Курсовая работа: Разработка программы решения системы линейных уравнений
Название: Разработка программы решения системы линейных уравнений Раздел: Рефераты по информатике, программированию Тип: курсовая работа Добавлен 22:38:32 18 июля 2010 Похожие работы Просмотров: 1002 Комментариев: 21 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |||||
Заключение
В данной курсовой работе рассмотрены математические методы решения систем линейных уравнений: матричный метод и метод Гаусса, приводятся основные конструкции языка Паскаль. Рассмотренные теоретические вопросы дают возможность создания программы на Паскале для решения систем линейных уравнений. В курсовой работе приводится текст данной программы, рассматривается структура программы, анализируются все подпрограммы. Данная программа может быть использована в различных областях, где требуется решение систем линейных уравнений.
Список используемых источников и литературы
1. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер «Информатика», Москва, ACADEMA, 2000 г.
2. « Турбо Паскаль 7.0″, Киев, Торгово-издательское бюро BHV, 1997г.
3. С.А. Немнюгин, «Турбо ПАСКАЛЬ», Практикум, Питер, 2002г.
Приложение
«Решение систем линейных уравнений матричным способом и методом Гаусса»
type matr=array [1. n,1. n] of real;
mas=array [1. n] of real;
procedure PrintMatr2 (m,m1: matr; n,nz,nd: integer);
for i: =1 to n do
if (i=1) then write (np: 2,’: ‘)
for j: =1 to n do
write (m [i,j]: nz: nd); write (‘ ‘);
for j: =1 to n do
write (m1 [i,j]: nz: nd);
procedure MultString (var a,b: matr; i1: integer; r: real);
for j: =1 to n do
procedure AddStrings (var а,b: matr; i1, i2: integer; r: real);
for j: =1 to n do
a [i1,j]: =a [i1,j] +r*a [i2,j] ;
b [i1,j]: =b [i1,j] +r*b [i2,j] ;
procedure MultMatr (a,b: matr; var c: matr);
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
for k: =1 to n do
function sign (r: real): shortint;
if (r>=0) then sign: =1 else sign: =-1;
procedure GetMatr (a: matr; var b: matr; m, i,j: integer);
var ki,kj,di,dj: integer;
for ki: =1 to m-1 do
if (ki=i) then di: =1;
for kj: =1 to m-1 do
if (kj=j) then dj: =1;
b [ki,kj]: =a [ki+di,kj+dj] ;
procedure gauss (a: matr; b: mas; var x: mas; n: integer);
For k: =1 to N-1 do
For i: =k+1 to n do
For j: =k+1 to N do
writeln (‘Вывод результатов решения системы уравнений методом Гаусса’);
writeln (‘x [‘,n,’] =’,x [n]: 6: 2);
for i: = (n-1) downto 1 do
For j: =i+1 to n do
x [i]: = (b [i] +s) /a [i, i] ;
writeln (‘x [‘, i,’] =’,x [i]: 6: 2);
procedure matrica (a: matr; y: mas; n: integer);
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do z [i,j]: =0;
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
for i: =1 to n do
взятую со знаком i-того элемента j-ой строки. Таким образом,
на месте элементова a [i, i] возникает сумма модулей элементов i-того
столбца (ниже i-ой строки) взятая со знаком бывшего элемента a [i, i],
равенство нулю которой говорит о несуществовании обратной матрицы >
for j: =i+1 to n do
AddStrings (a,z, i,j,sign (a [i, i]) *sign (a [j, i]));
if (abs (a [i, i]) >eps) then
MultString (a,z, i,1/a [i, i]);
for j: =i+1 to n do
AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);
writeln (‘Обратной матрицы не существует. ‘);
if (a [n,n] >eps) then
for i: =n downto 1 do
for j: =1 to i-1 do
AddStrings (a,z,j, i,-a [j, i]);
else writeln (‘Обратной матрицы не существует. ‘);
writeln (‘Начальная матрица, обратная к ней матрица: ‘);
for i: =1 to n do s [i]: =0;
for i: =1 to n do
for j: =1 to n do
s [i]: =s [i] +z [i,j] *y [j] ;
writeln (‘Вывод результатов решения системы уравненй матричным способом’);
for i: =1 to n do write (‘ ‘, s [i]: 5: 2);
writeln (‘ввод матрицы коэффициентов при неизвестных х’);
for i: =1 to N do
for j: =1 to N do
write (‘ введите a [‘, i,’,’,j,’] => ‘);
writeln (‘ввод столбца свободных членов’);
for i: =1 to N do
write (‘ введите b [‘, i,’] => ‘);
writeln (‘введите вариант ‘);
writeln (‘ 1 — решение системы линейных уравнений методом Гаусса ‘);
write (‘ 2 — решение системы линейных уравнений матричным методом => ‘);
Курсовая работа на тему: Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕСИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им А. И.ГЕРЦЕНА»
Кафедра информационных и коммуникационных технологий
«Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Алгоритм оптимального исключения неизвестных по столбцам с выбором главных элементов по строкам преобразовав матрицу А в эквивалентную верхнюю левую треугольную матрицу»
студентка 2 курса 1 гр
кандидат педагогических наук, доцент
Введение Постановка задачи
1) вывод рекуррентной формулы
3) код программы
4) контрольный пример
Введение
Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.
Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя объем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.
К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.
Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт).
Множество прикладных и чисто математических задач приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений. Без преувеличения можно утверждать, что это одна из важнейших задач вычислительной математики.
Значимость задачи породила целый ряд методов ее решения. Среди этих методов есть универсальные и специализированные (т. е. применимые лишь к системам, имеющим некоторые специальные свойства). Методы отличаются друг от друга эффективностью, требованиями к объемам машинной памяти (при реализации на ЭВМ), закономерностями накопления ошибок в ходе расчетов. Не существует одного метода, который можно было бы во всех случаях предпочесть всем остальным, и поэтому знакомство с несколькими методами является обязательным для квалифицированного вычислителя.
Как известно из курса алгебры, число неизвестных в системе может быть больше числа уравнений или равно ему. Если число неизвестных больше числа уравнений, то на первом этапе стандартными алгебраическими методами задача сводится к промежуточной задаче, в которой число неизвестных равно числу уравнений. С точки зрения вычислителя истинная проблема состоит именно в решении такой системы, и поэтому в данной работе я рассмотрю лишь такую ситуацию.
Итак, перед нами система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(1.1)
Запись матрицы в такой форме достаточно громоздка, и при первой возможности я буду впредь использовать матричную форму записи, совершенно равносильную (1.1):
А — матрица, X – вектор-столбец неизвестных, B- вектор-столбец свободных членов.
Методы решения систем вида (1.1) можно разделить на два класса. К первому относятся прямые методы. С помощью таких методов в принципе можно в результате конечного числа шагов получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что и коэффициенты в правой части, и элементы столбца свободных членов – числа точные, а все вычисления производятся без округлений. Однако практически такое может произойти и в исключительных случаях или может быть связано с решением специального класса задач (например, когда решениями являются только целые числа). К подобным методам относятся:
o Метод определителей (метод Крамера) хорошо известный из курса алгебры;
o Матричное решение: X=A-1B (если известна обратная матрица);
o Различные варианты метода исключения неизвестных (метода Гаусса).
Чаще всего прямые методы реализуются на ЭВМ, и в процессе вычислительной ошибки округления и погрешности арифметических действий неизбежны. В силу этого название «точный» не вполне соответствует существу дела (но является традиционным).
Практическое применение первых двух методов может оказаться неэффективным или вообще невозможным. Если попробовать решать «в лоб» систему 15 линейных уравнений с 15 неизвестными с помощью формулы Крамера, то придется вычислить 16 определителей порядка 15, что приведет к выполнению примерно 2*16*15!*14 умножений и сложений. Для выполнения этих вычислений на ЭВМ с быстродействием 106 арифметических операций в секунду потребуется почти 10 недель непрерывной работы. С практической точки зрения при достаточно больших размерах системы матричное решение также является малопривлекательным, поскольку задача нахождения обратной матрицы сама по себе не проще задачи решения системы.
Ко второму классу методов решения систем линейных алгебраических уравнений относятся различные итерационные методы. К ним относятся:
o Метод простой итерации;
o Метод Зейделя.
Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы.
Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы уравнений, возникающие в основном в приложениях, как правило, являются разреженными. Методы исключения для систем с разреженными матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связанна с возможностью существенного использования разреженности матриц.
Применение итерационных методов для качественного решения большой системы уравнений требует серьезного использования ее структуры, специальных знаний и определенного опыта.
2. Постановка задачи:
Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Алгоритм оптимального исключения неизвестных по столбцам и с выбором главных элементов по строкам, преобразовав матрицу А в эквивалентную верхнюю левую треугольную матрицу.
2.1. Вывод рекуррентной формулы
Рассмотрим метод Гаусса оптимального исключения неизвестного по столбцам. В методе оптимального исключения принцип преобразования матрицы аналогичен классическому методу последовательного исключения.
В численном методе Гаусса решения систем линейных уравнений АХ=В преобразуем в эквивалентную треугольную систему.
Решение этой задачи сводится сводиться к двум этапам.
1 этап. Прямой ход.
Матрица А преобразуется в эквивалентную ей левую верхнюю треугольную матрицу, таким же преобразованиям подвергается и вектор-столбец свободных членов В, который обычно присоединяется к матрице А справа как n+1 столбец, но я присоединю его слева как 1 столбец для того, чтобы удобнее было вычислять неизвестные данной нам матрицы.
2 этап. Обратный ход.
На этом ходе находятся корни уравнений методом обратной подстановки.
Алгоритм действия на 1 этапе.
На этапе прямого хода мы должны получить левую верхнюю треугольную матрицу, диагональные элементы должны быть не единичными.
Для этого необходимо:
1. преобразование матрицы А начнем из верхнего правого угла, где расположен элемент а1n+1 и будем двигаться сверху вниз и справа налево
2. двигаясь сверху вниз под диагональю в каждом (n-i+1)-том столбце будем получать нули
3. двигаясь справа налево включая столбец свободных членов обеспечивает эквивалентное преобразование элементов начиная с (n+1) столбца.
Рассмотрим подробно вывод рекуррентных формул для первого этапа.
1.Для получения нуля на месте ведомого элемента ak(n-i+1) необходимо получить новый коэффициент преобразования для k-той строки. Он равен:
(2.1)
2.Далее в каждом цикле частичного обнуления (n-i+1)-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования , с точки зрения математики это описывается следующим образом:
(2.2)
В данном методе на этапе прямого кода выполняется на n операций делений меньше, чем в методе последовательного исключения поскольку в каждом цикле обнуления столбца на подготовку коэффициентов преобразования требуется на одно деление меньше по сравнению с количеством делений элементов ведущей строки вместе с тем этот выигрыш является кажущимся, так как на втором этапе (обратный код) требуется ровно на n операций деления больше, чем в методе последовательного исключения диагональные элементы не равны единице.
Алгоритм действий на этапе обратного хода.
В результате преобразования имеем:
Обобщенные формулы для нахождения корней систем линейных уравнений имеет следующий вид:
(2.3)
(2.4)
Dim x(3), p, p5, S As Decimal
Dim i, k, n, j, i1, j1, t, m, m5, l, m1, max As Integer
Dim strSt As String
Console. WriteLine(«Метод оптимального исключения по столбцам «)
Console. WriteLine(«с выбором главного элемента по строкам»)
‘вывод матрицы на экран
Console. WriteLine(«Исходная матрица»)
For i = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(i, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘выбор главного элемента по строкам
For i = 0 To n — 1
max = Math. Abs(mas(i, n — i))
For j = n — i To 1 Step -1
m5 = Math. Abs(mas(i, j))
If m5 > max Then
If j1 = n — i Then
‘конец алгоритма выбора главного элемента
For l = 0 To n — 1
mas(l, n — i) = mas(l, j1)
Console. WriteLine(«Преобразованная матрица»)
For t = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(t, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
Console. WriteLine(«Преобразовываем матрицу в треугольную левую верхнюю»)
‘процедура прямого хода
‘преобразовываем матрицу в левую верхнюю треугольную
For i = 0 To n — 2
For k = i + 1 To n — 1
p = mas(k, n — i) / mas(i, n — i)
For j = n — i To 0 Step -1
mas(k, j) = mas(k, j) — p * mas(i, j)
‘вывод преобразованной матрицы
For t = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(t, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘вывод полученной матрицы
Console. WriteLine(«Полученная матрица»)
For i = 0 To n — 1
strSt = FormatNumber(mas(i, j), 2)
Console. Write(» <0>«, strSt)
‘процедура обратного кода
x(0) = mas(n — 1, 0) / mas(n — 1, 1)
For j = 0 To n — i — 2
S = S + mas(i, j + 1) * x(j)
x(n — i — 1) = (mas(i, 0) — S) / mas(i, n — i)
Loop While i >= 0
Console. WriteLine(«Полученные значения х»)
For i = 0 To n — 1
Console. Write(«x<0>=», i + 1)
strSt = FormatNumber(x(i), 2)
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса оптимального исключения неизвестных по столбцам, преобразовав данную матрицу в эквивалентную ей левую верхнюю треугольную матрицу с выбором главного элемента по строкам.
1. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
2. Для обнуления 5-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
3. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
4. Для обнуления 4-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
5. Получим новый коэффициент преобразования для каждой k-ой строки.
6. Для обнуления 3-го столбца из каждой ведомой k-той строки вычитается ведущая строка кратная коэффициенту преобразования .
7. Вычислим переменные х:
Сравним полученные результаты с результатом программы
Метод оптимального исключения по столбцам
с выбором главного элемента по строкам
17,00 5,00 2,00 4,00 6,00
13,00 4,00 3,00 1,00 5,00
22,00 6,00 5,00 3,00 8,00
20,00 3,00 10,00 5,00 2,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
13,00 1,00 3,00 4,00 5,00
22,00 3,00 5,00 6,00 8,00
20,00 5,00 10,00 3,00 2,00
Преобразовываем матрицу в треугольную левую верхнюю
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
-0,67 -2,33 2,33 -0,67 0,00
14,33 3,67 9,33 1,33 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
5,00 -15,00 20,00 0,00 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
31,67 31,67 0,00 0,00 0,00
17,00 4,00 2,00 5,00 6,00
-1,17 -2,33 1,33 -0,17 0,00
4,00 7,00 -3,00 0,00 0,00
31,67 31,67 0,00 0,00 0,00
Полученные значения х
. Теория матриц (издание третье)./. Москва: „Наука”, главная редакция физико-математической литературы, 1967г. Математический энциклопедический словарь. Москва: „Советская энциклопедия”, 1988г. Интернет-ресурсы (*****) Выводила рекуррентные формулы студентка 2 курса института информационных технологий
Курсовая работа по теме,, Линейные уравнения с параметром»
В работе приводится пример введения параметра на уроке в 8 классе. Урок разработан полностью .
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
kursovaya_rabota1_lineynym_uravneniyam_s_parametrom.docx | 127.3 КБ |
Предварительный просмотр:
Государственное образовательное учреждение
дополнительного профессионального образования (повышения квалификации)
специалистов Московской области
Педагогическая Академия Последипломного Образования
Кафедра математических дисциплин
Методика решения задач с параметрами
«Линейные уравнения с параметром»
МБОУ Любучанская СОШ Чеховского района Московской области
Никулина Валентина Александровна
- Введение
- Место и цели задач с параметрами в школьном курсе математики.
- Линейное уравнение с параметром . Урок введения понятия параметра.
- Темы факультативных занятий в 8 классе.
- Материал к урокам
- Заключение
- Список литературы
В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. №1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. на старшей ступени общеобразовательного школы предусматривается профильное обучение , ставится задача создания “ системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования ”.
Профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Профильная школа есть институциональная форма реализации этой цели. Это основная форма, однако перспективными в отдельных случаях могут стать иные формы организации профильного обучения, в том числе, выводящие реализацию соответствующих образовательных стандартов и программ за стены отдельного общеобразовательного учреждения.
Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории.
Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Одни из них могут «поддерживать» изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне. Например, элективный курс «Математическая статистика» поддерживает изучение профильного предмета экономики. Другие элективные курсы служат для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий. Например, курсы «Информационный бизнес», «Основы менеджмента» и др. в социально-гуманитарном профиле; курсы «Химические технологии», «Экология» и др. в естественнонаучном профиле. Количество элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно быть избыточно по сравнению с числом курсов, которые обязан выбрать учащийся. По элективным курсам единый государственный экзамен не проводится.
К 15-16 годам у большинства учащихся складывается ориентация на сферу будущей профессиональной деятельности. Так, по данным социологических опросов, проведенных в 2002 году Центром социологических исследований Минобразования России, “профессиональное самоопределение тех, кто в дальнейшем намерен учиться в ПТУ или техникуме (колледже), начинается уже в 8-м классе и достигает своего пика в 9-м, а профессиональное самоопределение тех, кто намерен продолжить учебу в вузе, в основном складывается в 9-м классе”. При этом примерно 70-75% учащихся в конце 9-го класса уже определились в выборе возможной сферы профессиональной деятельности
Место и цели задач с параметрами в школьном курсе математики
Всё возрастающая популярность задач с параметрами далеко не случайна. Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека часто приводят к достаточно сложным уравнениям и неравенствам или их системам содержащим параметры. Задачи с параметрами, предлагающиеся на конкурсных экзаменах, являются прообразом важных научно-исследовательских задач, которые предстоит решать будущему поколению. Такие задачи требуют глубокого понимания сути процесса, свободного владения различными математическими методами и скрупулёзного анализа.
Все рассмотренные задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.
В последнее время в материалах ЕГЭ и ГИА, предлагаются задания по теме: ,,Уравнения, содержащие параметр”. Некоторые учащиеся боятся даже браться за эти задачи, думая, что у них все равно не получиться. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений и неравенств с параметром необходимы ученикам, желающим подготовиться для успешной сдачи централизованного тестирования и ЕГЭ, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало.
Задачи с параметрами – эффективное упражнение для развития интеллекта, математического и логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать, способствуют формированию математической культуры. Каждое из заданий с параметрами представляет для учащихся небольшую исследовательскую работу, справившись с которой, ученик поднимается на одну ступеньку выше в своем понимании методов решения математических задач. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.
При решении задач с параметрами приходится все время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи. Поэтому такие задачи – незаменимое средство для тренировки логического мышления. Их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров, задачи. А привычка к математическим рассуждениям очень полезна при изучении высшей математики и использовании полученных знаний впоследствии.
Программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам найти время на уроке или на факультативных занятиях для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков
Частичное решение проблемы (малочисленность задач с параметрами в школьном курсе математики) я вижу во введении факультативных занятий и элективных курсов по предпрофильной подготовке учащихся ,начиная с 8 класса, которые предусматривают формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, связанные существенным образом с математикой.
В школьном курсе математики одной из важных тем является тема «Линейные уравнения». Это первые уравнения с которыми учащиеся знакомятся в школьном курсе математики, начиная с первого класса , где решение уравнения сводится к нахождению неизвестного слагаемого, неизвестного уменьшаемого, вычитаемого, неизвестного множителя, делимого, делителя. Вводить уравнения с параметром нужно, начиная с линейных.
Урок введения понятия параметр. Линейное уравнение с параметром .
Тема занятия . Параметр. Линейное уравнение с параметром”
Задача занятия : ввести понятие параметра. Дать первые навыки решения линейных уравнений с параметром.
-Дайте определение линейного уравнения
-Что называется корнем уравнения?
-Что значит решить уравнение?
Введение понятие параметра на примере решения уравнения с параметром.
Для любого допустимого значения а указать как находится х.
Вопрос учащимся: Ребята, вы знаете как решать это уравнение ?
-В этом уравнении две неизвестных величины. Давайте решать уравнение перебором значений для а.
если а=2, то уравнение примет вид 2х-8=10-3х
Х=3,6(можно изобразить числовую прямую а и отмечать на ней значения х при заданном значении а )
Если а=-3, то уравнение примет вид -3х-8=-15-3х
0х=-7 уравнение решений не имеет
Если а=4,то уравнение примет вид 8х-8=40-3х
Нужно перебрать как можно больше значений а и указывать соответствующие им значения х . Вывод : перебором задачу не решить.
—А может мы делали какие-то одни и те же операции? (перенос из одной части в другую, нахождение неизвестного множителя)
—Какое выполняется всегда, заострять внимание на нем не нужно.
—А какое не всегда можно выполнить? (нахождение неизвестного множителя) Значит не при всех значениях а уравнение имеет корень.
Используя графическую интерпритацию записать ответ.
Итак решим уравнение :
ах+3х=5а+8 при любом а можно сделать перенос известных в одну сторону, а неизвестных в другую
х(а+3)=5а+8 при любом а можно х вынести за скобку
Чтобы найти х нужно (5а+8) разделить на (а+3), а это не всегда можно сделать.
Если а= -3, то уравнение примет вид ох=-7-решений нет
Если а#-3, то х=(5а+8)/(а+3). Желательно изобразить числовую прямую а и на ней отмечать все значения х , соответствующие данным значениям параметра а.
Ответ: если а=-3, то решений нет;
Если а#-3, то х=(5а+3)/(a+3)
Выполнение упражнений на закрепление.
Для любого допустимого значения а указать как находится х
-В уравнениях иногда некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие буквы называют параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.
Решить уравнение с параметром – значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.
Давайте составим алгоритм решения линейного уравнения с параметром .
-раскрыть скобки, если они есть
-перенести в одну сторону известные, в другую неизвестные (считаем х неизвестным)
-вынести х за скобки
-найти неизвестный множитель, учитывая допустимые значения параметра
Отработка навыка решения линейного уравнения с параметром
д) при каких значениях а уравнение 2(3х-2а)=2+ах не имеет решения ?
е) при каких значениях а уравнение 6(ах-1)-а=2(а+х)-7 имеет бесконечное множество решений ?
ж) при каких значениях а уравнение 2(а-2х)=ах+3 не имеет решения?
З) при каких значениях а уравнение 2(а+х)=3(1-х) имеет положительное решение?
и) при каких значениях а уравнение а(х-3)=2х+1 имеет решение , удовлетворяющее условию х
-Постарайтесь дать определение параметра своими словами
-Повторите алгоритм решения линейных уравнений с параметром
Темы факультативного курса,, Задачи с параметром” в 8 классе
http://pandia.ru/text/78/002/10054.php
http://nsportal.ru/vuz/fiziko-matematicheskie-nauki/library/2013/02/11/kursovaya-rabota-po-teme-lineynye-uravneniya-s