Системы линейных уравнений
Мы рассматриваем системы линейных алгебраических уравнений вида
где , — натуральные числа ( — количество уравнений, — количество неизвестных), — коэффициенты при неизвестных, которые предполагаются заранее заданными; — также априори заданные постоянные, называемые свободными членами.
Матрицей системы называется следующая матрица (прямоугольная таблица чисел), составленная из коэффициентов системы
Расширенной матрицей системы называется матрица системы, к которой справа приписан столбец свободных членов. Обычно его отделяют от матрицы системы вертикальной чертой:
Решением системы называется такой набор постоянных , что при подстановке вместо переменных значений каждое из равенств системы обратится в тождество.
Системы линейных уравнений классифицируются по числу решений следующим образом:
- совместная система — система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение;
- несовместная (противоречивая) система — система, не имеющая ни одного решения;
- определенная система — система, имеющая единственное решение;
- неопределенная система — система, имеющая более одного решения.
Существуют два основных способа решения линейных систем: метод Гаусса и, если (то есть если матрица системы квадратная), метод (или правило) Крамера.
Метод Гаусса.
Для решения системы не обязательно «таскать за собой» полную запись системы — достаточно работать с расширенной матрицей. При этом с ней можно производить операции, которые называются элементарными преобразованиями. К таковым относятся следующие действия со строками расширенной матрицы:
- перемена мест строк;
- умножение одной из строк на число, отличное от нуля;
- прибавление к одной из строк линейной комбинации нескольких других.
Отметим, что лучше не производить операции со столбцами расширенной матрицы, ибо без этих преобразований всегда можно обойтись, хотя они иногда и упрощают вид системы. Неудобство, связанное с ними, состоит в том, что при этом приходится «вести протокол», чтобы затем правильно интерпретировать ответ. Например, перемена мест столбцов означает соответствующее изменение нумерации переменных и после получения ответа ее надо восстановить.
Если в процессе преобразований появляется нулевая строчка, то мы ее вычеркиваем, уменьшая количество строк на единицу.
При элементарных преобразованиях может получиться матрица, у которой есть строчка, все элементы которой слева от черты равны нулю, а справа стоит ненулевое число. В этом случае мы отмечаем, что система несовместна (противоречива), то есть не имеет решения. То же самое происходит, если совпадают две строчки за исключением свободных членов, которые различны. Например, несовместной является следующая система:
Желательной целью цепочки элементарных преобразований является приведение расширенной матрицы к такому виду, что на месте основной матрицы системы стоит единичная матрица, то есть единичная матрица стоит слева от черты в расширенной матрице. В этом случае процедура закончена и система является определенной, то есть имеет одно решение (один набор значений переменных). Этот набор переменных указан столбцом свободных членов.
Пример 1.
Выпишем расширенную матрицу системы и сделаем пару элементарных преобразований:
Из первой и второй строк мы вычли третью. После этого все элементы второй строки разделим на 2 и полученную строку сложим с первой, записав сумму на место первой строки:
В получившейся матрице все элементы первой строки сократим на 4, элементы второй строки умножим на —1 и затем поменяем первую и третью строки местами, чтобы получилась треугольная матрица, то есть матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали равны 0:
Наконец, мы приводим матрицу к диагональному виду и выписываем ответ:
Таким образом, мы нашли некоторое решение. Это означает, что система совместна.
Найденное решение оказалось единственным. Это означает, что система определённа.
Если к единичной матрице не удается привести левую часть, но в то же время система не является противоречивой, то в этом случае система является совместной, но неопределенной, то есть имеет бесконечное множество решений. В этом случае одной или нескольким переменным можно придать произвольные значения, которые обычно не фиксируются, условно обозначаются буквами, например , и называются параметрами. Остальные переменные однозначно выражаются через эти параметры.
Пример 2.
Выпишем расширенную матрицу системы и сделаем естественные преобразования:
Из третьей строки мы вычли вторую и удвоенную первую. После этого вычеркнем нулевую строку и из второй строки вычтем первую. Затем выделим единичную матрицу коэффициентов перед и :
Отсюда следует, что .
Таким образом, система имеет решение, то есть она совместна. Найденное решение оказалось не единственным. Это означает, что система является неопределенной. Если ставится задача найти какое-нибудь решение, то мы можем положить а равным, например, 1, и тогда .
Правило Крамера.
Этот метод используется для решения систем в случае, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, то есть :
Обозначим через определитель матрицы системы
Предполагается, что определитель системы не равен нулю (в противном случае система является либо неопределенной, либо несовместной). Обозначим через определитель системы, которая получается из основной путем замены -ro столбца на столбец свободных членов:
Формулы Крамера: .
Теорема Крамера. Рассматривается линейная система, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Если определитель матрицы системы равен нулю, то система является либо несовместной, либо неопределенной.
Если определитель матрицы системы не равен нулю, то система является совместной и определенной, причем решения системы находятся по формулам Крамера.
Обратная матрица.
Квадратная матрица называется особой, если ее определитель равен нулю. В противном случае матрица называется не особой. Заметим (без доказательства), что определитель произведения двух квадратных матриц одной размерности равен произведению определителей этих матриц, то есть . Отсюда следует, что матрица является не особой тогда и только тогда, когда каждая их матриц-множителей является не особой.
Пусть — квадратная матрица (). Квадратная матрица той же размерности называется матрицей, обратной к , если , где — единичная матрица той же размерности. Если обратная матрица существует, то она обозначается через .
Теорема об обратной матрице. Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она не особая, то есть . При этом:
1) , то есть матрица коммутирует с матрицей ;
2) обратная матрица (если она существует) единственна:
3) если и — не особые матрицы, то существует обратная к их произведению, причем ;
4) .
Метод Гаусса нахождения обратной матрицы.
Существует несколько способов нахождения обратной матрицы. Покажем, как это делается методом Гаусса.
Для произвольной квадратной матрицы построим спаренную прямоугольную матрицу (). Задача состоит в том, чтобы допустимыми элементарными преобразованиями «перевести» матрицу в левую часть, то есть к виду (). Матрица и окажется обратной к матрице .
Пример 3.
Найти матрицу, обратную к матрице .
Решение:
Выпишем спаренную матрицу, вычтем из первой строки вторую, а затем поменяем строки местами:
Таким образом, обратная матрица найдена: . Произведем проверку: .
Пример 4.
Найти матрицу, обратную к матрице .
Решение:
Выпишем спаренную матрицу и сделаем пару элементарных преобразований:
Из второй и третьей строк мы вычли первую. После этого у всех элементов третьей строки поменяем знак и трижды прибавим ко второй строке. Далее разделим вторую строку на 8, а затем вычтем вторую строку из первой и дважды из третьей)
Таким образом, обратная матрица найдена. Произведем проверку:
Матричная запись решения линейной системы.
Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, то есть систему вида
, где
Если — не особая матрица, то существует обратная к ней. Умножив обе части равенства на , получим, что
Это и есть решение системы.
На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:
Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Курсовая работа: Разработка программы решения системы линейных уравнений
Название: Разработка программы решения системы линейных уравнений Раздел: Рефераты по информатике, программированию Тип: курсовая работа Добавлен 22:38:32 18 июля 2010 Похожие работы Просмотров: 1002 Комментариев: 21 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрены математические методы решения систем линейных уравнений: матричный метод и метод Гаусса, приводятся основные конструкции языка Паскаль. Рассмотренные теоретические вопросы дают возможность создания программы на Паскале для решения систем линейных уравнений. В курсовой работе приводится текст данной программы, рассматривается структура программы, анализируются все подпрограммы. Данная программа может быть использована в различных областях, где требуется решение систем линейных уравнений.
Список используемых источников и литературы
1. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер «Информатика», Москва, ACADEMA, 2000 г.
2. « Турбо Паскаль 7.0″, Киев, Торгово-издательское бюро BHV, 1997г.
3. С.А. Немнюгин, «Турбо ПАСКАЛЬ», Практикум, Питер, 2002г.
Приложение
«Решение систем линейных уравнений матричным способом и методом Гаусса»
type matr=array [1. n,1. n] of real;
mas=array [1. n] of real;
procedure PrintMatr2 (m,m1: matr; n,nz,nd: integer);
for i: =1 to n do
if (i=1) then write (np: 2,’: ‘)
for j: =1 to n do
write (m [i,j]: nz: nd); write (‘ ‘);
for j: =1 to n do
write (m1 [i,j]: nz: nd);
procedure MultString (var a,b: matr; i1: integer; r: real);
for j: =1 to n do
procedure AddStrings (var а,b: matr; i1, i2: integer; r: real);
for j: =1 to n do
a [i1,j]: =a [i1,j] +r*a [i2,j] ;
b [i1,j]: =b [i1,j] +r*b [i2,j] ;
procedure MultMatr (a,b: matr; var c: matr);
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
for k: =1 to n do
function sign (r: real): shortint;
if (r>=0) then sign: =1 else sign: =-1;
procedure GetMatr (a: matr; var b: matr; m, i,j: integer);
var ki,kj,di,dj: integer;
for ki: =1 to m-1 do
if (ki=i) then di: =1;
for kj: =1 to m-1 do
if (kj=j) then dj: =1;
b [ki,kj]: =a [ki+di,kj+dj] ;
procedure gauss (a: matr; b: mas; var x: mas; n: integer);
For k: =1 to N-1 do
For i: =k+1 to n do
For j: =k+1 to N do
writeln (‘Вывод результатов решения системы уравнений методом Гаусса’);
writeln (‘x [‘,n,’] =’,x [n]: 6: 2);
for i: = (n-1) downto 1 do
For j: =i+1 to n do
x [i]: = (b [i] +s) /a [i, i] ;
writeln (‘x [‘, i,’] =’,x [i]: 6: 2);
procedure matrica (a: matr; y: mas; n: integer);
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do z [i,j]: =0;
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
for i: =1 to n do
взятую со знаком i-того элемента j-ой строки. Таким образом,
на месте элементова a [i, i] возникает сумма модулей элементов i-того
столбца (ниже i-ой строки) взятая со знаком бывшего элемента a [i, i],
равенство нулю которой говорит о несуществовании обратной матрицы >
for j: =i+1 to n do
AddStrings (a,z, i,j,sign (a [i, i]) *sign (a [j, i]));
if (abs (a [i, i]) >eps) then
MultString (a,z, i,1/a [i, i]);
for j: =i+1 to n do
AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);
writeln (‘Обратной матрицы не существует. ‘);
if (a [n,n] >eps) then
for i: =n downto 1 do
for j: =1 to i-1 do
AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);
else writeln (‘Обратной матрицы не существует. ‘);
writeln (‘Начальная матрица, обратная к ней матрица: ‘);
for i: =1 to n do s [i]: =0;
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
s [i]: =s [i] +z [i,j] *y [j] ;
writeln (‘Вывод результатов решения системы уравненй матричным способом’);
for i: =1 to n do write (‘ ‘, s [i]: 5: 2);
writeln (‘ввод матрицы коэффициентов при неизвестных х’);
for i: =1 to N do
for j: =1 to N do
write (‘ введите a [‘, i,’,’,j,’] => ‘);
writeln (‘ввод столбца свободных членов’);
for i: =1 to N do
write (‘ введите b [‘, i,’] => ‘);
writeln (‘введите вариант ‘);
writeln (‘ 1 — решение системы линейных уравнений методом Гаусса ‘);
write (‘ 2 — решение системы линейных уравнений матричным методом => ‘);
Курсовая работа на тему: Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕСИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им А. И.ГЕРЦЕНА»
Кафедра информационных и коммуникационных технологий
«Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Алгоритм оптимального исключения неизвестных по столбцам с выбором главных элементов по строкам преобразовав матрицу А в эквивалентную верхнюю левую треугольную матрицу»
студентка 2 курса 1 гр
кандидат педагогических наук, доцент
Введение Постановка задачи
1) вывод рекуррентной формулы
3) код программы
4) контрольный пример
Введение
Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.
Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя объем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.
К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.
Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт).
Множество прикладных и чисто математических задач приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений. Без преувеличения можно утверждать, что это одна из важнейших задач вычислительной математики.
Значимость задачи породила целый ряд методов ее решения. Среди этих методов есть универсальные и специализированные (т. е. применимые лишь к системам, имеющим некоторые специальные свойства). Методы отличаются друг от друга эффективностью, требованиями к объемам машинной памяти (при реализации на ЭВМ), закономерностями накопления ошибок в ходе расчетов. Не существует одного метода, который можно было бы во всех случаях предпочесть всем остальным, и поэтому знакомство с несколькими методами является обязательным для квалифицированного вычислителя.
Как известно из курса алгебры, число неизвестных в системе может быть больше числа уравнений или равно ему. Если число неизвестных больше числа уравнений, то на первом этапе стандартными алгебраическими методами задача сводится к промежуточной задаче, в которой число неизвестных равно числу уравнений. С точки зрения вычислителя истинная проблема состоит именно в решении такой системы, и поэтому в данной работе я рассмотрю лишь такую ситуацию.
Итак, перед нами система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(1.1)
Запись матрицы в такой форме достаточно громоздка, и при первой возможности я буду впредь использовать матричную форму записи, совершенно равносильную (1.1):
А — матрица, X – вектор-столбец неизвестных, B- вектор-столбец свободных членов.
Методы решения систем вида (1.1) можно разделить на два класса. К первому относятся прямые методы. С помощью таких методов в принципе можно в результате конечного числа шагов получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что и коэффициенты в правой части, и элементы столбца свободных членов – числа точные, а все вычисления производятся без округлений. Однако практически такое может произойти и в исключительных случаях или может быть связано с решением специального класса задач (например, когда решениями являются только целые числа). К подобным методам относятся:
o Метод определителей (метод Крамера) хорошо известный из курса алгебры;
o Матричное решение: X=A-1B (если известна обратная матрица);
o Различные варианты метода исключения неизвестных (метода Гаусса).
Чаще всего прямые методы реализуются на ЭВМ, и в процессе вычислительной ошибки округления и погрешности арифметических действий неизбежны. В силу этого название «точный» не вполне соответствует существу дела (но является традиционным).
Практическое применение первых двух методов может оказаться неэффективным или вообще невозможным. Если попробовать решать «в лоб» систему 15 линейных уравнений с 15 неизвестными с помощью формулы Крамера, то придется вычислить 16 определителей порядка 15, что приведет к выполнению примерно 2*16*15!*14 умножений и сложений. Для выполнения этих вычислений на ЭВМ с быстродействием 106 арифметических операций в секунду потребуется почти 10 недель непрерывной работы. С практической точки зрения при достаточно больших размерах системы матричное решение также является малопривлекательным, поскольку задача нахождения обратной матрицы сама по себе не проще задачи решения системы.
Ко второму классу методов решения систем линейных алгебраических уравнений относятся различные итерационные методы. К ним относятся:
o Метод простой итерации;
o Метод Зейделя.
Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы.
Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы уравнений, возникающие в основном в приложениях, как правило, являются разреженными. Методы исключения для систем с разреженными матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связанна с возможностью существенного использования разреженности матриц.
Применение итерационных методов для качественного решения большой системы уравнений требует серьезного использования ее структуры, специальных знаний и определенного опыта.
2. Постановка задачи:
Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Алгоритм оптимального исключения неизвестных по столбцам и с выбором главных элементов по строкам, преобразовав матрицу А в эквивалентную верхнюю левую треугольную матрицу.
2.1. Вывод рекуррентной формулы
Рассмотрим метод Гаусса оптимального исключения неизвестного по столбцам. В методе оптимального исключения принцип преобразования матрицы аналогичен классическому методу последовательного исключения.
В численном методе Гаусса решения систем линейных уравнений АХ=В преобразуем в эквивалентную треугольную систему.
Решение этой задачи сводится сводиться к двум этапам.
1 этап. Прямой ход.
Матрица А преобразуется в эквивалентную ей левую верхнюю треугольную матрицу, таким же преобразованиям подвергается и вектор-столбец свободных членов В, который обычно присоединяется к матрице А справа как n+1 столбец, но я присоединю его слева как 1 столбец для того, чтобы удобнее было вычислять неизвестные данной нам матрицы.
2 этап. Обратный ход.
На этом ходе находятся корни уравнений методом обратной подстановки.
Алгоритм действия на 1 этапе.
На этапе прямого хода мы должны получить левую верхнюю треугольную матрицу, диагональные элементы должны быть не единичными.
Для этого необходимо:
1. преобразование матрицы А начнем из верхнего правого угла, где расположен элемент а1n+1 и будем двигаться сверху вниз и справа налево
2. двигаясь сверху вниз под диагональю в каждом (n-i+1)-том столбце будем получать нули
3. двигаясь справа налево включая столбец свободных членов обеспечивает эквивалентное преобразование элементов начиная с (n+1) столбца.
Рассмотрим подробно вывод рекуррентных формул для первого этапа.
1.Для получения нуля на месте ведомого элемента ak(n-i+1) необходимо получить новый коэффициент преобразования для k-той строки. Он равен:
(2.1)
2.Далее в каждом цикле частичного обнуления (n-i+1)-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования , с точки зрения математики это описывается следующим образом:
(2.2)
В данном методе на этапе прямого кода выполняется на n операций делений меньше, чем в методе последовательного исключения поскольку в каждом цикле обнуления столбца на подготовку коэффициентов преобразования требуется на одно деление меньше по сравнению с количеством делений элементов ведущей строки вместе с тем этот выигрыш является кажущимся, так как на втором этапе (обратный код) требуется ровно на n операций деления больше, чем в методе последовательного исключения диагональные элементы не равны единице.
Алгоритм действий на этапе обратного хода.
В результате преобразования имеем:
Обобщенные формулы для нахождения корней систем линейных уравнений имеет следующий вид:
(2.3)
(2.4)
Dim x(3), p, p5, S As Decimal
Dim i, k, n, j, i1, j1, t, m, m5, l, m1, max As Integer
Dim strSt As String
Console. WriteLine(«Метод оптимального исключения по столбцам «)
Console. WriteLine(«с выбором главного элемента по строкам»)
‘вывод матрицы на экран
Console. WriteLine(«Исходная матрица»)
For i = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(i, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘выбор главного элемента по строкам
For i = 0 To n — 1
max = Math. Abs(mas(i, n — i))
For j = n — i To 1 Step -1
m5 = Math. Abs(mas(i, j))
If m5 > max Then
If j1 = n — i Then
‘конец алгоритма выбора главного элемента
For l = 0 To n — 1
mas(l, n — i) = mas(l, j1)
Console. WriteLine(«Преобразованная матрица»)
For t = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(t, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
Console. WriteLine(«Преобразовываем матрицу в треугольную левую верхнюю»)
‘процедура прямого хода
‘преобразовываем матрицу в левую верхнюю треугольную
For i = 0 To n — 2
For k = i + 1 To n — 1
p = mas(k, n — i) / mas(i, n — i)
For j = n — i To 0 Step -1
mas(k, j) = mas(k, j) — p * mas(i, j)
‘вывод преобразованной матрицы
For t = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(t, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘вывод полученной матрицы
Console. WriteLine(«Полученная матрица»)
For i = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(i, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘процедура обратного кода
x(0) = mas(n — 1, 0) / mas(n — 1, 1)
For j = 0 To n — i — 2
S = S + mas(i, j + 1) * x(j)
x(n — i — 1) = (mas(i, 0) — S) / mas(i, n — i)
Loop While i >= 0
Console. WriteLine(«Полученные значения х»)
For i = 0 To n — 1
Console. Write(«x<0>=», i + 1)
strSt = FormatNumber(x(i), 2)
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса оптимального исключения неизвестных по столбцам, преобразовав данную матрицу в эквивалентную ей левую верхнюю треугольную матрицу с выбором главного элемента по строкам.
1. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
2. Для обнуления 5-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
3. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
4. Для обнуления 4-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
5. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
6. Для обнуления 3-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
7. Вычислим переменные х:
Сравним полученные результаты с результатом программы
Метод оптимального исключения по столбцам
с выбором главного элемента по строкам
17,00 5,00 2,00 4,00 6,00
13,00 4,00 3,00 1,00 5,00
22,00 6,00 5,00 3,00 8,00
20,00 3,00 10,00 5,00 2,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
13,00 1,00 3,00 4,00 5,00
22,00 3,00 5,00 6,00 8,00
20,00 5,00 10,00 3,00 2,00
Преобразовываем матрицу в треугольную левую верхнюю
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
-0,67 -2,33 2,33 -0,67 0,00
14,33 3,67 9,33 1,33 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
5,00 -15,00 20,00 0,00 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
31,67 31,67 0,00 0,00 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
31,67 31,67 0,00 0,00 0,00
Полученные значения х
. Теория матриц (издание третье)./. Москва: „Наука”, главная редакция физико-математической литературы, 1967г. Математический энциклопедический словарь. Москва: „Советская энциклопедия”, 1988г. Интернет-ресурсы (*****) Выводила рекуррентные формулы студентка 2 курса института информационных технологий
http://www.bestreferat.ru/referat-142074.html
http://pandia.ru/text/78/002/10054.php