Курсовая работа на решение нелинейных уравнений

Курсовая работа: Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко»

Кафедра физики, математики и информатики

по дисциплине: «Практикум по решению задач на ЭВМ»

«Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений»

студентка III курса;

с доп. специальностью английский

преподаватель Панченко Т. А.

Внедрение ЭВМ во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования вычислительной техники. Повышается уровень подготовки студентов вузов, которые уже с первых курсов приобщаются к использованию ЭВМ и простейших численных методов, не говоря уже о том, при что выполнении курсовых и дипломных проектов применение вычислительной техники становится нормой в подавляющем большинстве вузов.

Вычислительная техника используется сейчас не только в инженерных расчетах и экономических науках, но и таких традиционно нематематических специальностях, как медицина, лингвистика, психология. В связи с этим можно констатировать, что применение ЭВМ приобрело массовый характер. Возникла многочисленная категория специалистов — пользователей ЭВМ, которым необходимы знания по применению ЭВМ в своей отрасли — навыки работы с уже имеющимся программным обеспечением, а также создания своего собственного программного обеспечения, приспособленного для решения конкретной задачи. И здесь на помощь пользователю приходят описания языков программирования высокого уровня и численные методы .

Численные методы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалисты-математики. Для большинства пользователей главной задачей является понимание основных идей и методов, особенностей и областей применения. Однако, пользователи хотят работать с ЭВМ не только как с высокоинтеллектуальным калькулятором, а еще и как с помощником в повседневной работе, хранилищем информации с быстрым и упорядоченным доступом, а так же с источником и обработчиком графической информации. Все эти функции современной ЭВМ я предполагаю продемонстрировать в настоящей курсовой работе.

Цели и задачи.

Целью данной курсовой работы является изучение и реализация в программном продукте решения нелинейных уравнений при помощи метода Ньютона. Данная работа состоит из трёх разделов, заключения и приложения. Первый раздел — теоретический и содержит общие сведения о методе Ньютона. Второй – это практическая часть. Здесь описывается метод Ньютона разобранный на конкретных примерах. Третий посвящён тестированию программы и анализу получившихся результатов. В заключении представлен вывод о проделанной работе.

Цельюданной курсовой работы является программная реализация метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.

Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить необходимую литературу.

2. Обзорно рассмотреть существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3. Изучить метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4. Рассмотреть решение нелинейных уравнений методом Ньютона на конкретных примерах.

5. Разработать программу для решения нелинейных уравнений методом Ньютона.

6. Проанализировать получившиеся результаты.

Рассмотрим задачу нахождения корней нелинейного уравнения

Корнями уравнения (1) называются такие значения х, которые при подстановке обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в виде формул, т.е. аналитическом виде. Чаще приходится решать уравнения приближенными методами, наибольшее распространение среди которых, в связи с появлением компьютеров, получили численные методы.

Алгоритм нахождения корней приближенными методами можно разбить на два этапа. На первом изучается расположение корней и проводится их разделение. Находится область [a,b], в которой существует корень уравнения или начальное приближение к корню x₀ . Простейший способ решения этой задачи является исследование графика функции f(x) . В общем же случае для её решения необходимо привлекать все средства математического анализа.

Существование на найденном отрезке [a,b], по крайней мере, одного корня уравнения (1) следует из условия Больцано:

f(a)*f(b) 0 некоторая константа. Если m=1 , то говорят о сходимости первого порядка; m=2 — о квадратичной, m=3 — о кубической сходимостях.

Итерационные циклы заканчиваются, если при заданной допустимой погрешности выполняются критерии по абсолютным или относительным отклонениям:

; (5,6)

или малости невязки:

(7)

Эта работа посвящена изучению алгоритма решения нелинейных уравнений с помощью метода Ньютона.

1.1 Обзор существующих методов решения нелинейных уравнений

Существует много различных методов решения нелинейных уравнений, некоторые из них представлены ниже:

1)Метод итераций . При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Первое приближение решения x₁ находим из выражения x₁ =f(x₀ ), второе — x₂ =f(x₁ ) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)| ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой x_i+1 =x_i -F(x_i )\ F’(x_i ). Условие сходимости метода касательных F(x₀ )∙F»(x)>0, и др.

3). Метод дихотомии. Методика решения сводится к постепенному делению начального интервала неопределённости пополам по формуле С_к =а_к +в_к /2.

Для того чтобы выбрать из двух получившихся отрезков необходимый, надо находить значение функции на концах получившихся отрезков и рассматривать тот на котором функция будет менять свой знак, то есть должно выполняться условие f (а_к )* f (в_к ) 0 ;

x* О [a,c] , если f(c)Ч f(b) 0 ;

Метод Ньютона (касательных) характеризуется квадратичной скоростью сходимости, т.е. на каждой итерации удваивается число верных знаков. Однако этот метод не всегда приводит к нужному результату. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Преобразуем уравнение (1) к эквивалентному уравнению вида:

В случае метода касательных . Если известно начальное приближение к корню x=x₀ , то следующее приближение найдем из уравнения x₁ =g(x₀ ), далее x₂ =g(x₁ ). Продолжая этот процесс, получим рекуррентную формулу метода простой итерации

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия (5-7).

Всегда ли описанный вычислительный процесс приводит к искомому решению? При каких условиях он будет сходящимся? Для ответа на эти вопросы опять обратимся к геометрической иллюстрации метода.

Корень уравнения представляется точкой пересечения функций y=x и y=g(x). Как видно из рис. 3(а), если выполняется условие , то процесс сходится, иначе – расходится (рис3(б)).

Итак, для того чтобы итерационный процесс был сходящимся и приводил к искомому результату, требуется выполнение условия:

(12)

Переход от уравнения f(x)=0 к уравнению х=g(x) можно осуществлять различными способами. При этом важно, чтобы выбранная функция g(x) удовлетворяла условию (12). К примеру, если функцию f(x) умножить на произвольную константу q и добавить к обеим частям уравнения (1) переменную х, то g(x)=q*f(x)+x . Выберем константу q такой, чтобы скорость сходимости алгоритма была самой высокой. Если 1 (0) так, чтобы выполнилось условие

Задать малое положительное число ε , как точность вычислений. Положить к = 0.

2. Вычислить х (к+1) по формуле (9) :

.

3. Если | x (k+1) — x (k) | (k+1) . Иначе увеличить к на 1 (к = к + 1) и перейти к пункту 2.

Решим вручную несколько нелинейных уравнений методом Ньютона, а потом сверим результаты с теми, которые получатся при реализации программного продукта.

Решить уравнение методом Ньютона.

sin x 2 + cosx 2 — 10x. = 0.

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

F’(x)=2x cosx 2 — 2x sinx 2 — 10.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x)=2cosx 2 — 4x 2 sinx 2 — 2sinx 2 — 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2 ) — sinx 2 (2+4x 2 ).

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 0, 565, тогда f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0. 342) = 1. 5 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 0, 565.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 101.

Решить уравнение методом Ньютона.

cos x – e -x2/2 + x — 1 = 0

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2 ) – cos x.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 2, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 2.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 089.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 703.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = -cos x — e -x/2 /4.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 162.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычислим первую производную функции.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 881.

3.1 Описание программы

Данная программа создана для работы в текстовом и графическом режиме. Она состоит из модуля Graph, Crt, трёх функций и трёх процедур.

1. модуль Crt предназначен для обеспечения контроля над текстовыми режимами экрана, расширенными кодами клавиатуры, цветами, окнами и звуком;

2. модуль Graph предназначен для обеспечения контроля над графическими объектами;

3. procedure GrafInit — инициализирует графический режим;

4. function VF – вычисляет значение функции;

5. function f1 – вычисляет значение первой производной функции;

6. function X_Newt – реализует алгоритм решения уравнения методом Ньютона.

7. procedure FGraf – реализует построение графика заданной функции f(x);

Ots=35 — константа, определяющая количество точек для отступа от границ монитора;

fmin, fmax – максимальные и минимальные значения функции;

SetColor(4) – процедура, которая устанавливает текущий цвет графического объекта, используя палитру, в данном случае это красный цвет;

SetBkColor(9) – процедура, которая устанавливает текущий цвет фона, используя палитру, в данном случае – это светло-синий цвет.

8. Procedure MaxMinF – вычислят максимальные и минимальные значения функции f(x).

Line – процедура, которая рисует линию из точки с координатами (x1, у1) в точку с координатами (х2, у2);

MoveTo – процедура, перемещающая указатель (СР) в точку с координатами (х, у);

TextColor(5) – процедура, устанавливающая текущий цвет символов, в данном случае – это розовый;

Outtexty(х, у, ‘строка’) – процедура, которая выводит строку, начиная с позиции (х, у)

CloseGraph – процедура, закрывающая графическую систему.

3.2 Тестирование программы

Для тестирования программы возьмем те примеры, которые решали в практической части работы, чтобы сверить результаты и проверить правильность работы программы.

1) sin x 2 + cosx 2 — 10x. = 0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 01

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000002

2) cos x – e -x2/2 + x — 1 = 0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=-0, 0000000

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 01

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0008180

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

Сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000000

Целью работы было создать программу, которая вычисляет корень нелинейного уравнения методом Ньютона. Исходя из этого, можно сделать вывод, что цель достигнута, так как для ее осуществления были решены следующие задачи:

1.Изучена необходимая литература.

2.Обзорно рассмотрены существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3.Изучен метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4.Рассмотрено решение нелинейных уравнений методом Ньютона на примере.

5.Проведены тестирование и отладка программы.

Список используемой литературы

1. Б.П. Демидович, И.А Марон. Основы вычислительной математики. – Москва, изд. «Наука»; 1970.

2. В.М. Вержбицкий. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). – Москва, «Высшая школа»; 2000.

3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Численные методы в задачах и упражнениях. – Москва, «Высшая школа»; 2000.

4. Мэтьюз, Джон, Г.,Финк, Куртис, Д. Численные методы MATLAB, 3-е издание.- Москва, «Вильяс»; 2001.

Решение нелинейных уравнений

Автор: Katerine122 • Январь 6, 2021 • Курсовая работа • 5,614 Слов (23 Страниц) • 182 Просмотры

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем

«Программная инженерия задач вычислительной математике»

ОГУ 09.03.04. 3019. 562. ПЗ

« ___ »________________ 2020 г.

Студент группы з-17Пинж(ба)РПиС

« ___ »________________2020 г.

Оренбург 2020 [pic 1]

[pic 2] Задание

Решение нелинейных уравнений

Разработать ПС и решить уравнение методами половинного деления (бисекций), хорд, касательных (метод Ньютона) с точностью до 0,001. Интервалы выбрать самостоятельно. х 3 -3х-2е -х =0

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Разработать ПС и решить СЛАУ методами Гаусса, итераций (метод последовательных приближений), Зейделя. Для методов итераций и Зейделя решить с точностью 0,001.

Решение системы нелинейных уравнений

Разработать ПС и решить СНУ методами простой итерации и Ньютона с точностью 0,001.

Интерполирование функций (приближение функций)

1. Интерполируемая функция задана таблицей

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа, найти значение функции в точке 3,5.

2. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по первой таблице.

Численное интегрирование. Численное дифференцирование

1. Вычислить интеграл методом трапеций при n=7 [pic 5]

2. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=7 [pic 6]

3. Функция y=f(x) задана табл.

Методом численного дифференцирования найти две производные этой функции в точке х =3.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Разработать ПС и решить дифференциальное уравнение методами: [pic 7] [pic 8]

y’=x+y/2 y(0)=1 h= 0,1 на отрезке [0,1]

Аннотация

В разработанных программных средствах реализованы проекты на основе Windows приложений в Visual Studio. В работе дается краткое теоретическое описание каждого метода, решения задачи, результаты работы.

Описывается процесс работы программ.

Программные средства обладают удобным, интуитивно понятным пользовательским интерфейсом.

Работа содержит 24 рисунка, 47 листов, 7 таблиц..

Решение не линейных уравнений 8

Решение системы линейных алгебраических уравнений 11

Решение системы нелинейных уравнений 15

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 17

Интерполирование функции 20

Численное интегрирование 24

Численное дифференцирование 26

Список использованных источников 29

Приложение 1. Листинг кода 30

Приложение 2. Экранные формы 46

Введение

Раздел математики, который изучает разные проблемы получения числовых результатов решения математических задач, называют вычислительной математикой. Вычислительная математика превратилась в самостоятельную ветвь относительно недавно: примерно в середине двадцатого века. Это было связано с появлением собственных внутренних задач. Вычислительная математика имеет столь же древнюю и богатую историю, что и сама математика. Почти все результаты математики, которые носили формульный вид, ложились в копилку вычислительной математики. Наверное, следует признать, что разделение математики на «чистую», прикладную, вычислительную соответствует скорее узкой специализации математиков, а не задачам, которые математика призвана решать. С появлением ЭВМ начался «золотой век» вычислительной математики. Её приложения в науке и технике расширяются с каждым годом. Методы математики можно условно разделить на четыре группы: качественные, аналитические, методы возмущений и численные. Качественные методы позволяют определить само существование (или несуществование) решения, но не найти его. Примерами могут служить: теорема о корнях алгебраического полинома, теорема Бендиксона о предельных циклах на плоскости и т.п. Аналитические методы дают формулы для решения конкретной задачи. При этом совершенно необязательно в алгоритме решения задачи должно быть конечное число формул, могут быть и бесконечные процессы, предельные переходы, т.е. весь разнообразный набор средств математического анализа (примером может служить метод последовательных приближений для решения задачи Коши дифференциального уравнения). Могут возникнуть задачи, в которых существует аналитический метод, но он является практически неприменимым при росте размерности задачи. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, увеличение размерности определителя системы до n приводит к тому, что количество вычислений будет расти как n!. Методы возмущений занимают промежуточное положение между численными и аналитическими методами, т.е. между методами, дающими приближенное и точное решение. Они могут быть выделены в особое направление, как по тому разнообразному математическому аппарату, так и по тому месту в методах вычислительной математики, которое они занимают. В этих методах обычно рассматривается задача, зависящая от малого параметра, который является возмущением предельной задачи. Решение предельной задачи предполагается известным. Для решения задачи ис- 4 пользуется и информация о малости параметра возмущения и информация о решении предельной задачи. Численные методы – это методы, которые могут быть сведены к арифметическим действиям над числами. Успех численных методов объясняется их сравнительно простой реализацией на ЭВМ. Искусство вычислений состоит фактически не столько в предъявлении числовых результатов в виде таблиц, графиков, сколько в обосновании того, что эти результаты получены с заданной точностью. В процессе проектирования и выполнения научных и инженерных исследований приходится выполнять самые разные вычисления. Некоторые просты и не требуют применения вычислительных машин, другие без ЭВМ невыполнимы. Можно выделить следующие категории расчетов, требующих применения ЭВМ: ‰ вычисления, аналогичные выполняемым вручную, но выполняемые многократно; ‰ вычисления слишком громоздкие, чтобы их можно было выполнить вручную, обеспечив необходимую точность за приемлемое время; ‰ подготовка графического представления данных, подготовка данных для производства и выпуска документации. Характер работы инженера или исследователя определяет многократное повторение решаемых задач, в число которых входят алгебраические и трансцендентные уравнения, задачи на собственные значения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных, оптимизация, обработка массивов числовых данных. Математическая формулировка технической задачи не должна рассматриваться как объект, не подлежащий изменению. Задачу следует с помощью эквивалентных преобразований привести к виду, наиболее удобному для решения.

Курсовая работа на тему «Решение нелинейного уравнения методом касательных»

Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.

1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона)……………….. 7

2. Решение нелинейного уравнения аналитически .. 9

3. Блок схема программы …………………… 11

4. Программа на языке PASCAL 7.0 …………… 12

5. Результаты выполнения программы …………. 13

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ …………… 14

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение.

Объект исследования: Корни нелинейного уравнения.

Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения.

Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме.

Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0

Область применения: в работе инженера.

Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

1. Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).

2. Математическая формулировка задачи.

3. Разработка алгоритма решения задачи.

4. Написание программы на языке программирования.

5. Подготовка исходных данных .

6. Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.

7. Отладка программы.

8. Тестирование программы.

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

9. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.

В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах.

Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.

Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.

На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.

Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.

В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.

Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.

Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.

1. Краткое описание сущности метода касательных ( метода секущих Ньютона)

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.

Так как f ’(x) ¹ 0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :

x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1)

Решая его методом итераций можем записать :

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x) ¹ 0, решаем его относительно x. Получим :

Нашли абсциссу x₁ точки c₁ пересечения касательной с осью ox :

Проведем касательную к графику функции в точке b₁ (x₁; f (x₁)).Найдем абсциссу x₂ точки с₂ пересечения касательной с осью Ox :

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x_k) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b _k (x _k; f (x _k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x ₀ = a или x₀ = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х _k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х₀ берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х₀) * f (х₀) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :

На практике проще пользоваться другим правилом :

Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 3 + 0,1х 2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим : f (x) = х 3 + 0,1х 2 + 0,4х – 1,2

f ‘ (x) = 3х 2 + 0,1х + 0,4

Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].

Приведем уравнение к виду x = j (x) , так , чтобы | j ‘ (x) | 3 – 0,05 х 2 – 0,2 х + 0,6 = – 0,5 х 3 – 0,05 х 2 + 0,8 х + 0,6.

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Вычисления расположим в таблице.

График функции y = х 3 + 0,1х 2 + 0,4х – 1,2

3. Блок схема программы

4. Программа на языке PASCAL 7.0

Нужна помощь в написании курсовой?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.