Курсовая графический способ решения уравнений

Федеральное государственное бюджетное образовательное учереждение высшего образования

«ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «ЮУрГГПУ»)
ФАКУЛЬТЕТ физико-математический

КАФЕДРА математики и методики обучения математике
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему: «Методика обучения графическому способу решения уравнений, неравенств и их систем, в основной школе»

студентка группы 411

Юсупова Юлия Андреевна

Мартынова Елена Владимировна

Дата сдачи: 2020 год

1. Графический способ решения систем линейных уравнений и уравнений более высоких степеней…………………………………………….5

3. Использование геометрических преобразований графиков функций при решении систем……………………………………………………………..16

4. Графический метод решения систем иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств…………………………………….33

Введение
Актуальность темы. Тема «Уравнения и неравенства» занимает важное место в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения уравнений и неравенств, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем школьного курса алгебры. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Анализ диссертационных работ, посвященных методике изучения темы «уравнения и неравенства» в основной школе, показал, что в настоящий момент имеется ряд исследований, раскрывающих ее различные аспекты. Одним из первых было диссертационное исследование К.И. Нешкова, в котором сформулированы принципы отбора содержания и выделен необходимый объем материала по теме. При этом большая роль отводилась упражнениям.

Исследования: М.В. Паюл, И.М. Степуро посвящены вопросам взаимосвязи понятий неравенства, уравнения и функции; М.П. Комова, Г.Н. Солтан — доказательствам и решению неравенств на геометрическом материале; Е.Ф. Недошивкина — внутрипредметным связям при изучении уравнений и неравенств в курсе математики 4-8-х классов; Н.Б. Мельниковой, Д.Д. Рыбдаловой — прикладным аспектам изучения неравенств в средней школе.

Итак, можно констатировать тот факт, что отдельные вопросы методики обучения понятий уравнения и неравенства и решению конкретных уравнений и неравенств в школьном курсе математики освещены достаточно полно.

Несмотря на значительный положительный опыт в методике преподавания темы «уравнения и неравенства», как показывает анализ результатов тестов, контрольных, выпускных, вступительных экзаменационных работ, учащиеся средней школы недостаточно полно владеют основными знаниями и умениями по их решению. В качестве аргумента приведем анализ результатов участия России в международных исследованиях TIMSS (6-ое место из 36 стран участников), который показал, что наибольшую озабоченность по курсу алгебры вызывает качество знаний и умений учащихся по теме «уравнения и неравенства».

Объект исследования: процесс формирования умений решать уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе метематике основной школы.

Предмет исследования: уравнения и неравенства с параметрами.

Цель исследования: выделить виды, методы решения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математике.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

— Изучить и проанализировать специальную литературу по проблеме исследования;

— Рассмотреть роль уравнений и неравенств в школьном курсе математике;

— Разработка методических рекомендаций к решению уравнений и неравенств с параметрами.

1. Графический способ решения систем линейных уравнений и уравнений более высоких степеней

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики [1].

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики.
Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями.

Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.

в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, — это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями (k-натуральное число, большее [5].

Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Приведенные примеры показывают влияние уравнений и неравенств на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

Рассмотрим систему

Пару чисел которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.

Решение линейной системы уравнений

Пример 1. Решить систему

Решение:

Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).

Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.

Мы получили единственное решение линейной системы.

Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:

cистема имеет единственное решение – прямые пересекаются,

система не имеет решений – прямые параллельны,

система имеет бесчисленное множество решений – прямые совпадают.

Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) – линейные выражения от x и y.

Решение нелинейных систем уравнений

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение:

График первого уравнения – прямая, график второго уравнения – окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).

Ответ:

Пример 3. Решить систему графически

Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения – парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина – точка (0; 2) (Рис. 3).

Графики имеют одну общую точку – т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.

Пример 4. Решить систему

Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).

Построим график функции Это ломаная (Рис. 5).

Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции

Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).

Получаем три точки пересечения – т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).

Ответ:

Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно [8].

Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные.

Общие методы решения уравнений всех типов (рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических):
1.Графический метод [9].

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции .

При решении задач с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметра уравнение имеет решение. Одним из методов решения уравнений с параметрами является графический. Этот метод позволяет учащимся не только исследовать свойства функций, входящих в уравнение, но и наглядно увидеть решение уравнения. Прежде всего, при решении задач с параметрами необходимо сделать то, что делается при решении любого уравнения: привести заданное уравнение к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, избавиться от модулей, логарифмов и т.д.

При графическом решении уравнения с параметром необходимо:

1. Найти область определения уравнения, т.е. область допустимых значений неизвестного и параметра, при которых уравнение может иметь решения.
2. Выразить параметр как функцию от x:
3. В системе координат хОa построить графики функций и для тех значений х, которые входят в область определения уравнения.
4. Определить точки пересечения прямой с графиком функции .

Возможны ситуации:

1. Прямая не пересекает график . Следовательно, при данном значении а исходное уравнение решений не имеет.

2. Прямая пересекает график в одной или нескольких точках. Следовательно, при данном значении а можно сделать вывод о числе решений исходного уравнения, найти абсциссы точек пересечения и т.д.

Графическое решение уравнения- наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия или отсутствия корней и их количества, при данной задаче можно использовать свойства монотонности функций:

Пусть у=f(x) и у=φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда, если у=f(x) монотонно возрастает, а у=φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного корня на этом промежутке.

Однако, графический метод не гарантирует того, что полученный результат является точным, поэтому найденные решения следует проверить.

2. Метод областей
Неравенства с двумя неизвестными [16].

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f (x; y)>0 , где f- функция двух переменных х и у. Если мы рассмотрим уравнение f (x; y)=0, то множество точек (х, у) , координаты которых удовлетворяют этому уравнению, образует, как правило, некоторую кривую, которая разобьёт плоскость на две или несколько областей. В каждой из этих областей функция сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f (x; y)>0.

Остановимся на самых простейших неравенствах с двумя неизвестными.

1 . Рассмотрим, прежде всего, неравенство 2у + Зх 6 . Если какой-нибудь из коэффициентов xили y отличен от нуля, то уравнение задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции . Для определения этого знака достаточно взять любую точку этой полуплоскости и вычислить значение функции в этой точке.

Для того, чтобы убедиться, где находится нужное множество точек, под прямой или над прямой, удобно вычислить значение функции в точке (0,0).

2. Рассмотрим графическое решение ещё одного простого неравенства: х 2 + 2х + у 2 — 4у + 1 > 0

Чтобы решить данное неравенство, достаточно рассмотреть функцию х 2 + 2х + у 2 — 4у + 1 = 0 . Вы­делим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 — 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у — 2) 2 = 2 2 .

Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.

Решение неравенства и показано на рисунке.

Заметим, что граница (сама линия, при которой неравенство обращается в уравнение) принадлежит решению лишь в случае, когда неравенство строгое. Если неравенство нестрогое, то граница изображается пунктирной линией, т.е. её точки не входят в область решения неравенства.

Решением системы неравенств с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, удовлетворяющая каждому неравенству этой системы.

Для графического изображения решения системы неравенств находят сначала множество Х₁точек плоскости, на котором выполняется первое неравенство, потом множество Х₂ точек плоскости, где выполняется второе неравенство, и, наконец берут пересечение этих множеств (т.е. их общую часть).

П ример1. Изобразите графически решение системы неравенств

Решение. Первое неравенство системы перепишем в виде у≤-х 2 +1. Ясно, что оно представляет собой внутреннюю область параболы у=-х 2 +1, включая её границу. Второе неравенство системы перепишем в виде у≥х 2 -2х-3. Оно выполняется на параболе у=х 2 -2х-3 и внутри неё. Общая часть этих множеств показана на рисунке. Ответ: решением является заштрихованная часть плоскости

Пример2. Изобразите графически решение системы неравенств

Р ешение. Множество решений каждого из неравенств системы есть полуплоскость. Границы первых двух неравенств системы у=-х-1, у=-х+3 попарно параллельные прямые (их угловые коэффициенты равны), прямые х=-1 и х=3 также параллельны. Ответ: решением данной системы является параллелограмм, изображенный на рисунке [19].

Применение метода областей

при решении неравенств с двумя неизвестными.

Метод интервалов без существенных изменений переносится с числовой оси на координатную плоскость. При этом роль критических точек на координатной плоскости играют критические линии, а роль промежутков – области. Эти линии делят область определения функции двух переменных на «более мелкие» области, в каждой из которых непрерывная функция сохраняет знак.

Для нахождения этого знака достаточно взять в рассматриваемой области какую-нибудь отдельную «удобную» точку и найти знак функции в выбранной точке, который сохраняется во всей области. При переходе через критические (граничные) линии, знак функции, как правило, не меняется.

Случаи, когда знак не меняется, аналогичны случаям критических точек четной кратности.

Схема исследования неравенств с двумя неизвестными методом областей аналогична схеме решения неравенств с одной неизвестной методом интервалов.

3. Использование геометрических преобразований графиков функций при решении систем
Наверняка многие из вас могут быстро и правильно построить графики некоторых функций, не прибегая к вычислениям значений точек. Всем известно, что график функции – это прямая, а график функции – это парабола. Но как построить, например, график функции , не вычисляя значения точек? Для этого существуют правила преобразования графиков функций [27].

Преобразование симметрии относительно оси Ox

Предположим, что у нас есть функция (график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одним и тем же значениям аргумента соответствуют противоположные значения функций. Графически это означает, что графики расположены симметрично относительно оси абсцисс. То есть заданная парабола ( ) зеркально отобразится относительно оси (см. Рис. 1).

Рис. 1. Графики функций и

Таким образом, если у нас есть произвольный график , то для построения графика необходимо график симметрично отразить относительно оси (см. Рис. 2). Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси .

Рис. 2. Преобразование симметрии относительно оси
Преобразование симметрии – зеркальное отражение относительно прямой. График получается из графика функции преобразованием симметрии относительно оси .

На рисунке 3 показаны примеры симметрии относительно оси .

Рис. 3. Симметрия относительно оси Ox

Параллельный перенос вдоль оси Oy

Предположим, что у нас есть функция (график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика больше на 3 единицы. Графически это означает, что график функции находится на 3 единицы выше, чем график функции (см. Рис. 4).

Рис. 4. Графики функций и

График получается из графика функции параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на единиц вверх, если , и на единиц вниз, если (см. Рис. 5, 6).

Рис. 5. Параллельный перенос вдоль оси (при )

Рис. 6. Параллельный перенос вдоль оси (при )

Растяжение от оси Ox и сжатие к оси Ox

Предположим, что у нас есть функция (график этой функции – это парабола) и необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика больше в 2 раза. Графически это означает, что график функции сужается по сравнению с графиком функции (см. Рис. 7).

Рис. 7. Графики функций и

Если необходимо построить график функций , то из таблиц видно, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у графика меньше в 2 раза, чем у . Графически это означает, что график функции расширяется по сравнению с графиком функции (см. Рис. 8).

Рис. 8. Графики функций и

Чтобы построить график функции , где и , нужно ординаты точек заданного графика умножить на . Такое преобразование называется растяжением от оси с коэффициентом , если , и сжатием к оси , если (см. Рис. 9, 10) [8].

Рис. 9. Растяжение от оси

Рис. 10. Сжатие к оси

Параллельный перенос вдоль оси Ox

Предположим, что у нас есть функция , необходимо построить график функции . Вычислим значения некоторых точек для графиков этих функций.

Из таблиц видно, что одинаковым значениям функции соответствуют значения аргумента, отличающиеся на 2 единицы. Это означает, что график данной функции переместился на 2 единицы относительно оси ординат влево (см. Рис. 11), так как для получения одинаковых значений функций приходится брать значения аргумента на 2 меньше:

при

Следовательно, если необходимо было построить график функции , то сдвиг на 3 единицы относительно оси ординат был бы вправо (по сравнению с графиком функции ) (см. Рис. 11).

Рис. 11. Графики функций , и

График получается из графика функции параллельным переносом последнего на единиц влево, если , и на единиц вправо, если (см. Рис. 12, 13).

Рис. 12. Параллельный перенос влево при

Рис. 13. Параллельный перенос вправо при

Обратите внимание на то, что по этому принципу из графика не построить график , ведь мы добавили 1 не ко всем вхождениям в это выражение. А вот график построить можно, сдвинув исходный график на 1 влево (см. Рис. 14).

Рис. 14. Графики функции и

Растяжение от оси Oy и сжатие к оси Oy

График функции , где и , получается из графика функции сжатием с коэффициентом к оси (если указанное «сжатие» фактически является растяжением с коэффициентом ) (см. Рис. 15, 16).

Рис. 15. Сжатие к оси

Рис. 16. Растяжение от оси

Подобное преобразование мы уже рассматривали в случае построения графика функции .

Преобразование симметрии относительно оси Oy

Ранее мы рассматривали преобразование симметрии относительно оси Ox, то есть функция умножалась на (-1). Рассмотрим случай, когда на (-1) умножается только аргумент.

В этом случае график симметрично отображается относительно оси ординат, так как значения функций будут одинаковы при противоположных значениях аргумента:

при

при

при

при

График получается из графика функции преобразованием симметрии относительно оси (см. Рис. 17).

Рис. 17. Преобразование симметрии относительно оси Oy

Построение графиков и

Пусть дан график , построим график . Для начала раскроем модуль по определению:

Следовательно, те точки, в которых значения функции положительны или равны 0, остаются на месте, а все точки, в которых значения отрицательны, – отражаются относительно оси (см. Рис. 18).

Рис. 18. Графики функций и (красным цветом выделена общая часть этих графиков)

Для того чтобы построить график , нужно часть исходного графика, лежащую выше оси , оставить без изменения, а нижнюю отразить наверх относительно оси .

Пусть дан график , построим график . Для начала раскроем модуль по определению:

Следовательно, все точки с положительными или равными нулю абсциссами остаются без изменения, а все точки с отрицательными – заменяются точками с противоположными абсциссами (см. Рис. 19).

Рис. 19. Графики функций и (красным цветом выделена общая часть этих графиков)

Для того чтобы построить график , нужно часть исходного графика, соответствующую значениям , оставить без изменений и отразить ее относительно оси для значений .

Построить график функции .

Построим график заданной функции последовательно (см. Рис. 20):

1. Строим график .

2. График получается из графика параллельным переносом последнего на 2 единицы вправо.

3. График получается из графика функции параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на 3 единицы вверх.

Рис. 20. Иллюстрация к задаче

Мы могли бы сделать операции в обратном порядке, то есть сначала поднять график на 3 единицы вверх, а потом получившийся график сдвинуть вправо на 2 единицы (см. Рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к задаче

Обратите внимание, что не все графики функций можно строить в произвольном порядке. Например, для построения графика сначала нужно построить график , затем график (растяжение от оси ), а далее – график (параллельный перенос вдоль оси ординат) (см. Рис. 22). Если же сделать в другой последовательности, то есть построить , то далее на 2 придется умножить всё выражение [20].

– ПРАВИЛЬНО

– НЕПРАВИЛЬНО

Рис. 22. Иллюстрация к задаче

Построить график .

1. Строим график (гипербола) (см. Рис. 23).

2. Строим график (из аргумента вычитается 2, следовательно, сдвигаем график на 2 единицы вправо) (см. Рис. 23).

3. Строим график (домножение функции на (-1), следовательно, отражаем график относительно оси ) (см. Рис. 24).

4. Строим график (добавление 2 к функции, следовательно, сдвигаем график на 2 единицы вверх) (см. Рис. 24).

5. Строим график (модуль функции, следовательно, отражаем нижнюю часть графика относительно оси , а верхнюю оставляем без изменений) (см. Рис. 25).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче

Рис. 24. Иллюстрация к задаче

Рис. 25. Иллюстрация к задаче (искомый график)

4. Графический метод решения систем иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств
Основной подход к решению иррациональных уравнений и неравенств – это их рационализация, то есть приведение их к рациональным алгебраическим уравнениям и неравенствам. Но между процедурами решения иррациональных неравенств и иррациональных уравнений существует заметное различие.

При решении иррациональных неравенств постоянно необходимо следить за тем, чтобы после каждого преобразования получалось неравенство эквивалентное исходному неравенству. Отсюда и получаем различные методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

Метод возведения в степень. Данный метод является одним из наиболее известных методов решения иррациональных выражений. При использовании данного метода, следует не забывать, что всякое уравнение и неравенство всегда можно возвести в нечетную степень, ведь это преобразование является равносильным [18].

А если уравнение нужно возвести в четную степень, то в общем случае получается переход к следствию, что допустимо, если возможна проверка корней. Если же при решении проверка невозможна или крайне затруднительна по какой-либо причине (например, при решении неравенств и некоторых уравнений получается бесконечное число корней), то необходимо сохранять равносильность преобразований.

Для этого перед каждым возведением в четную степень надо не забывать выписывать условия, при которых обе части уравнения будут неотрицательны. Если уравнение или неравенство содержит несколько радикалов, то для избавления от них придется несколько раз возводить в степень исходное уравнение или неравенство. В таком случае перед очередным возведением в степень используют прием уединения радикала. В общем виде данный метод можно записать так: fx =gx ⟺ gx≥0,fx=g2x. Для иррациональных неравенств метод возведения в степень будет выглядеть так: fx 0,fx2gx⇔fx>0,gx≥0,fx2>gx2 ∧ fx≥0,gx [11 с.74]

Классификация иррациональных уравнение и неравенств по методам их решения Каждый из выявленных выше методов подходит для решения не всех иррациональных уравнений и неравенств. Поэтому имеет место классификация иррациональных уравнений (неравенств) по методам их решения. Метод возведения в степень подходит для решения большинства распространенных видов иррациональных уравнений и неравенств. Для каждого из таких видов существует стандартная схема решения. Уравнения вида fx =gx ⟺ gx≥0,fx=g2x.

Неравенства вида fx0,fx2g(x)⇔gx≥0fx>g2xg(x) Список литературы

1. Болтянский В.Г. Графическое решение уравнений. – Математика в школе. 1995 – 100 с.

2. Балдин, К.В. Краткий курс высшей математики: Учебник / К.В. Балдин. — М.: Дашков и К, 2015. — 510 c.

3. Богомолова, Е.П. Сборник задач и типовых расчетов по общему и специальным курсам высшей математики: Учебное пособие / Е.П. Богомолова, А. Бараненков. — СПб.: Лань, 2015. — 464 c.

4. Богомолова, Е.П. Сборник задач и типовых расчетов по общему и специальным курсам высшей математики: Учебное пособие / Е.П.

5. Богомолова, А.И. Бараненков, И.М. Петрушко. — СПб.: Лань, 2015. — 464 c.

6. Бучаченко, А.Л. От квантовых струн до тайн мышления. Экскурс по самым завораживающим вопросам физики, химии, биологии, математики / А.Л. Бучаченко. — М.: Ленанд, 2017. — 188 c.

7. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Колос, 1992. – 200 с.

8. Калинченко, А.В. Методика преподавания начального курса математики: Учебное пособие / А.В. Калинченко. — М.: Академия, 2016. — 224 c.

9. Калинченко, А.В. Методика преподавания начального курса математики: Учебное пособие / А.В. Калинченко. — М.: Academia, 2018. — 320 c.

10. Карягина, А.В. Курс математики для нематематических специальностей и направлений бакалавриата: Учебное пособие / А.В. Карягина. — СПб.: Лань П, 2016. — 576 c.

11. Катышева, Д.Н. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие / Д.Н. Катышева. — СПб.: Лань П, 2016. — 736 c.

12. Кирнев, А.Д. Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / А.Д. Кирнев. — СПб.: Лань П, 2016. — 288 c.

13. Кирсанов, М.Н. Курс высшей математики. Кратные интегралы. Векторный анализ. Лекции и практикум: Учебное пособие . / М.Н. Кирсанов. — СПб.: Лань П, 2016. — 320 c.

14. Кирюшин, В.И. Курс высшей математики. Интегральное исчисление. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения. Лекции и практикум: Учебное пособие КПТ / В.И. Кирюшин, С.В. Кирюшин. — СПб.: Лань КПТ, 2016. — 608 c.

15. Королев, Б., А. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики.Типовые расчеты: Учебное пособие / Б. А. Королев, К. А. Сидорова. — СПб.: Лань П, 2016. — 192 c.

16. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: Справочник для школьников и поступающих в вузы. — АСТ-ПРЕСС Москва, 2014 — 464 с.

17. Лунина М.С. Обучение решению алгебраических задач. – М.: Математика. 1998. – 203 с.

18. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. – М.: Кронос, 1995 – 271 с.

19.Турлакова З.И. Решение текстовых задач. – М.: Математика. 1986. – 200 с. № 5.

20. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. – М.: Арт, 1997. – 200 с.

21. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения. – М.: Аквариум, 1997. – 200 с.

Реферат » Решение уравнений и неравенств графическим способом» ( 9 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ Алтайская СОШ №1

Тема : « Графическое решение уравнений и неравенств»

Учащаяся 9 а класса

МБОУ Алтайская СОШ №1

Бабаева Галина Яковлевна,

МБОУ Алтайской СОШ №1

С. Алтайское , Алтайский район, 2019 год.

II . Основная часть

2. Как графически решить уравнение________________________стр.4

3. Какие бывают функции ?________________________________стр.4

4. Графическое решение линейного уравнения с одной переменной.стр.5

5. Решение квадратного уравнения графическим способом._____ стр6-8

6. Графическое решение смешанных уравнений._______________стр.8-12. 7. Решение квадратных неравенств графическим способом_______стр.13

8. Решение линейных неравенств графическим способом стр 14

IV . Список литературы______________________________________стр.16

Цель моей работы – изложить графический метод решения уравнений и неравенств, который дает возможность определить корни или доказать ,что уравнение корней не имеет ( или решением неравенства является пустое множество).

Актуальность темы : графический метод, опирающийся на знания элементарных функций, удобно применять при решении задач на нахождение числа корней и на нахождение корней уравнений.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. В данной исследовательской работе я показала как наиболее удобным способом преобразовывать уравнения . чтобы сводить к построению элементарных функций.

Часто построение графиков связано с исследованием поведения функций. Однако необходимость построения графиков не ограничивается только этим. В ряде случаев графики облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая и упрощая аналитические выкладки, и часто при этом являются единственным методом решения таких задач. Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств

Уравнение – выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости.

Заметим , что так как функция f сопоставляет каждому x D(f) одно число f(x) , то график функции f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.

В общем случае уравнение с одной переменой х можно записать в виде f(x)=g(x),где f(x) и g(x) — некоторые функции. Функция f(x) является левой частью , а g(x) — правой частью уравнения.

Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.

Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция строго возрастает, а функция строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем.

2. Как графически решить уравнение.

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Графическим решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков построенных функций. Графики могут пересекаться в нескольких точках, в одной точке, вообще не пересекаться. Отсюда следует, что уравнение может иметь несколько корней, или один корень, или вообще их не иметь.

3. Какие бывают функции .

Линейная функция задаётся уравнением у = k*x+ b , где k и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая. Для построения прямой достаточно в таблице значений взять только две точки. Это вытекает из аксиомы планиметрии

Функция обратной пропорциональности у =k/x , где. График этой функции называется гиперболой.

Функция (х– a)^2+ (у – b)^2 = r^2 , где а , b и r – некоторые числа. Это окружность радиуса r с центром в т. А ( а , b ).

Квадратичная функция y = a *х 2 + b*x+ c , где а, b, с – некоторые числа и

а не равно 0. Графиком этой функции является парабола.

Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля.

Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций,

опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области отрицательных значений y , отобразить симметрично оси ОХ.

Элементарная функций, содержащая модуль :

4. Графическое решение линейного уравнения с одной переменной.

Как мы уже знаем, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и уравнение решено. Мы нашли корень .А я покажу , как это сделать графическим способом.

Задание . Решить графическим способом уравнение : 2 x − 10 = 2

1)Перенесем слагаемые следующим образом: 2 x = 12.

2) Построим графики функций: y=2x и y=12.

Но можно решать и по-другому.

Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

Построим графики функций: y=2 x − 10 y =2

5. Решение квадратного уравнения графическим способом.

Для этого преобразуем уравнение к виду: х 2 =-2x+8 . Построим графики функций: у = -2x+8 и у = х 2

Получим точки пересечения графиков данных функций.

В ответ запишем абсциссы этих точек : x = -4 и x =2.

Данное уравнение можно решить , переписав уравнение следующим образом: x^2 – 8 = -2x

Тогда будем строить графики функций: y = x^2 – 8 и y = -2x.

А также уравнение можно решить , переписав следующим образом:

Тогда будем строить графики следующих функций : y = x^2 + 2x и y = 8 .

При этом абсциссы точек пересечения графиков будут одинаковые :

Задание. Решить уравнение: x² – 2x = 0

Перепишем уравнение в виде : x² = 2x

Построим графики функций y = x² и y = 2 и найдем точки их пересечения :

Задание. Решить уравнение: х 2 +2=0

Преобразуем так: х 2 = -2

Построим графики функций: у=-2 и у= х 2

Графики функций не пересекаются ,поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ : решений нет.

6. Графическое решение смешанных уравнений.

Задание. Решить уравнение: 3/х +2 =х

1)Перенесем слагаемые таким образом: 3/ х = х-2

2) Построим графики функций от каждой части уравнения.

Найдем координаты точек пересечения графиков данных функций.

Из построения видно, что графики функций пересекаются в точках с координатами : (3;1) и(-1;-3).

Задание. Решить уравнение: 2 х^3 – x — 1=0

Перепишем его так : 2 х 3 = x + 1

Построим графики функций от левой и правой части уравнения:

у= 2 х 3 (графиком этой функции является кубическая парабола) и график от правой части уравнения :у=х+1

Из построения видно, что абсцисса точки пересечения является х=1. значит, в ответ нужно записать: х=1

Решим графическим способом такое уравнение : х 3 =8.

Строим графики функций: у = х 3 и у=8., затем найдем абсциссу точки пересечения графиков этих функций.

Задание. Решить уравнение: √x – 0.5x = 0

Перепишем так: √x = 0.5x

Построим графики функций: у= 0.5x и у = √x

Как видно из построения, графики функций пересекаются в двух точках:

Нас интересует только координата x.

Значит уравнение √x – 0.5x = 0 имеет два корня: x ₁ = 0 и x ₂ = 4.

7. Решение квадратных неравенств графическим способом.

Способ , который нам хорошо известен при изучении данной темы по учебнику.

Я же предлагаю переписать неравенство следующим образом : х^2-4>3х.

Построим графики функций от левой и правой частей неравенства.

Выделим ту часть, где график от левой части выше графика от правой части.

На мой взгляд такое решение более красивое , интересное и более понятное.

8. Решение линейных неравенств и систем неравенств графическим способом.

,

Называют ся линейными неравенствами .

График линейного или квадратного неравенства строится так же, как строится график любой функции (уравнения).

Разница заключается в том, что неравенство подразумевает наличие множества решений, поэтому график неравенства представляет собой не просто точку на числовой прямой или линию на координатной плоскости.

С помощью математических операций и знака неравенства можно определить множество решений неравенства

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов.

Суть графического способа решения неравенств следующая:

рассматривают функции y = f(x) и y = g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого.

Те промежутки, на которых график функции у = f (х) выше графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;

график функции y = f(х) не ниже графика функции y = g(x) являются решениями неравенства f(x) ≥ g(x) ;

график функции у = f (х) ниже графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x) ;

график функции y = f(х) не выше графика функции y = g(х) являются решениями неравенства f(x) ≤ g(x) .

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x) , являются решениями уравнения f(x) = g(x) .

Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и квадратных неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали некоторые свойства функций.

Иногда при графическом решении некоторых уравнений и неравенств корни определяются только приближённо в силу того, что невозможно с высокой точностью построить график функции, измерить абсциссы или ординаты точек пересечения графика с осями координат или с другими графиками. Тем не менее, той точности, которую обеспечивает графический метод, бывает вполне достаточно для практических нужд.

Построение графиков основывается на знании основных элементарных функций, и на основные методы построения графиков функций. В работе представлено достаточное количество примеров, раскрывающих графический метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств, который доступен для понимания .

Работа может быть использована для углубления и расширения знаний в области построения графиков функций и использовании графического метода при решении некоторых видов уравнений и неравенств. Теорию можно использовать так же при подготовки к экзаменам , к олимпиадам.

Я свою работу представляла учащимся 8-х и 9-х классов нашей школы. И продолжаю дополнять свои исследования , а именно находить красивые решения линейных неравенств и систем неравенств.

Это и закрепление изученных свойств функций, и прекрасная демонстрация их применения на практике.

В старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями , с другими уравнениями и неравенствами и м не интересно будет продолжить свой проект.

Графический метод решений уравнений и неравенств #9102581

Введение 3
1. Решение уравнений 4
1.1 Определения и понятия 4
1.2 Решение неравенств 7
2. Графический метод решения квадратных уравнений и неравенств 11
2.1 Графический метод решения уравнений и неравенств содержащих переменную под знаком модуля 11
2.2 Функционально-графический метод решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств 17
2.3 Функционально-графический метод решения уравнений с 20
параметрами
Заключение 24
Список литературы 25
Приложения 26

Графическое представление функций позволяет приближённо решить любое уравнение с одним неизвестным и систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Графическая иллюстрация часто помогает дать некоторые качественные ответы, найти число корней, указать отрезки на числовой оси, где они могут находиться.
Наглядность, свойственная графическому методу, при решении неравенств еще более ценна, чем при решении уравнений. Способы решения остаются теми же, а сами же решения в отличие от решений уравнений, чаще изображаются на графике не только отдельными точками, но и целыми участками числовой оси.
Основная ценность графического подхода к решению неравенств состоит в том, что уже схематическое изображение графика функций часто показывает, что неравенство выполняется в интервалах, ограниченных такими характерными точками, как точки пересечения графиков у= f1(x) и у=f2(x) между собой (или точки пересечения графика y=f(x) с осью Ох). Отыскание этих точек является уже несколько более легкой задачей: оно сводится к решению уравнений, а не неравенств.
В данной работе будут изложены основные методы решения линейных неравенств, применительно к конкретным задачам.
Объект данного исследования – процесс решения уравнений и неравенств.
Предмет — графический метод решения уравнений и неравенств.