Курсовая численные методы решения уравнений

Курсовая работа: Численные методы решения типовых математических задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Тульский государственный университет

Кафедра автоматики и телемеханики

Численные методы решения типовых математических задач

по дисциплине «Вычислительная математика»

Выполнил студент группы _____________

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации

1.1 Постановка задачи

1.2 Математическая формулировка задачи

1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

1.4 Численный метод решения задачи

1.5 Схема алгоритма

1.6 Текст программы

1.7 Тестовый пример

2. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями

2.1 Постановка задачи

2.2 Математическая формулировка задачи

2.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

2.4 Численный метод решения задачи

2.5 Схема алгоритма

2.6 Текст программы

2.7 Тестовый пример

3. Среднеквадратическое приближение функции

3.1 Постановка задачи

3.2 Математическая формулировка задачи

3.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

3.4 Численный метод решения задачи

3.5 Схема алгоритма

3.6 Текст программы

3.7 Тестовый пример

4. Численное интегрирование функций методом Гаусса

4.1 Постановка задачи

4.2 Математическая формулировка задачи

4.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

4.4 Численный метод решения задачи

4.5 Схема алгоритма

4.6 Текст программы

4.7 Тестовый пример

Список использованных источников

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию пауки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание,— вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Поясним существо этого способа исследования на примере решения какой-либо физической проблемы. Пусть требуется изучить некоторый физический процесс. Математическому исследованию предшествует выбор физического приближения, т. е. решение вопроса о том, какие факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. После этого проводится исследование проблемы методом вычислительного эксперимента.

Разработка и исследование вычислительных алгоритмов и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики — вычислительной математики.

Вычислительную математику определяют в широком смысле этого термина как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ, и в узком смысле — как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, т. е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи надо построить вычислительный алгоритм, т. е. указать последовательность арифметических и логических действий, выполняемых па ЭВМ и дающих за конечное число действий решение дискретной задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

При решении задачи па ЭВМ мы всегда получаем не точное решение исходной задачи, а некоторое приближенное решение. Чем же обусловлена возникающая погрешность? Можно выделить три основные причины возникновения погрешности при численном решении исходной математической задачи. Прежде всего, входные данные исходной задачи (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений) всегда задаются с некоторой погрешностью. Погрешность численного метода, обусловленную неточным заданием входных данных, принято называть неустранимой погрешностью. Далее, при замене исходной задачи дискретной задачей возникает погрешность, называемая погрешностью дискретизации или, иначе, погрешностью метода. Наконец, конечная разрядность чисел, представляемых в ЭВМ, приводит к ошибкам округления, которые могут нарастать в процессе вычислений

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов — дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации

1.1 Постановка задачи

Разработать схему алгоритма и написать программу на языке Turbo Pascal 7.0 для решении систем линейных алгебраических уравнений, используя метод простой итерации.

1.2 Математическая формулировка задачи

Пусть А – невырожденная матрица и нужно решить систему

где диагональные элементы матрицы А ненулевые.

1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных преобразований преобразуется в верхнюю треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. В обратном ходе определяются неизвестные.

Пусть дана СЛАУ

Запишем расширенную матрицу системы:

На первом шаге алгоритма Гаусса выберем диагональный элемент (если он равен 0, то первую строку переставляем с какой-либо нижележащей строкой) и объявляем его a₁₁ ≠0 ведущим, а соответствующую строку и столбец, на пересечении которых он стоит — ведущими. Обнулим элементы ведущего столбца. Для этого сформируем числа (-a₂₂ /a₁₁ ), (-a₃₁ /a₁₁ ), .. , (a_n1 /a₁₁ ).

Компьютерная реализация метода Гаусса часто осуществляется с использованием LU-разложения матриц.

LU – разложение матрицы A представляет собой разложение матрицы A в произведение нижней и верхней треугольных матриц, т.е.

где L — нижняя треугольная матрица (матрица, у которой все элементы, находящиеся выше главной диагонали равны нулю, lij=0 при i>j), U- верхняя треугольная матрица (матрица, у которой все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны нулю, uij=0 при i>j).

LU – разложение может быть построено с использованием описанного выше метода Гаусса. Рассмотрим k — ый шаг метода Гаусса, на котором осуществляется обнуление поддиагональных элементов k — го столбца матрицы. Как было описано выше, с этой целью используется следующая операция

В терминах матричных операций такая операция эквивалентна умножению A(k)=MkA(k-1), где элементы матрицы определяются следующим образом

В терминах матричных операций такая операция эквивалентна умножению A(k)=MkA(k-1), где элементы матрицы определяются следующим образом

В результате прямого хода метода Гаусса получим , A(n-1)=U

где A(n-1)=U — верхняя треугольная матрица, а — нижняя треугольная матрица, имеющая вид .

Таким образом, искомое разложение A=LU получено.

Метод прогонки является одним из эффективных методов решения СЛАУ с трех — диагональными матрицами, возникающих при конечно-разностной аппроксимации задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных второго порядка и является частным случаем метода Гаусса. Рассмотрим следующую СЛАУ:

решение которой будем искать в виде

где Qi,Pi,i=1,n — прогоночные коэффициенты, подлежащие определению. Для их определения выразим из первого уравнения СЛАУ (1.1) x1 через x2, получим:

Из второго уравнения СЛАУ (1.1) с помощью (1.3) выразим x2 через x3, получим:

Продолжая этот процесс, получим из i-го уравнения СЛАУ (1.1):

Из последнего уравнения СЛАУ имеем

Метод простых итераций

При большом числе уравнений прямые методы решения СЛАУ (за исключением метода прогонки) становятся труднореализуемыми на ЭВМ прежде всего из-за сложности хранения и обработки матриц большой размерности. В то же время характерной особенностью ряда часто встречающихся в прикладных задачах СЛАУ является разреженность матриц. Число ненулевых элементов таких матриц мало по сравнению с их размерностью. Для решения СЛАУ с разреженными матрицами предпочтительнее использовать итерационные методы.

Методы последовательных приближений, в которых при вычислении последующего приближения решения используются предыдущие, уже известные приближенные решения, называются итерационными.

Метод Зейделя решения СЛАУ

Метод простых итераций довольно медленно сходится. Для его ускорения существует метод Зейделя, заключающийся в том, что при вычислении компонента xik+1 вектора неизвестных на (k+1)-й итерации используются x1k+1, x2k+1, . xik+1 уже вычисленные на (k+1)-й итерации. Значения остальных компонент берутся из предыдущей итерации. Так же как и в методе простых итераций строится эквивалентная СЛАУ и за начальное приближение принимается вектор правых частей . Тогда метод Зейделя для известного вектора на k-ой итерации имеет вид:

предыдущей итерации. Так же как и в методе простых итераций строится эквивалентная СЛАУ и за начальное приближение принимается вектор правых частей . Тогда метод Зейделя для известного вектора на k-ой итерации имеет вид:

Из этой системы видно, что , где В — нижняя треугольная матрица с диагональными элементами , равными нулю, а С — верхняя треугольная матрица с диагональными элементами, отличными от нуля, α=B+C. Следовательно

При таком способе приведения исходной СЛАУ к эквивалентному виду метод простых итераций носит название метода Якоби.

Таким образом, метод Зейделя является методом простых итераций с матрицей правых частей α=(E-B)-1C и вектором правых частей (E-B)-1β.

Разрешим систему относительно неизвестных при ненулевых диагональных элементах , aii≠0, i= 1,n (если какой-либо коэффициент на главной диагонали равен нулю, достаточно соответствующее уравнение поменять местами с любым другим уравнением). Получим следующие выражения для компонентов вектора β и матрицы α эквивалентной системы

В качестве нулевого приближения x (0) вектора неизвестных примем вектор правых частей x (0) =β. Тогда метод простых итераций примет вид:

Из (1.19) видно преимущество итерационных методов по сравнению, например, с рассмотренным выше методом Гаусса. В вычислительном процессе участвуют только произведения матрицы на вектор, что позволяет работать только с ненулевыми элементами матрицы, значительно упрощая процесс хранения и обработки матриц.

Имеет место следующее достаточное условие сходимости метода простых итераций.

Метод простых итераций (1.19) сходится к единственному решению СЛАУ при любом начальном приближении x (0) , если какая-либо норма матрицы α эквивалентной системы меньше единицы

Если используется метод Якоби (выражения (1.18) для эквивалентной СЛАУ), то

достаточным условием сходимости является диагональное преобладание матрицы A, т.е.

(для каждой строки матрицы A модули элементов, стоящих на главной диагонали, больше суммы модулей недиагональных элементов). Очевидно, что в этом случае ||α||_c меньше единицы и, следовательно, итерационный процесс (1.19) сходится.

Приведем также необходимое и достаточное условие сходимости метода простых итераций. Для сходимости итерационного процесса (1.19) необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы α эквивалентной системы лежал внутри круга с радиусом, равным единице.

При выполнении достаточного условия сходимости оценка погрешности решения на k- ой итерации дается выражением:

Следует подчеркнуть, что это неравенство дает завышенное число итераций k, поэтому редко используется на практике

1.4 Численный метод решения задачи

Разрешим систему относительно неизвестных при ненулевых диагональных элементах , aii≠0, i= 1,n (если какой-либо коэффициент на главной диагонали равен нулю, достаточно соответствующее уравнение поменять местами с любым другим уравнением). Получим следующие выражения для компонентов вектора β и матрицы α эквивалентной системы:

При таком способе приведения исходной СЛАУ к эквивалентному виду метод простых итераций носит название метода Якоби.

В качестве нулевого приближения x (0) вектора неизвестных примем вектор правых частей x (0) =β. Тогда метод простых итераций примет вид:

Из (1.19) видно преимущество итерационных методов по сравнению, например, с рассмотренным выше методом Гаусса. В вычислительном процессе участвуют только произведения матрицы на вектор, что позволяет работать только с ненулевыми элементами матрицы, значительно упрощая процесс хранения и обработки матриц.

Имеет место следующее достаточное условие сходимости метода простых итераций.

Метод простых итераций (1.19) сходится к единственному решению СЛАУ при любом начальном приближении x (0) , если какая-либо норма матрицы α эквивалентной системы меньше единицы

Если используется метод Якоби (выражения (1.18) для эквивалентной СЛАУ), то

достаточным условием сходимости является диагональное преобладание матрицы A, т.е.

(для каждой строки матрицы A модули элементов, стоящих на главной диагонали, больше суммы модулей недиагональных элементов). Очевидно, что в этом случае ||α||_c меньше единицы и, следовательно, итерационный процесс (1.19) сходится.

Приведем также необходимое и достаточное условие сходимости метода простых итераций. Для сходимости итерационного процесса (1.19) необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы α эквивалентной системы лежал внутри круга с радиусом, равным единице.

При выполнении достаточного условия сходимости оценка погрешности решения на k- ой итерации дается выражением:

где x · — точное решение СЛАУ.

Процесс итераций останавливается при выполнении условия , где εε≤)(kε — задаваемая вычислителем точность.

Принимая во внимание, что из (1.20) следует неравенство , можно получить априорную оценку необходимого для достижения заданной точности числа итераций. При использовании в качестве начального приближения вектора β такая оценка определится неравенством:

откуда получаем априорную оценку числа итераций k при ||α|| ‘0’;

writeln(‘введите вектор свободных коэффициентов’);

for j:=1 to kolvo do

writeln(‘введите элемент ‘,j,’ и нажмите Enter’);

Привет студент

Курсовая работа численные методы. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Автоматика и системы управления»

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ

Пояснительная записка к курсовому проекту

по дисциплине «Численные методы»

Студентка гр. ИС 20253

Руководитель –доцент кафедры АиСУ

____________А. C. Окишев

Пояснительная записка содержит 30 страниц, 18 рисунков, 5 таблиц, 3 источника.

Численный метод, нелинейное уравнение, корень, итерация, сходимость, аппроксимация, интерполяция, многочлен Лагранжа, задача Коши, погрешность, кубический сплайн, обыкновенное дифференциальное уравнение.

Объектом исследования являются приближенные численные методы решения некоторых математических и инженерных задач, а также программное обеспечение, реализующее эти методы.

Цель работы – ознакомиться с численными методами решения нелинейных и дифференциальных уравнений и интерполяции функций, решить предложенные типовые задачи с помощью предоставленного преподавателем программного обеспечения, сформулировать выводы по полученным решениям, отметить достоинства и недостатки методов, сравнить удобство использования и эффективность работы каждой программы.

Пояснительная записка к курсовому проекту оформлена в текстовом редакторе MicrosoftOffice 2010 с установленным интерактивным редактором формул MathType 6.6. Графики нелинейных функций построены с помощью программы AdvancedGrapher. При решении обыкновенных дифференциальных уравнений использовалась среда математического моделирования Mathcad 14.

В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных, что привело к появлению новой дисциплины – вычислительной математики. Предметом изучения последней являются численные методы решения задач математического анализа: изучение алгоритмов и условий сходимости итерационных методов, определение границ применимости методов, исследования оценок погрешностей методов и вычислений. Главным разделом вычислительной математики является реализация численных методов на ЭВМ, то есть составление программы для требуемого алгоритма и решения с ее помощью конкретной задачи.

Любая прикладная задача формируется исходя из определенного физического смысла некоторого процесса (распределение тепла в стержне, описание траектории движения объектов). Прикладная математическая задача может быть сформулирована, например, из описания некоторой экономической модели (задача распределения ресурсов, задача планирования производства, транспортная задача перевозки грузов, оптимальных в заданном смысле). Следовательно, для постановки любой прикладной задачи нужна математическая модель. Поэтому, можно выделить следующие этапы решения задач на ЭВМ:

1) описание математической модели задачи на основе физической или экономической модели;

2) изучение методов решения поставленной математической модели задачи и создание новых методов;

3) выбор метода решения задачи исходя из заданной точности решения и особенностей задачи;

4) составление блок-схемы программы для решения задачи на ЭВМ;

5) отладка программы и оценка полученных результатов;

6) решение задачи на ЭВМ, построение графиков, получение оценки погрешностей, обоснование результатов.

В курсовом проекте рассматриваются не прикладные, а типовые математические задачи, которые могут возникнуть при переходе от реальных систем к их математическим моделям, поэтому основное внимание уделяется последнему этапу.

1 Решение нелинейных уравнений

Нелинейными уравнениями называются уравнения вида

где – нелинейная функция, которая может относиться к трем типам:

1) нелинейная алгебраическая функция вида

2) трансцендентные функции – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные и гиперболические функции;

3) различные комбинации этих функций, например, .

Решением нелинейного уравнения является такая точка , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. На практике не всегда удается подобрать такое решение. В этом случае решение уравнения находят с применением приближенных (численных) методов. Тогда решением будет являться такая точка , при подстановке которой в уравнение последнее будет выполняться с определенной степенью точности, т.е. , где e – малая величина. Нахождение таких решений и составляет основу численных методов и вычислительной математики.

Решение нелинейных уравнений разделяется на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то узнать, сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень.

Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения , можно построить график функции . Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближенным значением корня. Если f(x) имеет сложный вид, то ее можно представить в виде разности двух функций . Так как , то выполняется равенство .Если построить два графика , , то абсцисса точки их пересечения будет приближенным значением корня уравнения.

Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Он основывается на следующих трех теоремах.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и меняет на концах отрезка знак (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

Теорема 3. Если функция является многочленом n-ой степени и на концах отрезка меняет знак, то на имеется нечетное количество корней (если производная сохраняет знак на , то корень единственный). Если на концах отрезка функция не меняет знак, то уравнение либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо вычислить критические точки , в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности . На каждом из них определяется знак производной , где . Затем выделяются те интервалы монотонности, на которых функция меняет знак.

На втором этапе на каждом из этих интервалов для поиска корня используются численные итерационные методы уточнения корней, например методы половинного деления, простых итераций или Ньютона.

1.1 Метод простых итераций

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду

Выберем произвольно приближенное значение корня и вычислим . Найденное значение подставим в правую часть соотношения (2) и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения . В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве

и учитывая непрерывность функции на отрезке , получим

Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле

Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения и выполняется условие

тогда процесс итераций сходится независимо от начального значения и предельное значение является единственным корнем уравнения на .

Геометрическая интерпретация метода простых итераций заключается в следующем: если построить два графика функций и , то абсцисса точки их пересечения будет корнем . Построим итерационный процесс. Зададим .Вычислим – первое приближение и – второе приближение. В первом случае (рисунок 1, а) процесс сходящийся ( ), во втором (рисунок 1, б) – расходящийся ( ).

Рисунок 1 – Сходящийся (а) и расходящийся (б) итерационные процессы

Часто, если итерационный процесс расходится из-за невыполнения условия , нелинейное уравнение можно привести к виду, допускающему сходящиеся итерации.

Выполнения условия сходимости можно добиться путем перехода от исходного уравнения к эквивалентному виду следующим образом: сначала умножить обе части уравнения (1) на , а затем прибавить к обеим частямx, тогда . Обозначив ,получим уравнение . Константа с выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса , т.е.

Условие равносильно двойному неравенству

Поэтому константа выбирается из соотношений:

Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют два достоинства:

1) являются универсальными и самоисправляющимися, то есть любая неточность на каком-либо шаге итераций отражается не на конечном результате, а лишь на количестве итераций. Подобные ошибки устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости;

2) позволяют достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении .

– трудность приведения уравнения к виду .

– если начальное приближение находится далеко от корня, то число итераций при этом увеличивается, а объем вычислений возрастает.

Процесс итераций заканчивается при выполнении двух критериев:

1) Когда два последних приближения отличается между собой по модулю на заданную величинуe:

Одного критерия недостаточно, так как в случае крутизны графика, данное условие будет выполнено, но может находиться далеко от корня;

2) Когда последнее вычисленное приближение к корню удовлетворяет уравнению с заданной точностью:

Отдельно критерия бывает недостаточно, так как при пологой функции условие может быть выполнено, но может быть далеко от корня.

1.2 Метод Ньютона

Пусть уравнение имеет на интервале единственный корень, причем существует непрерывная на производная . Метод Ньютона служит для уточнения корней нелинейных уравнений в заданном интервале. Его можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если

Тогда итерационный процесс осуществляется по формуле:

Геометрически этот процесс представлен на рисунке 2. Он означает замену на каждой итерацииk графика кривой касательной к ней в точках с координатами .

Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки . Начальным приближением служит один из концов отрезка , в зависимости от того, в каком из них выполняется достаточное условие сходимости

При произвольном начальном приближении итерации сходятся, если

Метод Ньютона рекомендуется применять для нахождения простых действительных корней уравнения .

Достоинством метода является то, что он обладает скоростью сходимости, близкой к квадратичной.

– не при любом начальном приближении метод Ньютона сходится, а лишь при таком, для которого ;

– если , т.е. касательная к графику почти параллельна оси абсцисс, то и метод расходится;

– если ,т.е. касательная к графику почти параллельна оси ординат, то и продвижения к корню не будет.

Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, в которой используется только касательная в точке начального приближения. Рабочая формула при этом имеет вид:

1.3 Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

Решите нелинейное уравнение

методом простой итерации:

1. a) выполните приблизительную оценку корней предложенного уравнения с помощью системы MathCad, графической программы AdvancedGrapher или вручную;

б) преобразуйте уравнение вида f (x) = 0 к итерационному виду x = φ(x), гарантировав при этом сходимость метода простой итерации;

в) с помощью программы MeProst уточните один из корней первого уравнения вида f (x)=0 с точностью ε = 10 -3 , выбрав подходящий отрезок для построения графической иллюстрации работы метода простой итерации;

г) в пояснительной записке приведите график функции f (x) с указанием выбранных для уточнения корней, результаты уточнения корней программой MeProst, значения корней, требуемое число итераций, погрешность решения и графические иллюстрации процесса сходимости к корню.

Для приблизительной оценки корней нелинейного уравнения построим график функции с помощью программы AdvancedGrapher (рисунок 3).

Из рисунка 3 видно, что график функции пересекает ось абсцисс в одной точке, поэтому уравнение имеет один корень.

т.е. для уточнения корня будем использовать итерационную последовательность:

где – номер итерации.

С помощью программы MeProst выполним уточнение корня. В разделе меню «Ввод» задаем следующие параметры (Рисунок 4):

Рисунок 4 –Ввод параметров в программе Newton

• отрезок, на котором находится уточняемый корень ;
• необходимая точность приближения к корню ;
• начальное приближение к корню
• максимальное допустимое число итераций .

Чтобы получить наглядное представление о процессе сходимости к корню, выберем пошаговый режим расчета. В открывшемся окне (рисунок 5) видим графики функций (зеленый) и (красный). Очевидно, что корень уравнения определяется как точка пересечения этих двух графиков. Точка начального приближения показана синим цветом. Чтобы вычислить следующее приближение геометрическим способом, необходимо найти точку пересечения прямой и кривой и ординату этой точки взять в качестве . Последующие приближения определяются аналогично.

Рисунок 5 – Метод простых итераций

Как следует из рисунка 5, итерационный процесс сходится (с каждый новым шагом мы приближаемся к решению).

Корнем данного уравнения является

1.4 Решение нелинейного уравнения методом Ньютона

Решите нелинейное уравнение

1. a) выполните приблизительную оценку корней уравнения с помощью системы MathCad, графической программы AdvancedGrapher или вручную;

б) с помощью программы Newton уточните один из корней первого уравнения вида f (x)=0 с точностью ε = 10 -3 , выбрав подходящий отрезок для построения графической иллюстрации работы метода Ньютона;

в) в пояснительной записке приведите график функции f(x) с указанием выбранных для уточнения корней, результаты уточнения корней программой Newton, значения корней, требуемое число итераций, погрешность решения и графические иллюстрации процесса сходимости к корню.

Для приблизительной оценки корней нелинейного уравнения построим график функции с помощью программы AdvancedGrapher (рисунок 6).

Как видно из рисунка 6, график функции пересекает ось абсцисс в двух точках, поэтому первый корень x 1 = -2, второй корень x 2 = 5,5.

С помощью программы Newton выполним уточнение выбранного корня. Для этого в разделе меню «Ввод» задаем следующие параметры (рисунок 7):

• отрезок построения касательных к графику функции ;
• необходимая точность приближения к корню ;
• начальное приближение к корню ;
• максимальное допустимое число итераций .

Рисунок 7 – Ввод параметров в программе Newton

Рисунок 8 – Четвертая итерация метода Ньютона

Как видно из рисунка 8, корень уравнения 5 найден с заданной точностью за итераций, погрешность решения составляет .

2 Интерполяция функций

Задача интерполяции функций возникает в тех случаях, когда:

функция задана в виде таблицы, и необходимо знать значения функции для промежуточных значений аргументов, расположенных в таблице между узлами , а также для аргументов, расположенных вне таблицы;

известна лишь таблица функции и требуется определить ее аналитическое выражение;

известно аналитическое выражение функции, но оно имеет очень сложный вид, вследствие чего возникает необходимость представления этой функции в более простом виде. Например, при вычислении определенных интегралов вида можно заменить подынтегральную функцию некоторой приближенной функцией в виде многочлена. Тогда

Построив интерполяционный многочлен любого вида, также можно расширить таблицу как влево, так и вправо, вычисляя построенный многочлен в точках, не принадлежащих таблице (задача экстраполяции). Кроме того, построив интерполяционный многочлен, можно уплотнить таблицу, определяя значения функции для промежуточных аргументов между узловыми точками.

2.1 Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть задана система точек , в которых известны значения функции (см. таблицу 1).

Таблица 1 – Экспериментальные значения функции

Установим зависимость одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.

Рассмотрим пример построения интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной системе точек (в общем случае для неравноотстоящих аргументов). Построим некоторый многочлен таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть . Лагранж предложил строить многочлен степени nв виде:

Здесь в каждом слагаемом коэффициенту a_i соответствует разность .Найдем неизвестные коэффициенты , называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие :

Следовательно, коэффициент a₀ вычисляется по следующей формуле:

Следовательно, коэффициент a₁ вычисляется по формуле:

Значения остальных коэффициентов вычисляются аналогично.

С учетом найденных коэффициентов интерполяционный многочлен Лагранжа запишется в виде

Погрешность формулы определяется остаточным членом:

где x–точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точкуx.

2.2 Интерполяционные формулы Ньютона

Если таблица, для которой построена формула Лагранжа, задана для равноотстоящих узлов , то формула Лагранжа упрощается.

С учетом введенных обозначений формула Лагранжа запишется в виде:

Запишем формулу Лагранжа в случае, если :

Получили формулу линейной интерполяции вида:

где – табличные разности первого порядка.

При получаем формулу квадратичной интерполяции вида:

где – табличные разности второго порядка.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона будет иметь вид:

Остаточный член формулы имеет вид:

где ,x – точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точкуx.

Первая интерполяционная формула рекомендуется для интерполяции в начале таблицы.

Вторая интерполяционная формула Ньютона используется при вычислении функции для значений , близких к концу таблицы и для продолжения таблицы. Обозначим через , тогда

Тогда получим следующую формулу Ньютона:

имеет тот же смысл, что и в первой формуле Ньютона.

2.3 Интерполяция кубическими сплайнами

Кубическим сплайном называется функция , которая:

• на каждом отрезке является многочленом третьей степени;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всем отрезке [a, b];
• в точках x_i выполняются равенства и ;
• имеет граничные условия вида .

По количеству точек, учитываемых при аппроксимации функции, кубические сплайны можно разделить на локальные и глобальные.

Локальные сплайны используют производные , вычисляемые по трем заданным точкам, ближайшим к точке x, в которой необходимо вычислить значение функции.

Глобальные сплайны используют массив вторых производных по всем узловым точкам , который рассчитывается заранее путем решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Пусть имеется таблица значений , где i изменяется от 0 до n.

Получается n+1 узел, причем сетка узлов неравномерная, тогда на интервале для нахождения значения сплайна в некоторой введенной точке необходимо проверить, принадлежит ли данная точка интервалу значений исходной таблицы.

1. Если принадлежит, то формула вычисления значения сплайна в точке имеет вид:

где – расстояние между соседними узлами;

– значения функции в узловых точках;

– значения вторых производных.

Вторые производные m_i находятся из трехдиагональной СЛАУ:

Всего в системе n–1 уравнение и n+1 неизвестная: . Система не полностью определяет m_i. Сводим ее к трехдиагональной СЛАУ заданием граничных условий. Для нормального сплайна , . Теперь в СЛАУ n–1неизвестная иона является трехдиагональной. Такая система решается методом прогонки.

1. Асимптотическое поведение сплайна вне интервала описывается формулами:

• линейная экстраполяция при (влево):

• линейная экстраполяция при (вправо):

2.4 Интерполяция функций сплайнами по таблице значений

Постройте график кубического сплайна и вычислите значения неизвестной функции f(x) в промежуточных точках.

Для каждого из двух предложенных наборов экспериментальных данных (см. таблицу 2):

а) с помощью программы Splacc постройте график кубического нормального сплайна и приведите его в пояснительной записке;

б) с помощью программы Splacc вычислите значения неизвестной функции f(x) во всех предложенных промежуточных точках;

в) вычислите те же значения неизвестной функции f(x) в промежуточных точках, введя их единым массивом в программе Spladd;

г) сравните программы Splacc и Spladd, укажите достоинства и недостатки каждой из них, а также отличия в полученных числовых значениях, если таковые имеются.

Таблица 2 – Экспериментальные данные для кубической интерполяции

Графики сплайнов для первой и второй функции, построенные с помощью программы Splacc, представлены на рисунке10.

Рисунок 10 – Интерполяция сплайном для первой (а) и второй (б) функции в программе Splacc

Значения сплайна в расчетных точках приведены в таблицах 3,4. Расчеты значений сплайнов программами Splacc и Spladd дали одинаковые результаты.

Таблица 3 – Значения сплайна в расчетных точках в программе Splacc

Рисунок 11 – Значения сплайна в расчетных точках в программе Spladd для первой (А) и второй функции (Б)

3 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике.

Методы их решения подразделяются на два класса:

аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;

численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.

Решить дифференциальное уравнение

численным методом означает, что для заданной последовательности аргументов и числа , не определяя аналитического вида функции , найти значения , удовлетворяющие начальным условиям:

3.1 Метод Эйлера.

Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) с начальными условиями (задача Коши):

и удовлетворяются условия существования и единственности решения.

Требуется найти решение задачи Коши на отрезке . Найдем решение в виде таблицы . Для этого разобьем отрезок наn равных частей и построим последовательность

где – шаг интегрирования.

Проинтегрируем исходное уравнение на отрезке :

Полученное соотношение можно переписать как

Если считать подынтегральную функцию постоянной на участке и равной значению в начальной точке этого интервала , то получим

Подставляя полученный результат в формулу , получим основную расчетную формулу метода Эйлера:

Вычисление значений осуществляется с использованием формулы следующим образом. По заданным начальным условиям иy₀, полагая в выражении , вычисляется значение

Далее, определяя значение аргумента x по формуле , используя найденное значение y₁ и полагая в формуле , вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой как

Поступая аналогичным образом при , определяем все остальные значенияy_k, в том числе последнее значение

которое соответствует значению аргумента .

Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых в качестве приближенного представления искомой интегральной кривой , получаем ломанную линию с вершинами в точках .

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка:

с начальными условиями

Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:

гдеh– шаг интегрирования.

При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломанных Эйлера, построенных по полученным таблицам . Точность метода Эйлера .

3.2 Решение ОДУ методом Эйлера

Решите ОДУ первого порядка (задачу Коши)

а) изучите устройство и работу шаблона МЭ в среде математического моделирования MathCAD и получите методом Эйлера таблицу значений неизвестной функции y(x);

б) аппроксимируйте полученные данные кубическим сплайном и постройте приближенный график функции y(x) в программе Splacc.

Вводим исходные данные в шаблон МЭ.mcd и по формуле определяем значение y₁(листинг 1).

Листинг 1 – Первый шаг метода Эйлера

Подставляя найденное значение y₁ в формулу, вычисляем следующее значение функции y₂ (листинг 2).

Листинг 2 – Второй шаг метода Эйлера

Остальные значения функции вычисляются аналогично до тех пор, пока не будет достигнут правый конец отрезка интегрирования (листинг 3).

Листинг 3 – Последний шаг метода Эйлера

Полученные значения неизвестной функции представлены в таблице 4.

Таблица 4 – Значения функции

Аппроксимируем таблично заданную функцию кубическим сплайном с помощью программы Splacc. График сплайна показан на рисунке 15. Как видно из рисунка, решение ОДУ практически линейно.

Рисунок 15 – Интерполяция численного решения ОДУ кубическим сплайном

3.3 Решение ОДУ методом Эйлера-Коши

Решите ОДУ первого порядка (задачу Коши)

а) изучите устройство и работу шаблона МЭК в среде математического моделирования MathCAD и получите методом Эйлера-Коши таблицу значений неизвестной функции y(x);

б) аппроксимируйте полученные данные многочленом Лагранжа и постройте приближенный график функции y(x) в программе Lagr;

Вводим исходные данные в шаблон МЭК.mcd и определяем значение y₁ (листинг 4).

Листинг 4 – Первый шаг метода Эйлера-Коши

Остальные значения функции вычисляются аналогично по шаблону МЭК до тех пор, пока не будет достигнут правый конец отрезка интегрирования (листинг 5).

Листинг 5 – Последний шаг метода Эйлера-Коши

Полученные значения неизвестной функции представлены в таблице 5.

Таблица 5 – Значения функции

Аппроксимируем таблично заданную функцию многочленом Лагранжа с помощью программы Lagr. График многочлена приведен на рисунке 18. Как следует из рисунка, в данном случае решение ОДУ имеет нелинейный характер.

Рисунок 18 – Интерполяция численного решения ОДУ многочленом Лагранжа

Недостаток аналитических методов – использование целого ряда допущений и предположений в процессе построения математических моделей и невозможность, в некоторых случаях, получить решение в явном виде из-за неразрешимости уравнений в аналитической форме, отсутствия первообразных для подынтегральных функций и т.п. В этих случаях широко применяются численные методы.

Численные методы основываются на построении конечной последовательности действий над числами. Применение численных методов сводится к замене математических операций и отношений соответствующими операциями над числами, например, к замене интегралов суммами, бесконечных сумм – конечными и т.п. Результатом применения численных методов являются таблицы и графики зависимостей, раскрывающих свойства объекта. Численные методы являются продолжением аналитических методов в тех случаях, когда результат не может быть получен в явном виде. Численные методы по сравнению с аналитическими методами позволяют решать значительно более широкий круг задач.

Предложенные преподавателем программы показали себя эффективно для решения конкретных задач, под которые они были написаны. Но их использование для решения различных инженерных задач нецелесообразно из-за крайне ограниченного функционала. Возможный выход – это самостоятельное написание программ под конкретные задачи, но это чревато большими трудозатрами. Альтернатива – использование коммерческих пакетов (например, системы математического моделирования Mathcad, Matlab, Maple и т.д.), позволяющих решать очень широкий круг задач. Использование различных скриптов к этим коммерческим пакетам также позволяет еще сильнее расширить их функционал.

Примеров инженерных задач, в которых могут потребоваться изученные численные методы, можно привести целое множество. Прежде всего это те направления, где требуется математическое моделирование различных процессов. Например, моделирование уличной дорожной сети (для оптимизации использования общественного и частного транспорта), моделирование использования различных инженерных сооружений для расчета эффективности их использования и расчета оптимальных, а также максимальных нагрузок на них, моделирование взаимодействия инженерных сооружений и окружающей среды для расчета возможных экологических последствий их использования.

1. ВержбицкийВ.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Оникс 21 век, 2005. – 636 с.
2. ВержбицкийВ.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Оникс 21 век, 2005. – 400 с.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. – 432 с.

Скачать: У вас нет доступа к скачиванию файлов с нашего сервера. КАК ТУТ СКАЧИВАТЬ

Курсовая работа На тему: «Численные методы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Курсовая работа

На тему: «Численные методы решения уравнений»

Введение

эйлер уравнение дифференциальный интерполирование

Цель данной курсовой работы — изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, «классические» методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы. В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

1. Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона)

.1 Решение нелинейных уравнений

Обычно нелинейные уравнения делят на трансцендентные и алгебраические. Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например, lg ( x ) или e x , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на аналитические и численные.

Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В численных методах задается процедура решения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Задача отыскания корней нелинейного уравнения f ( x ) = 0 считается решенной, если мы сумеем определить корни с нужной степенью точности.

Для решения нелинейных уравнений известны следующие численные методы: метод половинного деления (метод дихотомии), метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод секущих, метод простой итерации. Рассмотрим метод половинного деления.

Графическая интерпретация метода показана на рис.1.

Рисунок 1. Графическая интерпретация метода половинного деления

В этом методе отыскание корня уравнения f ( x ) = 0 проходит в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корень, т.е.выделить интервал на оси абсцисс, на котором функция f ( x ) меняет свой знак. Для отделения корня следует провести вычисление функции f ( x ) в точках, расположенных через равные интервалы по оси x , до тех пор, пока не будут найдены два последовательных значения функции f ( x _n ) и f ( x _{n +1} ), имеющие противоположные знаки.

.2 Метод касательных (Ньютона)

Метод касательных называется также методом Ньютона. Будем считать, что функция F ( x ) непрерывна на отрезке [а; b ] и имеет место на концах отрезка разные знаки, т.е. F ( a ) F ( b )

В качестве начального приближения x ₀ в методе касательных выбирается тот конец отрезка [ a ; b ], в котором функция F ( x ) и ее вторая производная F 11 ( x ) имеет одинаковые значения, т.е.

F(a)F 11 (a)>0 или F(b)F 11 >0.

Геометрический смысл метода заключается в том, что приближения по нему равны абсциссам точек пересечения оси Ox и касательных к графику функции y = F ( x ).

Примем за начальное приближение х ₀ конец отрезка b , т.е. x ₀ = b и проведем касательную к графику функции в точке B ₀ ( x ₀ ; F ( x ₀ )).

Уравнение касательной будет иметь вид:

Касательная пересечет ось Ox при y =0. Подставив y =0 в уравнение, получим абсциссу точки пересечения

₁ = x ₀

Записав уравнение касательной к графику в точке B ₁ ( x ₁ ; F ( x ₁ )), при y =0, получим

₂ = x ₁ —

Каждый раз абсциссы точек пересечения касательных с осью Ох будут вычисляться по формуле

_{n +1 =} x _{n ,} ( n =0,1,2,….), (1.1)

где ζ — точный корень уравнения F ( x )=0.

2. Интерполирование функции. Полиномы Ньютона

Многочлен Лагранжа неудобен из-за своей громоздкости для практического использования. Рассмотрим более простую схему построения интерполяционного многочлена.

Пусть l _n ( x ) — интерполяционный многочлен Лагранжа с равноотстоящими узлами. Представим в виде:

Разности l _k ( x ) — l _{k -1} ( x ) есть многочлены k -ой степени, обращающиеся в ноль в точках x ₀ , x ₁ ,…, x _{k -1} , поскольку l _k ( x _j ) — l _{k -1} ( x _j ) при j = 0,1,…, k -1. Следовательно,

Подставляя эти выражения в первую формулу (для k =1,…, k -1) находим:

Коэффициенты a ₀ , a ₁ ,…, a _n определяются из условий: l _n ( x _j ) = f ( x _j ) при j = 0,1,…, k -1,

Так как мы предполагали, что у нас равноотстоящие узлы, то

x _k = x ₀ + kh, l _k (x _k ) = f(x _k ). Отсюда .

Покажем, что f ( x _k ) — l _{k -1} ( x _k ) есть k — я разность в точке x ₀ , т.е. она равна ∆ k f ( x ₀ ).

Методом математической индукции можно доказать, что

Вычислим разность f ( x _k ) — l _{k -1} ( x _k ). Имеет место равенство

f ( x _k ) — l _{k -1} ( x _k ) =, где

(2.6)

(2.7)

Поэтому .

(2.9)

Интерполяционный многочлен, записанный в таком виде, называется интерполяционным многочленом Ньютона (с равноотстоящими узлами интерполяции).

Линейный интерполянт по Ньютону имеет вид

(2.10)

Вводя обозначение , получим

(2.11)

При вычислении разностей удобно пользоваться таблицей.

При проверке вычислений используется условие, что сумма всех чисел столбца должна быть равна разности первого и последнего чисел столбца.

Интерполяционная формула Ньютона имеет место и в случае, если узлы не равноотстоят друг от друга. В этом случае она принимает вид:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Алгоритм интерполяции функции многочленом Ньютона (произвольные узлы).

Ввод: Узлы интерполяции X [ i ], Y [ i ]’ i = 0,1,…, n .

Вывод: Вычислить c := f (х).

Цикл по j := 1… n выполнить

Цикл по i := 0… n — j выполнить Y [ i ]:= ( Y [ i +1]- Y [ i ])/ ( X [ i + j ]- X [ i ]); конец цикла по i ;

конец цикла по j ;

Алгоритм интерполяции функции многочленом Ньютона (равноотстоящие узлы).

Ввод: Узлы интерполяции X [ i ], Y [ i ]’ i = 0,1,…, n .

Вывод: Вычислить c := f (х).

h := X [1]- X [0]; с:= X [0]; p :=1;

Цикл по j := 1… n выполнить

Цикл по i:= 0 … n-j выполнить Y[i]:= (Y[i+1]- Y[i]); / (X[i]- X[i-1]); X[i]:= X[i]- X[i-1]); конец цикла по i;

конец цикла по j ;

Погрешность при интерполяции многочленом Ньютона та же, что и при интерполяции многочленом Лагранжа. Наибольшая точность при заданных узлах интерполяции достигается для, расположенных к середине отрезка.

3. Численное интегрирование

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.

2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .

(3.1)

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

.1 Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на [ a , b ] отрезке. Этот отрезок делится точками x ₀ , x ₁ , …., x _{n -1} , x _n на n равных отрезков длиной . Обозначим через y ₀ , y ₁ , …., y _{n -1} , y _n значение функции f ( x ) в точках x ₀ , x ₁ , …., x _{n -1} , x _n

Далее составляем суммы . Каждая из сумм — интегральная сумма для f ( x ) на [ a , b ] и поэтому приближённо выражает интеграл.

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

(3.2)

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок [ a , b ], тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на большую точность, если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

(3.3)

где

Учитывая априорно большую точность последней формулы при том же объёме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников.

3.2 Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

(3.4)

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

(3.5)

где и

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h :

(3.6)

где

Погрешность формулы трапеций:

(3.7)

где и

3.3 Метод парабол

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

(3.8)

Если разбить интервал интегрирования на 2 N равных частей, то имеем

(3.9)

где .

Это более совершенный способ — график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков — столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона — самая популярное задание на практике.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл.

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид: (24)

где: — длина каждого из маленьких отрезков или шаг;

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:

— сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;

— сумма членов, с чётными индексами умножаемая на 2.

— сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

На основании полученных данных строим график (рисунок 2), который показывает погрешность:

Рисунок 2 — График подынтегральной функции приближенный к самой функции.

Метод левых прямоугольников

Метод правых прямоугольников

4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом: , где x — независимая переменная, y i — i-ая производная от искомой функции. n — порядок уравнения. Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных постоянных c ₁ . c _n ,т.е. общее решение имеет вид y = φ ( x , c ₁ , …, c _n ).

Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.

Примеры постановки задачи Коши:

(4.1)

(4.2)

Примеры краевых задач:

(4.3)

(4.4)

Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.

4.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка на отрезке [ x ₀ , x _n ] при условии y ( x ₀ )= y ₀ .

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки xi = x 0+ ih , ( i =0,1,…, n ) промежутка [x ₀ , x _n ].

Целью является построение таблицы.

Т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке [ x _i , x _{i +1} ]получим

(4.5)

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой-либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

(4.6)

то получим явную формулу Эйлера:

(4.7)

Зная , находим , затем т.д..

4.2 Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Пользуясь тем, что в точке x ₀ известно решение y(x ₀ ) = y ₀ и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y = y ( x ) в точке ( x ₀ , y ₀ ):

При достаточно малом шаге h ордината , этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x ₁ ) решения y(x) задачи Коши. Следовательно, точка ( x 1, y 1) пересечения касательной с прямой x = x ₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к y = y ( x ) в точке ( x 1, y ( x 1)). Подставляя сюда x 2= x 1+ h (т.е. пересечение с прямой x = x ₂ ), получим приближенное значение y(x) в точке x ₂ : , и т.д. В итоге для i-й точки получим формулу Эйлера.

Рисунок 7. Метод Эйлера

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации. Если использовать формулу правых прямоугольников:

то придем к методу

(4.8)

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера : в данном методе вычисление y _{i +1} состоит из двух этапов:

(4.9)

(4.10)

Данная схема называется еще методом предиктор — корректор (предсказывающее — исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы были изучены следующие методы решения профессиональных задач: решение нелинейных уравнений, метод касательных (Ньютона), интерполирование функции, полиномы Ньютона, численное интегрирование и приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, задача Коши. На примерах было показано, что с помощью данных методов можно достаточно быстро решить многие профессиональные задачи с указанной степенью точности. При этом использование программы MathCad, также существенно облегчает проводимые вычисления.

Список использованных источников

1) Бахвалов Н.С. Численные методы — М.: Наука, 2006. — 632 с.

) Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — Т.1. — М.: Наука, 2008. — 464 с.

) Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов — 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 2005. -550 с.

2) Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 2012.- 664 с.

3) Самарский А.А. Введение в численные методы. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 2011. — 239 с.

Краткое описание документа:

В ходе выполнения курсовой работы были изучены следующие методы решения профессиональных задач: решение нелинейных уравнений, метод касательных (Ньютона), интерполирование функции, полиномы Ньютона, численное интегрирование и приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, задача Коши. На примерах было показано, что с помощью данных методов можно достаточно быстро решить многие профессиональные задачи с указанной степенью точности. При этом использование программы MathCad, также существенно облегчает проводимые вычисления.