Курсовая работа на тему решение уравнений

Курсовая работа на тему решение уравнений

. 7 — корень уравнения.

Рис. 5 Алгоритм решения уравнений на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами. [15]

1.3 Способы развития познавательного интереса к математике

Что может заставить младшего школьника задуматься, начать размышлять над тем или иным математическим заданием, вопросом, задачей, когда эти задания необязательны для него? Во всяком случае — не принуждение. Принуждение извне может лишь угнетать, а не возбуждать мыслительную деятельность ребенка. Не всегда могут активизировать мысль ученика и словесные просьбы и убеждения.

Основным источником побуждения младшего школьника к умственному труду на занятиях математики может послужить интерес. Поэтому учитель должен искать и находить средства и способы возбуждения интереса детей к тем математическим, логическим заданиям, которые он предлагает в процессе работы. Вызванный у детей интерес к отдельным заданиям, к математике вообще послужит стимулом для их участия в выпуске математической газеты, создания математического уголка, активного участия в математических викторинах, экскурсиях и т.п. Происходит и обратное влияние: участие в интересных математических экскурсиях, викторинах, выпуске газет, в занятиях, на которых предлагаются занимательные упражнения, могут возбудить интерес и к самой математики.

Чтобы возбудить интерес к математике надо постараться не только привлечь внимание детей к каким-то ее элементам, но и вызвать у ребенка удивление. У детей удивление возникает тогда, когда они видят, что сложившаяся ситуация не совпадает с ожидаемой. Если при этом удивление связано с возникновением некоторого удовольствия, то оно и превращается в приятное удивление. При непродуманной ситуации может быть и наоборот: возникнуть неприятное удивление. Надо учитывать, что удивление вызывает у детей более острое, сосредоточенное внимание. Удивление должно соседствовать с любопытством ребят, со стремлением их увидеть на математическом фоне что-то новое, узнать что-то до сих пор им не известное.

Удивление в сочетании с любопытством поможет возбудить активную мыслительную деятельность учащихся.

Привлечь первоначальное внимание детей к математике, например, можно разными средствами: особым, красочным оформлением классного помещения, в котором отражалось бы удивительное сочетание знакомого детям мира сказок с таинственным миром математики, необычными вступительными словами учителя, создавшего этим ситуацию, в которую включены детьми герои современных сказок и рассказов. Математика и сказки! Математика и любимые герои! Разве это не привлечет внимание ребят и не вызовет у них радостного удивления? Удивление и интерес вызывают у детей занимательно сформулированные вопросы, задачи, загадки, шарады, ребусы, несложные логические упражнения.

Интерес, как и другой вид эмоционального состояния, имеет явное внешнее выражение на лицах детей, в их поведении, словесных откликах. По этим внешним признакам учитель всегда может судить о том, вызван ли у детей интерес к данному внеклассному виду работы или нет. Однако приходится иногда сожалеть, что некоторые учителя на внеклассных занятиях в моменты повышенного интереса детей, во время вдохновенной мыслительной их работы, сопровождаемой внешним их возбуждением, бывают слишком строги к поведению ребят, стараясь заглушить в зародыше естественное внешнее проявление детьми своих чувств. С полной уверенностью мы утверждаем, что при соблюдении определенной меры на занятиях можно допускать более свободное переживание детьми удовольствий, с более свободным внешним их проявлением. Тогда у детей будет дольше сохраняться тот заряд интереса, который возник во время внеклассной работы, и служить стимулом к участию в последующих видах этой работы. Значительно лучше, скорее и прочнее запоминаются те мысли, которые были эмоциональны, вызвали живые, яркие чувства, чем те, которые оставили человека равнодушным.

Привлечь внимание детей и вызвать их удивление — это лишь начало возникновения интереса, и добиться этого сравнительно легко; труднее удержать интерес к работе по математике и сделать его достаточно стойким. Выше мы отметили, что для сохранения дальнейшего интереса к работе по математике нужно, чтобы дети не растеряли те чувства удовольствия, которые возникли у них на занятиях. Но это лишь один из приемов.

Поддерживая интерес различными приемами, надо его постепенно воспитывать: вначале как интерес к своей непосредственной деятельности во время занятий, затем чтобы он перерастал в интерес к математике как науке, в интерес к процессу самой мыслительной деятельности, к новым знаниям в области математики. Этот процесс сложный, длительный и его результаты зависят, главным образом, от педагогического мастерства учителя. В этом процессе нет готовых рецептов. Однако есть некоторые общие положения, которые не новы, но которых следует придерживаться в процессе воспитания интереса к математике. При организации работы по математике надо добиваться максимальной деятельности каждого ученика — организаторской, трудовой, особенно мыслительной для выполнения всевозможных заданий. Надо, чтобы каждый представлял себя или был действительно активным участником той ситуации, которую организовал учитель. (Это относится и к ситуации, описанной в задаче, к проводимой игре, к изготовлению наглядных пособий, к выпуску стенной газеты, плакатов, к созданию математического уголка и т.п.)

Материал, преподносимый учителем или предлагаемый отдельными учениками, должен быть понятен каждому ученику, иначе он не вызовет интереса, так как будет лишен для них смысла. Для поддержания интереса во всяком новом должны быть определенные элементы старого, известного детям. Только при условии установления связи нового со старым возможны проявления сообразительности и догадки. По отношению к большинству участников работы необходимо для выполнения математических заданий предусматривать оптимальные соотношения между новыми и старыми знаниями и умениями. Перегрузка заданий применением только старых знаний и умений или только новыми снижает интерес к этим заданиям. Оптимальное соотношение между указанными знаниями и умениями создает условия для достаточно длительного сохранения интереса детей к математическим заданиям.

Для облегчения перехода от известного к неизвестному в процессе занятий по математике полезно использовать различные виды наглядности: полную предметную наглядность, неполную предметную наглядность, символическую и представления по памяти, — исходя из того уровня развития в сознании учащихся, на котором находятся соответствующие математические понятия. Особенно умело и вовремя надо использовать детское воображение. Оно у них яркое, значительно сильнее интеллекта. Поэтому неудивительно, что волшебные сказки и для младших школьников еще не заметно вплетаются в действительность и служат прекрасным средством не только развлечения, но и воспитания и развития.

Устойчивый интерес к внеклассной работе по математике и к самой математике поддерживается тем, что эта работа проводится систематически, а не от случая к случаю. На самих занятиях постоянно должны возникать маленькие и доступные для понимания детей вопросы, загадки, создаваться атмосфера, возбуждающая активную мысль учащихся. Учитель всегда может выявить силу возникшего интереса к математике. Она выражается в той настойчивости, которую проявляют ученики в процессе решения математических задач, выполнения различных заданий, связанных с разрешением математических проблем.

Вывод в 1 главе

Большую трудность для младшего школьного возраста представляет умение решать уравнения. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнением закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.

Глава 2. Разработка и анализ уроков

Мною были разработаны 3 урока по математике (приложение) в 3 классе на тему «Решение уравнений». Эти уроки были проведены мною в СШ№ 31 г. Могилева, в 3 «Г» классе (учитель Короткевич И.И.). Анализ уроков был проведен совместно с учителем 2 категории Короткевич И.И. и учителем высшей категории Пшенко М.В.

2.1 Анализ проведенных уроков

Урок был организованным, дисциплина на уроке хорошая. На уроке присутствовали различные формы работы. Рабочее место учителя и ученика было рационально организованным. В начале урока была проведена интересная разминка, что способствовало более быстрому включению детей в урок, повышению интереса к уроку. Для того чтобы у учащихся появился интерес к уроку, чтобы мобилизовать внимание всего класса, было прочитано стихотворение. Цели урока определялись совместно с детьми. На уроке присутствовала письменная и устная работа. Урок был посвящен решению уравнений. Материал урока был разнообразным, и отражал основные задачи развития и обучения младших школьников по этой теме. Структура урока соответствовала типу и целям урока.

Учитель на уроке закреплял вычислительные навыки. Этому способствовали задания, предлагаемые учителем, особенно устный счет в начале урока. Учитель на уроке использовал дополнительный материал, что увеличило методическую ценность урока.

Учащиеся на уроке выполняли разнообразные задания: примеры, уравнения, задачи, логические цепочки (они содержали элемент занимательности).

Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная. Учитель использует на уроке следующие приемы: сравнение, анализ, сопоставление; методы обучения: беседа, рассказ, практические методы, элементы проблемного обучения.

Учащиеся на уроке были активными, работоспособность была хорошей. Психологическая атмосфера на уроке положительная. Учитель соблюдает валеологический подход (делает замечания по поводу осанки, проводилась физминутка). На мой взгляд, урок целей достиг. Урок также ценен своей воспитательной составляющей.

После проведения уроков, с учащимися был проведен тест на определение знаний по теме «Решение уравнений» (приложение 4). Результаты теста показали, что все учащиеся усвоили правила решения уравнений. Это свидетельствует о том, что применение связи математики с другими науками (историей, географией, обществоведением и др.) повышает познавательную активность учащихся на уроках математики и способствует хорошему усвоению учебного материала.

Выводы по 2 главе

В разработанных нами уроках просматривается различные виды уравнений, их практическое применение.

В разработанных уроках, уравнения показывали не только числовые характеристики того или иного предмета, но и способствовали повышению интереса к изучению математики, показывали ее практическое применение и связь с другими науками (биологией, географией).

В данной курсовой работе мы рассмотрели методику преподавания темы «Уравнения» в начальной школе.

Уравнение — это самая простая и самая распространенная форма математической задачи. Возьмем два числовых выражения и поставим между ними знак равенства. Мы получим числовое равенство. Оно будет верным или неверным в зависимости от того, равны или не равны значения взятых числовых выражений.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел.

Большую трудность для младшего школьного возраста представляет умение решать уравнения. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнением закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.

Это свидетельствует о том, что применение связи математики с другими науками (историей, географией, обществоведением и др.) повышает познавательную активность учащихся на уроках математики и способствует хорошему усвоению учебного материала.

В разработанных нами уроках просматривается различные виды уравнений, их практическое применение.

Список использованных источников

1.Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. М., 2006.

.Гончарова М.А. и др. Учись размышлять: развитие математических представлений у детей. М.: Антал, 1999.

.Ивашова О.А. Ошибки в порядке выполнения действий и пути их пре-дупреждения // Начальная школа. 1998. — №4.

.Истомина Н.Б., Шмырева Г.В. Методика работы над уравнениями // Начальная школа. 2003. — №3.

.Истомина Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах: Пособие для учителя.- М.: Просвещение, 2005.- 64 с., ил.

.Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. 3-е изд., стереотип. М.: Издательский центр Академия, 2000. 288 c.

7. Материалы сайта8. Популярная энциклопедия для детей. Всё обо всём. Т.6.- М.: «Ключ — «С», 1995. С.26.

. Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие. М.: Академия, 1997.

. Чабатарэўская Т.М., Дрозд У.Л., Столяр А.А. Математика. 3 класс. В 2-х частях. — Народная асвета, 2007.

11. Чеботаревская Т.М., Дрозд В.Л. Математика. 4 класс. В 2-х частях. — Народная асвета, 2008.

. Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. Рабочая тетрадь. III класс. Пособие для учащихся. — Аверсэв, 2011, 2012.

. Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. Рабочая тетрадь. IV класс. Пособие для учащихся. — Аверсэв, 2011, 2012.

. Канашевич Т.Н. Путешествие в страну занимательной математики. III-IV классы. Пособие для учителя. — Аверсэв, 2010, 2012;

. Методика работы над уравнениями в начальной школе. О. А. Коростелева// Начальная школа, №6 2008

Тема урока: «Решение уравнений»

Цели: отработка навыков составления и решения простых уравнений; преобразование простых уравнений в сложные; решение сложных уравнений; решение составных задач путем составления сложного уравнения. Развитие внимания, памяти, математической речи, мышления. Воспитание патриотизма и чувства гордости за историческое прошлое России.

Ход урока.. Организационный момент.

Сегодняшний наш урок математики посвящен решению уравнений. Решение уравнения — это всегда нахождение неизвестного. А сегодня на эту проблему мы посмотрим не только с точки зрения математики, но и с точки зрения географии. И поэтому на сегодняшнем уроке мы не только будем находить неизвестные корни уравнений, но и будем мысленно проходить по дорогам географических открытий.

Девиз нашего урока: Дерзать, искать, найти и не сдаваться!

Повторим: — Что такое уравнение?

Что значит решить уравнение?

Что такое корень уравнения?

Какие виды уравнений вы знаете?. Логическая разминка .

Одним из основных инструментов путешественника является географическая карта. На ней есть символы, указывающие направления сторон горизонта. Это — север , юг , запад , восток .

) Решим ребус, расставив условные обозначения так, чтобы не было повторов в строчках и столбцах:

2) Следующим основным инструментом путешественника является компас с его магнитной стрелкой, определяющей направление север — юг . Давайте сориентируемся и мы, выбрав правильный курс.

Найдем неизвестное число, составив и решив простые уравнения:

Эти числа имеют смысл. 28 января 1820 г. произошло очень знаменательное событие в мировой географической науке. Русские флотоводцы Фаддей Беллинсгаузен и Михаил Лазорев (Рисунок1 ) совершили географическое открытие, затем их плавание продолжалось 100 дней, и через 750 дней они прибыли в порт Кронштадт. А какое они совершили открытие, мы с вами сейчас узнаем.

) Алгоритм . Выполним вычисления по алгоритму и узнаем об открытии:

Это был открыт материк Антарктида 28 января 1820 г. русскими мореплавателями (Рисунок 2 ).. Повторение о признаках простых уравнений.

А готовы ли мы с вами пройти по дорогам исследователей Антарктиды? Испытаем себя.

. В какой строчке записано уравнение?

А 46 — 20 = 26 Б в : 7 = 2 В 16 + а > 30 Г к ? m = n — Какие строчки можно переделать в уравнения? Что в них будет неизвестно? — Что обозначает В? Чему оно равно?

. 4 млн км 2 составляет ледовый щит Антарктиды.

В каком уравнении неизвестное число равно 4?

А в + 9 = 17 Б 27 : с = 3 В 36 : х = 9 Г z ? 2=4

Что означает х? До 4 км в высоту над уровнем моря возвышается ледовый щит Антарктиды.

. В каком уравнении неизвестно слагаемое?

А а — 52 = 43 Б 26 + m = 96 В 84 — k = 48 Г в : 6 = 9

Чему равно m? До -70° С может достигать температура зимой в Антарктиде на полюсе холода.

. Решите уравнение: х 3=81

А х = 78 Б х = 27 В х = 84 До -27° С градусов по достигает температура в Антарктиде летом на полюсе холода.

. Какое уравнение решить нельзя? Почему?

А в — 14 = 0 Б 6 ? n = 0 В 8 : a = 0 Г 9 + k = 0 Без хороших знаний о предмете своего исследования и подготовки нельзя отправиться в путешествие. Иначе может возникнуть опасность для жизни путешественника.. Решение и усложнение простых уравнений.

Как материк Антарктида была открыта в 1820 г. Но пройдет чуть меньше столетия и у нее будет открыт и достигнут исследователями Южный полюс. Попробуем и мы приблизится к этому открытию.

y 7 = 56 y + 13 = 60 54 : у = 3 y — 6 = 26 y : 2 = 7 80 — у = 71Посмотрите на данные уравнения. На какие группы их можно разделить?

Решим систему неравенств:

10 ). Но на обратном пути экспедиция Р.Скотта погибла от голода и холода, не дойдя всего несколько км до базового лагеря. В ноябре 1912 г. спасательный отряд нашел палатку, а в ней замерзшие тела (Рисунок 4 ).. Решение сложных уравнении.

Шло время, и на антарктическом мысе Адер высадились 10 человек во главе с норвежцем Карстеном Борхгревинком. Это были первые люди, которые решили остаться на год в ледяных неведомых краях.

Составим сложное уравнение и узнаем дату высадки:

Я задумала число, вычла из него сумму 587 и 396 и получила разность 980 и 64.- (587 + 396) = 980 — 64 (Решение у доски с комментарием.)= 1899. Это событие произошло в 1899 г.. Решение составной задачи путем составления сложного уравнения.

А в середине XX века в 1958 г. зафиксирован рекорд численности населения в Антарктиде. Тогда на 20 станциях зимовали 872 человека. В настоящее время в Антарктиде ежегодно зимует около 600 человек из разных стран мира: Россия, США, ЮАР, Великобритания, Австралия и др. (Рисунок 5 ).

В настоящее время в Антарктиде действует 12 иностранных станций и 4 российских.

Составим по краткой записи задачу и решим ее с помощью уравнения:

x — человек на 1 российской станции; 4 — человек на всех российских станциях;

12 — человек на всех иностранных станциях;

Решив данное уравнение, получаем корень: x = 30.

Ответ: 30 человек зимует на каждой российской станции в Антарктиде.. Итог.

· Чему мы учились на уроке?

· Что было самым трудным?

· Что было интересным?

Антарктида не принадлежит ни одному государству. Из-за жестоких природных условий состав экспедиции там часто меняется. Исследователи обычно работают не более одного года. По международным соглашениям на ее территории запрещается проведение любых мероприятий военного характера. Неслучайно Антарктиду называют континентом мира и науки. Охрана природы Антарктиды закреплена международными законами.

Тема урока: «Решение уравнений»

Цель урока: сформировать у учащихся навыки и умения работы с уравнениями при решении задач. Основные навыки и умения учащихся в области решения уравнений должны быть направлены на решение задач, в которых нет ни одного известного количественного параметра, но имеются данные о сумме этих компонентов.

1. Устный счет-разминка

2. Актуализация основных знаний и умений учащихся в проверочном диктанте

. Упражнения на составление выражений с буквенными величинами

. переход к решению задач с неизвестными величинами при помощи составления уравнений

. Формирование умений у учащихся работать по опорной схеме

. закрепление нового материала с помощью тренировочных заданий

. Обобщение в устной форме полученных знаний на уроке

. Задание на дом и обсуждение его выполнения

1. Устный счет разминка (каждый ученик передает эстафету следующему). Задания формирует учитель:

а) назовите какие числа в произведении дают 36 (36 и 1, 4 и 9, 6 и 6, 12 и 3);

Б) какое число можно разделить на 48 и получить в частном 2;

В) назовите примеры чисел в первом десятке чисел, которые делятся на 3;

Г) При вычитании из какого числа 9 -ки можно 45;

Д) При сложении с каким числом 25 дает в сумме 69;

Е) При умножении какого числа на 9 можно получить 72;

Ж) что надо вычесть из 390 чтобы получить 100.

Ценность проведения устной разминки в данной форме состоит в том, что у ребят начинают работать аналитические и синтетические функции мышления, некоторую трудность представляет эта разминка для учащихся со слабо развитым вниманием и восприятием на слух.

После таких примеров ученики переходят к решению уравнений на доске (2 ученика решают уравнения за закрытыми досками, а затем класс после сдачи своих работ, выполненных в домашних тетрадях, проверяет «по горячим следам» правильность решения, сверяя их с результатами на доске).

Для решения на два варианта предлагаются следующие уравнения

1. 64+ Х=96 1. 6*Х=192

2. Х-253=241 2. 100: Y=10

. 564-х= 53 3. 239- х=114

. х : 7 =23 4. 189: Y=3

. 17*Y= 68 5. Х-527=313

. 96: X=12 6. 125*х=250

. 2*Y+37 =47 8. 3*Х+48=138

. 24: (y-5)=6 9. 35: (Y+3)=7

При решении отвечающий на доске называет неизвестный компонент уравнения, если компонент неправильно определен, то учащиеся класса (по желанию) называют компонент и предлагают путь решения. Максимальная оценка за все правильно решенные задания на доске и в тетради -11 баллов, при этом задания №8 и 9 оцениваются по два балла.

Ценностью такой формы проведения опроса является то, что ребята привыкают самостоятельно мыслить, а необходимый контроль и коррекция результатов приводит к более глубокому осмысливанию и запоминанию, первые семь заданий рассчитаны на безусловное знание решения простейших уравнений.

После проведения данной формы фронтального опроса с опорой на уже сформированные знания и навыки учащихся учитель плавно переходит к формированию знаний при решении задач на составление уравнений.

Для этого вначале возникает необходимость в формировании отвлеченных понятий на базе заданий подобных следующему. Учитель просит ребят составить выражение для следующей задачи « В одной корзине содержалось а груш, а в другой на 5 груш больше. Сколько груш содержалось во второй корзине?». Правильный ответ это а+5. Для ребят с проблемами логического мышления данная задача может быть проиллюстрирована предварительно подготовленным рисунком (рис.1).

Рис.1. Иллюстрация для составления выражения с буквой

Следующий вопрос будет логически верным для формирования у ребят навыков в составлении уравнений для задач. Необходимо не отвлекаясь от данного условия спросить у учащихся о том, сколько же груш будет содержаться в этих двух корзинах и записать с их слов полученное выражение, а именно (рис. 2). Представленную запись хорошо бы снабдить пояснительным указанием с подчеркнутой принадлежностью к разным корзинам

Рис.2. Запись выражения с буквой (пояснительные указания)

Несколько тренировочных заданий, подобных описанному выше помогут закрепить навыки составлений выражений с переменной. Эти упражнения можно записать на доске, например:

1. В одном ящике было в килограмм огурцов, а в другом на 25 кг больше. Сколько огурцов было во втором ящике. Сколько огурцов было в двух ящиках?

2. В одном мешке было с кг муки, а во втором на 9 кг больше. Сколько

Сколько кг муки было во втором мешке и сколько кг было в двух этих мешках вместе?

Также ребята должны уметь самостоятельно составляет подобные упражнения по рисункам, например по такому рисунку (рис. 3).

Рис.3. Иллюстрация для составления выражений

При составлении зданий самостоятельно у учащихся также включаются процессы анализа и обобщения. Теперь можно переходить к рассмотрению решения задачи на составление уравнения. Задачу также хорошо проиллюстрировать опорной схемой или рисунком.

Задача: «В двух кусках ткани было 208 метров. Во втором куске ткани было больше ткани на 4 метра. Сколько метров ткани в каждом куске?»

Для решения задачи хорошо составить рисунок (рис. 4).

Рис.4. Иллюстрация для облегчения работы с составлением уравнения в задаче

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что неизвестные части в обоих куска равны, то есть представляют собой одинаковое количество материала. Наиболее сообразительные учащиеся могут предложить рецепт решения этой задачи устно, как то вычесть из 208 4 и затем поделить на 2, так как неизвестные куски и в первом и во втором рулоне ткани одинаковы. После изучения условия задачи необходимо задать учащимся вопросы:

1. сколько ткани было в первом куске ткани

2. сколько ткани было во втором куске ткани

. на сколько больше ткани было во втором куске

. сколько ткани хранилось в дух кусках вместе

. если обозначить первый кусок за х, то как можно определить длину второго куска, используя х (используя опыт составления выражений ребята легко ответят на этот вопрос — х+4)

. Попросите составить учащихся выражение для ответа на вопрос, сколько будет материала хранится в двух кусках — ответ Х+Х+4

. Обратите теперь внимание на то, что нам известно количество материала, хранящееся в двух кусках одновременно, то есть в сумме и предложите им сопоставить выражение с буквой и условие задачи, то есть ребята должны поставить знак равенства между Х+Х+5 и числом 208.

. Теперь на доске можно записать уравнение и снабдить еще раз его описательными стрелками

Рис.5. Схема для анализа задачи

Процесс решения уравнения теперь не представляет ля ребят трудности, только необходимо обратить внимание на то, что Х+Х =2Х , а затем перейти к уравнению с неизвестным слагаемым 2х +4=208; 2*Х=208-4; 2*Х=204; Х=204/2 ; Х=102.

Фактически найдена длина первого куска и теперь, обратив внимание на условие или на схему, ребята могут найти и длину второго куска, то есть 102+ 4=106.

Необходимо выполнить проверку рассуждением найденного и сопоставлением имеющихся в задаче данных, то есть еще раз обратить внимание на то, что найденные куски первого рулона, то есть 102 и второго, то есть 106, в сумме должны дать нам 206, что соответствует данному условию задачи.

Предложите теперь ребятам в качестве самостоятельной работы решить задачу по схеме с условием

Рис.6 Схема к анализу задачи

После решения задачи спросите у ребят какие моменты решения задачи непонятны и попросите решить эту же задачу без составления уравнения.

Задание на дом должно содержать 25% от решенного в классе на уроке, поэтому можно определить его так:

Повторить основные компоненты уравнений

1. Решить уравнения, используя проверку

.Составить и решить задачу

Рис. 7 Рисунок для составления задачи

После обсуждения домашнего задания, необходимо провести заключительный этап урока, то есть попросить ребят ответить на вопросы и сделать главный вывод урока.

Вопросы могут быть следующего содержания

. когда возникает необходимость составления уравнения в задаче

. Как мы обозначаем неизвестный нам компонент задачи

. Сколько будет Х+Х

. как найти неизвестной слагаемое в уравнении

. Для чего нам нужно делать проверку после решения уравнения и задачи

Урок математики в 3 классе на тему: «Решение уравнений»

Закреплять умение решать уравнения разных видов: х + 86 ? 87; 28 — х ? 10; х × 2 ? 80; 21: х ? 3.

Совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки и умение работать самостоятельно.

Формировать познавательный интерес учащихся к предмету.

Воспитывать взаимоуважение и доброжелательное отношение к товарищам.

. Индивидуальные карточки с цифрами, головоломки, красный карандаш для каждого ученика, цветные фишки — звёзды, рисунок чемоданчика.

. Тесты для каждого ученика.

I. Организационный момент.

— Повторяйте за мной!

Я желаю тебе сегодня добра.

Ты желаешь мне сегодня добра.

Мы желаем друг другу сегодня добра

Если тебе будет трудно, я тебе помогу!

Ребята, вы любите путешествовать?

— Мы посетим удивительное место и во время путешествия закрепим умение решать уравнения.

. Решение примеров с «окошками». Работа в парах.

Куда мы отправимся, — вы сейчас догадаетесь сами. Перед вами примеры с пропущенным числом. Прежде, чем приступить к выполнению задания, вспомним правила нахождения неизвестного компонента. Работать будем в парах. Главное правило — доброжелательность и взаимовыручка. Расскажите соседу по парте, как найти неизвестное число в выражении, затем поменяйтесь. Во время работы мы проверим, как вы знаете эти правила.

— А теперь догадайтесь, какое число пропущено в «окошечке», найдите его на рисунке и назовите рядом стоящую букву. Сейчас вы узнаете, куда мы отправимся

— Что вы знаете о Минске?

— Тогда в путь. ( Звучит песня « Если с другом вышел в путь»). [5]

. Решение уравнений. Работа по вариантам.

Отправиться можно на машине или на поезде.

I в. Верно решив уравнение, узнаете, сколько времени мы затратим на дорогу, если поедим на машине.

II в. Верно решив уравнение, узнаете, сколько времени мы затратим на дорогу, если поедем на поезде.

Ответы сказать « по секрету» — на ушко.

— Вот мы на главной площади страны — Октябрьской площади. Кто знает, почему её так называют?

— Какую отметку ставит учитель, если у ученика в тетради записано всё верно и красиво?

— Возьмите листочки с напечатанными цифрами и за 1 минуту зачеркните все 10. (На листочке вразброс напечатаны разные цифры, количество «10» соответствует дате проведения урока.)

Сосчитайте, сколько зачеркнули цифр? (24)

Проверим, все ли внимательны?

Запишите число, классная работа.

Пропишите красиво строчку числа 10.

Надеюсь, что в конце урока вы заслужите эту отметку.

IV. Решение уравнений.

— Сейчас мы с вами поговорим о национальной библиотеке.

. — Решив первое уравнение, вы узнаете высоту Национальной библиотеки.

Дети: — 74 метров.

. — Решив второе уравнение, вы узнаете сколько этажей в Национальной библиотеке

Дети : — 23 этажа.

. — Решив 3 — е уравнение, вы из скольких граней состоит здание национальной библиотеки

Дети: — 26 граней

.Физ. минутка. ( Под музыку песни « А я иду, шагаю по Москве»). [5]

VI. Самостоятельная работа.

— Подходит к концу наше путешествие. Давайте проверим свои знания по теме: «Уравнение» и вспомним, что нового мы узнали о Минске. У вас на столах тесты. Нужно выбрать верный вариант ответа и раскрасить соответствующую цифру в головоломке.

.Выбери правильное утверждение.

1) Уравнение — это пример, в котором пропущено число.

) Уравнение — это выражение с неизвестным компонентом.

) Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную величину.

2.Среди данных выражений найди уравнение.

3.Среди уравнений выбери только то, которое решается умножением.

— Покажите, какой рисунок получился в головоломке. (5)

Это ваша отметка за работу.

Рис. 1 Головоломка:

— Пора возвращаться в класс.

А сейчас каждый из вас оценит работу на уроке. Кому было на уроке всё понятно, со всеми заданиями справились уверенно — возьмите зелёную звёздочку. Кто сомневался в выполнении некоторых заданий — жёлтую, а кто испытывал затруднения — красную. На своей звёздочке напишите одним словом, чего бы вы хотели пожелать своему другу-однокласснику. Положите свои пожелания в чемоданчик «Счастливых путешествий».(Рисунок чемоданчика на доске.)

VIII. Релаксация «Улыбка». (Звучит медленная музыка). [3]

— Дети, посмотрите друг на друга, улыбнитесь друг другу. Закройте глаза и послушайте меня: другой человек есть радость для тебя… Окружающий тебя мир есть радость для тебя. Теперь откройте глаза и посмотрите вокруг. Ты всегда радость для другого… Береги себя и другого береги… Уважай, люби всё, что есть на Земле — это чудо! И каждый человек — тоже чудо! Спасибо всем за работу, за то, что вы есть! Спасибо!

. Выбери правильное утверждение.

1) Уравнение — это пример, в котором пропущено число.

) Уравнение — это выражение с неизвестным компонентом.

) Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную величину.

. Среди данных выражений найди уравнение.

. В каком уравнении неизвестное число равно 4?

А в + 9 = 17 Б 27 : с = 3 В 36 : х = 9 Г z ? 2=4

. В каком уравнении неизвестно слагаемое?

А а — 52 = 43 Б 26 + m = 96 В 84 — k = 48 Г в : 6 = 9

Чему равно m? До -70° С может достигать температура зимой в Антарктиде на полюсе холода.

. Решите уравнение: х 3=81 А х = 78 Б х = 27 В х = 84.

. Какое уравнение решить нельзя? Почему?

А в — 14 = 0 Б 6 ? n = 0 В 8 : a = 0 Г 9 + k = 0

7. Среди уравнений выбери только то, которое решается умножением.

Теги: Решение уравнений в начальной школе Курсовая работа (теория) Математика

Курсовая работа: Методы решения уравнений, содержащих параметр

Выпускная квалификационная работа

Выполнил тудент V курса математического факультета Кузнецов Е.М.

Вятский государственный гуманитарный университет

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

Обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

Возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами;

Выше изложенное обусловило проблему исследования, которая заключается в исследовании целесообразности и возможности изучения методов решения уравнений, содержащих параметры, в старших классах средней школы и в разработке соответствующей методики. Решение этой проблемы составило цель исследования.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре в 7-9 классах и алгебре и началам анализа в 10-11 классах.

Предметом исследования являются классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения.

Гипотеза исследования: применение разработанной на основе общих методов решения уравнений, содержащих параметры, методики их решения позволит учащимся решать уравнения, содержащие параметры, на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод решения, применять разные методы решения.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

проанализировать действующие учебники алгебры и начала анализа для выявления в них использования понятия «параметра» и методов решения уравнений, содержащих параметр;

выделить классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения;

разработать программу факультативных занятий на тему «Методы решения уравнений, содержащих параметр»;

осуществить опытное преподавание.

(F)

с неизвестными х, у, . z и с параметрами . При всякой допустимой системе значений параметров α0, β0, . γ0 уравнение (F) обращается в уравнение

(F0)

с неизвестными х, у. z, не содержащих параметров. Уравнение (F0) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются неравенства и системы, содержащие параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения.

Понятие эквивалентности применительно к уравнениям, содержащие параметр, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения

F(х, у, . z; ) =0 (F),

Ф (х, у, . z; ) =0 (Ф)

с неизвестным х, у. z и с параметрами называются эквивалентными, если для обоих уравнений множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у, z; )=0 (F)

задано в виде некоторой функции от параметров:

х = х();

у = у();

z = z(). (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у. z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F (x(), y(),…,z ())≡0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров = α0, , . соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения [1].

Проанализируем действующие учебники курса алгебры и начала анализа, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

Алгебра. 7 класс.

При изучении уравнений представлено два задания с параметром (№№236, 243). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам.

Также в данном учебнике в §5 «Линейная функция» (глава 2 «Функции») рассматривается прямая пропорциональность, где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром.

Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), где необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков (см. [28]).

Алгебра 8 класс.

При изучении темы «Квадратные уравнения» в разделе дополнительных упражнений для более углубленного повторения материала предлагаются уравнения, содержащие параметр (№№ 645, 646, 660, 663-672), где необходимо найти значение переменной (параметра), если известен корень уравнения или какое-то соотношение корней. Можно выделить два номера (№№ 661, 662), где необходимо найти значение параметра, если известны знаки корней уравнения.

При изучении остальных тем учебника 8 класса параметр не использовался.

Алгебра. 9 класс.

Использование параметра ведется в главе «Квадратичная функция». При формулировании свойств функции в зависимости от коэффициента , и предлагается для решения задача на нахождение нулей функции, которая зависит от параметра. В разделе «дополнительные задачи» приводятся задания с параметром на исследование:

расположения графика относительно прямой;

вершины параболы; нулей функции;

принадлежность данных точек функции, содержащей два параметра.

При рассмотрении графиков функций и строятся предпосылки для решения уравнений, содержащих параметр, графическим методом (параллельный перенос).

При изучении систем уравнений предлагаются дополнительные задачи с параметром на исследование количества решений системы.

В системе упражнений для повторения курса VII-IX классов заданий, содержащих параметр, не представлено (см. [29]).

Мордкович. А. Г. «Алгебра 7 по 9 класс » и «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс»

Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника (см. [30], [31]).

При изучении линейной функции (7 класс глава 6 §28) рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a (a0). При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения.

Номера 828-831 задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о том, чтобы найти значения параметра, если известно решение уравнения. В номерах 902-903 необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку. Эти номера подготавливают ученика к методу «ветвлений» решения уравнений с параметром, о котором расскажем позднее в пункте 4.1.1.

Рассмотрим учебник 8 класса.

В главе «Квадратичная функция. Функция » при изучении функции , ее свойств и графика предлагаются задачи, которые подготавливают ученика к решению уравнений с параметром, где требуется применение производной. А именно номера 474-475, где необходимо найти коэффициенты уравнения данной функции, если известно наибольшее или наименьшее значение функции. И также номера 483-488 в которых известно точки пересечения с осями координат. Особенно нужно выделить следующие номера: № 498-503, где от ученика требуется творческий подход к их решению.

В § 14 «Графическое решение квадратных уравнений» предлагаются задания, где непосредственно представлены уравнения, содержащие параметр. В номерах 518-522 предлагаются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра, если дано уравнение, которое имеет определенное количество корней. Эти задания повышенного уровня. Также предлагается домашняя контрольная работа, в которой имеется уравнение, содержащее параметр. Предлагая эти уравнения для решения, учителю необходимо показать некоторые методы решения квадратных уравнений с параметром. В частности два основных метода: аналитический и графический, но так как времени на рассмотрение этих методов школьной программой в 8 классе не предусмотрено, то учителю приходится чаще всего рассматривать эти методы на факультативах.

В главе 4 «Квадратные уравнения» непосредственно приводятся аналитический и графический методы решения уравнений. В задачнике представлены уравнения с параметром, где необходимо: выяснить вид квадратного уравнения и решить его при найденных значениях параметра; найти значения параметра, если известен корень квадратного уравнения.

При нахождении корней квадратного уравнения снова рассматриваются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра при данном количестве корней квадратного уравнения (№№ 820, 821). Нужно отметить №838, где необходимо выбрать те уравнения, которые имеют два корня при любом значении параметра. Особенно можно выделить следующие номера: 839-841, где ставится задача решить уравнение с параметром, в №842 – необходимо доказать, что уравнение не имеет единственного корня ни при каком значении параметра.

При изучении теоремы Виета предлагаются задания на нахождение значения параметра при данном количестве корней (№ 969). Имеются задачи (№№971, 972) на применение обратного утверждения теоремы Виета, говорящее о том, что сумма и произведение корней уравнения равны коэффициентам этого уравнения. И предлагаются задания повышенного уровня с параметром – номера 999-1005. В них от ученика требуется полное понимание применения теоремы Виета и обратного утверждения. Имеется домашняя контрольная работа, в которой снова присутствуют уравнения с параметром.

При изучении квадратных неравенств, предлагаются задачи (№№ 1360-1365) на нахождение значений параметра, при которых уравнение имеет или не имеет действительных корней (№№ 1366, 1367). Особенно можно выделить №1363 и №1365, так как параметр содержится в коэффициенте при . Это потребует рассмотреть отдельно случаи, когда этот коэффициент равен нулю (см. [32], [33]).

Начало курса алгебры 9 класса начинается с повторения, где предлагаются задачи с параметром (№11, №17-19, №50): на нахождение значения параметра при данных количествах корней; на нахождение значения параметра, при которых во множестве решений неравенства содержится определенное количество чисел, принадлежащих тому или иному множеству.

Рассматривая следующую главу «Неравенства и системы неравенств», нельзя не отметить систему задач, содержащую задания с параметрами (№№85-87). В этих заданиях предлагаются простейшие системы с параметром (см. [34], [35]).

Рассмотрим учебник алгебры и начала анализа 10-11 класса.

Сначала параметр встречается при изучении арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса и решении уравнений вида , , , . Рассматривается решение этих уравнений в общем виде, и в зависимости от значения а рассматриваются частные случаи, причем ставится ограничение на множество значений переменной а (, для первых двух уравнений).

Следующие задачи, содержащие параметр, предлагаются при изучении производной функции. Номера 803, 808, 853 содержат задания с параметром, которые предложены для закрепления знаний о касательной.

Отметим следующие задания (№№889, 914-917), содержащие параметр, на исследование функции на монотонность. Также отметим номера 926-929, так как в них необходимо решить уравнения третьей и четвертой степени графическим методом.

Особое геометрическое и алгебраическое значение имеют задачи с параметром, которые предложены в главе «Первообразная и интеграл». Предложено следующее задание (номера 1061, 1062): найти значения параметра, который содержится в функции, если известна площадь фигуры, ограниченной этой функцией.

В конце изучения курса алгебры и начала анализа в 11 классе выделен параграф для решения уравнений, содержащих параметр. В параграфе объясняется, что такое параметр на простейших уравнениях, рассматриваются линейные и квадратные уравнения.

Задачи, которые предлагаются для этой темы, где предложены различные задания для обобщения всех умений решения задач (номера 1855-1880).

Обобщая все задачи с параметром можно заявить, что данный учебник предлагает параметр как для углубленного изучения пройденных тем, как для изучения непосредственно самого параметра (см. [36], [37]).

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра с 7 по 9 класс» и «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс»

Начнем анализ этой группы учебников с 7 класса.

Уже при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, которые содержит задачи с параметром (№№123-125), где нужно решить простейшие линейные уравнения на нахождение значения параметра, при которых уравнение имеет корни или не имеет корней (№123,124). Особенно можно выделить номер 125, который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.

После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений (см. [25]).

Алгебра 8 класс.

Уравнения, содержащие параметр, встречаются впервые при изучении квадратных уравнений (№№ 414, 428, 442-443, 448). Из них можно выделить номера 442, 443, 448, в которых предлагаются задания на исследование количества корней уравнения в зависимости от значения параметра.

При изучении квадратичной функции рассматривается всего два номера с заданиями, содержащими параметр (№№602, 603). В этих заданиях необходимо найти значение параметра, если известно пересечение двух функций в заданной точке и параметр, содержится в коэффициенте одной из функций.

На этом авторы прекращают использование параметра при изучении тем учебника, но большое внимание уделяют параметру при повторении. Предлагаются задания, содержащие параметр, в основном, для повторения квадратных уравнений ( №№ 791, 792, 809, 818, 819, 822). Все номера одного характера – исследовать корни квадратного уравнения, то есть найти количество корней или сами корни в зависимости от значений параметра.

Уравнения аналогичного характера авторы приводят для внеклассной работы (№№ 889-896, 900, 902).

Выводы: Главным плюсом этого учебника является то, что авторы применяли уравнения, содержащие параметр, именно там, где его использование очень широко – при изучении квадратных уравнений. В этой теме количество задач, содержащих параметр, не может быть ограничено.

При изучении курса алгебры 9 класса уравнения, содержащие параметр предлагаются только в задачах для внеклассной работы (№№ 826-833). Предлагаются квадратные уравнения, где необходимо:

а) найти значения параметра, при которых уравнение имеет или не имеет корни;

б) определить принадлежность корней уравнения тому или иному числовому множеству.

Также предлагаются неравенства с параметром, где необходимо найти значение параметра, если неравенство выполняется при всех значениях неизвестной (см. [26]).

Алгебра и начала анализа 10-11 класс.

В этом учебнике при изучении уравнения рассматривается принадлежность корня множествам , . И это тоже в какой-то степени уравнение с параметром решаемое методом «ветвлений» (пункт 4.1.1). Аналогично при рассмотрении уравнения , , .

Обобщая знания, полученные при изучении третьей главы «Тригонометрические уравнения и неравенства», предложено тригонометрическое уравнение четвертой степени с параметром, классифицированное как задача повышенной трудности.

При повторении курса алгебры и начала анализа 10 класса в системе задач не встречается заданий с параметром и можно утверждать, что в системе изучения этого курса авторы не уделяют внимания к параметру как таковому.

При изучении производной авторы предлагают четыре упражнения с параметром (№№ 544-547), где дана функция, зависящая как от неизвестной, так и от параметра и нужно найти значения параметра, если производная имеет определенный знак или равна нулю.

При изучении же темы «Применение производной к исследованию функций» система задач содержит всего одно задание с параметром (№559).

Аналогично, в системе задач темы «Интеграл» предложена всего одна задача с параметром (№ 670), где нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой, где заключен параметр, и прямой.

При повторении курса алгебры и начала анализа 11 класса предложена одна задача с параметром (№718). В системе задач при итоговом повторении всего курса алгебры содержатся задачи с параметром, аналогичные всем рассмотренным ранее (в предыдущих учебниках и данном). Такими являются: №№ 781, 782 – это при повторении решения уравнений; №№ 828-830 – при повторении решения неравенств.

Выводы: Главным плюсом этого учебника является то, что предложены примерные виды заданий, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы. Одними из таких заданий являются задачи с параметром (№№ 974-976).

В отличие от учебника Мордковича система задач с параметрами предложена только для углубленного изучения и повторения пройденного материала (см. [27]).

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра;

во всех учебниках задания однотипны;

Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно объединить в одну группу – группу уравнений с параметром не выше второй степени.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом . Для таких уравнений всякое частное уравнение не выше второй степени принадлежит одному из следующих типов:

, тогда ,

и , тогда решений нет,

и , тогда ,

, , тогда ,

, , тогда решений нет,

, , тогда .

Контрольные значения параметра определяются уравнением . На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.

Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду .

Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых .

Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.

На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых и , соответствует третий тип не особых частных уравнений.

Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень .

Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.

Множеству значений параметра, для которых и , соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где и , частные уравнения имеют два различных действительных корня (см. [1],[7]).

Пример. Решить уравнение

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются, а=0 и а=2. При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0 и а≠2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0; 2) а=2; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0∙х=2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0∙х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х ==.

0твет: 1) если а=0, то корней нет;

2) если а=2, то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х = .

Пример. Решить уравнение

(а — 1)∙ х2+2∙ (2а+1)∙ х + (4а+3) =0. (3)

Решение. В данном случае контрольным значением параметра a является единица. Дело в том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) a=1; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (3) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = – .

2) Из множества значений параметра а≠1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а ао D > 0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а ао D > 0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (3):

=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим — второе контрольное значение параметра а. При этом если , то D 0,5 х1,2 = 0,5∙(1 ± );

при а = 0,5 х = 0,5;

при а 0,5, следовательно, х1– корень уравнения при а≥1.

при а ≥ 1 х = 0,5∙(1 + );

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:

При а=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

При а=1, b≠1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х)=0 на области допустимых значений D.

При а≠1, b=1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

При а=b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.

При а≠b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) тождественно уравнению (c>0, c≠1) на области D (см. [1]).

Пример. Решить уравнение: а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

2) При а = b = 1, х R;

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3;

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1;

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1;

6) При , получим: уравнение , которое не имеет решения;

7) При а ≠ b и (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:

, х + 1 = (3 – х) log a b , .

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 или , уравнение не имеет решений;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3;

при а ≠ 1, b = 1 х = -1;

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) .

Логарифмические уравнения, содержащие параметр

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения (см. [1]).

Пример. Решить уравнение

2 – log (1 + х) = 3 log а — log (х 2 – 1)2.

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log а а2 + log a(х2 — 1) = log а () 3 + log a,

log а (а2 (х2 — 1)) = log а (() 3),

а2 (х2 — 1) = (х — 1) ,

а2 (х — 1) (х + 1) = (х — 1) .

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х — 1) и на . Тогда получим = .

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а4 (х + 1) = х – 1 а4 х + а4 = х – 1 х( 1 — а4 ) = а4 + 1.

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то .

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть .

Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:

, .

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при а 1, значит при 0 1 решений нет;

Курсовая работа по теме:»Методика решения уравнений с параметрами на уроках алгебры в 7 классе»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко»

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

студентка 4 курса факультета информатики, физики и математики

специальность 032100.01 — «Математика» с дополнительной

Методика решения уравнений с параметрами на уроках алгебры

кандидат педагогических наук,

доцент И.Л. Мирошниченко

с оценкой __________________

§1. Понятие параметра стр. 5

§2. Анализ школьных учебников по алгебре за 7 класс. стр. 7

§3. Методика решения уравнений с параметрами. стр. 11

3.1. Линейные уравнения с параметрами стр. 12

3.2. Системы линейных уравнений с параметрами. стр. 16

Заключение. стр. 20

Список литературы. стр. 21

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления, математической культуры учащихся, но их решения вызывают значительные затруднения. Это связано с тем, что их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и глубоко рассматривается в основном на факультативных занятиях.

Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих из них сложными. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении.

Актуальность выбранной темы состоит в том, что в последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются в заданиях ЕГЭ и ГИА. Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами.

Цель данной работы заключается в разработке методики решения уравнений с параметрами в 7-м классе.

Для осуществления данной цели необходимо решить ряд задач :

рассмотреть всевозможные введения понятия «параметр» с 7-го класса, для этого необходимо провести анализ действующих учебников;

выявить основные типы уравнений с параметрами, встречающиеся в курсе школьной программы за 7 класс;

разработать более рациональный метод решения уравнений, содержащих параметр.

Структура разработки наиболее эффективной методики решения уравнений с параметрами, приведенной в данной работе, заключается в следующем: введение общего понятия «параметра», сущность решения уравнений, содержащих параметр, — все это рассмотрено в первом параграфе курсовой работы. Далее представлен анализ действующих школьных учебников по алгебре за 7 класс, таких как: Макарычев Ю.Н. и др., Мордкович А.Г, Шалимов Ш.А. и др. рассмотрено как осуществляется знакомство учеников с понятием «параметр», какие виды заданий встречаются у каждого автора. И уже в §3 представлена методика решения уравнений с параметром. Суть этой методики заключается в исследовательской работе учеников — в проведении анализа уравнений, содержащих параметр.

§1. Понятие параметра.

Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют внимание и память .

В применении к параметрическим уравнениям можно выделить следующие исследовательские умения:

1) Умение выражать через параметр условия принадлежности данного параметрического уравнения к тому или иному классу уравнений;

2) Умение определять вид уравнения и указывать вид коэффициентов в зависимости от параметров;

3) Умение выражать через параметры, условия наличия решений параметрического уравнения;

4) В случае наличия корней уметь выражать условия наличия того или иного количества корней;

Развивающий характер уравнений с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся: у мение определить наличие и количество корней, выработка определенных алгоритмов мышления, в ыражение одной переменной через другую, п овторение большого объема формул при решении, з нание соответствующих методов решения, ш ирокое применение словесной и графической аргументации, р азвитие графической культуры учащихся;

Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения уравнений с параметрами в школьном курсе математики.

П араметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Если в уравнении наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами, а у равнение называется параметрическим.

Примеры: ах = 3 ; 2 х – 5 р = 8; (2 а + 3) х 2 – ах + 1 =0.

Здесь х — неизвестное, а и р — параметры.

Решить уравнение, содержащее параметр, — это значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.

Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.

Определение : Уравнение вида ax = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Решить уравнение с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Изучению задач с параметрами в школе отводится незначительное место, хотя неявно с этим понятием учащиеся сталкиваются, например, при изучении функции y=kx , для этой функции в качестве параметра выступает коэффициент k прямой пропорциональности.

Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев:

получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;

2)получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называют допустимым , во втором – недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла.

§ 2. Анализ школьных учебников по алгебре 7 класс.

Проанализируем действующие учебники курса алгебры, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

1. Макарычев Ю.Н. и др. «Алгебра. 7 класс»

При изучении уравнений представлено два задания с параметром (№№538, 546). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам.

№ 546. При каком значении b корни уравнений 5 bx-2(4x+b)-x=16b и 1,6(2+x)-3,2(3x+4)=0 являются противоположными числами?

№ 538. найдите натуральные значения a , при которых является натуральным числом корень уравнения:

Также в данном учебнике в §15 «Линейная функция» (глава 7 «Функции») рассматривается прямая пропорциональность, где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром.

Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе 8 «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), где необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков .

№ 1214*. При каком значении а прямые 4 х + 3 у = а и 2x – 3y = 8 пересекаются в точке, принадлежащей оси у, оси x ?

№ 1344 При каком значении а прямая ax + 5y = 9 проходит через точку пересечения прямых 5x + 4y = 6 и 3x – y = 7 ?

Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника.

При изучении линейной функции (глава 2 § 7 ) рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a . При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения.

Номера 10.18-10.20 задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о том, чтобы найти значения параметра, если известно решение уравнения. Также содержится ряд заданий, (например, № 7.25-7.29 ) в которых необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку.

№ 10.18 . Даны две возрастающие линейные функции у=k1x – m1, у=k2x – m2 . Подберите такие коэффициенты k1, k2, m1, m2, чтобы их графики были параллельны.

№ 7.26 . Найдите значения коэффициентов а в уравнении ах +8у= 20 , если известно, что решением этого уравнения является пара чисел: а) (2;1); б) (-3;-2).

3. Алимов Ш.А. и др. «Алгебра 7 класс».

Уже при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, которые содержит задачи с параметром (№№ 99-125 ), где нужно решить простейшие линейные уравнения на нахождение значения параметра, при которых уравнение имеет корни или не имеет корней (№123,124).

№ 99 . Решить уравнение, если a и b – заданные числа, отличные от нуля:

а) ax – 3 = b; б) 4 + bx = a; в) b = a(x – 3); г) 4 = a – (bx – 1);

№ 123. Подобрать число a такое, чтобы уравнение имело корни:

а) 5x – 7 = 5x – a; б) x – (2 – x) = 2x – a;

Особенно можно выделить номер 125, который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.

№ 125* Решить уравнение, принимая за неизвестное х выяснить при каких значениях а это уравнение имеет корни.

a) 2х – 3(х – а) = 3 + а

б) a + 6( x – 1) = 2a + x

в) (ax – 2): 2 = (3 – ax):4

После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений.

№ 732. Дана функция у = kх + b . При каких значениях k и b график функции проходит через точки (-1; 1) и (2;3). Найдите значение k , если известно, что график функции y = kx – 1 проходит через точку (-3;2).

Вывод: в рассмотренных учебниках 7 класса встречаются задания с параметрами, но внимания таким заданиям уделяется мало, так как решение уравнений с параметрами является одним из самых трудных, в особенности и для понимания учениками, разделом курса элементарной математики. Такое положение дела представляется определенным недостатком школьного обучения — хотя известно, что такие задания необходимо включать в учебники с точки зрения необходимости логического развития школьников. Содержание материала и требования к учащимся по теме: «задачи с параметрами» должны определяться, конечно, уровнем математической подготовки всего класса в целом и каждого в отдельности. По интересующим учащихся вопросам можно организовать дополнительные занятия, кружки и факультативы.

§3. Методика решения уравнени й с параметрами .

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой — он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении — это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.

Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре и предложить задания в которых надо выразить одну переменную через другую.

Выразите х через другие переменные:

а) ; б) ; в)

г) ; д)

Повторив на простых примерах, что значит решить уравнение, обратим внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное через числа.

Исходя из возрастных особенностей учащихся, все задания с параметрами в 7 классе носят пропедевтический характер. Должны встречаться задания с параметрами на решение линейных уравнений, систем линейных уравнений, на выражение одной переменной через другую (в уравнениях с двумя переменными). Учащиеся на этом этапе еще не знакомы с понятием параметра, но в учебниках обязательно должно быть помещено примечание о том, что более подробно такие задания будут рассмотрены в 8 классе.

Основные виды уравнений, содержащих параметр, рассматриваемые в 7 классах :

линейные уравнения с одной переменной;

системы линейных уравнений;

3.1 Линейные уравнения с параметрами.

Семиклассники хорошо решают линейные уравнения с параметрами. Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.

Определение: Уравнение вида ax = b , где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если a ≠ 0 , то x=

Пример 1 : Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х .

Решение: Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовём параметром.

Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Значение х находится по формуле х = 5 + а , подставляя в неё задаваемые значения параметра а . Заметим, что значения параметра а задаём произвольно.

В нашем примере: при а = 3 х = 8

Ответ: при любом значении параметра а х = 5 + а.

Поставим задачу, обратную данной.

Пример 2 : При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?

Решение: т.к. х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7 , то при подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7

Пример 3 : Решите уравнение: ax = 1

если a ≠ 0 то x = ;

если а = 0 , то корней нет;

Ответ: если а = 0 , то корней нет, если а ≠ 0 , то x = .

Пример 4 : Решите уравнение ax + 8 = a ( a – параметр)

Итак, коэффициент при х равен а . Возникают два возможных случая:

1) Коэффициент при х = 0 и уравнение примет вид 0х = 8 – не имеет корней уравнение;

2) Коэффициент при х ≠ 0 и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент:

x =

Ответ: при а = 0 – нет корней, при а ≠0 х =

Пример 5 : Решить уравнение 2а∙(а – 2)∙х = а – 2.

Решение: Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0 . Такими значениями являются, а=0 и а=2 . При этих значениях параметра а , невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х . В то же время при значениях параметра а ≠ 0 и а ≠ 2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества:

и решить данное нам уравнение на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а ≠ 0, а ≠ 2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение принимает вид 0∙х=2 . Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение принимает вид 0∙х=0 . Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а ≠ 0, а ≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х = = .

Ответ : 1) если а=0 , то корней нет;

2) если а=2 , то х — любое действительное число;

3) если а ≠ 0 , а ≠ 2 , то х = .

В 7 классе начинаем обращать внимание учеников на запись ответа.

Далее продолж аем работу по формированию умений решать линейные уравнения с параметром.

Условия для поиска значения параметра а

Характеристика множества корней

1. k ( a ) не имеет смысла

2. b ( a ) не имеет смысла

3.

4.

один корень

5.

Применим этот алгоритм к решению уравнений.

Пример 5 : Решите уравнение

Решение: ,

k ( a ) не имеет смысла при а = 2

b ( a ) не имеет смысла при а = – 3

, система решений не имеет

4) , , если а  – 2, а  – 3, а  2, то

,

5) , система имеет единственное решение при а = – 2.

Ответ: если а = 2, а = – 3, то решений нет; если а  – 2, а  – 3, а  2, то ; если а = – 2, то х – любое число.

Пример 6: Решите уравнение ( k 2 – 1) x = k + 1

1) k + 1 имеет смысл при любом k .

2) k 2 – 1 имеет смысл при любом k .

3) , при k = 1 исходное уравнение решений не имеет

4) ( k 2 – 1)  0, ( k – 1) ( k + 1)  0; если k  1, k  – 1, то

, .

5) , если k = – 1, то х – любое число.

Ответ: если k = 1, то решений нет; если k = – 1, то х – любое число; если k  1, k  – 1, то .

3.2 Система линейных уравнений с параметрами.

Далее рассматриваем р ешение систем линейных уравнений, содержащих параметры.

Говорят, что дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y , если требуется найти пары чисел ( x ₀ , y ₀ ), являющиеся решениями одновременно первого и второго уравнения.

Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы, — методом подстановки или сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений.

Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Это позволяет наглядно продемонстрировать число решений системы. Две прямые могут либо пересекаться — одно решение, либо совпадать — бесконечно много решений, либо не иметь общих точек.

Если , то система имеет единственное решение,

Если , то система не имеет решений,

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 1: При каких значениях параметра а система

а) имеет бесконечно много решений;

б) имеет единственное решение?

а) = , а = 4.

б) , а ≠ 4.

Ответ: а) если а = 4 , то система имеет бесконечно много решений;

б) если а ≠ 4 , то решение единственное.

Пример 2: Решите систему уравнений:

а)

, т. е. при m ≠ 1 система имеет единственное решение

,

б) , т. е. при m = 1 и n ≠1 исходная система решений не имеет.

в) , при m = 1 и n = 1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: если m = 1 и n ≠1 , то решений нет;

если m = 1 и n = 1, то решений бесконечное множество, если m ≠1 и n – любое, то .

В учебниках за 7 класс представлены ряд заданий на пересечение графиков функции y=kx, содержащие параметр , решаемые при помощи системы уравнений.

Пример 3 : Графики функций y = (4 – a ) x + a и y = ax + 2 пересекаются в точке с абсциссой, равной – 2 . Найдите ординату точки пересечения.

Решение: ,

Пример 4 : Графики функций y = kx – 4 и y = 2 x + b симметричны относительно оси абсцисс.

б) найдите точку пересечения этих графиков.

Решение: Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно b = 4

, ,

В результате y = 2 x + 4 и y = — 2 x – 4 , точка пересечения графиков (- 2; 0).

Ответ: а) b = 4, k = — 2 ;

Пример 5: Решите уравнение: | x + 2| = a .

Построим в одной системе координат графики функций у = | х + 2| и у = а .

Если a > 0 , то у = — х — 2 , или