Курсовая дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2012 в 21:39, реферат

Краткое описание

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления «флюксий» и «флюент» ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Содержание

Введение……………………………………………………………….……3
Основные понятия и определения………………………………….……..4
Существование решения дифференциального уравнения первого порядка…………………………….……. …..6
Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными……………………….……. …. 12
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………………..…16
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………….…. ….18
Заключение…………………………………………………………….…..20
Литература………..………………………………………………………..21

Вложенные файлы: 1 файл

Диф ур — копия.docx

на тему: «Дифференциальные уравнения первого порядка»

1. Введение………………………………………………………… …….……3
2. Основные понятия и определения………………………………….……..4
3. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка…………………………………………………………. ……. …..6
4. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными………………………………………………… .……. …. 12
5. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………… ……..…16
6. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка…………………………………………………………… .…. ….18
7. Заключение…………………………………………………… ……….…..20
8. Литература………..……………………………………… ………………..21

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления «флюксий» и «флюент» ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачу нахождения неопределённого интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.

Основное открытие Ньютона, то, которое он счел нужным засекретить и опубликовал лишь в виде анаграммы, состоит в следующем: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa». В переводе на современный математический язык это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения». В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный для всевозможных приложений и постоянно стимулирующий теоретические исследования во всех отделах математики.

Основные понятия и определения.

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) является дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальной уравнение .

Тогда любая функция вида y=c₁sinx+c₂cosx, где c₁, c₂ – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c₁si nx+c₂cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем .

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка

отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c₁, c₂, …, c_n), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c₁, c₂, …, c_n, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c₁, c₂, …, c_n)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c₁, c₂ , …, c_n. Обычно значения этих произвольных постоянных c₁, c₂ , …, c_n определяются заданием начальных условий: y(x₀)=y₀, . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

решая которые относительно c₁, c₂ , …, c_n находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x₀)=y₀ выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x₀,y₀).

Существование решения дифференциального уравнения первого порядка.

Задано дифференциальное уравнение вида

Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀. Тогда из следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c₀. Из y(x₀)=y₀, y(x₀)=F(x₀)+c₀ получаем c₀=y₀-F(x₀), т.е. y(x)=F(x)-F(x₀)+y₀.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F(x)-F(x₀) равна значению определенного интеграла ,

И, следовательно, получаем

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, получила в литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение и начальные значения x₀,y₀.

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. , где L – постоянная;

То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀ и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где .

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу:

Далее можно показать, что функция дает единственное решение дифференциального уравнения в промежутке .

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y / .

Более общим видом является случай уравнения вида , не разрешимого относительно производной y / .

Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y / , и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений (k=1,2,…,m).

Если при этом каждая из функций (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения, то через точку (x₀,y₀) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение. Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого из уравнений (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Y_k(x,c) (k=1,2,…,m).

Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида . Разрешая его относительно y / получаем два уравнения y / =1 и y / =-1, т.е. через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые, касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 45 0 и 135 0 . Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c.

Особым решением дифференциального уравнения

называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.

Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.

Особые решения дифференциального уравнения.

Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y / )=0.

Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с условием , не обеспечивающим представление y / как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y / )=0.

Таким образом, формируя систему уравнений

и исключая из нее переменную y / , получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y / )=0.

Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы уравнений

называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y / )=0.

Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y / )=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального уравнения.

Пример 1. Дано уравнение .

Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений

Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых решений не имеет.

Пример 2. Дано уравнение .

Для него , т.е. дискретной кривой нет. Из и условия , получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.

Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.

Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых.

Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с ней в этой точке общую касательную.

Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.

Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).

Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t).

Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество

Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка, из тождества вытекает .

Покажем, что . Действительно, k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x₀=x(t₀), y₀=y(t₀) при t=t₀ равен

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

РЕФЕРАТ

На тему: “дифференциальные уравнения второго порядка”.

Выполнил: студент 205 группы

Проверила: Максимова .И.В

Содержание

1.Введение – 1стр

2.Основные понятия – 2стр

3.Линейные ДУ первого порядка – 2стр

4.Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами – 3стр

5.ДУ в частных производных – 7стр

6.Обыкновенные ДУ – 7стр

7.ДУ с частными производными с особенностями в коэффициентах – 8стр

8.Дифференцированные Уравнения – 9стр

9.Литература – 10стр

10. Заключение – 11стр

Введение

Определение производной от данной функции составляет прямую зада-

чу исчисления бесконечно-малых величин. Общий вопрос обратной задачи

исчисления бесконечно малых состоит в том, чтобы определить одну или

несколько функций одного или нескольких переменных из данных соотно-

шений между независимыми переменными, функциями и их производны-

ми. Пусть имеется ряд независимых переменных:

и ряд функций от этих переменных

Тогда соотношения, о которых идет

называются дифференциальными уравнениями; порядок наивысшей про-

изводной называется порядком уравнения. Если 𝑛 = 1, то есть независимое

переменное одно, то уравнения называются обыкновенными, если же 𝑛 > 1,

то — уравнениями с частными производными.

Eсли в уравнения входят производные до порядка 𝑝, то уравнение называ-

ется уравнением -го порядка.

Определение функций из дифференциальных уравнений, или интегри-

рование дифференциальных уравнений, можно понимать различно.

Самая узкая постановка задачи следующая: выразить искомую функ-

цию через элементарные функции. В этом смысле, вообще говоря, задача,

конечно, не всегда разрешима, так как даже для самого простейшего диф-

и 𝑦 не всегда выражается в элементарных функциях, хотя бы это и имело

Во-вторых, нахождение функции, удовлетворяющей дифференциально-

му уравнению, можно понимать в смысле указания приема, которым по

каждому значению переменного находится значение функции. Такие при-емы могут быть весьма разнообразны, например, задача в этом смысле

будет разрешена, коль скоро будет найдено разложение функции в сходя-

щийся ряд, более или менее простого типа. Взяв известное число членов,

для каждого значения переменного в пределах сходимости ряда получим

с любым приближением значение функции.

Третье толкование определения функции из дифференциального урав-

нения состоит в том, что мы считаем задачу разрешенной, как только нам

удастся привести ее к другим более простым задачам, и именно к вычисле-

нию интегралов данных функций, или квадратурам. Таким образом, воз-

никает вопрос о дифференциальных уравнениях, приводимых к квадрату-

Дифференциальные уравнения

1. Основные понятия

Определение. Уравнение вида
F(x,y,y’,y»,…,y (n) ) = 0,
связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С₁,С₂,…,С_n), которая зависит от аргумента х и n независимых произвольных постоянных С₁, С₂, …, С_n, обращающая вместе со своими производными у’, у»,…, у (n) уравнение в тождество.
Определение. Частным решением уравнения называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С₁, С₂, …, С_n определенные числовые значения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y’+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y’+3y=e 2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e 2x .
Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y’= U’υ+ Uυ‘ и подставляем в уравнение значение y и y’, получаем: U’υ+Uυ‘+3Uυ=e 2 x или U’υ+U(υ‘+3υ)= e 2x .
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ‘+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3x,υ=e –3x .
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
. 2
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: .

Курсовая работа На тему: «Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

На тему: «Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов»

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

3. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

4. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области;

x – независимая переменная;

y – функция переменной x, подлежащая определению;

y’, y”, …, y (n) – производные функции y.

При этом предполагается, что y (n) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с ₁ , с ₂ . c _n и имеет вид .

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y (n) . Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

где – известные непрерывные функции от x.

Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, , тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид

В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным ( ) и неоднородным.

Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам.

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где , — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х ₀ – Т; х ₀ + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале.

Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х ₀ – Т; х ₀ + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку).

Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x — x ₀ |

Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (2.3).

Алгоритм такого представления состоит в следующем. Для удобства положим в (2.2) и (2.3) x ₀ = 0 и будем искать решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) в виде

Подставив (2.4) в (2.1), получим равенство

Для выполнения (2.5) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени x был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

Из полученной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений можно последовательно найти , , …, если задать значения и (в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) можно ввести начальные условия = , = ).

Если функции а(х), b(х) являются рациональными, т.е. , b , где — многочлены, то в окрестностях точек, в которых или , решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки x = 0. Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка

Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд

Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом . Решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде расходящегося степенного ряда называют формальным.

Одним из наиболее ярких и понятных примеров на применение данного способа интегрирования является уравнения Эйри или

Все решения этого уравнения являются целыми функциями от x. Тогда решение уравнения Эйри будем искать в форме степенного ряда (2.4). Тогда равенство (2.5) принимает вид

Приравняем нулю коэффициент при каждой степени x. Имеем

Коэффициент при нулевой степени x равен 2у ₂ . Следовательно, у ₂ = 0. Тогда из равенства нулю коэффициента находим = . Коэффициент при равен . Отсюда .

Из этой формулы получаем

Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале = 1, = 0, а затем наоборот. В первом случае имеем

На основании теоремы_1 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой .

Функции и называют функциями Эйри. При больших значениях x асимптотическое поведение этих функций описывают следующие формулы и .

Графики этих функций изображены на рис. 2.1. Получаем, что при неограниченном увеличении x нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно и из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения обыкновенного дифференциального уравнения при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

Итак, если в уравнении (2.1) функции а(х), b(х) рациональные, то точки, в которых или , называются особыми точками уравнения (2.1).

Для уравнения второго порядка

в котором а(х), b(х) — аналитические функции в промежутке |х – x ₀ | ₀ или b ₀ в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

В окрестности особой точки х = х ₀ решения в виде степенного ряда может не существовать, в этом случае решения надо искать в виде обобщенного степенного ряда:

где λ и , , , …, ( ) подлежат определению.

Теорема_2. Для того чтобы уравнение (2.6) имело в окрестности особой точки х = х ₀ хоть одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда (2.7), достаточно, чтобы это уравнение имело вид

Суть сходящиеся степенные ряды, причем коэффициенты не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка х = х ₀ не особая точка и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке х = х ₀ . При этом, если ряды (2.7”), входящие в коэффициенты уравнения (2.7’) сходятся в области | х — х ₀ |

Рассмотрим уравнение (2.6) при х > 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х ₀ = 0, имеем

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений:

Так как , то λ должно удовлетворять уравнению

которое называется определяющим уравнением. Пусть – корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6):

Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда . Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля — Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение:

Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде

(число А может оказаться равным нулю).

Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.

Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде:

К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.

Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на –x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть , . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и . Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда

то, подставив у, у’ и у» в исходное уравнение, получим

Отсюда, сокращая на , имеем

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям

Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, . имеем

Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … .

Таким образом, найдены все коэффициенты , а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде

называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых , , а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде

называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка.

Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде

Уравнения для определения при имеют вид

По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через :

Полагая представим у ₂ (х) в виде

называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом.

Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и : .

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида

где α, β, γ — действительные числа.

Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме

можно представить в виде обобщенного степенного ряда.

Убедимся в этом для точки . Действительно, замечая, что

уравнение (3.2) можно записать в виде

Это уравнение является частным случаем уравнения

причем здесь , так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса.

Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0.

Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид

Его корни , причем их разность не является целым числом.

Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов

первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения.

Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде

Подставим (3.3) в (3.2), получим

Приравнивая к нулю свободный член, получаем .

Пусть , тогда получаем .

Приравнивая нулю коэффициент при , найдем:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию

Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x|

Второе частное решение имеет вид:

Вместо того, чтобы находить методом неопределенных коэффициентов, сделаем в уравнении Гаусса замену искомой функции по формуле

Получим уравнение Гаусса

в котором роль параметров α, β и γ играют и .

Поэтому, построив частное решение этого уравнения, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения и подставив его в (3.6), получим второе частное решение данного уравнения Гаусса в виде:

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) будет:

Пользуясь построенной фундаментальной системой решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0, можно легко построить фундаментальную систему решений этого уравнения и в окрестности особой точки х=1, которая тоже является регулярной особой точкой.

С этой целью переведем интересующую нас особую точку х = 1 в точку t = 0 и вместе с ней особую точку x = 0 в точку t = 1 при помощи линейной замены независимой переменной x = 1 – t.

Выполняя эту подстановку в данном уравнении Гаусса, получим

Это — уравнение Гаусса с параметрами . Оно имеет в окрестности |t|

Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая t = 1 – х, получим фундаментальную систему решений исходного уравнения Гаусса в окрестности точки | х – 1|

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) в области будет

Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Пример_1. (№691) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения . По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций.

Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда

Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем

Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении:

Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения :

Из этих уравнений находим

Положим , тогда отличными от нуля будут только коэффициенты . Получаем, что

Построено одно решение уравнения

Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив . Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты :

Ряды, представляющие и , сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой , где С ₁ , С ₂ — произвольные постоянные:

Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как:

Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х 2 у» + (3х – 2х 2 )у’ – (х + 1)у = 0.

Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ ₁ = 1/2 и λ ₂ = — 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ ₁ ищем в виде

Подставив , , и в исходное уравнение, имеем

Отсюда, сократив на , получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения :

Положив y ₀ = 1, находим

Соответствующее корню λ = λ ₂ решение исходного уравнения ищем в виде

Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y ₀ = 1, находим

Общее решение исходного уравнения запишем в виде , где и — произвольные постоянные.

Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, зачастую очень сложно.

В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов.

Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск, “Вышэйш. школа”, 1974. – 768с. с ил.

Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — 352 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил.

Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 1989. – 383 с.: ил.

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учеб. пособие для вузов. – М.: Физматизд, 1961. – 100 с.: ил.