на поверхности жидкости, распространяющихся в направлении оси x, в предположении, что изменение в направлении оси y имеет слабую зависимость, известно уравнение [33]

1.4. Модель для описания возмущений в цепочке масс

Уравнение (1.3.1) впервые предложено Б.Б. Кадомцевым и В.И. Петвиашвили в 1970 году и является широко известным двумерным точно решаемым уравнением.

Оно имеет решения в виде солитонов. Пара Лакса, с помощью которой решается задача Коши для уравнения (1.3.1), была найдена В.С. Дрюма [21] и детально исследована в работе В.Е. Захарова и А.Б. Шабата [25]. Одно из уравнений Лаксовой пары для задачи рассеяния (1.3.1) имеет вид

В периодической литературе уравнение (1.3.1) часто называется двумерным уравнением Кортевега—де Вриза.

1.4. Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс В настоящее время кажется странным, что открытие Джоном Скоттом Расселом уединенной волны и его последующее подтверждение в работе Кортевега—де Вриза не получило в прошлом веке никакого резонанса в науке. После 1895 года работы Рассела и Кортевега оказались по существу забытыми почти на 70 лет. Более того, один из авторов знаменитого теперь уравнения Кортевег прожил долгую жизнь (1848–1941) и был известным ученым.

Но когда в 1948 году научная общественность отмечала его 100летний юбилей, то работа, выполненная совместно с де-Вризом в 1895 году, в списке лучших публикаций даже не значилась. Составители списка работ Кортевега сочли эту статью не заслуживающей серьезного внимания. Только спустя еще четверть века именно эта работа стала считаться главным научным достижением Кортевега.

30 Глава 1. Нелинейные математические модели Однако если поразмыслить, то такое невнимание к уединенной волне Рассела становится вполне понятным. Его открытие в течение долгого времени считалось некоторым частным фактом.

В то время физический мир представлялся линейным, и принцип суперпозиции считался одним из самых фундаментальных принципов большинства физических теорий. Поэтому серьезного значения экзотической волне на воде ученые не придали.

Возвращение к уединенной волне на воде произошло случайно и вначале к ней не имело никакого отношения. Это случилось в Лос-Аламосе в 1952 году, когда Э. Ферми вместе с двумя своими сотрудниками С. Уламом и Д. Пастой предприняли попытку решить одну из нелинейных задач на ЭВМ. Они хотели рассчитать колебания 64 одинаковых масс, связанных друг с другом пружинками, которые при отклонении от положения равновесия на l приобретали возвращающуюся силу kl + (l)2. Здесь k и — постоянные коэффициенты. При этом нелинейная добавка предполагалась малой по сравнению с основной силой kl [102].

Вот как сам Станислав Улам описывает двадцать лет спустя этот период их совместной работы [73]: «Как только машины были сделаны, Ферми с присущей ему интуицией и огромным здравым смыслом, сразу же осознал все их значение в исследовании проблем теоретической физики, астрофизики и классической физики. Мы обсуждали этот вопрос самым подробным образом и решили попытаться сформулировать какую-нибудь задачу, которая была бы проста в своей постановке, но имела бы решение, требующее очень длинных вычислений, невыполнимых с помощью ручки и бумаги или существующих механических вычислительных устройств. Обсудив ряд возможных задач, мы остановились на одной типовой задаче, связанной с долговременным поведением динамической системы и требующей долгосрочного предсказания. В ней рассматривалась эластичная струна с двумя закрепленными концами, на которую действует не только обычная сила деформации, но и малая по величине нелинейная сила.

Необходимо было выяснить, как после очень большого числа пе

Здесь yi — координата положения равновесия i-й массы. По сравнению с задачей Ферми—Паста—Улама в данной модели предполагается, что существует еще дополнительное слагаемое (l)3. Мартин Крускал и Норман Забуски в своих первоначальных расчетах использовали уравнения (1.4.1) и (1.4.2) при = 0.

В уравнении (1.4.2) перейдем к непрерывно распределенным массам, полагая

(1.4.5) При = 0 из (1.4.5) приходим к уравнению, которое получено в 1872 году Буссинеском для описания волн на воде.

Возмущения, описываемые уравнением (1.4.5), на начальной стадии удовлетворяют линейному волновому уравнению

1.4. Модель для описания возмущений в цепочке масс поэтому начальное возмущение распадается на две волны, одна из которых распространяется влево, а другая — вправо.

Для изучения одной из этих волн решение уравнения (1.4.5) будем искать в виде [60]

(1.4.8) Для того чтобы зависимость y1 (x, t) асимптотически не возрастала при изменении переменной = x+ct, для f (z, T ) должно выполняться равенство

Предложенный вывод уравнения (1.4.10) был сделан Крускалом и Забуски при = 0 после численного решения (1.4.1) при периодических граничных условиях. Авторы первые установили, что уравнение, используемое Ферми, Паста и Уламом при уменьшении расстояния между массами и при неограниченном росте их числа переходит в уравнение Кортевега—де Вриза, предложенное в 1895 году для описания уединенной волны на воде.

В те же годы было показано, что при описании ионнозвуковых волн в плазме также появляется уравнение Кортевега— де Вриза. Стало ясно, что это уравнение возникает во многих областях физики, и, следовательно, уединенная волна, которая описывается этим уравнением, является широко распространенным явлением. Продолжая вычислительные эксперименты по моделированию процесса распространения таких волн, Крускал и Забуски рассмотрели их столкновение [155].

Остановимся на обсуждении этого важного факта. Рассмотрим две уединенные волны, описываемые уравнением Кортевега—де Вриза, которые отличаются амплитудами и которые движутся друг за другом в одном направлении (рис. 1.3.). Из формулы для скорости распространения уединенных волн следует, что скорость больше, если выше амплитуда волн, а ширина пика уменьшается с ростом амплитуды. Таким образом, более высокие уединенные волны движутся быстрее. Волна с большей амплитудой догонит движущуюся впереди волну с меньшей амплитудой. Далее в течение некоторого времени две волны будут двигаться вместе как единое целое, взаимодействуя между собой, а затем они разъединятся. Замечательным свойством этих уединенных волн является то, что после своего взаимодействия форма и скорость этих волн сохраняются. Обе волны после столкновеМодель для описания возмущений в цепочке масс ния лишь смещаются на некоторое расстояние по сравнению с тем расстоянием, на котором они двигались бы без взаимодействия.

Рис. 1.3. Взаимодействие солитонов Кортевега—де Вриза. В момент времени t1 уединенная волна меньшей амплитуды впереди. Однако эта волна движется с меньшей скоростью, чем больший солитон. При t2 и t3 солитоны взаимодействуют. При t4 солитоны расходятся, большая уединенная волна уходит вперед Процесс, в результате которого после взаимодействия волн сохраняются их форма и скорость, напоминает упругое столкновение частиц. Поэтому Крускал и Забуски назвали такие уединенные волны солитонами (от английского слова solitary, означающее уединенный). Это специальное название уединенных волн, созвучное электрону, протону и названиям многих других элеГлава 1. Нелинейные математические модели ментарных частиц, в настоящее время — общепринято.

Уединенные волны, которые были открыты Джоном Расселом, и в самом деле ведут себя как частицы. Оказалось, что большая волна не проходит через малую при их взаимодействии.

Когда уединенные волны соприкасаются, то большая волна замедляется и уменьшается, а та волна, которая была малой — наоборот ускоряется и подрастает. Когда малая волна дорастает до размеров большой, а большая уменьшается до размеров малой, солитоны разделяются, и больший уходит вперед. Таким образом, солитоны ведут себя, как упругие теннисные мячи.

Итак: Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при движении и при столкновении с любыми другими уединенными волнами. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз [1, 20, 39, 60].

Открытия, связанные с уравнением Кортевега—де Вриза, не закончились на открытии солитона. Следующим важным этапом, имеющим отношение к этому уравнению, было открытие нового метода решения задачи Коши для нелинейных уравнений в частных производных. Известно, что найти решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов прошлого столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные решения, удовлетворяющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Кортевега—де Вриза и в этом случае оказалось в исключительном положении.

В 1967 году американские физики Гарднер, Грин, Крускал и Миура показали [99], что решение задачи Коши для уравнения Кортевега—де Вриза может быть, в принципе, получено при всех начальных условиях, которые обращаются в нуль по определенному закону при стремлении координаты к бесконечности.

Авторы преобразовали уравнение Кортевега—де Вриза к системе двух уравнений, называемой теперь парой Лакса (по имени американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов [134]), и открыли новый метод (наИерархия модифицированного уравнения КдВ зываемый методом обратной задачи рассеяния) решения задачи Коши для ряда нелинейных уравнений в частных производных.

Модифицированное уравнение Кортевега—де Вриза (1.4.11) относится к так называемой иерархии модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза, имеющей вид:

где оператор Ln [vx v 2 ] является оператором Ленарда, определенным выражением (1.2.2).

В случае n = 1 из иерархии (1.5.1) получаем модифицированное уравнение Кортевега—де Вриза:

Уравнение (1.5.3) также встречается при описании волн на воде [140]. Многое из сказанного выше об уравнении Кортевега— де Вриза пятого порядка можно отнести и к модифицированному уравнению пятого порядка. Уравнение (1.5.3) проходит тест Пенлеве и имеет решения в виде солитонов, как и все уравнения иерархии (1.5.1). Задача Коши для (1.5.3) и для иерархии (1.5.1) решается методом обратной задачи рассеяния.

38 Глава 1. Нелинейные математические модели

1.6. Уравнение Буссинеска Полагая = 0 в уравнении (1.4.5), имеем

получаем уравнение Буссинеска utt = uxx + (u2 )xx + uxxxx. (1.6.3) Уравнение (1.6.3) было открыто Буссинеском в 1871 году для описания длинных волн на мелкой воде [87]. Это уравнение проходит тест Пенлеве и задача Коши для него решается методом обратной задачи рассеяния. По существу уравнение (1.6.3) описывает те же волновые процессы, что и уравнение Кортевега— де Вриза, и иногда возникает вопрос о том, какое из этих уравнений использовать лучше. По-видимому, уравнение Кортевега— де Вриза использовать предпочтительней, поскольку оно учитывает одну из волн, бегущую вправо или влево, и это описание ни чем не хуже, чем описание с помощью уравнения Буссинеска. Однако уравнение Буссинеска сложнее, чем уравнение Кортевега— де Вриза. Это обстоятельство неоднократно отмечалось Мартином Крускалом.

1.7. Фазовая и групповая скорости волн

Выше мы уже неоднократно говорили о скорости волны. Однако скорость, по очень тонкому замечанию Л.И. Мандельштама, — это «понятие, возникшее при описании движения частицы». Когда говорится о скорости волны, то перемещения частиц в ней, как правило, нет, а если и есть, как, например, на воде, то

оно происходит по иным законам, чем движение самой поверхности воды. Однако о скорости волны часто говорят, имея в виду перемещение максимума (или минимума) при распространении волны.

Рассмотрим стандартное волновое уравнение

Система уравнений (1.7.4) и (1.7.5) показывает, что исходное волновое уравнение (1.7.1) может быть представлено в виде эквивалентной системы уравнений (1.7.4) и (1.7.5). Поэтому при анализе волновых движений уравнения (1.7.4) и (1.7.5) часто рассматриваются отдельно. Именно это обстоятельство использовано в пп. 1.1 и 1.3 при выводе одноволновых приближений, описываемых уравнениями Кортевега—де Вриза. Из системы уравнений (1.7.4), (1.7.5) находится решение задачи Коши исходного волнового уравнения (1.7.1), впервые полученное Даламбером.

Это решение представляется в виде суммы двух функций

Волновые числа и частоты этих двух волн отличаются, соответственно, на небольшие величины k и. Поскольку решение, описывающее каждую из этих волн, удовлетворяет волновому уравнению (1.7.1), то в силу линейности уравнения, ему будет удовлетворять и сумма решений [13]

с течением времени меняется. Итоговая картина, которая получается при сложении двух волн, представлена на рис. 1.4.

Скорость распространения волн в этом случае может быть вычислена как скорость распространения максимума суммарной амплитуды волн

Рис. 1.4. Распространение волнового пакета из двух волн, волновые числа которых отличаются на величину k где i — мнимая единица, — частота, k — волновое число, a — амплитуда. Для линейных уравнений множитель a сокращается и, вообще говоря, может быть выбран произвольным.

Зависимость между и k называется дисперсионным соотношением, и ее задание позволяет восстановить уравнение, которым описывается волновой процесс.

Рассмотрение диспергирующих одномерных систем ограничивают случаями, при которых зависимость = (k) являтся функцией действительной переменной и kk = 0.

Подставляя (1.7.13) в уравнение (1.7.1) находим

Vg = dk Мы получили, что групповая скорость волны для решения уравнения (1.7.14), в три раза больше, чем фазовая скорость волнового пакета. Видно, что в дисперсионной среде фазовая и групповая скорости волн не совпадают. Если в начальный момент времени волновой пакет был локализован, то с течением времени он будет расплываться (диспергировать). Поэтому слагаемое с третьей производной в уравнении Кортевега—де Вриза называют дисперсионным. Это слагаемое приводит к расплыванию волны.

Однако мы знаем, что уравнение Кортевега—де Вриза имеет решения в виде уединенной волны, переносимой с постоянной скоростью и без каких-либо изменений формы. Тем не менее противоречий со сказанным выше об уединенной волне нет, поскольку в уравнении Кортевега—де Вриза, в отличие от его линейного аналога (1.7.14), существует еще нелинейное слагаемое uux, которое «уравновешивает» влияние дисперсии.

44 Глава 1. Нелинейные математические модели

1.8. Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета

Выше мы говорили, что на практике волны, как правило, распространяются группами. Подобные группы волн на воде люди могли наблюдать с незапамятных времен. На вопрос о том, почему для волн на воде так типичны «стаи» волн, удалось ответить Т. Бенджамену и Дж. Фейеру только в 1967 году. Путем теоретических расчетов они показали, что простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление называется неустойчивостью Бенджамена—Фейера), и поэтому волны на воде из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью которого описывается процесс распространения групп волн на воде, было получено В.Е. Захаровым в 1968 году.

Естественно, что процесс распространения волнового пакета в различных средах может описываться многими нелинейными уравнениями в частных производных, однако здесь для простоты мы предположим, что этот процесс описывается модифицированным уравнением Кортевега—де Вриза [60] ut + u2 ux + uxxx = 0. (1.8.1) Предположим также, что x и t в (1.8.1) — пространственная и временная переменные для несущей волны. Можно ввести набор «медленных» временной и пространственной переменных, которые описывают движение огибающей волнового пакета и рассматривать эти переменные как независимые. При этом имеем

в предположении, что их амплитуда является малой. Предположим, что основное состояние системы описывается линейной гармоникой, хотя малой по амплитуде, но не пренебрежимо малой из-за эффекта нелинейности. В силу (1.8.2) мы рассматриваем случай, когда огибающая волнового пакета меняется медленно, как по пространственной, так и по временной переменной по сравнению с характеристиками несущей волны.

Решение уравнения (1.8.1) будем искать в виде суммы нескольких волн u0, u1 и u2 в соответствии с методом многих масштабов [1, 39, 60]

2a a 2 + ka |a|. (1.8.15) i = 3k T2 X1 Поскольку структура этого уравнения совпадает со структурой уравнения Шредингера, в котором выражение |a|2 играет роль потенциала, то это уравнение называется нелинейным уравнением Шредингера.

Аналогичное уравнение для огибающей волнового пакета можно получить при рассматрении процесса распространения группы волн, описываемых некоторыми другими нелинейными уравнениями [60].

Нелинейное уравнение Шредингера, как и уравнение Кортевега—де Вриза, также широко распространено при описании волн в различных областях физики. Впервые это уравнение было предложено в 1926 году австрийским физиком Э. Шредингером для анализа фундаментальных свойств квантовых систем, и первоначально с его помощью описывались процессы взаимодействия внутриатомных частиц. Обобщенное, или нелинейное, уравнение Шредингера описывает целую совокупность явлений в физике волновых процессов. В частности, известны многочисленные примеры волновых явлений в нелинейной оптике, где используется нелинейное уравнение Шредингера [1, 57, 66].

1.9. Уравнение Гинзбурга—Ландау Уравнение Гинзбурга—Ландау возникает при описании большого класса нелинейных волновых явлений в пространственно распределенных системах. Оно имеет вид [81]

В случае одной пространственной переменной уравнение (1.9.1) принимает вид:

At = (1 + i b) Axx + A (1 i c) | A |2 A. (1.9.5) В пределе при b и c уравнение (1.9.2) переходит в нелинейное уравнение Шредингера.

Считается, что уравнение (1.9.5) впервые появилось в работе В.И. Гинзбурга и Л.Д. Ландау при разработке микроскопической теории сверхпроводимости [17]. Однако общепринятая запись уравнения (1.9.1) появилась в работе Ньюэлла и Вайтхедта [139].

При описании групповых свойств волновых пакетов уравнение Гинзбурга—Ландау популярно в такой же степени, как и нелинейное уравнение Шредингера. Обзор физических приложений уравнения Гинзбурга—Ландау можно найти в статье [81].

Уравнение (1.9.1) появляется при описании многочисленных явлений физики фазовых переходов, в теории сверхпроводимости, в теории сверхтекучести, а также при описании неравновесных процессов, характерных для открытых систем [96, 132]. Как и уравнение Курамото—Сивашинского, оно встречается при описании турбулентных процессов. В отличие от нелинейного уравнения Шредингера уравнение (1.9.1) не относится к классу точно 50 Глава 1. Нелинейные математические модели решаемых нелинейных уравнений. Задача Коши для этого уравнения не решается методом обратной задачи рассеяния. Уравнение не проходит тест Пенлеве, не имеет солитонных решений, но имеет небольшой набор частных решений [14, 44, 106].

1.10. Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле В любой кристаллической структуре каждый атом окружен ближайшими соседями. В результате возникает условие равновесия кристаллической решетки. Если это условие нарушается, то происходят изменения в решетке, при которых у атомов появляется иное число соседей или изменяется расстояние до ближайших соседей. В кристаллических телах это обстоятельство приводит к дефектам, которые всегда имеются в реальных твердых телах.

Многие свойства кристаллической структуры (например, плотность и удельная теплоемкость) слабо зависят от наличия дефектов. Однако дефекты кристалла оказывают сильное влияние, например, на прочность и электропроводность, поэтому изучение поведения дефектов является важной задачей.

Существует несколько типов кристаллических дефектов. Далее остановимся на рассмотрении точечных дефектов, к которым относятся нарушения в решетке в изолированных друг от друга точках кристалла. Примерами таких дефектов являются вакансии, атомы внедрения или изолированные включения примеси.

Внедрение атома в решетку может произойти за счет ухода атома из узла решетки непосредственно в междоузлие в результате флуктуаций. При этом в оставленном узле возникает вакансия.

Такие дефекты называются дефектами по Френкелю. Кроме точечных дефектов, возникающих в результате тепловых флукту

Рис. 1.5. Возникновение дислокации в модели Френкеля—Конторовой при удалении одного из атомов в кристаллической структуре Соседние атомы, находящиеся в равновесной конфигурации, при дислокации также взаимодействуют друг с другом. На рис.

1.5 такое взаимодействие иллюстрируется пружинками, а крестиками изображено положение атомных слоев.

Аналогом предложенной Френкелем и Конторовой модели дислокаций является периодическая последовательность ложбинок и горок, которые представлены на рис. 1.5. В равновесной конфигурации во всех ложбинках лежат шарики, которые соединены пружинками. Если один из шариков вместе с пружинкой удаляется (или, наоборот, один из шариков вместе с пружинкой добавляется), то равновесная конфигурация нарушается, и си

Это уравнение носит название уравнения sin-Гордона. Название звучит несколько странно, но оно связано с тем, что при малых значениях уравнение (1.10.7) переходит в уравнение Клейна—Гордона 54 Глава 1. Нелинейные математические модели

Подобное укороченное название, придуманное Мартином Крускалом, как раз и породило название sin-Гордона для уравнения (1.10.7).

Заметим, что если использовать в уравнении (1.10.7) замену переменных

Такая запись уравнения sin-Гордона является также широко распространенной.

Уравнение (1.10.7) так же, как и выше приведенные уравнения Кортевега—де Вриза и нелинейное уравнение Шредингера, широко используются при описании многих явлений в физике.

Впервые это уравнение появилось в дифференциальной геометрии как точная модель описания поверхности постоянной отрицательной кривизны. Изучению этого вопроса была посвящена работа А. Бэклунда в 1980 году, в которой показано, что первая фундаментальная квадратичная форма при постоянной отрицательной кривизне преобразуется к уравнению sin-Гордона [1, 75].

Это уравнение используется также при анализе свойств элементарных частиц и при теоретическом описании эффекта самоиндуцированной прозрачности. Этот удивительный эффект был открыт в работе Маккола и Хана в 1965 году при изучении процесса распространения ультракоротких импульсов электромагнитного излучения в рубиновом стержне [1, 57, 59, 138]. Самоиндуцированная прозрачность возникает при взаимодействии электромагнитного излучения с диэлектриком на частоте, близкой к

1.11. Нелинейное уравнение переноса

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №143» 2014-2015 учебный год Рассмотрено Согласовано: Утверждено: на заседании МО зам. директора по УВР директор МБОУ СОШ № протокол №1 от 26 августа 2014 г Браун Е.В._ Савенко С.А. _ Приказ № _1 _ от « » 27 августа 2014 г августа 2014 г РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Предмет: физика_ ступень 3 классы 11А Учитель: Количество часов Всего _170, в I полугодии 80_, во II полугодии 90_, в неделю _5 Контрольных уроков _13_, из. »

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Институт леса и природопользования Кафедра лесных культур и биофизики РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Б.2.ДВ.3 Экология Направление 100400.62 (43.03.02) Туризм Профиль подготовки: Технология и организация туроператорских и турагентских услуг Квалификация бакалавр Трудоемкость – 3 зачетные единицы, 108 часов Форма контролязачт Разработчик программы доцент, к.х.н, Н.В.Марина Екатеринбург 2015. »

«Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев Геометрия в двух частях Допущено Министерством образования и науки РФ в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов педагогических вузов часть 2 Второе издание, стереотипное УДК 514.1(075.8) ББК 22.151.1я73 А92 Рецензент: Л.Е. Евтушик, д-р физ.-мат. наук, В.И. Близникас, проф. Атанасян Л.С. А92 Геометрия: в 2 ч. — Ч. 2 : учебное пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. — 2-е изд., стер. — М. : КНОРУС, 2011. — 424 с. »

«И.Е. Скалецкая, Е.К. Скалецкий, В.Т. Прокопенко, Е.М. Никущенко ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ Санкт-Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ И.Е. Скалецкая, Е.К. Скалецкий, В.Т. Прокопенко, Е.М. Никущенко ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ Учебное пособие Санкт-Петербург И.Е. Скалецкая, Е.К. Скалецкий, В.Т. Прокопенко, Е.М. Никущенко. »

«Федеральное агентство по образованию АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУВПО «АмГУ» УТВЕРЖДАЮ Зав. Кафедрой ТиЭФ Е.А.Ванина «_» _2007 ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ для специальности 010701«физика» Составитель: канд. физ.-мат. наук, Копылова И.Б. Благовещенск Печатается по решению редакционно-издательского совета инженерно-физического факультета Амурского государственного университета И.Б. Копылова Учебно-методический комплекс по дисциплине «Основы. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный минерально-сырьевой университет «Горный» УТВЕРЖДАЮ Ректор профессор В.С. Литвиненко ПРОГРАММА вступительного испытания при поступлении в магистратуру по направлению подготовки 21.04.01 «НЕФТЕГАЗОВОЕ ДЕЛО» по магистерским программам «Технология вскрытия нефтегазовых пластов» «Технология вскрытия нефтегазовых пластов в. »

«О.В. Борисов, Е.Б. Жулина, А.А. Полоцкий, А.А. Даринский, И.М. Неелов Основы физики макромолекул Учебное пособие Санкт–Петербург МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО О.В. Борисов, Е.Б. Жулина, А.А. Полоцкий, А.А. Даринский, И.М. Неелов Основы физики макромолекул Учебное пособие Санкт–Петербург Борисов О.В., Жулина Е.Б., Полоцкий А.А., Даринский А.А. Неелов И.М. Основы физики макромолекул: Учебное пособие. – СПб: Университет ИТМО, 2015. – 74 с. Пособие. »

«Электронный архив УГЛТУ Т.С. Выдрина ХИМИЯ И ФИЗИКА ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ Екатеринбург Электронный архив УГЛТУ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра технологии переработки пластмасс Т.С. Выдрина ХИМИЯ И ФИЗИКА ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ Методические указания для выполнения лабораторного практикума по дисциплине «Химия и физика высокомолекулярных соединений» студентами очной, заочной и ускоренной форм обучения по направлениям. »

«ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ от 15.06.2015 Рег. номер: 2600-1 (12.06.2015) Дисциплина: Безопасность жизнедеятельности Учебный план: 03.03.03 Радиофизика/4 года ОДО Вид УМК: Электронное издание Инициатор: Малярчук Наталья Николаевна Автор: Малярчук Наталья Николаевна Кафедра: Кафедра медико-биологических дисциплин и безопасности жизнедеяте УМК: Физико-технический институт Дата заседания 16.04.2015 УМК: Протокол №6 заседания УМК: Дата Дата Результат Согласующие ФИО Комментарии получения согласования. »

«БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ КНИГ, ПОСТУПИВШИХ В БИБЛИОТЕКУ Естественные науки ЭР Б 76 Боженкова, Людмила Ивановна. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии : [учебное пособие для вузов] / Л. И. Боженкова. 3-е изд. Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. 205 с. : ил., табл. Библиогр.: с. 163-1 Экземпляры: всего:1 ЭБС Лань(1) ЭР Г 21 Гаршин А. Общая и неорганическая химия в схемах, рисунках, таблицах, химических реакциях : учебное пособие / А. Гаршин. 2-е. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Филиал ТюмГУ в г. Тобольске Кафедра физики, математики и методик преподавания Шебанова Л.П.ИННОВАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для аспирантов 44.06.01 – Образование и педагогические науки (Теория и методика обучения и воспитания. »

«КАМЧАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВИТУСА БЕРИНГА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ГЕОГРАФИИ, ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ ИНСТИТУТ ВУЛКАНОЛОГИИ И СЕЙСМОЛОГИИ ДВО РАН ФИЗИКА ЗЕМЛИ И ГЕОДИНАМИКА Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 020302 Геофизика Петропавловск – Камчатский 2009 УДК 528.2+550.3+551.1 ББК 26.891 Рецензенты: Ведущий научный сотрудник сектора геодинамики. »

«Кафедра общей и экспериментальной физики ЮУрГУ Составитель Волегов Ю.В. Челябинск – 2008 г. ОРГАНИЗАЦИЯ КАФЕДРЫ Кафедра «Общая и экспериментальная физика» была основана как кафедра физики № 2 29 июня 1965 года (приказ №261). Кафедре поручили учебно-методическую работу по факультетам: автотракторному, металлургическому, механико-технологическому, инженерностроительному, вечернему инженерно-строительному, вечернему при ЧМЗ, в филиале г. Златоуста, в УКП г.г. Сима и Усть-Катава, а также по. »

«Отчет городской проектной площадки за 2015 год МБОУ СОШ № 3 г.о. Самара Направление: Реализация идей ФГОС по использованию на уроке и во внеурочной деятельности технологий развивающей направленности. Тема: Личностно-смысловое включение учащихся в учебную деятельность.1. Описание соответствия заявки и полученных результатов.1.1. Общие результаты. В 2015 году была организована работа по теме проекта «Личностно-смысловое включение учащихся в учебную деятельность». Всего в этой работе приняли. »

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт физики и химии Кафедра органической и экологической химии Паничев Сергей Александрович ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов очной формы обучения по направлению 020100.68 «Химия», магистерская программа «Химия нефти и экологическая. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУВПО Амурский государственный университет Е.С Астапова Основы кристаллографии и физики кристаллов УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ для специальности 010701 – физика Факультет инженерно-физический Кафедра физического материаловедения и лазерных технологий 2006 г. Печатается по решению редакционно-издательского совета инженерно-физического факультета Амурского государственного университета Е. С. »

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт физики и химии Кафедра неорганической и физической химии Нестерова Н.В. АКТУАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОВРЕМЕННОЙ НЕОРГАНИЧЕСКОЙ И ФИЗИЧЕСКОЙ ХИМИИ Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 020100.68 «Химия» Магистерские программы: «Физико-химический анализ природных и. »

«ИЗМЕНЕНИЕ КЛИМАТА и водные проблемы в Центральной Азии Учебный курс для студентов естественных и гуманитарных специальностей Москва – Бишкек Руководитель проекта: Фарида Балбакова национальный координатор проектов WWF в Кыргызской Республике Авторы: Аламанов С. К., к.г.н., доцент, зав. отделом Географии и зав. Лабораторией гидрологии и климатологии института геологии НАН Кыргызской Республики Лелевкин В. М., д.ф. м.н., профессор, проректор по научной работе Кыргызско Российского Славянского. »

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК УТВЕРЖДАЮ Декан ФФМЕН дтн, профессор Перелыгин Ю.П. «_»_2014 г. ОТЧЕТ ОБ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ, НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ, ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЙ И ВОСПИТАТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ КАФЕДРЫ «ГЕОГРАФИЯ» ЗА 2010 2014 ГГ. Пенза 2014 год Информация о заведующем кафедрой «География» Симакова Наталья Анатольевна – кандидат географических наук, доцент 1. Стаж педагогической работы 29 лет, в том числе в ПГУ – 28 лет 2. »

«В. Ф. ЮЛОВ ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ ББК 87я7 Ю38 Рецензенты Е. М. Вечтомов, доктор физико-математических наук, профессор ВятГГУ. Ю. А. Сауров, доктор педагогических наук, профессор ВятГГУ. Юлов В.Ф. Ю 38 История и философия науки: Учебное пособие/В.Ф. Юлов – Киров, 2007. – 573 с. ISBN Автор предложил оригинальный вариант учебного пособия для подготовки к экзамену в рамках кандидатского минимума по учебной дисциплине «история и философия науки». Пособие предназначено для магистров, аспирантов и. »

2016 www.metodichka.x-pdf.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Методички, методические указания, пособия»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Кудряшов Н.А., 2004

Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Кудряшов Н.А., 2004.

Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости).
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией уравнений Пенлеве и их высших аналогов.

Уравнение Кортевега — де Вриза для описания волн на воде.
Явление распространения волн на поверхности воды издавна привлекало к себе внимание исследователей. Это пример волн, который каждый мог наблюдать еще в детстве и который обычно демонстрируется в рамках школьного курса физики. Однако, это довольно сложный тип волн. По выражению Ричарда Фейнмана «более неудачного примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах» [93].

Если рассмотреть бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явления с течением времени и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы являются смесью тех и других. С глубиной, радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьшаются до тех пор, пока они не станут равными нулю [57, 66].

Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее амплитуды. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного падения умноженному на сумму амплитуды волны и глубины бассейна. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 13
1.1 Уравнение Кортевега — де Вриза для описания волн на воде 13
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега — де Вриза 23
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза 32
1.5 Фазовая и групповая скорости волн 35
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета 39
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера и групповой солитон 42
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле 44
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологический солитон 48
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса 51
1.11 Модель Хенона — Хейлеса 57
1.12 Система Лоренца 60
1.13 Задачи и упражнения к главе 1 68
Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 71
2.1 Классификация особых точек функций комплексной переменной 71
2.2 Неподвижные и подвижные особые точки 74
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными особыми точками 76
2.4 Задача Ковалевской о волчке 82
2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве 85
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического поля в полупроводниковом диоде 87
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве 96
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений 100
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения Пенлеве 106
2.11 Неприводимость уравнений Пенлеве 111
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве 113
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве 114
2.14 Дискретные уравнения Пенлеве 116
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений Пенлеве 118
2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве 120
2.17 Алгоритм Конта — Форди — Пикеринга для проверки уравнений на свойство Пенлеве 122
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве 125
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса 128
2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца 131
2.21 Задачи и упражнения к главе 2 135
Глава 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 138
3.1 Интегрируемые системы 138
3.2 Преобразование Коула — Хопфа для уравнения Бюргерса 141
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Корте-вега — де Вриза 144
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега — де Вриза 146
3.5 Отображения и преобразования Бэклунда 149
3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона 151
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега — де Вриза 153
3.8 Семейство уравнений Кортевега — де Вриза 155
3.9 Семейство уравнений АКНС 157
3.10 Тест Абловица — Рамани — Сигура для нелинейных уравнений в частных производных 160
3.11 Метод Вайса — Табора — Карневейля для анализа нелинейных уравнений 163
3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК 165
3.13 Анализ уравнения Кортевега — де Вриза 168
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега — де Вриза методом ВТК 169
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза 171
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелинейных уравнений 172
3.17 Инвариантный пенлеве-анализ 174
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения пар Лакса 176
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми нелинейными уравнениями 179
3.20 Семейство уравнений Бюргерса 187
3.21 Задачи и упражнения к главе 3 189
Глава 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 193
4.1 Применение усеченных разложений для построения частных решений неинтегрируемых уравнений 193
4.2 Точные решения уравнения Бюргерса — Хаксли 197
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса — Кортевега — де Вриза 205
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото — Сивашинского 208
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото — Сивашинского 215
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового уравнения пятого порядка 217
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде 220
4.8 Решения уравнения Кортевега — де Вриза пятого порядка в переменных бегущей волны 230
4.9 Точные решения модели Хенона — Хейлеса 235
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно решаемых нелинейных уравнений 237
4.11 Задачи и упражнения к главе 4 241
Глава 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ СВОЙСТВА 244
5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве 244
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве 251
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями четвертого порядка 253
5.4 Локальные представления решений для уравнений четвертого порядка 258
5.5 Асимптотические свойства трансцендент уравнений четвертого порядка 264
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент 266
5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка 271
5.8 Обобщения уравнений Пенлеве 277
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений Пенлеве 284
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов уравнений Пенлеве 291
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам уравнений Пенлеве 295
5.12 Задачи и упражнения к главе 5 304
ГЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА — ДЕ ВРИЗА 306
6.1 Задача Коши для уравнения Кортевега — де Вриза 306
6.2 Прямая задача рассеяния 307
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера 313
6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния 315
6.5 Уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко 318
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния уравнения Кортевега — де Вриза 321
6.7 Решение уравнения Кортевега — де Вриза в случае безотражательных потенциалов 323
6.8 Оператор Хироты и его свойства 326
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега — де Вриза методом Хироты 327
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза 331
6.11 Задачи и упражнения к главе 6 333
Литература 337
Предметный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Кудряшов Н.А., 2004 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Кудряшов аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений

Свойство Пенлеве в теории дифференциальных уравнений (КУДРЯШОВ Н.А. , 1999), МАТЕМАТИКА

В статье рассмотрен интенсивно развивающийся раздел нелинейной математической физики, связанный со свойством Пенлеве для дифференциальных уравнений. Дается краткое введение в аналитическую теорию дифференциальных уравнений. Обсуждается связь свойства Пенлеве и нелинейных уравнений в частных производных, имеющих солитонные решения.

СВОЙСТВО ПЕНЛЕВЕ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Московский инженерно-физический институт

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

При решении различных задач естествознания исследователи часто используют язык математики, с помощью которого разрабатываются математические модели явлений. С этой целью для математического описания вводятся количественные характеристики — зависимые и независимые переменные, соотношения между которыми и составляют основу математической модели. При формулировке математических моделей прежде всего принимаются во внимание законы сохранения, в которых, как правило, содержатся производные от переменных. Это обстоятельство приводит к дифференциальным уравнениям, решение которых с учетом начальных и граничных условий позволяет представить эволюцию процесса во времени и его изменения в пространстве. Сформулируем основные понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям [1].

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, у которого неизвестным является функция от одной или нескольких переменных, причем в уравнение входит не только функция, но и производные.

Основной вопрос, возникающий в теории дифференциальных уравнений, состоит в том, имеет ли решение заданное дифференциальное уравнение.

Рассмотрим этот вопрос на примере уравнения первого порядка, имеющего вид

Здесь t — независимая переменная, x — неизвестная функция, xt — производная функции x по t, f — функция двух переменных t и x. Функция f, которая входит в дифференциальное уравнение (1), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и x, а лишь в точках некоторого множества G. Предполагается, что множество G открыто. Это означает, что наряду с каждой точкой этого множества в G входит и некоторый круг с центром в этой точке. Относительно функции f также предполагается, что она сама и ее частная производная fx являются непрерывными функциями переменных t и x на всем множестве G.

Определение 2. Решением уравнения (1) называется такая функция x = j(t) независимого переменного t, определенная на некотором интервале t0