Курсовая работа по дифференциальным уравнениям

Курсовая работа: Решение дифференциальных уравнений. Обзор

Нижегородский государственный технический университет

Кафедра «Общеобразовательные и общепрофессиональные дисциплины»

«Решение дифференциальных уравнений. Обзор»

Выполнила: Аверина Л.А

Группа. ТМв 151001-09

Проверила: Ловыгина М.Б

1 Обзор методов решения в Excel

1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

1.3 Метод Эйлера

1.4 Модифицированный метод Эйлера

1.5 Практическая часть

2 Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad

2.1 Метод Эйлера

2.2 Метод Эйлера с шагом h/2

2.3 Метод Рунге – Кутты

Введение

Уравнение называется обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области и, во всяком случае, зависит от . Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеет вид

Решением этого уравнения на интервале I=[a,b] называется функция u(x).

Решить дифференциальное уравнение у / =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х₀ , х₁ …, х_n и числа у₀ , не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁ , у₂ ,…, у_n , что у_i =F(x_i )(i=1,2,…, n) и F(x₀ )=y₀ .

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x) (3) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k -x_{k -1} называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решений многих задач естествознания в качестве математической модели. Например задачи электродинамики системы взаимодействующих тел (в модели материальных точек), задачи химической кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частных производных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – это, как правило, краевые задачи (задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин, определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически симметричных полях и многое другое)

1 Обзор методов решения в Excel

1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

Идея Рунге-Кута состоит в том, чтобы использовать метод неопределённых коэффициентов. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения уравнения первого порядка y’ = F(x,y) (1) является метод четвертого порядка, в котором вычисления производятся по формуле:

yk+1 = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4 )/6, (2)

k₁ = Fk h = F(xk , yk )h

Рассмотрим задачу Коши для уравнений первого порядка на отрезке [a,b]:

, (4)

Разобьём промежуток [a,b] на N частей . Обозначим , где u(x) –точное решение задачи Коши, и через значения приближенного решения в точках . Существует 2 типа численных схем :

1. явные: ) (5)

2. неявные: (6)

Здесь F некоторая функция, связывающая приближения. В явных схемах приближенное значение в точке определяется через некоторое число k уже определённых приближенных значений. В неявных схемах определяется не рекурентным способом, как в явных схемах, а для его определения возникает уравнение, поскольку равенство (6) представляет из себя именно уравнение на . Явные схемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее

1.3 Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение у / =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х₀ , х₁ …, х_n и числа у₀ , не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁ , у₂ ,…, у_n , что

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k -x_{k -1} называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (7) с начальным условием

Требуется найти решение уравнения (7) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀ , х₁ , х₂ ,…, х_n , где x_i =x₀ +ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i )»y_i вычисляются последовательно по формулам у_i +hf(x_i , y_i ) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀ (х₀ , у₀ ), заменяется ломаной М₀ М₁ М₂ … с вершинами М_i (x_i , y_i ) (i=0,1,2,…); каждое звено М_i M_{i +1} этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (7), которая проходит через точку М_i . Если правая часть уравнения (7) в некотором прямоугольнике R<|x-x₀ |£a, |y-y₀ |£b>удовлетворяет условиям:

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

где у(х_n )-значение точного решения уравнения (7) при х=х_n , а у_n — приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n * оценивается формулой

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

1.4 Модифицированный метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (7) y / =f(x,y) с начальным условием y(x₀ )=y₀ . Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

Рисунок 1 Метод Эйлера в графическом виде

Получаем точку М_к (х_к ,у_к ). Через М_к проводим касательную:

Делим отрезок (х_к ,х_к1 ) пополам

Получаем точку N_k / . В этой точке строим следующую касательную:

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1 . Получаем точку М_к / . В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к / . Тогда:

(14)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции у_к+1/2 в точках х_к+1/2 , затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y / _{k +1/2} =f(x_{k +1/2} , y_{k +1/2} ) и определяют у_к+1 .

Для оценки погрешности в точке х_к проводят вычисления у_к с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y // =f(y / ,y,x) c начальными условиями y / (x₀ )=y / ₀ , y(x₀ )=y₀ , выполняется замена

Тем самым преобразуются начальные условия

Здесь решается уравнение dy/dx = 2x-y+x 2 на интервале [0,2], начальное значение y(0)=0, для оценки точности задано также точное решение в виде функции u(x)=x 2 . Оценка погрешности делается в нормеL₁ , как и принято в данном случае

2 Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad

Mathcad имеет ряд встроенных функций, предназначенных для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). При решении ОДУ искомой величиной является функция. При использовании любых методов численного интегрирования необходимо, чтобы были заданы по крайней мере следующие величины:

набор точек в которых нужно найти решение;

само дифференциальное уравнение, записанное в некотором специальном виде, который будет описан ниже.

Один из наиболее эффективных алгоритмов интегрирования ОДУ основан на численном методе Рунге-Кутты четвертого порядка. Функция, реализующая этот метод, имеет вид rkfixed (y,x₁ ,x₂ , npoints,D)

y-вектор начальных условий размерности n, где n- порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений);

x₁ , x₂ – граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения. Начальные условия ,заданные в векторе y,- это значение решения в точке x₁ ;

npoints- число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1+npoints) в матрице, возвращаемой функцией rkfixed;

D(x,y) – функция,возвращающая значение в виде вектора n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к конечному числу алгебраических операций, операций интегрирования и дифференцирования известных функций, то говорят, что уравнениеинтегрируется в квадратурах. В приложениях крайне редко встречаются уравнения, интегрируемые в квадратурах. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения.

Численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши

состоит в построении таблицы приближенных значений

решенияy(x)в узлах сетки

a=x₀ , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ («точка с запятой»)

Определим шаг формулы Эйлера — шаг интегрирования

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения

Построим график найденного решения y(x)

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс обозначение компонент вектора, содержащего значения узлов сетки, а в позиции возле оси ординат — обозначение компонент вектора, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

Метод Эйлера допускает простуюгеометрическую интерпретацию. Пусть известна точка (x_i ,y_i ) интегральной кривой уравненияy’=f(x, y).

Касательная к интегральной кривой уравнения, проходящая через эту точку, определяется уравнением

Следовательно, вычисленная методом Эйлера точка (x_i+ 1 ,y_i+ 1 ),

Найдем методом Эйлера на [0, 1] с шагом h=0.2 и с шагом h=0.1 приближенное решение задачи Коши

y’ = sin x – cosy,y(0)=1.

Изобразим приближенные решения графически.

Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид

x0=0, y0= 1, xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi — cosyi), i =0, 1, . 4

xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi — cosyi), i =0, 1, . 9

Определим правую часть уравнения

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, . 4 для вычислений с шагом h=0.2

Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ («точка с запятой»)

При решении задачи с шагом h=0.2 назовем шаг h1, аргумент — x1, а решение — y1.

Определим начальное условие

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим шаг формулы Эйлера — шаг интегрирования

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки

Построим график найденного решения y1(x1)

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс обозначение компонент вектора, содержащего значения узлов сетки, а в позиции возле оси ординат — обозначение компонент вектора, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, . 9 для вычислений с шагом h=0.1

Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ («точка с запятой»)

При решении задачи с шагом h=0.1 назовем шаг h2, аргумент — x2, а решение — y2.

Определим начальное условие

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим шаг формулы Эйлера — шаг интегрирования

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения. Для сравнения рядом выведены значения решения, вычисленные с большим шагом

Построим график решения y2(x2)

Построим на одном графике оба приближенные решения

Для того чтобы одновременно построить графики нескольких функций от разных аргументов, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции у оси абсцисс имя первого аргумента, запятую, имя второго аргумента, и т.д., разделяя имена аргументов запятой.

Аналогично, в позиции возле оси ординат введите имя функции первого аргумента, запятую, имя функции второго аргумента и т.д.разделяя имена функций запятой.

Когда функции определены, щелкните по рабочему документу вне поля графиков.

Методом Рунге-Кутты четвертого порядкаточности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величиныy_i+ 1 вычисляются по следующим формулам:

Найдем на [0, 1]приближенноерешение задачи Кошиy’ = sinx– cosy,y(0)=1методом Рунге-Кутты 4-го порядка с шагом h=0.2 и методом Эйлера с тем же шагом.Изобразим оба приближенные решения графически

Для решения задачиметодом Рунге-Кутты воспользуемся функциейrkfixed

Определим начальное условие — решение в начальной точке

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим правую часть уравнения

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Вычислим приближенное решение на отрезке [0,1], выполнив n=1/h=5 одинаковых шагов, методом Рунге-Кутты 4-го порядка; обозначим приближенное решение Y

Выведем в рабочий документ вычисленное приближенное решение

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяюшей рамки

В первом столбце приведены значения x, во втором столбце — соответствующие значения приближенного решения

Решим ту же задачу методом Эйлера

Выведем в рабочий документ вычисленное приближенное решение, и, для сравнения, решение, вычисленное методом Рунге-Кутты

Построим графики приближенных решений

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс имя первого столбца матрицы Y, содержащего значения x в узлах сетки, а в позиции возле оси ординат — имя второго столбца, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

Для того чтобы одновременно построитьграфики нескольких функций от разных аргументов, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции у оси абсцисс имя первого аргумента, запятую, имя второго аргумента, и т.д., разделяя имена аргументов запятой.

Аналогично, в позиции возле оси ординат введите имя функции первого аргумента, запятую, имя функции второго аргумента и т.д. разделяя имена функций запятой.

Когда функции определены, щелкните по рабочему документу вне поля графиков.

Для того чтобы ввести номер столбца, щелкните по соответствующему символу в панели Matrix

Для того чтобы изменить стиль изображения, щелкните дважды по полю графиков и установите в окне соответствующие параметры

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Система Mathcadпользуется огромной популярностью во всем мире, позволяя готовить вполне профессиональные документы, имеющие вид статей и книг по математике.

Программа MicrosoftExcel входит в офисный пакет MicrosoftOfficeи предназначена для подготовки и обработки электронных таблиц под управлением операционной системой Windows. MicrosoftExcel – это многофункциональный, мощный редактор электронных таблиц. Он представляет возможность производить различные расчеты, составлять списки, сметы и что немаловажно, строить наглядные графики и диаграммы.

MathCAD – это мощная и в то же время простая универсальная среда для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики, физики и астрономии, строительства и архитектуры, математики и статистики, организации производства и управления… Она располагает широким набором инструментальных, информационных и графических средств. Сегодня MathCAD – одна из самых популярных математических систем. Она пользуется большим спросом у студентов, инженеров, экономистов, менеджеров, научных работников и всех тех, чья деятельность связана с количественными методами расчета.

Microsoft Excel ‑ средство для работы с электронными таблицами, намного превышающее по своим возможностям существующие редакторы таблиц, первая версия данного продукта была разработана фирмой Microsoft в 1985 году. Microsoft Excel ‑ это простое и удобное средство, позволяющее проанализировать данные и, при необходимости, проинформировать о результате заинтересованную аудиторию, используя Internet. Microsoft ® Excel разработан фирмой Microsoft, и является на сегодняшний день самым популярным табличным редактором в мире. Кроме стандартных возможностей его отличает следующие возможности, он выводит на поверхность центральные функции электронных таблиц и делает их более доступными для всех пользователей. Для облегчения работы пользователя упрощены основные функции, создание формул, форматирование, печать и построение графиков.

Данная курсовая работа позволила мне более близко познакомится с пакетом прикладных программ MathCAD и MicrosoftExcel. Мной было рассмотрено несколько способов решения дифференциальных уравнений.

Всё это позволило в полном объеме усвоить лекционный материал и понять перспективы использования вычислительной техники при решении различных задач практического характера.

1. Индейкин В. В. Табличный редактор Microsoft Excel. Учебное пособие. – Казань, 1999. – 75с.

2. Кудрявцев Е. М. MathCAD 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 571с.

Курсовая работа На тему: «Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

На тему: «Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов»

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

3. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

4. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области;

x – независимая переменная;

y – функция переменной x, подлежащая определению;

y’, y”, …, y (n) – производные функции y.

При этом предполагается, что y (n) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с ₁ , с ₂ . c _n и имеет вид .

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y (n) . Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

где – известные непрерывные функции от x.

Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, , тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид

В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным ( ) и неоднородным.

Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам.

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где , — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х ₀ – Т; х ₀ + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале.

Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х ₀ – Т; х ₀ + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку).

Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x — x ₀ |

Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (2.3).

Алгоритм такого представления состоит в следующем. Для удобства положим в (2.2) и (2.3) x ₀ = 0 и будем искать решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) в виде

Подставив (2.4) в (2.1), получим равенство

Для выполнения (2.5) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени x был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

Из полученной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений можно последовательно найти , , …, если задать значения и (в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) можно ввести начальные условия = , = ).

Если функции а(х), b(х) являются рациональными, т.е. , b , где — многочлены, то в окрестностях точек, в которых или , решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки x = 0. Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка

Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд

Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом . Решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде расходящегося степенного ряда называют формальным.

Одним из наиболее ярких и понятных примеров на применение данного способа интегрирования является уравнения Эйри или

Все решения этого уравнения являются целыми функциями от x. Тогда решение уравнения Эйри будем искать в форме степенного ряда (2.4). Тогда равенство (2.5) принимает вид

Приравняем нулю коэффициент при каждой степени x. Имеем

Коэффициент при нулевой степени x равен 2у ₂ . Следовательно, у ₂ = 0. Тогда из равенства нулю коэффициента находим = . Коэффициент при равен . Отсюда .

Из этой формулы получаем

Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале = 1, = 0, а затем наоборот. В первом случае имеем

На основании теоремы_1 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой .

Функции и называют функциями Эйри. При больших значениях x асимптотическое поведение этих функций описывают следующие формулы и .

Графики этих функций изображены на рис. 2.1. Получаем, что при неограниченном увеличении x нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно и из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения обыкновенного дифференциального уравнения при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

Итак, если в уравнении (2.1) функции а(х), b(х) рациональные, то точки, в которых или , называются особыми точками уравнения (2.1).

Для уравнения второго порядка

в котором а(х), b(х) — аналитические функции в промежутке |х – x ₀ | ₀ или b ₀ в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

В окрестности особой точки х = х ₀ решения в виде степенного ряда может не существовать, в этом случае решения надо искать в виде обобщенного степенного ряда:

где λ и , , , …, ( ) подлежат определению.

Теорема_2. Для того чтобы уравнение (2.6) имело в окрестности особой точки х = х ₀ хоть одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда (2.7), достаточно, чтобы это уравнение имело вид

Суть сходящиеся степенные ряды, причем коэффициенты не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка х = х ₀ не особая точка и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке х = х ₀ . При этом, если ряды (2.7”), входящие в коэффициенты уравнения (2.7’) сходятся в области | х — х ₀ |

Рассмотрим уравнение (2.6) при х > 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х ₀ = 0, имеем

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений:

Так как , то λ должно удовлетворять уравнению

которое называется определяющим уравнением. Пусть – корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6):

Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда . Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля — Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение:

Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде

(число А может оказаться равным нулю).

Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.

Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде:

К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.

Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на –x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть , . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и . Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда

то, подставив у, у’ и у» в исходное уравнение, получим

Отсюда, сокращая на , имеем

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям

Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, . имеем

Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … .

Таким образом, найдены все коэффициенты , а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде

называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых , , а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде

называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка.

Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде

Уравнения для определения при имеют вид

По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через :

Полагая представим у ₂ (х) в виде

называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом.

Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и : .

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида

где α, β, γ — действительные числа.

Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме

можно представить в виде обобщенного степенного ряда.

Убедимся в этом для точки . Действительно, замечая, что

уравнение (3.2) можно записать в виде

Это уравнение является частным случаем уравнения

причем здесь , так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса.

Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0.

Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид

Его корни , причем их разность не является целым числом.

Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов

первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения.

Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде

Подставим (3.3) в (3.2), получим

Приравнивая к нулю свободный член, получаем .

Пусть , тогда получаем .

Приравнивая нулю коэффициент при , найдем:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию

Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x|

Второе частное решение имеет вид:

Вместо того, чтобы находить методом неопределенных коэффициентов, сделаем в уравнении Гаусса замену искомой функции по формуле

Получим уравнение Гаусса

в котором роль параметров α, β и γ играют и .

Поэтому, построив частное решение этого уравнения, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения и подставив его в (3.6), получим второе частное решение данного уравнения Гаусса в виде:

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) будет:

Пользуясь построенной фундаментальной системой решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0, можно легко построить фундаментальную систему решений этого уравнения и в окрестности особой точки х=1, которая тоже является регулярной особой точкой.

С этой целью переведем интересующую нас особую точку х = 1 в точку t = 0 и вместе с ней особую точку x = 0 в точку t = 1 при помощи линейной замены независимой переменной x = 1 – t.

Выполняя эту подстановку в данном уравнении Гаусса, получим

Это — уравнение Гаусса с параметрами . Оно имеет в окрестности |t|

Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая t = 1 – х, получим фундаментальную систему решений исходного уравнения Гаусса в окрестности точки | х – 1|

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) в области будет

Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Пример_1. (№691) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения . По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций.

Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда

Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем

Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении:

Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения :

Из этих уравнений находим

Положим , тогда отличными от нуля будут только коэффициенты . Получаем, что

Построено одно решение уравнения

Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив . Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты :

Ряды, представляющие и , сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой , где С ₁ , С ₂ — произвольные постоянные:

Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как:

Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х 2 у» + (3х – 2х 2 )у’ – (х + 1)у = 0.

Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ ₁ = 1/2 и λ ₂ = — 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ ₁ ищем в виде

Подставив , , и в исходное уравнение, имеем

Отсюда, сократив на , получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения :

Положив y ₀ = 1, находим

Соответствующее корню λ = λ ₂ решение исходного уравнения ищем в виде

Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y ₀ = 1, находим

Общее решение исходного уравнения запишем в виде , где и — произвольные постоянные.

Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, зачастую очень сложно.

В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов.

Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск, “Вышэйш. школа”, 1974. – 768с. с ил.

Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — 352 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил.

Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 1989. – 383 с.: ил.

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учеб. пособие для вузов. – М.: Физматизд, 1961. – 100 с.: ил.

Курсовая работа по дифференциальным уравнениям

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра математического анализа

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Выполнила: студентка 2 курса

Научный руководитель: к.ф.-м.н.,

доцент Сабитова Ю.К.

1. Электрические цепи

2. Распространение тепла

3. Построение ортогонального семейства кривых

4. Уравнение химической кинетики

5. Реактивное движение

6. Из пушки на Луну

7. Форма равновесия жидкости во вращающемся сосуде

8. Фокусирующее зеркало

10. Уравнение струны

В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований — математического моделирования.

Сущность этого исследования состоит в замене исходного объекта математической моделью, и решения поставленной задачи с помощью современных вычислительных средств.

Моделирование — это метод исследования каких-либо процессов, явлений, который предполагает создание искусственных или естественных систем, имитирующих существенные свойства оригинала.

Математическое моделирование в настоящий момент является одной из главных составляющих научно-технического прогресса. Без применения этой методологии не реализуется ни один крупномасштабный технологический, социальный, экологический проект.

В частности, в качестве математических моделей реальных процессов могут быть использованы дифференциальные уравнения. Довольно часто при изучении многих процессов, протекающих в природе, бывает довольно сложно установить зависимость между функциями, характеризующими те или иные величины. Но зато в некоторых случаях возможно установить связь между теми же функциями и их производными. Это приводит к уравнениям, содержащим неизвестные функции под знаком производной, то есть к дифференциальным уравнениям (с их помощью процесс может быть описан проще и полнее). Отрасль математического анализа, изучающая дифференциальные уравнения, является одной из самых важных по своим положениям.

Эффективность использования дифференциальных уравнений в качестве математических моделей обеспечивается историческими истоками самих дифференциальных уравнений и современными взглядами на многие законы природы с позиции дифференциальных уравнений, приложениями дифференциальных уравнений в современной науке и технике, развитием методов интегрирования и общей теории дифференциальных уравнений, высоким уровнем вычислительной математики и техники.

В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, решение которых сводиться к дифференциальным уравнениям. Например, происходит какой-либо физический, химический или биологический процесс. Зачастую закономерности данного явления можно описать при помощи дифференциальных уравнений.

Тема курсовой работы обуславливает преимущественное рассмотрение физических процессов. Например, закон изменения температуры, давления или массы с течением времени. Если имеется достаточно полная информация о течении данного процесса, то строят его математическую модель. Во многих случаях такой моделью является дифференциальное уравнение, находят все его решения и выделяют то решение, для которого выполняются дополнительные (начальные или граничные) условия.

Надо отметить, что разные по содержанию задачи приводятся к одинаковым или исходным дифференциальным уравнениям.

Цель курсовой работы: изучение физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Рассмотреть физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям;

Анализ практичности решения физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

1. Электрические цепи

Электрические цепи описываются двумя величинами: током I и падением напряжения ?U . При этом для различных элементов цепи соотношения между током и напряжением различны:

конденсатор, — его емкость,

Сумма падений напряжения на всех участках цепи равна ЭДС этой цепи (тому напряжению, которое подается в цепь извне). Получаем уравнение:

Величины L,R,C нам, как правило, известны — это характеристики эле-
ментов цепи, E(t) — заданная функция. Остается две величины: I и Q.
Но, поэтому уравнения электрического тока в цепи обычно записывают относительно неизвестной функции — заряда на обкладках конденсатора:

Все знают, что более холодное тело (или часть тела) нагревается от более горячего. Каков закон этого процесса? Чтобы выяснить это, необходимо понять, что и как описывает тепловые процессы.

Во-первых, это температура. Температура может измеряться по разным шкалам, но нас интересует не абсолютная величина температуры, а ее изменение (со временем или при переходе от одной точки тела к другой). Температуру обычно обозначают буквой T.

Во-вторых, изменение температуры связано с изменением энергии тела, причем зависимость эта линейная. Для того чтобы различать температуру и энергию, для последней введено специальное название количество теплоты (обозначается обычно Q). Таким образом, Коэффициент С называют теплоемкостью. Он зависит как от материала, из которого сделано тело, так и от его размеров (чтобы нагреть большое тело надо больше тепла). Простые соображения показывают, что для однородного материала С = M/с, где М — масса, с — удельная (на единицу массы) теплоемкость.

Если мы мысленно разобьем тело на две или несколько частей, то количество теплоты, необходимое для нагревания всего тела на 1 градус, равно сумме количеств теплоты, необходимых для нагревания его частей. Количество теплоты оказывается аддитивной функцией множества (при складывании частей в одной целое соответствующие количества теплоты складываются). Однородность означает, что одинаковые (по форме) куски нагреваются одинаково, в какой бы части тела они не находились. Другими словами, эта функция множества инвариантна относительно сдвигов и поворотов. И, наконец, множества с нулевой массой не могут поглощать тепла — это свойство типа непрерывности (если говорить точно, оно называется абсолютной непрерывностью функции множества относительно другой функции — в данном случае массы). Всякая абсолютно непрерывная функция множества, инвариантная относительно сдвигов, пропорциональна в одномерном случае — длине, в двумерном — площади, а в трехмерном — объему множества (или, что то же самое, его массе).

В случае неоднородного тела зависимость Q от Т более сложная и выражается через интеграл

где — количество теплоты, поглощенное объемом V, р(х), с(х) и Т(х)- распределение, соответственно, плотности, удельной теплоемкости и изменения температуры внутри объема.

Далее опишем процесс теплопередачи.

Для этого представим себе обыкновенный кирпич, одна стенка которою имеет температуру Т1, а противоположная — температуру Т2. Если поддерживать температуры стенок постоянными, то, в конце концов, внутри кирпича температура распределится по убыванию от одной стенки к другой.

Практический опыт, с одной стороны, и соображения подобия, с другой, показывают, что это убывание линейно:

В формуле (2) L — расстояние между стенками кирпича, l — «текущая» координата (l = 0 соответствует первой стенке с температурой Т1 , l=L — второй с температурой Т2). Что при этом происходите количеством теплоты? Тепло передается от более горячей стенки к менее горячей, однако для каждого внутреннего «среза» кирпича количество теплоты, приходящей с одной стороны, и количество теплоты, уходящей в другую, совпадают, поскольку процесс установившийся. Это количество теплоты называют тепловым потоком через соответствующий срез и обозначают той же буквой Q, что и количество теплоты.

Рис.1. Тепло передается от более горячей стенке к менее горячей

Тепловой поток зависит от:

разницы температур на стенках кирпича (чем она больше, тем интенсивней идет теплообмен);

расстояния между стенками (чем они ближе друг к другу,
тем интенсивней теплообмен); на самом деле он не зависит ни от того, ни от другого. Чтобы убедиться в этом, совершим следующий мысленный эксперимент. Пусть нас интересует, например, срез, находящийся в левой части кирпича. Распилим кирпич пополам (напомним, в середине кирпич имеет температуру ) и выбросим правую половину, а на сделанном распиле просто будем поддерживать ту же температуру. Что изменится

Рис.2. Распилим кирпич пополам

с точки зрения нашего среза? Да ничего. Тепловой поток, проходящий через него, будет в точности таким же, как и в нераспиленном кирпиче. Дальше мы можем повторить процедуру, отпилив еще один кусок кирпича, и так продолжать дальше и дальше. В итоге получаем, что на самом деле тепловой поток зависит не от разности температур, и не от расстояния между стенками, а от той самой константы, которая фигурировала у нас в формуле (2), и, которая как раз и выражается, в случае однородного тела, через отношение разности температур и расстояния, а в случае неоднородного тела — через производную по направлению нормали к нашему срезу;

г)тепловой поток пропорционален площади среза. Если
мы возьмем кирпич вдвое шире (или просто сложим два кирпича), то
тепловой поток удвоится. Здесь опять срабатывает теория аддитивных
функций множества; д)тепловой поток пропорционален времени, в течение которого он про-
ходил: за 2 часа через тот же срез пройдет вдвое больше тепла, чем за
1 час. Получаем формулу: (3)

Рис.3. Возьмем кирпич вдвое шире

или, если сделать бесконечно малым,

Знак плюс или минус выбирается в зависимости направления нормали к срезу (она ведь может быть направлена как в ту, так и в другую сторону), k — коэффициент, зависящий только от материала, называемый коэффициентом теплопроводности.

Мы не зря так долго говорили о таком банальном объекте, как кирпич. Для неоднородной среды все те же рассуждения повторяются в точности, только с той разницей, что «кирпич» является бесконечно малым (и при этом неоднородностью внутри него можно пренебречь). Формула (4) описывает тепловой поток, протекающий через любую бесконечно малую площадку S любой поверхности в любом теле. Если же мы выделили в произвольном теле некоторый объем V и хотим вычислить тепловой поток, выходящий из этого тела, нам надо проинтегрировать формулу (4) по поверхности S,

Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают из формулы (5) при наличии в процессе распространения тепла какой-то симметрии. Тогда за счет подходящего выбора системы поверхностей «расслаивающей» тело на пласты с одинаковой температурой, удается описать процесс обыкновенным дифференциальным уравнением.

Возьмем тот же кирпич: в нем зависит только от одной координаты (например, ). Тогда, выбирая в качестве поверхностей

плоскости , получаем, интеграл просто равен этой производной, умноженной на площадь поперечного сечения кирпича с коэффициентом k, и для установившегося процесса теплоотдачи, получаем уравнение

Если наш процесс имеет сферическую симметрию (т.е. температура зависит только от расстояния r от некоторой точки, то, выбирая в качестве

системы поверхностей сферы, получим , интеграл равен

этой производной, умноженной на площадь сферы с коэффициентом k, и мы получаем другое уравнение:

Аналогично в случае цилиндрической симметрии (температура одинакова на цилиндрических поверхностях) получаем еще одно уравнение:

(здесь r — расстояние до общей оси цилиндров, l — длина образующей цилиндров).

Наконец, мы можем из того же уравнения (5) получить и общее уравнение теплопередачи, пригодное для любого тела. Подставив в него связь между изменением количества теплоты и изменением температуры (1) и воспользуемся известной формулой преобразования интеграла по поверхности от нормальной производной функции в интеграл по объему от оператора Лапласа, примененного к этой функции :

Отсюда, пользуясь тем, что справа и слева стоит интеграл по одному и тому же объему, и тем, что это равенство выполнено для любого объема, получаем равенство подынтегральных функций

известное как уравнение теплопроводности.

3. Построение ортогонального семейства кривых

В некоторых задачах физики и механики бывает необходимо по данному семейству кривых построить семейство ортогональных к ним кривых (ортогональность двух кривых в точке их пересечения понимается, естественно, как ортогональность касательных к ним).

Рис.4. Ортогональные семейства кривых

Пусть нам задано семейство, описываемое уравнением с параметром

Для построения ортогонального семейства нам необходимо вычислить касательные к кривым исходного семейства. Пусть у(х) одна из кривых. Тогда Дифференцируя, получаем

Таким образом, угловой коэффициент касательной к кривой семейства, проходящей через точку (х, y), может быть вычислен без знания самой кривой. Но тогда угловой коэффициент касательной к кривой из ортогонального семейства мы тоже можем вычислить (условие ортогональности прямых):

Это и есть уравнение ортогонального семейства. Например, для семейства окружностей получаем уравнение ортогонального семейства кривых: . Решения этого уравнения — семейство прямых у = Сх, действительно ортогональных к окружностям.

. Уравнение химической кинетики

Скорость реакции пропорциональна количеству каждого из реагирующих веществ. Опишем математически химическую реакцию. Пусть имеются два вещества А и Б, и из них в результате реакции образуется вещество X. Количества веществ А, В и X в момент времени t обозначим, соответственно, через и.Тогда

где k — коэффициент пропорциональности. Оказывается, величины а(t) и b(t) можно выразить через x(t): ведь в любой химической реакции количества веществ А и В, необходимых для образования единицы вещества X, строго фиксированы и определяются формулой реакции! Пусть на единицу вещества Х необходимо вещества A и вещества В. Тогда , (здесь , — начальные количества реагирующих веществ), и мы получаем уравнение

Аналогично в случае трех реагирующих веществ и одною на выходе получается уравнение

Уравнения (10) и (11) и называют обычно уравнениями химической кинетики.

Одним из фундаментальных законов физики является закон сохранения импульса: при распаде тела на части сумма импульсов каждой из частей равна импульсу тела до распада. И хоть этот закон обычно представляется связанным с одноактным действием (одно тело единожды распалось), его оказывается разумным использовать и в более сложных процессах, когда от тела последовательно отпадают части, как идеализация этого процесса (когда части очень мелкие и их очень много и интервал между их отпадениями

Рис.5. Закон реактивного движения

очень мал) — когда из тела непрерывно вытекает (вылетает, высыпается) какая-то масса. Именно в такой форме и записывается закон реактивного движения:

или (если, как обычно, обозначать через )

Здесь и соответственно масса и скорость ракеты в момент времени t, V — скорость истечения горючего из ракеты (точнее, это — V: обычно систему координат направляют вдоль движения ракеты, тогда горючее вытекает с отрицательной скоростью, и именно ее обозначают — V, где V — положительное число, равное абсолютной величине мой скорости). Разность — это масса вытекшего горючего, а — V — его скорость в неподвижной системе координат (напомним, что — V — это скорость движения вытекающего горючего относительно ракеты). На самом деле равенство в (12)-(13) не является вполне точным, так как процесс истечения горючего и изменения скорости происходит не «толчком», а непрерывно. Однако если промежуток времени уменьшать, то равенство перейдет в точное равенство отношению дифференциалов

(если предварительно его разделить на ). После несложных преобразований получаем закон реактивного движения

или, через производные,

который иногда записывают в форме:

. Из пушки на Луну

Еще один известный «космический» сюжет: тело (в классической интерпретации — барона Мюнхгаузена) «выстреливается» с Земли в направлении Луны и долетает до нее в свободном полете. Опишем закон полета. Пусть полет происходит по прямой, соединяющей центры Луны и Земли (расстояние между центрами обозначим R), расстояние до летящего тела от центра Земли в момент времени t будет описываться функцией (таким образом, в начальный момент времени , в конечный ). Если масса тела m, то сила притяжения Земли равна

, cила притяжения Луны , и второй закон Ньютона дает нам уравнение полета на Луну:

Рис.6. Полет от Земли до Луны

. Форма равновесия жидкости во вращающемся сосуде

цепь тепло реактивное равновесие жидкость

Пусть у нас есть цилиндрический сосуд, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью . Поверхность жидкости при этом не остается плоской, а принимает форму поверхности вращения некоторой кривой. Выведем уравнение этой кривой. Для этого воспользуемся тем фактом, что частица, движущаяся по окружности радиуса r с угловой скоростью , должна иметь ускорение, равное направленное к центру окружности. Рассмотрим сечение сосуда плоскостью, проходящей через ось вращения. Пусть независимая переменная описывает расстояние от точки до оси вращения, а — форма поверхности. Изобразим ускорение. Откуда оно взялось? Конечно же, как результат (сумма) различных воздействий. Прежде всего, это — сила тяжести (она дает ускорение , направленное вертикально вниз) и сила упругой реакции самой жидкости (она дает ускорение, направленное по нормали к поверхности). Величина силы реакции и придаваемое ею ускорение нам неизвестны, но, поскольку частицы на поверхности жидкости двигаются в горизонтальной плоскости по окружностям, естественно предполагать, что реакция жидкости «компенсирует» вертикальную тяжесть, и при этом ее горизонтальная

Рис.7. Форма жидкости во вращающемся сосуде

Рис.8. Вид сверху: частица, движущаяся по окружности, должна иметь ускорение, направленное к центру

Рис.8. Вид сбоку (сечение)

составляющая и придает частицам ускорение . Изобразим силы на чертеже:

Чтобы записать соответствующие уравнения, обозначим через В абсолютную величину ускорения, придаваемого частице реакцией жидкости, расположим ось x горизонтально и направим ее вправо, ось у вертикально и направим ее вверх, угол, образуемый касательной к точке кривой у(r) с

Рис.9. Изобразим наши ускорения на чертеже

положительным направлением оси r, обозначим через. Тогда угол между направлением реакции жидкости и положительным направлением оси r равен, вертикальная проекция ускорения реакции жидкости равна, а горизонтальная . Получаем:

откуда, исключая В, получаем

Остается вспомнить, что — это производная и получить уравнение поверхности вращающейся жидкости

8. Фокусирующее зеркало

Пусть у нас есть отражающая поверхность (в плоской интерпретации отражающая кривая), позволяющая отразить параллельный пучок лучей в пучок, сходящийся в одну точку. Постараемся описать эту кривую. Для этого нам понадобится закон отражения лучей, который, для случая плоскости, мы прекрасно знаем (угол падения равен углу отражения), но который, в случае кривой поверхности, мы не сможем сформулировать. Для неплоского случая закон не намного сложнее плоского: луч, падающий в точку х поверхности, отражается от нее так же, как и от плоскости, касающейся в этой точке нашей поверхности.

Запишем задачу в математической форме. Для этого в качестве начала координат удобно взять как раз ту точку, в которую будут собираться лучи, за положительное направление движения лучей и эту ось обозначим через х, другую ось обозначим через у, а функцию, описывающую форму зеркала, — через у(х). Нарисуем траекторию луча, отразившегося в точке нашей кривой, и касательную, проходящую через эту точку. Поскольку до отражения луч шел

Рис.10. Фокусирующее зеркало

горизонтально, угол падения луча совпадает с углом, образованным касательной,

Вычислим угол отражения. Для этого заметим, что в треугольнике МОА (точка А — это точка пересечения касательной с осью абсцисс) угол МО — его внешний угол и он равен сумме двух внутренних, одни из которых — это угол отражения, а другой — угловой коэффициент касательной, то есть опять же. Поскольку угол МО — это угол поворота вектора (х,у(х)), его тангенс равен отношению, откуда получаем

В принципе можно было бы выразить из уравнений (16) и (17) углы и (или их тангенсы) и воспользоваться законом отражения , воспользовавшись тем, что равен , а он, в свою очередь, в силу (16) равен у'(х), подставим их в (17) с раскрытым тангенсом суммы. В результате получается уравнение

являющееся уравнением фокусирующего зеркала. Решение этого уравнения не гипербола, а парабола (а — параметр).

Получаем параболоид вращения (образуемый вращением этой параболы).

Задачу эту относят к классическим задачам математики. Она возникла еще в Древней Греции. Состоит она в том, чтобы определить длину цепи, подвешенной за концы (в античной формулировке эта цепь перегораживала вход в город). Мы несколько расширим задачу и постараемся определить форму цепи (при этом длина ее будет вычисляться по классическим формулам из анализа).

Рис.11. Висящая цепь

Пусть наша цепь описывается функцией у(х), заданной на некотором отрезке [а,b]. Напишем условия для этой функции, при выполнении которых цепь будет находиться в равновесии. Для этого определим действующие на нее силы. Прежде всего — это сила тяжести. На любой участок цепи [х, х+х] она действует с силой, равной

здесь — линейная плотность цени (т.е. масса на единицу длины) в точке — дифференциал дуги кривой. Интеграл, по существу, есть соответствующего участка цепи. Эта сила направлена вниз.

Кроме силы тяжести, на наш участок действуют еще какие-то силы (т.к. цепь находится в равновесии). Это — силы упругой реакции цепи, или силы натяжения. Убедиться в их существовании нетрудно. Представьте себе, что вы «оторвали» этот участок цепи и, растягивая его за концы, стараетесь придать ему ту же форму, которую он имел, находясь внутри цепи. Не надо никого убеждать в том, что этого можно добиться лишь, прикладывая к концам участка силы (причем значительные). Это и есть те самые (имеется в виду величина и направление, а не происхождение) силы, которые действуют внутри висящей цепи. Эти силы всегда направлены по касательной к точке, в которой они приложены. Обозначим величину силы натяжения, приложенной в точке х, через T(х). Теперь мы можем изобразить все на чертеже и записать условия равновесия. Если обозначить

Рис.12. Изобразим все силы на чертеже

через угол, образованный касательной в точке х с положительным направлением оси абсцисс, то горизонтальная составляющая силы натяжения в точке будет равна , а в точке х — соответственно (обратите внимание на знак минус: в точке х сила натяжения действует не вправо, а влево). Поскольку наш участок цепи находится в равновесии, их сумма равна нулю, откуда

где А — константа (параметр задачи). Она может быть определена, например, по величине натяжения в концах цепи: .

Вертикальные составляющие сил натяжения, действующие на наш участок в точках и х, соответственно, равны и — . Сумма этих сил, вместе с силой тяжести, также равна нулю.

Получаем, с учетом (19), следующее уравнение:

или, учитывая, что ,

Разделив на и устремив его к нулю, получим уравнение висящей цепи:

Задача состоит в том, чтобы описать форму струны, натянутой горизонтально за концы и находящейся под воздействием внешней нагрузки.

Эта задача практически идентична предыдущей, роль внешней нагрузки в которой играет тяжесть. Фактически, правая часть (20) — это «сила», действующая на точку х. Мы слово «сила» употребляем в кавычках потому, что это на самом деле не сила, а ее плотность распределения. «Настоящая» сила (та, которая измеряется, например, в ньютонах) на самом деле действует лишь на конечные, имеющие ненулевую длину участки цепи. Если же мы попытаемся найти силу, действующую на точку, то она окажется равной нулю. Воздействие же на одну точку описывается в терминах и равно

. Если через F(x) обозначить силу, действующую на участок струны левее х, то.

В случае висящей цепи . Теперь уже понятен общий вид уравнения деформаций струны:

Мы уже говорили, что это — уравнение равновесия, которое можно

переписать в виде

при этом второе слагаемое — это действие внешних сил, а первое определяется силами упругости. Струна находится в равновесии, значит, их сумма равна нулю. А если сумма не будет равна нулю? Тогда на нашу струну будет действовать сила, и эта сила, по второму закону Ньютона, будет вызывать ускорение. Если обозначить его буквой а, то мы получим уравнение движения:

Чтобы получить уравнение в окончательном виде, нам остается заметить, что, поскольку струна двигается, ее форма меняется с течением времени и описывается функцией не одной, а двух переменных. При фиксированном t — это форма струны (мгновенный снимок), при фиксированном х — закон движения точки с координатой x. То, что раньше было у», теперь станет второй производной функции по пространственной переменной x, а ускорение оказывается просто второй производной по временной переменной t. Добавим еще, что внешнее воздействие может теперь и меняться со временем, т.е. описываться функцией , и мы получили уравнение колебаний струны

Дифференциальные уравнения являются теоретической основой многих моделей, используемых в науке и технике. Такие процессы отражаются в физике, химии, биологии и многих других областях науки. Многие задачи физики приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений. Это обусловлено тем, что практически все физические законы, описывающие физические процессы являются дифференциальными уравнениями, относительно некоторых функций, характеризующих эти процессы. Данные физические законы представляют собой теоретическое обобщение многочисленных экспериментов и описывают эволюцию искомых величин в общем случае, как в пространстве, так и во времени. Решение ДУ представляется важной задачей для многих сфер деятельности человека, а также играет важную роль в познании окружающего мира.

Во многих случаях составление дифференциального уравнения основывается на так называемой «линейности процесса в малом», т.е. на дифференцируемости функций, выражающих зависимость величин. Как правило, можно считать, что все существующие в том или ином процессе величины в течение малого промежутка времени изменяются постоянной скоростью. Это позволяет применить известные из физики законы, описывающие равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями , т.е. величинами, участвующими в процессе, и их приращениями.

Получающееся равенство имеет лишь приближенный характер, поскольку величины меняются даже за короткий промежуток времен неравномерно. Но если разделить обе части получившегося равенства на , то получиться точное равенство. Оно содержит время t, меняющиеся с течением времени физические величины и их производные, т.е. является дифференциальным уравнением, описывающим данное явление. Таким образом, при составлении дифференциального уравнения мы делаем как бы «мгновенный снимок» процесса в данный момент времени.

В курсовой работе рассмотрены различные физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Описаны процессы протекания данных физических явлений и составлены соответствующие дифференциальные уравнения. В основе решения физических задач с помощью дифференциальных уравнений лежит общая идея — линеаризации — замены функций на малых промежутках изменения аргумента линейными функциями.

Аксененко Е.М. Применение дифференциальных уравнений к решению задач: практикум / Е.М. Аксененко, Г.М. Чуванова. — Южно-Сахалинск, изд-во СахГУ, 2013. — 52с.

Боровских А.В., Перов А.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — Москва — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2004, 540 стр.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. — М.:Высш. шк., 2005,671с.

Вагапов В.З. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб.пособие для студ.вузов — Стерлитамак: изд-во СГПА, 2008. 191 с.

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения — Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2000. — 386с.

Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 384 с. — ISBN 5-9221-0553-1.

Теги: Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Курсовая работа (теория) Математика