Курсовая работа: Разработка программы решения системы линейных уравнений
Название: Разработка программы решения системы линейных уравнений Раздел: Рефераты по информатике, программированию Тип: курсовая работа Добавлен 22:38:32 18 июля 2010 Похожие работы Просмотров: 1002 Комментариев: 21 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрены математические методы решения систем линейных уравнений: матричный метод и метод Гаусса, приводятся основные конструкции языка Паскаль. Рассмотренные теоретические вопросы дают возможность создания программы на Паскале для решения систем линейных уравнений. В курсовой работе приводится текст данной программы, рассматривается структура программы, анализируются все подпрограммы. Данная программа может быть использована в различных областях, где требуется решение систем линейных уравнений.
Список используемых источников и литературы
1. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер «Информатика», Москва, ACADEMA, 2000 г.
2. « Турбо Паскаль 7.0″, Киев, Торгово-издательское бюро BHV, 1997г.
3. С.А. Немнюгин, «Турбо ПАСКАЛЬ», Практикум, Питер, 2002г.
Приложение
«Решение систем линейных уравнений матричным способом и методом Гаусса»
type matr=array [1. n,1. n] of real;
mas=array [1. n] of real;
procedure PrintMatr2 (m,m1: matr; n,nz,nd: integer);
for i: =1 to n do
if (i=1) then write (np: 2,’: ‘)
for j: =1 to n do
write (m [i,j]: nz: nd); write (‘ ‘);
for j: =1 to n do
write (m1 [i,j]: nz: nd);
procedure MultString (var a,b: matr; i1: integer; r: real);
for j: =1 to n do
procedure AddStrings (var а,b: matr; i1, i2: integer; r: real);
for j: =1 to n do
a [i1,j]: =a [i1,j] +r*a [i2,j] ;
b [i1,j]: =b [i1,j] +r*b [i2,j] ;
procedure MultMatr (a,b: matr; var c: matr);
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
for k: =1 to n do
function sign (r: real): shortint;
if (r>=0) then sign: =1 else sign: =-1;
procedure GetMatr (a: matr; var b: matr; m, i,j: integer);
var ki,kj,di,dj: integer;
for ki: =1 to m-1 do
if (ki=i) then di: =1;
for kj: =1 to m-1 do
if (kj=j) then dj: =1;
b [ki,kj]: =a [ki+di,kj+dj] ;
procedure gauss (a: matr; b: mas; var x: mas; n: integer);
For k: =1 to N-1 do
For i: =k+1 to n do
For j: =k+1 to N do
writeln (‘Вывод результатов решения системы уравнений методом Гаусса’);
writeln (‘x [‘,n,’] =’,x [n]: 6: 2);
for i: = (n-1) downto 1 do
For j: =i+1 to n do
x [i]: = (b [i] +s) /a [i, i] ;
writeln (‘x [‘, i,’] =’,x [i]: 6: 2);
procedure matrica (a: matr; y: mas; n: integer);
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do z [i,j]: =0;
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
for i: =1 to n do
взятую со знаком i-того элемента j-ой строки. Таким образом,
на месте элементова a [i, i] возникает сумма модулей элементов i-того
столбца (ниже i-ой строки) взятая со знаком бывшего элемента a [i, i],
равенство нулю которой говорит о несуществовании обратной матрицы >
for j: =i+1 to n do
AddStrings (a,z, i,j,sign (a [i, i]) *sign (a [j, i]));
if (abs (a [i, i]) >eps) then
MultString (a,z, i,1/a [i, i]);
for j: =i+1 to n do
AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);
writeln (‘Обратной матрицы не существует. ‘);
if (a [n,n] >eps) then
for i: =n downto 1 do
for j: =1 to i-1 do
AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);
else writeln (‘Обратной матрицы не существует. ‘);
writeln (‘Начальная матрица, обратная к ней матрица: ‘);
for i: =1 to n do s [i]: =0;
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
s [i]: =s [i] +z [i,j] *y [j] ;
writeln (‘Вывод результатов решения системы уравненй матричным способом’);
for i: =1 to n do write (‘ ‘, s [i]: 5: 2);
writeln (‘ввод матрицы коэффициентов при неизвестных х’);
for i: =1 to N do
for j: =1 to N do
write (‘ введите a [‘, i,’,’,j,’] => ‘);
writeln (‘ввод столбца свободных членов’);
for i: =1 to N do
write (‘ введите b [‘, i,’] => ‘);
writeln (‘введите вариант ‘);
writeln (‘ 1 — решение системы линейных уравнений методом Гаусса ‘);
write (‘ 2 — решение системы линейных уравнений матричным методом => ‘);
Курсовая работа на тему: Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕСИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им А. И.ГЕРЦЕНА»
Кафедра информационных и коммуникационных технологий
«Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Алгоритм оптимального исключения неизвестных по столбцам с выбором главных элементов по строкам преобразовав матрицу А в эквивалентную верхнюю левую треугольную матрицу»
студентка 2 курса 1 гр
кандидат педагогических наук, доцент
Введение Постановка задачи
1) вывод рекуррентной формулы
3) код программы
4) контрольный пример
Введение
Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.
Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя объем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.
К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.
Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт).
Множество прикладных и чисто математических задач приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений. Без преувеличения можно утверждать, что это одна из важнейших задач вычислительной математики.
Значимость задачи породила целый ряд методов ее решения. Среди этих методов есть универсальные и специализированные (т. е. применимые лишь к системам, имеющим некоторые специальные свойства). Методы отличаются друг от друга эффективностью, требованиями к объемам машинной памяти (при реализации на ЭВМ), закономерностями накопления ошибок в ходе расчетов. Не существует одного метода, который можно было бы во всех случаях предпочесть всем остальным, и поэтому знакомство с несколькими методами является обязательным для квалифицированного вычислителя.
Как известно из курса алгебры, число неизвестных в системе может быть больше числа уравнений или равно ему. Если число неизвестных больше числа уравнений, то на первом этапе стандартными алгебраическими методами задача сводится к промежуточной задаче, в которой число неизвестных равно числу уравнений. С точки зрения вычислителя истинная проблема состоит именно в решении такой системы, и поэтому в данной работе я рассмотрю лишь такую ситуацию.
Итак, перед нами система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(1.1)
Запись матрицы в такой форме достаточно громоздка, и при первой возможности я буду впредь использовать матричную форму записи, совершенно равносильную (1.1):
А — матрица, X – вектор-столбец неизвестных, B- вектор-столбец свободных членов.
Методы решения систем вида (1.1) можно разделить на два класса. К первому относятся прямые методы. С помощью таких методов в принципе можно в результате конечного числа шагов получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что и коэффициенты в правой части, и элементы столбца свободных членов – числа точные, а все вычисления производятся без округлений. Однако практически такое может произойти и в исключительных случаях или может быть связано с решением специального класса задач (например, когда решениями являются только целые числа). К подобным методам относятся:
o Метод определителей (метод Крамера) хорошо известный из курса алгебры;
o Матричное решение: X=A-1B (если известна обратная матрица);
o Различные варианты метода исключения неизвестных (метода Гаусса).
Чаще всего прямые методы реализуются на ЭВМ, и в процессе вычислительной ошибки округления и погрешности арифметических действий неизбежны. В силу этого название «точный» не вполне соответствует существу дела (но является традиционным).
Практическое применение первых двух методов может оказаться неэффективным или вообще невозможным. Если попробовать решать «в лоб» систему 15 линейных уравнений с 15 неизвестными с помощью формулы Крамера, то придется вычислить 16 определителей порядка 15, что приведет к выполнению примерно 2*16*15!*14 умножений и сложений. Для выполнения этих вычислений на ЭВМ с быстродействием 106 арифметических операций в секунду потребуется почти 10 недель непрерывной работы. С практической точки зрения при достаточно больших размерах системы матричное решение также является малопривлекательным, поскольку задача нахождения обратной матрицы сама по себе не проще задачи решения системы.
Ко второму классу методов решения систем линейных алгебраических уравнений относятся различные итерационные методы. К ним относятся:
o Метод простой итерации;
o Метод Зейделя.
Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы.
Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы уравнений, возникающие в основном в приложениях, как правило, являются разреженными. Методы исключения для систем с разреженными матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связанна с возможностью существенного использования разреженности матриц.
Применение итерационных методов для качественного решения большой системы уравнений требует серьезного использования ее структуры, специальных знаний и определенного опыта.
2. Постановка задачи:
Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Алгоритм оптимального исключения неизвестных по столбцам и с выбором главных элементов по строкам, преобразовав матрицу А в эквивалентную верхнюю левую треугольную матрицу.
2.1. Вывод рекуррентной формулы
Рассмотрим метод Гаусса оптимального исключения неизвестного по столбцам. В методе оптимального исключения принцип преобразования матрицы аналогичен классическому методу последовательного исключения.
В численном методе Гаусса решения систем линейных уравнений АХ=В преобразуем в эквивалентную треугольную систему.
Решение этой задачи сводится сводиться к двум этапам.
1 этап. Прямой ход.
Матрица А преобразуется в эквивалентную ей левую верхнюю треугольную матрицу, таким же преобразованиям подвергается и вектор-столбец свободных членов В, который обычно присоединяется к матрице А справа как n+1 столбец, но я присоединю его слева как 1 столбец для того, чтобы удобнее было вычислять неизвестные данной нам матрицы.
2 этап. Обратный ход.
На этом ходе находятся корни уравнений методом обратной подстановки.
Алгоритм действия на 1 этапе.
На этапе прямого хода мы должны получить левую верхнюю треугольную матрицу, диагональные элементы должны быть не единичными.
Для этого необходимо:
1. преобразование матрицы А начнем из верхнего правого угла, где расположен элемент а1n+1 и будем двигаться сверху вниз и справа налево
2. двигаясь сверху вниз под диагональю в каждом (n-i+1)-том столбце будем получать нули
3. двигаясь справа налево включая столбец свободных членов обеспечивает эквивалентное преобразование элементов начиная с (n+1) столбца.
Рассмотрим подробно вывод рекуррентных формул для первого этапа.
1.Для получения нуля на месте ведомого элемента ak(n-i+1) необходимо получить новый коэффициент преобразования для k-той строки. Он равен:
(2.1)
2.Далее в каждом цикле частичного обнуления (n-i+1)-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования , с точки зрения математики это описывается следующим образом:
(2.2)
В данном методе на этапе прямого кода выполняется на n операций делений меньше, чем в методе последовательного исключения поскольку в каждом цикле обнуления столбца на подготовку коэффициентов преобразования требуется на одно деление меньше по сравнению с количеством делений элементов ведущей строки вместе с тем этот выигрыш является кажущимся, так как на втором этапе (обратный код) требуется ровно на n операций деления больше, чем в методе последовательного исключения диагональные элементы не равны единице.
Алгоритм действий на этапе обратного хода.
В результате преобразования имеем:
Обобщенные формулы для нахождения корней систем линейных уравнений имеет следующий вид:
(2.3)
(2.4)
Dim x(3), p, p5, S As Decimal
Dim i, k, n, j, i1, j1, t, m, m5, l, m1, max As Integer
Dim strSt As String
Console. WriteLine(«Метод оптимального исключения по столбцам «)
Console. WriteLine(«с выбором главного элемента по строкам»)
‘вывод матрицы на экран
Console. WriteLine(«Исходная матрица»)
For i = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(i, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘выбор главного элемента по строкам
For i = 0 To n — 1
max = Math. Abs(mas(i, n — i))
For j = n — i To 1 Step -1
m5 = Math. Abs(mas(i, j))
If m5 > max Then
If j1 = n — i Then
‘конец алгоритма выбора главного элемента
For l = 0 To n — 1
mas(l, n — i) = mas(l, j1)
Console. WriteLine(«Преобразованная матрица»)
For t = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(t, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
Console. WriteLine(«Преобразовываем матрицу в треугольную левую верхнюю»)
‘процедура прямого хода
‘преобразовываем матрицу в левую верхнюю треугольную
For i = 0 To n — 2
For k = i + 1 To n — 1
p = mas(k, n — i) / mas(i, n — i)
For j = n — i To 0 Step -1
mas(k, j) = mas(k, j) — p * mas(i, j)
‘вывод преобразованной матрицы
For t = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(t, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘вывод полученной матрицы
Console. WriteLine(«Полученная матрица»)
For i = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(i, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘процедура обратного кода
x(0) = mas(n — 1, 0) / mas(n — 1, 1)
For j = 0 To n — i — 2
S = S + mas(i, j + 1) * x(j)
x(n — i — 1) = (mas(i, 0) — S) / mas(i, n — i)
Loop While i >= 0
Console. WriteLine(«Полученные значения х»)
For i = 0 To n — 1
Console. Write(«x<0>=», i + 1)
strSt = FormatNumber(x(i), 2)
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса оптимального исключения неизвестных по столбцам, преобразовав данную матрицу в эквивалентную ей левую верхнюю треугольную матрицу с выбором главного элемента по строкам.
1. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
2. Для обнуления 5-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
3. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
4. Для обнуления 4-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
5. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
6. Для обнуления 3-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
7. Вычислим переменные х:
Сравним полученные результаты с результатом программы
Метод оптимального исключения по столбцам
с выбором главного элемента по строкам
17,00 5,00 2,00 4,00 6,00
13,00 4,00 3,00 1,00 5,00
22,00 6,00 5,00 3,00 8,00
20,00 3,00 10,00 5,00 2,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
13,00 1,00 3,00 4,00 5,00
22,00 3,00 5,00 6,00 8,00
20,00 5,00 10,00 3,00 2,00
Преобразовываем матрицу в треугольную левую верхнюю
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
-0,67 -2,33 2,33 -0,67 0,00
14,33 3,67 9,33 1,33 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
5,00 -15,00 20,00 0,00 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
31,67 31,67 0,00 0,00 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
31,67 31,67 0,00 0,00 0,00
Полученные значения х
. Теория матриц (издание третье)./. Москва: „Наука”, главная редакция физико-математической литературы, 1967г. Математический энциклопедический словарь. Москва: „Советская энциклопедия”, 1988г. Интернет-ресурсы (*****) Выводила рекуррентные формулы студентка 2 курса института информационных технологий
Итоговая практико-значимая курсовая работа «Системы линейных уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
ГБОУ ВО МО «Академия социального управления»
Дополнительное профессиональное образование
Кафедра математических дисциплин
ИТОГОВАЯ ПРАКТИКО-ЗНАЧИМАЯ РАБОТА
Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся_7_ класса
теме: «Системы линейных уравнений »
слушатель учебного курса
«Актуальные проблемы развития профессиональной компетентности учителя математики (в условиях реализации ФГОС)»
учитель математики МБОУ Дубковской СОШ «Дружба» Мартиросян Анжела Суреновна
кафедры математических дисциплин
§ 1. Теоретические основы обучения теме «Системы линейных
уравнений». Требования ФГОС ООО к школьному курсу математики…4
§ 2. Логико-математический анализ содержания темы: « Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»…………………………7
§ 3. Анализ задачного материал …………………. ………. ………..8
§ 4. Таблица целей обучения теме «Системы линейных уравнений»..10
§ 6. Фрагмент поурочного планирования учебной программы по алгебре…………………………………………………………………….18
Цель проекта : Реализация требований ФГОС ООО при изучении темы «Системы линейных уравнений»
Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.
1. Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией
2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ
3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме.
4. Составить учебную рабочую программу « Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения математики (в соответствии с темой).
5. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в
учебном процессе (фрагментов уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении данной теме школьного курса математики).
Решение поставленных задач потребовало использования следующих
методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.
§ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ «Системы линейных уравнений»
Требования ФГОС ООО к школьному курсу математики
Следствием внешних и внутренних тенденций в развитии общества и
образования явилась разработка стандартов второго поколения. Федеральный
государственный образовательный стандарт основного общего образования
(далее – Стандарт) представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основной образовательной программы основного общего образования образовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию.
Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования: личностным, метапредметным, предметным .
Изучение математики в основной школе дает возможность обучающимся достичь следующих результатов развития:
в личностном направлении :
1) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной
речи, понимать смысл поставленной
задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;
2) критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;
3) представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации;
4) креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;
5) умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;
6) способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;
в метапредметном направлении :
1) первоначальные представления об идеях и о методах математики как об
Универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и
2) умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в
других дисциплинах, в окружающей жизни;
3) умение находить в различных источниках информацию, необходимую для
решения математических проблем, и пред-ставлять ее в понятной форме;
принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;
4) умение понимать и использовать математические средства наглядности
(графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
5) умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;
6) умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;
7) понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать
в соответствии с предложенным алгоритмом;
8) умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для
решения учебных математических проблем;
9) умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;
в предметном направлении:
1) овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; представление об основных изучаемых понятиях (число, геометрическая фигура, уравнение, функция, вероятность) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;
2) умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать не-
обходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и
письменной речи с применением математической терминологии и символики, использовать различные языки математики, проводить классификации,
логические обоснования, доказательства математических утверждений;
3) развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до
действительных чисел; овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений;
4) овладение символьным языком алгебры, приемами выполнения тождественных преобразований рациональных выражений, решения уравнений,
систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умение использовать
идею координат на плоскости для интерпретации уравнений, неравенств, систем; умение применять алгебраические преобразования, аппарат уравнений
и неравенств для решения задач из различных разделов курса;
5) овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и
символикой; умение использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;
6) овладение основными способами представления и анализа статистических
данных; наличие представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о вероятностных моделях;
7) овладение геометрическим языком, умение использовать его для описания
предметов окружающего мира; развитие пространственных представлений и
изобразительных умений, приобретение навыков геометрических построений;
8) усвоение систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, а
также на наглядном уровне — о простейших пространственных телах, умение применять систематические знания о них для решения геометрических и практических задач;
9) умение измерять длины отрезков, величины углов, использовать формулы
для нахождения периметров, площадей и объемов геометрических фигур;
10) умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения
задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера.
В программе конкретизированы на уровне учебного предмета все три
вида результатов: личностные, метапредметные, предметные .
§ 2 Логико-математический анализ содержания темы: « Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»
материал в учебнике по данной теме представлен в шестой главе в §3
а) характеристика частей.
Материал состоит из 4 частей.
Учебник состоит из 2 частей : задачник и теоретическая часть
б) структура наименьшей части.
Задачник содержит разнообразные системы упражнений, тщательно выстроенные на 2 уровнях-по степени нарастания трудности
Представление задачного материала.
Задачный материал представляет собой: вопросы и примеры.
Задания представляют собой: дополнительные задачи, а также задачи и упражнения повышенной сложности, которые направлены на усвоения материала, как единого неделимого процесса.
б) представление текста задачи.
В задачнике присутствуют текстовые задачи.
Другие структурные особенности
При изложении материала для выделения главного используется жирный шрифт. Встречаются исторические справки по теме параграфа. На форзаце задачника помещены формулы свойства степени, координатная ось, формулы сокращённого умножения.
Теоретический материал изложен дедуктивным методом. Новые предложения выводятся логическим путем из ранее известных предложений.
Использование цвета, особых выделений главного.
При изложении материала для выделения главного используется жирный шрифт и обособление цветом.
Каждое понятие сопровождается красно-чёрным текстом и жирным шрифтом
В конце каждой главы имеется материал для повторения выделенный отдельным блоком и темы исследовательских работ
В учебниках четко выделен теоретический и задачный материал, материал для запоминания.
В конце учебника имеются приложения (Элементы статистической обработки данных) содержащие интересную и полезную информацию. Приведены ответы и указания к упражнениям и предметный указатель.
Нет разбиения материала на работу в классе и домашнюю работу.
§ 3. Анализ задачного материала
По характеру требований
По способу решения
По дидактической цели
Задачи представлены математическим
текстом.
Распознать линейное уравнение.
Найти решение линейного уравнения.
на применение свойств уравнений.
Отработка понятий:
линейное уравнение, решение линейного уравнения, свойства уравнений.
Решить практическую задачу.
Решение текстовых задач с помощью уравнений.
Отработка решения задач с помощью уравнения с двумя переменными в натуральных числах.
Задачи представлены математическим
текстом.
Определить принадлежность данной точки графику уравнения
Отработка понятия график линейного уравнения.
Задачи представлены математическим
текстом.
Построить график уравнения
На построение графика уравнения.
Отработка навыка построения графика уравнения
Задачи представлены математическим
текстом.
Решить систему уравнений методом алгебраического сложения
Отработка понятия решение системы уравнений
Задачи представлены математическим текстом и системами уравнений
Проверить, является ли пара чисел решением системы уравнений.
Выяснить, сколько решений имеет система уравнений.
Отработка понятия решение системы уравнений
Задачи представлены математическим текстом.
Решить задачу системой уравнений
Отработка понятия решение системы уравнений.
Анализ понятий, теорем
Понятия: Приведены в виде тщательно разобранных примеров
Теоремы: На данном этапе нет.
Формулы: Формул нет, разобраны примеры в виде формул.
Свойства: Полностью раскрывают умение решать системы уравнений с двумя переменными
§ 4. Таблица целей обучения теме «Системы линейных уравнений»
Формулировки обобщённых целей
Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель
цель считается достигнутой, если учащийся на уровнях:
Ц 1: Приобретение и преобразование УИ, формирование ПУД
анализирует УИ и правильно составляет схему определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения»;
2) анализирует решение задач из учебника, обобщает их решения с помощью готового предписания; 3) подводит решённые задачи под готовое предписание; 4 ) перечисляет новые преобразования и правила, используя при этом учебник.
1) составляет правильно схему определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений» сравнивая набор объектов, сверяясь с учебником;
2) выполняет анализ и обобщает решение задач одного типа и составляет предписание , используя карточку
1) исследует заданные объекты и самостоятельно составляет схему определения понятия «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения», «алгоритм решения задач с помощью систем уравнений»;
2) делает обобщение решения задач одного типа и составляет предписания для решения практических задач.
а) схема определения понятия; б) предписания для решения текстовых задач; в) общие приёмы построения алгоритма решения систем уравнений
контроль усвоения теории
1) формулирует определения понятия: «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «график уравнения с двумя переменными», «решение системы уравнений с двумя переменными», «способ подстановки», «способ сложения»
2) выполняет преобразование систем уравнений, используя УИ, предписание, карточку-информатор;
3 ) проговаривает предписания для решения практических задач и решает задачи, используя их;
4) рассказывает краткие сведения из истории темы;
5) устанавливает связи данного понятия с ранее изученными;
6) применяет правила решения уравнений и алгоритмы решения систем уравнений;
7) обосновывает и доказывает верность выбранного способа решения систем уравнений.
таблицы с предписаниями; карточки
Ц 3: Примене-ние знаний и умений
1)решает уравнения с одной переменной;
2) решает системы уравнений способом подстановки и способом сложения;
3) использует решение систем уравнений для решения практических задач;
4) строит график линейного уравнения с двумя переменными;
5) решает систему уравнений с двумя переменными графическим способом.
1) может решать уравнения с одной переменной;
2) может решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения;
3) может использовать решение систем уравнений для решения практических задач;
4)может строить график линейного уравнения с двумя переменными;
5) может решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом.
1) может решать уравнения с одной переменной;
2) может решать системы уравнений способом подстановки и способом сложения;
3) может использовать решение систем уравнений для решения практических задач;
4)может строить график линейного уравнения с двумя переменными;
5) может решать систему уравнений с двумя переменными графическим способом.
6) может использовать приём саморегуляции для выполнения заданий повышенного уровня сложности;
7) может составлять задания по теме.
1) схемы и таблицы
1) работает в группе, оказывает взаимопомощь, рецензирует ответы товарищей;
2 ) осуществляет взаимоконтроль, взаимопроверку и др. на всех этапах учебно-познавательной деятельности (УПД) по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием;
3) оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях;
4) осуществляет поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой, используя правила коммуникативного взаимодействия
приёмы контроля, оценки; таблица коммуникативной компетентности
Ц 5: формирование общих ПУД и РУД
1) выбирает уровни достижения целей и формулирует цели своей учебной деятельности;
3) осуществляет самопроверку с использованием образцов, приёмов;
4) составляет контрольную работу для своего уровня усвоения;
5) оценивает свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями;
6) делает в ыводы о дальнейших действиях, планирует коррекцию учебно-познавательной деятельности
приёмы саморегу-ляции УПД
УИ — учебная информация; ПУД – познавательные; КУД – коммуникативные; РУД – регулятивные учебные действия
§ 5. Карта изучения темы «Системы линейных уравнений»
I. Логическая структура и цели изучения темы (таблица целей)
http://pandia.ru/text/78/002/10054.php
http://infourok.ru/itogovaya-praktikoznachimaya-kursovaya-rabota-sistemi-lineynih-uravneniy-1092603.html