Курсовая работа по теме решение уравнений

Курсовая работа: Методы решения уравнений, содержащих параметр

Выпускная квалификационная работа

Выполнил тудент V курса математического факультета Кузнецов Е.М.

Вятский государственный гуманитарный университет

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

Обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

Возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами;

Выше изложенное обусловило проблему исследования, которая заключается в исследовании целесообразности и возможности изучения методов решения уравнений, содержащих параметры, в старших классах средней школы и в разработке соответствующей методики. Решение этой проблемы составило цель исследования.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре в 7-9 классах и алгебре и началам анализа в 10-11 классах.

Предметом исследования являются классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения.

Гипотеза исследования: применение разработанной на основе общих методов решения уравнений, содержащих параметры, методики их решения позволит учащимся решать уравнения, содержащие параметры, на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод решения, применять разные методы решения.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

проанализировать действующие учебники алгебры и начала анализа для выявления в них использования понятия «параметра» и методов решения уравнений, содержащих параметр;

выделить классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения;

разработать программу факультативных занятий на тему «Методы решения уравнений, содержащих параметр»;

осуществить опытное преподавание.

(F)

с неизвестными х, у, . z и с параметрами . При всякой допустимой системе значений параметров α0, β0, . γ0 уравнение (F) обращается в уравнение

(F0)

с неизвестными х, у. z, не содержащих параметров. Уравнение (F0) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются неравенства и системы, содержащие параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения.

Понятие эквивалентности применительно к уравнениям, содержащие параметр, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения

F(х, у, . z; ) =0 (F),

Ф (х, у, . z; ) =0 (Ф)

с неизвестным х, у. z и с параметрами называются эквивалентными, если для обоих уравнений множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у, z; )=0 (F)

задано в виде некоторой функции от параметров:

х = х();

у = у();

z = z(). (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у. z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F (x(), y(),…,z ())≡0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров = α0, , . соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения [1].

Проанализируем действующие учебники курса алгебры и начала анализа, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

Алгебра. 7 класс.

При изучении уравнений представлено два задания с параметром (№№236, 243). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам.

Также в данном учебнике в §5 «Линейная функция» (глава 2 «Функции») рассматривается прямая пропорциональность, где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром.

Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), где необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков (см. [28]).

Алгебра 8 класс.

При изучении темы «Квадратные уравнения» в разделе дополнительных упражнений для более углубленного повторения материала предлагаются уравнения, содержащие параметр (№№ 645, 646, 660, 663-672), где необходимо найти значение переменной (параметра), если известен корень уравнения или какое-то соотношение корней. Можно выделить два номера (№№ 661, 662), где необходимо найти значение параметра, если известны знаки корней уравнения.

При изучении остальных тем учебника 8 класса параметр не использовался.

Алгебра. 9 класс.

Использование параметра ведется в главе «Квадратичная функция». При формулировании свойств функции в зависимости от коэффициента , и предлагается для решения задача на нахождение нулей функции, которая зависит от параметра. В разделе «дополнительные задачи» приводятся задания с параметром на исследование:

расположения графика относительно прямой;

вершины параболы; нулей функции;

принадлежность данных точек функции, содержащей два параметра.

При рассмотрении графиков функций и строятся предпосылки для решения уравнений, содержащих параметр, графическим методом (параллельный перенос).

При изучении систем уравнений предлагаются дополнительные задачи с параметром на исследование количества решений системы.

В системе упражнений для повторения курса VII-IX классов заданий, содержащих параметр, не представлено (см. [29]).

Мордкович. А. Г. «Алгебра 7 по 9 класс » и «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс»

Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника (см. [30], [31]).

При изучении линейной функции (7 класс глава 6 §28) рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a (a0). При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения.

Номера 828-831 задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о том, чтобы найти значения параметра, если известно решение уравнения. В номерах 902-903 необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку. Эти номера подготавливают ученика к методу «ветвлений» решения уравнений с параметром, о котором расскажем позднее в пункте 4.1.1.

Рассмотрим учебник 8 класса.

В главе «Квадратичная функция. Функция » при изучении функции , ее свойств и графика предлагаются задачи, которые подготавливают ученика к решению уравнений с параметром, где требуется применение производной. А именно номера 474-475, где необходимо найти коэффициенты уравнения данной функции, если известно наибольшее или наименьшее значение функции. И также номера 483-488 в которых известно точки пересечения с осями координат. Особенно нужно выделить следующие номера: № 498-503, где от ученика требуется творческий подход к их решению.

В § 14 «Графическое решение квадратных уравнений» предлагаются задания, где непосредственно представлены уравнения, содержащие параметр. В номерах 518-522 предлагаются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра, если дано уравнение, которое имеет определенное количество корней. Эти задания повышенного уровня. Также предлагается домашняя контрольная работа, в которой имеется уравнение, содержащее параметр. Предлагая эти уравнения для решения, учителю необходимо показать некоторые методы решения квадратных уравнений с параметром. В частности два основных метода: аналитический и графический, но так как времени на рассмотрение этих методов школьной программой в 8 классе не предусмотрено, то учителю приходится чаще всего рассматривать эти методы на факультативах.

В главе 4 «Квадратные уравнения» непосредственно приводятся аналитический и графический методы решения уравнений. В задачнике представлены уравнения с параметром, где необходимо: выяснить вид квадратного уравнения и решить его при найденных значениях параметра; найти значения параметра, если известен корень квадратного уравнения.

При нахождении корней квадратного уравнения снова рассматриваются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра при данном количестве корней квадратного уравнения (№№ 820, 821). Нужно отметить №838, где необходимо выбрать те уравнения, которые имеют два корня при любом значении параметра. Особенно можно выделить следующие номера: 839-841, где ставится задача решить уравнение с параметром, в №842 – необходимо доказать, что уравнение не имеет единственного корня ни при каком значении параметра.

При изучении теоремы Виета предлагаются задания на нахождение значения параметра при данном количестве корней (№ 969). Имеются задачи (№№971, 972) на применение обратного утверждения теоремы Виета, говорящее о том, что сумма и произведение корней уравнения равны коэффициентам этого уравнения. И предлагаются задания повышенного уровня с параметром – номера 999-1005. В них от ученика требуется полное понимание применения теоремы Виета и обратного утверждения. Имеется домашняя контрольная работа, в которой снова присутствуют уравнения с параметром.

При изучении квадратных неравенств, предлагаются задачи (№№ 1360-1365) на нахождение значений параметра, при которых уравнение имеет или не имеет действительных корней (№№ 1366, 1367). Особенно можно выделить №1363 и №1365, так как параметр содержится в коэффициенте при . Это потребует рассмотреть отдельно случаи, когда этот коэффициент равен нулю (см. [32], [33]).

Начало курса алгебры 9 класса начинается с повторения, где предлагаются задачи с параметром (№11, №17-19, №50): на нахождение значения параметра при данных количествах корней; на нахождение значения параметра, при которых во множестве решений неравенства содержится определенное количество чисел, принадлежащих тому или иному множеству.

Рассматривая следующую главу «Неравенства и системы неравенств», нельзя не отметить систему задач, содержащую задания с параметрами (№№85-87). В этих заданиях предлагаются простейшие системы с параметром (см. [34], [35]).

Рассмотрим учебник алгебры и начала анализа 10-11 класса.

Сначала параметр встречается при изучении арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса и решении уравнений вида , , , . Рассматривается решение этих уравнений в общем виде, и в зависимости от значения а рассматриваются частные случаи, причем ставится ограничение на множество значений переменной а (, для первых двух уравнений).

Следующие задачи, содержащие параметр, предлагаются при изучении производной функции. Номера 803, 808, 853 содержат задания с параметром, которые предложены для закрепления знаний о касательной.

Отметим следующие задания (№№889, 914-917), содержащие параметр, на исследование функции на монотонность. Также отметим номера 926-929, так как в них необходимо решить уравнения третьей и четвертой степени графическим методом.

Особое геометрическое и алгебраическое значение имеют задачи с параметром, которые предложены в главе «Первообразная и интеграл». Предложено следующее задание (номера 1061, 1062): найти значения параметра, который содержится в функции, если известна площадь фигуры, ограниченной этой функцией.

В конце изучения курса алгебры и начала анализа в 11 классе выделен параграф для решения уравнений, содержащих параметр. В параграфе объясняется, что такое параметр на простейших уравнениях, рассматриваются линейные и квадратные уравнения.

Задачи, которые предлагаются для этой темы, где предложены различные задания для обобщения всех умений решения задач (номера 1855-1880).

Обобщая все задачи с параметром можно заявить, что данный учебник предлагает параметр как для углубленного изучения пройденных тем, как для изучения непосредственно самого параметра (см. [36], [37]).

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра с 7 по 9 класс» и «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс»

Начнем анализ этой группы учебников с 7 класса.

Уже при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, которые содержит задачи с параметром (№№123-125), где нужно решить простейшие линейные уравнения на нахождение значения параметра, при которых уравнение имеет корни или не имеет корней (№123,124). Особенно можно выделить номер 125, который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.

После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений (см. [25]).

Алгебра 8 класс.

Уравнения, содержащие параметр, встречаются впервые при изучении квадратных уравнений (№№ 414, 428, 442-443, 448). Из них можно выделить номера 442, 443, 448, в которых предлагаются задания на исследование количества корней уравнения в зависимости от значения параметра.

При изучении квадратичной функции рассматривается всего два номера с заданиями, содержащими параметр (№№602, 603). В этих заданиях необходимо найти значение параметра, если известно пересечение двух функций в заданной точке и параметр, содержится в коэффициенте одной из функций.

На этом авторы прекращают использование параметра при изучении тем учебника, но большое внимание уделяют параметру при повторении. Предлагаются задания, содержащие параметр, в основном, для повторения квадратных уравнений ( №№ 791, 792, 809, 818, 819, 822). Все номера одного характера – исследовать корни квадратного уравнения, то есть найти количество корней или сами корни в зависимости от значений параметра.

Уравнения аналогичного характера авторы приводят для внеклассной работы (№№ 889-896, 900, 902).

Выводы: Главным плюсом этого учебника является то, что авторы применяли уравнения, содержащие параметр, именно там, где его использование очень широко – при изучении квадратных уравнений. В этой теме количество задач, содержащих параметр, не может быть ограничено.

При изучении курса алгебры 9 класса уравнения, содержащие параметр предлагаются только в задачах для внеклассной работы (№№ 826-833). Предлагаются квадратные уравнения, где необходимо:

а) найти значения параметра, при которых уравнение имеет или не имеет корни;

б) определить принадлежность корней уравнения тому или иному числовому множеству.

Также предлагаются неравенства с параметром, где необходимо найти значение параметра, если неравенство выполняется при всех значениях неизвестной (см. [26]).

Алгебра и начала анализа 10-11 класс.

В этом учебнике при изучении уравнения рассматривается принадлежность корня множествам , . И это тоже в какой-то степени уравнение с параметром решаемое методом «ветвлений» (пункт 4.1.1). Аналогично при рассмотрении уравнения , , .

Обобщая знания, полученные при изучении третьей главы «Тригонометрические уравнения и неравенства», предложено тригонометрическое уравнение четвертой степени с параметром, классифицированное как задача повышенной трудности.

При повторении курса алгебры и начала анализа 10 класса в системе задач не встречается заданий с параметром и можно утверждать, что в системе изучения этого курса авторы не уделяют внимания к параметру как таковому.

При изучении производной авторы предлагают четыре упражнения с параметром (№№ 544-547), где дана функция, зависящая как от неизвестной, так и от параметра и нужно найти значения параметра, если производная имеет определенный знак или равна нулю.

При изучении же темы «Применение производной к исследованию функций» система задач содержит всего одно задание с параметром (№559).

Аналогично, в системе задач темы «Интеграл» предложена всего одна задача с параметром (№ 670), где нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой, где заключен параметр, и прямой.

При повторении курса алгебры и начала анализа 11 класса предложена одна задача с параметром (№718). В системе задач при итоговом повторении всего курса алгебры содержатся задачи с параметром, аналогичные всем рассмотренным ранее (в предыдущих учебниках и данном). Такими являются: №№ 781, 782 – это при повторении решения уравнений; №№ 828-830 – при повторении решения неравенств.

Выводы: Главным плюсом этого учебника является то, что предложены примерные виды заданий, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы. Одними из таких заданий являются задачи с параметром (№№ 974-976).

В отличие от учебника Мордковича система задач с параметрами предложена только для углубленного изучения и повторения пройденного материала (см. [27]).

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра;

во всех учебниках задания однотипны;

Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно объединить в одну группу – группу уравнений с параметром не выше второй степени.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом . Для таких уравнений всякое частное уравнение не выше второй степени принадлежит одному из следующих типов:

, тогда ,

и , тогда решений нет,

и , тогда ,

, , тогда ,

, , тогда решений нет,

, , тогда .

Контрольные значения параметра определяются уравнением . На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.

Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду .

Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых .

Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.

На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых и , соответствует третий тип не особых частных уравнений.

Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень .

Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.

Множеству значений параметра, для которых и , соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где и , частные уравнения имеют два различных действительных корня (см. [1],[7]).

Пример. Решить уравнение

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются, а=0 и а=2. При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0 и а≠2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0; 2) а=2; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0∙х=2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0∙х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х ==.

0твет: 1) если а=0, то корней нет;

2) если а=2, то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х = .

Пример. Решить уравнение

(а — 1)∙ х2+2∙ (2а+1)∙ х + (4а+3) =0. (3)

Решение. В данном случае контрольным значением параметра a является единица. Дело в том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) a=1; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (3) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = – .

2) Из множества значений параметра а≠1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а ао D > 0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а ао D > 0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (3):

=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим — второе контрольное значение параметра а. При этом если , то D 0,5 х1,2 = 0,5∙(1 ± );

при а = 0,5 х = 0,5;

при а 0,5, следовательно, х1– корень уравнения при а≥1.

при а ≥ 1 х = 0,5∙(1 + );

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:

При а=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

При а=1, b≠1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х)=0 на области допустимых значений D.

При а≠1, b=1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

При а=b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.

При а≠b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) тождественно уравнению (c>0, c≠1) на области D (см. [1]).

Пример. Решить уравнение: а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

2) При а = b = 1, х R;

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3;

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1;

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1;

6) При , получим: уравнение , которое не имеет решения;

7) При а ≠ b и (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:

, х + 1 = (3 – х) log a b , .

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 или , уравнение не имеет решений;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3;

при а ≠ 1, b = 1 х = -1;

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) .

Логарифмические уравнения, содержащие параметр

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения (см. [1]).

Пример. Решить уравнение

2 – log (1 + х) = 3 log а — log (х 2 – 1)2.

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log а а2 + log a(х2 — 1) = log а () 3 + log a,

log а (а2 (х2 — 1)) = log а (() 3),

а2 (х2 — 1) = (х — 1) ,

а2 (х — 1) (х + 1) = (х — 1) .

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х — 1) и на . Тогда получим = .

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а4 (х + 1) = х – 1 а4 х + а4 = х – 1 х( 1 — а4 ) = а4 + 1.

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то .

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть .

Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:

, .

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при а 1, значит при 0 1 решений нет;

Курсовая работа по теме:»Методика решения уравнений с параметрами на уроках алгебры в 7 классе»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко»

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

студентка 4 курса факультета информатики, физики и математики

специальность 032100.01 — «Математика» с дополнительной

Методика решения уравнений с параметрами на уроках алгебры

кандидат педагогических наук,

доцент И.Л. Мирошниченко

с оценкой __________________

§1. Понятие параметра стр. 5

§2. Анализ школьных учебников по алгебре за 7 класс. стр. 7

§3. Методика решения уравнений с параметрами. стр. 11

3.1. Линейные уравнения с параметрами стр. 12

3.2. Системы линейных уравнений с параметрами. стр. 16

Заключение. стр. 20

Список литературы. стр. 21

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления, математической культуры учащихся, но их решения вызывают значительные затруднения. Это связано с тем, что их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и глубоко рассматривается в основном на факультативных занятиях.

Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих из них сложными. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении.

Актуальность выбранной темы состоит в том, что в последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются в заданиях ЕГЭ и ГИА. Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами.

Цель данной работы заключается в разработке методики решения уравнений с параметрами в 7-м классе.

Для осуществления данной цели необходимо решить ряд задач :

рассмотреть всевозможные введения понятия «параметр» с 7-го класса, для этого необходимо провести анализ действующих учебников;

выявить основные типы уравнений с параметрами, встречающиеся в курсе школьной программы за 7 класс;

разработать более рациональный метод решения уравнений, содержащих параметр.

Структура разработки наиболее эффективной методики решения уравнений с параметрами, приведенной в данной работе, заключается в следующем: введение общего понятия «параметра», сущность решения уравнений, содержащих параметр, — все это рассмотрено в первом параграфе курсовой работы. Далее представлен анализ действующих школьных учебников по алгебре за 7 класс, таких как: Макарычев Ю.Н. и др., Мордкович А.Г, Шалимов Ш.А. и др. рассмотрено как осуществляется знакомство учеников с понятием «параметр», какие виды заданий встречаются у каждого автора. И уже в §3 представлена методика решения уравнений с параметром. Суть этой методики заключается в исследовательской работе учеников — в проведении анализа уравнений, содержащих параметр.

§1. Понятие параметра.

Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют внимание и память .

В применении к параметрическим уравнениям можно выделить следующие исследовательские умения:

1) Умение выражать через параметр условия принадлежности данного параметрического уравнения к тому или иному классу уравнений;

2) Умение определять вид уравнения и указывать вид коэффициентов в зависимости от параметров;

3) Умение выражать через параметры, условия наличия решений параметрического уравнения;

4) В случае наличия корней уметь выражать условия наличия того или иного количества корней;

Развивающий характер уравнений с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся: у мение определить наличие и количество корней, выработка определенных алгоритмов мышления, в ыражение одной переменной через другую, п овторение большого объема формул при решении, з нание соответствующих методов решения, ш ирокое применение словесной и графической аргументации, р азвитие графической культуры учащихся;

Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения уравнений с параметрами в школьном курсе математики.

П араметр — (от греч. parametron — отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.

Если в уравнении наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами, а у равнение называется параметрическим.

Примеры: ах = 3 ; 2 х – 5 р = 8; (2 а + 3) х 2 – ах + 1 =0.

Здесь х — неизвестное, а и р — параметры.

Решить уравнение, содержащее параметр, — это значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.

Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.

Определение : Уравнение вида ax = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Решить уравнение с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Изучению задач с параметрами в школе отводится незначительное место, хотя неявно с этим понятием учащиеся сталкиваются, например, при изучении функции y=kx , для этой функции в качестве параметра выступает коэффициент k прямой пропорциональности.

Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев:

получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;

2)получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называют допустимым , во втором – недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла.

§ 2. Анализ школьных учебников по алгебре 7 класс.

Проанализируем действующие учебники курса алгебры, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

1. Макарычев Ю.Н. и др. «Алгебра. 7 класс»

При изучении уравнений представлено два задания с параметром (№№538, 546). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам.

№ 546. При каком значении b корни уравнений 5 bx-2(4x+b)-x=16b и 1,6(2+x)-3,2(3x+4)=0 являются противоположными числами?

№ 538. найдите натуральные значения a , при которых является натуральным числом корень уравнения:

Также в данном учебнике в §15 «Линейная функция» (глава 7 «Функции») рассматривается прямая пропорциональность, где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром.

Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе 8 «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), где необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков .

№ 1214*. При каком значении а прямые 4 х + 3 у = а и 2x – 3y = 8 пересекаются в точке, принадлежащей оси у, оси x ?

№ 1344 При каком значении а прямая ax + 5y = 9 проходит через точку пересечения прямых 5x + 4y = 6 и 3x – y = 7 ?

Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника.

При изучении линейной функции (глава 2 § 7 ) рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a . При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения.

Номера 10.18-10.20 задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о том, чтобы найти значения параметра, если известно решение уравнения. Также содержится ряд заданий, (например, № 7.25-7.29 ) в которых необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку.

№ 10.18 . Даны две возрастающие линейные функции у=k1x – m1, у=k2x – m2 . Подберите такие коэффициенты k1, k2, m1, m2, чтобы их графики были параллельны.

№ 7.26 . Найдите значения коэффициентов а в уравнении ах +8у= 20 , если известно, что решением этого уравнения является пара чисел: а) (2;1); б) (-3;-2).

3. Алимов Ш.А. и др. «Алгебра 7 класс».

Уже при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, которые содержит задачи с параметром (№№ 99-125 ), где нужно решить простейшие линейные уравнения на нахождение значения параметра, при которых уравнение имеет корни или не имеет корней (№123,124).

№ 99 . Решить уравнение, если a и b – заданные числа, отличные от нуля:

а) ax – 3 = b; б) 4 + bx = a; в) b = a(x – 3); г) 4 = a – (bx – 1);

№ 123. Подобрать число a такое, чтобы уравнение имело корни:

а) 5x – 7 = 5x – a; б) x – (2 – x) = 2x – a;

Особенно можно выделить номер 125, который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.

№ 125* Решить уравнение, принимая за неизвестное х выяснить при каких значениях а это уравнение имеет корни.

a) 2х – 3(х – а) = 3 + а

б) a + 6( x – 1) = 2a + x

в) (ax – 2): 2 = (3 – ax):4

После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений.

№ 732. Дана функция у = kх + b . При каких значениях k и b график функции проходит через точки (-1; 1) и (2;3). Найдите значение k , если известно, что график функции y = kx – 1 проходит через точку (-3;2).

Вывод: в рассмотренных учебниках 7 класса встречаются задания с параметрами, но внимания таким заданиям уделяется мало, так как решение уравнений с параметрами является одним из самых трудных, в особенности и для понимания учениками, разделом курса элементарной математики. Такое положение дела представляется определенным недостатком школьного обучения — хотя известно, что такие задания необходимо включать в учебники с точки зрения необходимости логического развития школьников. Содержание материала и требования к учащимся по теме: «задачи с параметрами» должны определяться, конечно, уровнем математической подготовки всего класса в целом и каждого в отдельности. По интересующим учащихся вопросам можно организовать дополнительные занятия, кружки и факультативы.

§3. Методика решения уравнени й с параметрами .

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой — он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении — это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.

Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре и предложить задания в которых надо выразить одну переменную через другую.

Выразите х через другие переменные:

а) ; б) ; в)

г) ; д)

Повторив на простых примерах, что значит решить уравнение, обратим внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное через числа.

Исходя из возрастных особенностей учащихся, все задания с параметрами в 7 классе носят пропедевтический характер. Должны встречаться задания с параметрами на решение линейных уравнений, систем линейных уравнений, на выражение одной переменной через другую (в уравнениях с двумя переменными). Учащиеся на этом этапе еще не знакомы с понятием параметра, но в учебниках обязательно должно быть помещено примечание о том, что более подробно такие задания будут рассмотрены в 8 классе.

Основные виды уравнений, содержащих параметр, рассматриваемые в 7 классах :

линейные уравнения с одной переменной;

системы линейных уравнений;

3.1 Линейные уравнения с параметрами.

Семиклассники хорошо решают линейные уравнения с параметрами. Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.

Определение: Уравнение вида ax = b , где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если a ≠ 0 , то x=

Пример 1 : Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х .

Решение: Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовём параметром.

Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Значение х находится по формуле х = 5 + а , подставляя в неё задаваемые значения параметра а . Заметим, что значения параметра а задаём произвольно.

В нашем примере: при а = 3 х = 8

Ответ: при любом значении параметра а х = 5 + а.

Поставим задачу, обратную данной.

Пример 2 : При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?

Решение: т.к. х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7 , то при подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7

Пример 3 : Решите уравнение: ax = 1

если a ≠ 0 то x = ;

если а = 0 , то корней нет;

Ответ: если а = 0 , то корней нет, если а ≠ 0 , то x = .

Пример 4 : Решите уравнение ax + 8 = a ( a – параметр)

Итак, коэффициент при х равен а . Возникают два возможных случая:

1) Коэффициент при х = 0 и уравнение примет вид 0х = 8 – не имеет корней уравнение;

2) Коэффициент при х ≠ 0 и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент:

x =

Ответ: при а = 0 – нет корней, при а ≠0 х =

Пример 5 : Решить уравнение 2а∙(а – 2)∙х = а – 2.

Решение: Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0 . Такими значениями являются, а=0 и а=2 . При этих значениях параметра а , невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х . В то же время при значениях параметра а ≠ 0 и а ≠ 2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества:

и решить данное нам уравнение на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а ≠ 0, а ≠ 2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение принимает вид 0∙х=2 . Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение принимает вид 0∙х=0 . Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а ≠ 0, а ≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х = = .

Ответ : 1) если а=0 , то корней нет;

2) если а=2 , то х — любое действительное число;

3) если а ≠ 0 , а ≠ 2 , то х = .

В 7 классе начинаем обращать внимание учеников на запись ответа.

Далее продолж аем работу по формированию умений решать линейные уравнения с параметром.

Условия для поиска значения параметра а

Характеристика множества корней

1. k ( a ) не имеет смысла

2. b ( a ) не имеет смысла

3.

4.

один корень

5.

Применим этот алгоритм к решению уравнений.

Пример 5 : Решите уравнение

Решение: ,

k ( a ) не имеет смысла при а = 2

b ( a ) не имеет смысла при а = – 3

, система решений не имеет

4) , , если а  – 2, а  – 3, а  2, то

,

5) , система имеет единственное решение при а = – 2.

Ответ: если а = 2, а = – 3, то решений нет; если а  – 2, а  – 3, а  2, то ; если а = – 2, то х – любое число.

Пример 6: Решите уравнение ( k 2 – 1) x = k + 1

1) k + 1 имеет смысл при любом k .

2) k 2 – 1 имеет смысл при любом k .

3) , при k = 1 исходное уравнение решений не имеет

4) ( k 2 – 1)  0, ( k – 1) ( k + 1)  0; если k  1, k  – 1, то

, .

5) , если k = – 1, то х – любое число.

Ответ: если k = 1, то решений нет; если k = – 1, то х – любое число; если k  1, k  – 1, то .

3.2 Система линейных уравнений с параметрами.

Далее рассматриваем р ешение систем линейных уравнений, содержащих параметры.

Говорят, что дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y , если требуется найти пары чисел ( x ₀ , y ₀ ), являющиеся решениями одновременно первого и второго уравнения.

Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы, — методом подстановки или сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений.

Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Это позволяет наглядно продемонстрировать число решений системы. Две прямые могут либо пересекаться — одно решение, либо совпадать — бесконечно много решений, либо не иметь общих точек.

Если , то система имеет единственное решение,

Если , то система не имеет решений,

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 1: При каких значениях параметра а система

а) имеет бесконечно много решений;

б) имеет единственное решение?

а) = , а = 4.

б) , а ≠ 4.

Ответ: а) если а = 4 , то система имеет бесконечно много решений;

б) если а ≠ 4 , то решение единственное.

Пример 2: Решите систему уравнений:

а)

, т. е. при m ≠ 1 система имеет единственное решение

,

б) , т. е. при m = 1 и n ≠1 исходная система решений не имеет.

в) , при m = 1 и n = 1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: если m = 1 и n ≠1 , то решений нет;

если m = 1 и n = 1, то решений бесконечное множество, если m ≠1 и n – любое, то .

В учебниках за 7 класс представлены ряд заданий на пересечение графиков функции y=kx, содержащие параметр , решаемые при помощи системы уравнений.

Пример 3 : Графики функций y = (4 – a ) x + a и y = ax + 2 пересекаются в точке с абсциссой, равной – 2 . Найдите ординату точки пересечения.

Решение: ,

Пример 4 : Графики функций y = kx – 4 и y = 2 x + b симметричны относительно оси абсцисс.

б) найдите точку пересечения этих графиков.

Решение: Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно b = 4

, ,

В результате y = 2 x + 4 и y = — 2 x – 4 , точка пересечения графиков (- 2; 0).

Ответ: а) b = 4, k = — 2 ;

Пример 5: Решите уравнение: | x + 2| = a .

Построим в одной системе координат графики функций у = | х + 2| и у = а .

Если a > 0 , то у = — х — 2 , или

Исследование элементарных способов решения рациональных уравнений

Автор: Пользователь скрыл имя, 18 Апреля 2013 в 23:24, курсовая работа

Краткое описание

Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений.
В школе решению рациональных цравнений отводится много времени, всвязи с тем, что рациональных уравнений много,и каждый типо уравнений решается по своему.

Оглавление

Введение 3
Основные теоретические понятия 4
Теоремы о равносильности 6
Рациональные уравнения 8
3.1 Линейные уравнения 8
Системы линейных уравнений 9
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним….11
Возвратные уравнения……………………………………….20
Формулы Виета для многочленов высших степеней……. 21
Системы уравнений второй степени………………………..23
Метод введения новых неизвестных при решении уравнений
и систем уравнений…………………………………………..26
Однородные уравнения……………………………………. 29
Решение симметрических систем уравнений……………. 32
3.10 Уравнения содержащие знак модуля……………………..34
Основыные способы решения рациональных уравнений. 38
Заключение…………………………………………………….40
Список литературы……………………………………………41

Файлы: 1 файл

Курсовая работа.docx

Министерство образования и науки РФ

Московский государственный областной университет

по дисциплине «Теория элементарных функций. Теория решения уравнений и неравенств»

«Исследование элементарных способов решения рациональных уравнений»

Третьякова Анастасия Олеговна

Забелина Светлана Борисовна

1. Основные теоретические понятия 4
2. Теоремы о равносильности 6
3. Рациональные уравнения 8

3.1 Линейные уравнения 8

1. Системы линейных уравнений 9
2. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним….11
3. Возвратные уравнения……………………………………….20
4. Формулы Виета для многочленов высших степеней……. 21
5. Системы уравнений второй степени………………………..23
6. Метод введения новых неизвестных при решении уравнений

1. Однородные уравнения……………………………………. 29
2. Решение симметрических систем уравнений……………. 32

3.10 Уравнения содержащие знак модуля…………………… ..34

1. Основыные способы решения рациональных уравнений. 38
2. Заключение…………………………………………………… .40
3. Список литературы……………………………………………41

Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений.

В школе решению рациональных цравнений отводится много времени, всвязи с тем, что рациональных уравнений много,и каждый типо уравнений решается по своему.

Существует множество способов решений для всех типов уравнений, как стандартные так и не стандартные. В своей работе я хочу рассмотреть основные и наиболее оптимальные способы решения рациональных уравненийдать основные теоретические понятия которые необходимы чтобы решать уравнения.

1. Основние теоретические понятия

Уравнение — математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, — решениями (корнями).

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Алгебраические уравнения. Уравнения вида f_n(x) = 0, где f_n(x) – многочлен одной переменной, называются алгебраическими уравнениями.
Многочленом называется выражение вида f_n(x) = a_nx n + a_n-1x n -1 + . + a₁x + a₀ = 0 .В свою очередь алгеброические уравнения подразделяются на целые, дробные и иррациональные.

Трансцендентные уравнения. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. трансцендентные делятся на показательные ,логарифмические и тригонометрические.

При решении уравнений необходимо находить область допустимых значений – ОДЗ. ОДЗ уравнения называется множество тех значений неизвестной, при которых определены его правая и левая части. Очевидно, что вне ОДЗ решений не существует, однако не все числа, входящие в ОДЗ, служат решениями уравнения.

2.Теоремы о рвыносильности

При решении уравнений выполняются различные тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными. Определение: Уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению f1(x)=g1(x), если каждый корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают. Например, уравнения 3x-6=0; 2х–1=3 равносильны, т.к. каждое из уравнений имеет один корень х=2. Любые два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными. Тот факт, что уравнения f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x) равносильны, обозначают так: f(x)=g(x) f1(x)=g1(x) В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Рассмотрим теоремы о равносильности уравнений.

Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному. Доказательство: Докажем, что уравнение f(x) = g(x)+q(x) (1) равносильно уравнению f(x) – q(x) = g(x) (2) Пусть х=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a)+q(a) . Но тогда по свойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее, что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1). Что и требовалось доказатью.

Теорема 2: Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную Степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3: Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 4: Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 5: Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

где n — натуральное, a₀, a₁,…, a_n — некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.

где P₁(x), P₂(x), … ,P_m(x), Q₁(x), Q₂(x), …, Q_m(x) — целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) — многочлены (Q (x) ¹ 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x) ¹ 0.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a¹0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.

Если a=0; b¹0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X₀ и Y₀, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y₀ = aX₀ + b.

Пример. Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Пример. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Пример. Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

Ответ: Любое число.

3.2.Системы линейных уравнений.

где a₁, b₁, … ,a_n, b —некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

1. система не имеет решений;
2. система имеет ровно одно решение;
3. система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.

Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример. решить систему уравнений

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

Пример. решить систему уравнений

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Пример . При каких значениях параметра a система уравнений

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет бесконечно много решений?

Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)( – (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1 ) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y.

3.3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — некоторые числа (a¹0);

x — переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a — от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2 ) – (b / 2a) 2 + (c / a) =