Курсовая работа уравнения и неравенства с параметром

Курсовая работа уравнения и неравенства с параметром

ФБГОУ ВПО «Мордовский государственный

педагогический институт имени М.Е. евсевьева»

Кафедра математики и методики обучения математики

Методика формирования умений решать уравнения и неравенства с параметрами в курсе основной общеобразовательной школе

Автор курсовой работы:

студентка группы МДМ-110 А.И. Зимина

Специальность: 050201.65 «Математика» с дополнительной специальностью 050202 «Информатика»

. Теоретические основы линий уравнений и неравенств в школьном курсе математики

.1 Виды уравнений в школьном курсе математики

.2 Виды неравенств в школьном курсе математики

.3 Особенности решения уравнений с параметрами

.4 Особенности решения неравенств с параметрами

. Методические рекомендации к решению уравнений и неравенств с параметрами

Список используемой литературы

На современном этапе развития школьного образования становятся приоритетными развивающие цели обучения. В связи с этим при изучении математики особую значимость приобретает организованное обучение приемам мышления, рационального выполнения учебной деятельности, что исключительно важно при усвоении трудных тем и решении сложных задач таких, как уравнения и неравенства с параметрами. Именно недостаточная сформированность приемов учебной деятельности является одной из причин того, что большинство учащихся совершает ошибки или испытывает затруднения при решении даже несложных задач такого рода.

Изучением задач с параметрами, их роли в обучении, понятий, связанных с их решением, в разные годы занимались М.И. Башмаков , Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Г.Л. Луканкин, Я.Л. Крейнин, В.К. Марков, А.Г. Мордкович, Н.Х. Розов, Г.И. Саранцев, Р.А. Утеева и др. Многие из них подчеркивали важность обучения школьников приемам решения уравнений и неравенств с параметрами прежде всего в связи с необходимостью подготовки учащихся к выполнению работ итоговой аттестации и различного рода конкурсных испытаний. При этом большинство авторов характеризует задачи с параметрами как исследовательские задачи, требующие высокой логической культуры и техники исследования; как наиболее сложные в логическом и семантическом плане вопросы элементарной математики. В этой связи В.В. Вересова, В.И. Горбачев, Н.С. Денисова, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович, Т.Н. Полякова, Г.А. Ястребинецкий и др. справедливо замечают, что для описания процесса их решения необходимо использовать систему понятий, математических утверждений и фактов, определяемую фундаментальными математическими идеями; некоторые из них предпринимают попытки к ее разработке. Однако в многочисленных пособиях и руководствах справочного и методического характера для поступающих в вузы рассматриваются лишь частные приемы решения конкретных уравнений и неравенств с параметрами, чаще всего в рамках широкого спектра конкурсных заданий.

Уравнения и неравенства, содержащие параметр, не изучаются систематически в школьном курсе математики, а рассматриваются лишь отдельные их простейшие примеры. Поэтому методы и приемы решения таких задач большинству учащихся не известны.

Актуальность данной темы состоит в том, что анализируя экзаменационные работы по математике, приходишь к выводу, что за курс математики в общеобразовательной школе учащимися должны быть отработаны умения решения задач с параметрами. Кроме непосредственной подготовки учащихся к экзаменам по данному разделу математики (решение задач с параметрами), главная его задача — поднять на более высокий уровень изучение математики в школе, следующий за развитием умений и навыков решения определенного набора стандартных задач.

Объект исследования: процесс формирования умений решать уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе метематике основной школы.

Предмет исследования: уравнения и неравенства с параметрами.

Цель исследования: выделить виды, методы решения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математике.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

) Изучить и проанализировать специальную литературу по проблеме исследования;

)Рассмотреть роль уравнений и неравенств в школьном курсе математике;

)Разработка методических рекомендаций к решению уравнений и неравенств с параметрами.

1. Теоретические основы линий уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.

в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, — это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями (k-натуральное число, большее 1.

Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Приведенные примеры показывают влияние уравнений и неравенств на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

.1 Виды уравнений в школьном курсе математике

уравнение неравенство математика

Понятие «уравнение » относится к важнейшим общематематическим понятиям.

Существуют различные трактовки понятия «уравнение».

И.Я. Виленкин и др. приводит логико — математическое определение уравнения. Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х — переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно x называется предикат вида , где и — термы относительно заданных операций, в запись которого входит символ .Аналогично определиться уравнение от двух и более переменных.

Принятые в логики термины «терм» и «предикат» соответствуют такие термины школьной математики как «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению можно считать следующее определение: «Предложение с переменной, имеющий вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением». Такое определение приведено в учебнике «Алгебра и начала анализа» А.Н Колмогоров и др. Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнение вводится по средством выделение его из алгебраического метода решения задач. Например, в учебнике Ш.А.Алимова и др. понятие уравнение вводиться на материале текстовой задачи. Переход к понятию уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи, выражающих содержание данной задачи в алгебраической форме: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением». Указываемый способ введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия уравнения — прикладному.

Еще один подход к понятию уравнения получается при составления области определения уравнения и множества его корней. Например, в учебнике Д.К.Фадеева «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное числовое равенство при допустимых наборов букв, называется уравнение».

Можно встретить и третий вариант определения, роль которого проявляется при изучения графического метода решения уравнений: «Уравнение — это равенство двух функций».

Среди всех изучаемых в курсе математике типов уравнений В.И. Мишин выделяет сравнительно ограничение количество основных типов. к их числу относится: линейное уравнение с одним неизвестным, систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, квадратные уравнения, простейшие иррациональные и трансцендентные.

Ю.М.Колягин и др. классифицируют по виду функций, представляющих правую и левую части уравнений:

алгебраическим, если и — алгебраические функции;

трансцендентным, если хотя одним из функций и трансцендентная;

рациональным алгебраическим (или просто рациональным) , если алгебраические функции и рациональные;

иррациональным алгебраическим( или просто иррациональным), если хотя бы одна из алгебраических функций и иррациональная;

целым рациональным, если функция и целые рациональные;

дробным рациональным, если хотя бы одна из рациональных функций и дробная рациональная.

Уравнение , где — многочлен стандартного вида, называется линейным (первой степени), квадратным( во второй степени), кубическим (третьей степени) и вообще — ой степени, если многочлен , имеет соответственно первую, вторую, третью и вообще — ую степень.

В школе изучаются несколько типов уравнений. К их числу относятся: линейные уравнения с одной не известной, квадратные уравнения, иррациональные и трансцендентные уравнения, рациональные уравнения. Эти типы уравнений изучаются с большой тщательностью, для них указывается и доводиться до автоматизма выполнение алгоритма решения, указывается форма, в котором должен записываться ответ.

Виды уравнений и методы решения:

Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Найти все корни уравнения или доказать, что их нет — это значит решить уравнение.

Пример 1: Решить уравнение .

Квадратное уравнение — это уравнение вида , где коэффициенты a, b и c — любые действительные числа, причем а?0.

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Пример 2: Решить уравнение

Данное уравнение можно решить либо через Теорему Виета, либо через дискриминант.

рациональные уравнения — уравнения вида

где и многочлены, атак же уравнения вида , где и — рациональные.

Пример 3: Решить уравнение

Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Пример 4: Решить уравнение

Возведем обе части в квадрат:

) Показательные и логарифмические уравнения

При решения показательных уравнений используются два основных метода: а) переход от уравнения к уравнению ;б) введения новых переменных. Иногда приходиться применять исскуственные приемы.

Логарифмические уравнения — решаются тремя методами, то есть переход от уравнения к уравнению — следствию ;метод введения новых переменных логарифмирования, то есть переход от уравнения к уравнению .

А так же во многих случаях при решения логарифмического уравнения приходиться использовать свойства логарифма произведения, частного, степени , корня.

.2 Виды неравенств в школьном курсе

В целом изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений.

Отметим ряд особенностей изучения неравенств.

. Как и в случае уравнений отсутствует теория равносильности неравенств. Учащимся предлагаются её незначительные фрагменты, приведённые в содержании учебного материала.

. Большинство приёмов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Например, такая ситуация возникает при решении рациональных неравенств методом интервалов, при решении простейших тригонометрических неравенств.

. В изучении неравенств большую роль играют наглядно — графические средства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» ( , a; или если a > b, то b b, то a + c > b + c; или если a b и c > d, то a + c > b + d . То есть, неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или b и c b — d . Или, если a d, то a — c b и m > 0, то ma > mb и a/m > b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак.

. Если a > b и m алгебраические;

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Неравенство — алгебраическое, первой степени.

Неравенство — алгебраическое, второй степени.

Курсовая работа по теме: «Решение алгебраических неравенств с параметром методом областей».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

3. Метод областей, его теоретическая основа…………………………

4. Примеры решения алгебраических неравенств с параметром методом областей……………………………………………………………

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………….

Тема «Неравенства» занимает важное место в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения неравенств, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем элементарной алгебры. Это объясняется тем, что неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты вступительного экзамена неравенства, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. Этот один из наиболее трудных разделов элементарной математики рассматривается. Также неравенства с параметрами встречаются в материалах ЕГЭ по математике.

Все это послужило причиной выбора темы курсового исследования «Решение алгебраических неравенств с параметром методом областей».

Объект исследования: алгебраические неравенства.

Предмет исследования: алгебраические неравенства, содержащие параметр.

Целью курсовой работы является изучение алгебраических неравенств с параметром и их решение методом областей.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд исследовательских задач.

Изучить математическую литературу для определения понятий «алгебраическое неравенство», «параметр», «алгебраическое неравенство с параметром».

Рассмотреть методы решения алгебраических неравенств с параметром.

Изучить особенности решения алгебраических неравенств методом областей.

Решить набор неравенств с параметром.

Теоретическая значимость курсовой заключается в систематизации теории решения алгебраических неравенств с параметром.

Практическая значимость курсовой работы заключается в том, что материал курсовой работы может быть использован для разработки элективного курса по математике в 9-11 классах.

Курсовая работа состоит из четырех параграфов. В первом параграфе рассматривается понятие алгебраического неравенства и его виды, понятие равносильного неравенства. Во втором параграфе рассматривается понятие параметра и методы решения алгебраических неравенств с параметром В третьем параграфе раскрывается описание решения алгебраических неравенств методом областей. В четвертом параграфе приведены примеры решения алгебраических неравенств методом областей.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА. ИХ ВИДЫ

Определение. Алгебраическим неравенством относительно переменной х называется высказывательная форма, имеющая вид , , где f ( x ), g ( x ) – рациональные выражения.

Область допустимых значений алгебраического выражения (сокращенно ОДЗ) это множество значений переменной, при которых это выражение определено.

Решением неравенства называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство означает установить все его решения или доказать, что решений не существует.

Основные свойства алгебраических неравенств

Выражается в том, что для любого числа а неравенства a > a и a a – неверные. Действительно, известно, что для любого числа a выполняется равенство a−a=0 , откуда в силу разностного определения равных чисел следует равенство a=a . Следовательно, a и a>a – неверные неравенства.

Например, 3 , — неверные неравенства.

Если числа a и b такие, что a , то b>a , и если a>b , то b .

Обоснуем его, обратившись к определению отношений «больше» и «меньше». Начнем с первой части. Так как a , то a−b – отрицательное число. При этом b−a=−(a−b) – положительное число, как число, противоположное отрицательному числу a−b . Следовательно, b>a . Аналогично доказывается и вторая часть рассматриваемого свойства.

Пример. Из неравенства 5 вытекает, что 11>5.

Если числа a , b и c таковы, что a и b , то a , и если a>b и b>c , то a>c .

Докажем его первое утверждение. Условия a и b означают, что a−b и b−c – отрицательные числа. Разность a−c можно представить как (a−b)+(b−c) , а это есть отрицательное число как сумма двух отрицательных чисел a−b и b−c , что следует из правила сложения отрицательных чисел . Таким образом, a−c – отрицательное число, откуда следует, что a , что и требовалось доказать. Абсолютно аналогично доказывается и вторая часть свойства транзитивности.

Пример. Из неравенств −1 и 5 можно заключить, что −1 .

Определение. Два неравенства с одной переменой f(x)>g(x) и h(x)>q(x) называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают.

Свойства равносильности неравенств

Виды алгебраических неравенств

Линейное неравенство с одной неизвестной.

Определение. Линейным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида ax+b > 0 , где вместо знака >, естественно может быть любой другой знак неравенства ( a и b – действительные числа , причем a≠0 . Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл: Учебник. М. 2010.

Пример. 4(x − 1) ≥ 5 + x

Решение. ОДЗ: ; 4x − 4 ≥ 5 + x, 4x − x ≥ 5 + 4, 3x ≥ 9, x ≥ 3.

Определение. Это неравенство вида ax 2 +bx+c (вместо знака , ≥), где a , b и c – некоторые числа, причем a≠0 , а x – переменная (переменная может быть обозначена и любой другой буквой).

Пример. Решите неравенство

Определение. Рациональное неравенство – это неравенство, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х. Никольский С. М. Алгебра 10 кл: Учебник. М. 2010.

Решение. Метод интервалов.

Определение 1. Неравенство, содержащее неизвестное под знаком корня называется иррациональным. Алимов Ш. А. Алгебра и начало математического анализа 10 кл: Учебник. М. 2012.

Виды иррациональных неравенств

1. равносильно системе в которой неравенство можно опустить и получается система

2. равносильно системе в которой неравенство можно опустить и получается система

3. равносильно совокупности двух систем

Решение. ОДЗ: следовательно ; 5-х x >-11.

Следовательно ответ (рисунок 2

ПОНЯТИЕ ПАРАМЕТРА В МАТЕМАТИКЕ. НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ, МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Понятие параметра в математике

Определение 1. Параметр (от греческого слова parametron — отмеривающий) — величина, значение которой служат для различения некоторого множества между собой. Мордкович А. Г. Алгебра 9 кл: Учебник. М. 2013.

Основные типы задач с параметром

Тип 1. Неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Неравенства с параметрами».

Тип 2. Н еравенства, для которых требуется определить имеет неравенство решения или нет в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых решения неравенства обладают заданными свойствами.

Основные методы решения задач с параметром

Метод 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Решите неравенство при всех значениях параметра а

(а + 1)х – 3а + 1 ≤ 0.

Решение. (а + 1)х – 3а + 1 ≤ 0 – линейное неравенство.

а+1=0; 0х+3-1 ≤ 0, 2 ≤ 0 — Нет решения.

Ответ. Если a , то , если а=-1 , то решений нет; если a >-1 , то .

Пример 2. Решите неравенство при всех значениях параметра а

Решение. Преобразуем исходное неравенство , . Домножим на (-1) обе части неравенства, получим .

Исследуем возможные случаи для параметра а:

1 случай. Пусть или а ∈ (-∞; 0)ᴗ(1; +∞) . Тогда .

2 случай. Пусть , т.е. а = 0 . Тогда x – любое действительное число.

3 случай. Пусть или а ∈ (0; 1) . Тогда .

Пример 3. При всех значениях параметра a решите неравенство

Решение. При любом фиксированном значении a это обычное рациональное неравенство. Это неравенство равносильно неравенству

Для этого на числовой оси надо расположить точки а и а+2. Очевидно, что при любом значении a число a+2 больше, чем a . Эти точки будут являться нулями параболы , ветви которой направленный вверх (рисунок 3).

Получаем, что значения функции будут неотрицательны в промежутках и .

Ответ. при любом а .

Метод 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).

Пример. Решить неравенство при всех значениях а

Решение. Перенесем х в левую часть неравенства. Строим график функции у = |2 – |x||+ x (рисунок 4) и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = а.

Ответ. Если , то решений нет; если , то ; если , то ; если а=2 , то ; если , то .

МЕТОД ОБЛАСТЕЙ, ЕГО ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА

Метод областей на координатной плоскости

В основе метода областей на координатной плоскости лежит метод координат.

Определение. Геометрическим местом точек (ГМТ) плоскости называется совокупност0ь точек, обладающих одним или несколькими общими (характеристическими) свойствами. Днепровская О. А., Калабина Е. В., Ермак Н. В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Определение. Аналитическим условием, определяющим фигуру (ГМТ) в данной системе координат, называется уравнение, неравенство, их системы или совокупности, которым удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты любой точки, не принадлежащей фигуре.

Аналитическое условие прямой – уравнение

Точки первой координатной четверти задаются системой неравенств

Окружность определяется уравнением

Метод координат позволяет

Характеризовать посредством координат точек геометрические объекты, задавать их аналитические условия;

Использавать аппарат алгебры для решения геометрических задач;

Алгоритмизировать процесс решения задач и доказательства теорем.

Методом координат решаются аналитические задачи двух типов

По геометрическим свойствам фигуры составить ее аналитическое условие.

По заданному аналитическому условию фигуры исследовать ее свойства.

Задачи с параметром в основном относятся ко второму типу.

При решении задач второго типа необходимо учитывать

Уравнение с двумя неизвестными F ( x , y )=0 задает множество точек на плоскости.

Задание фигуры уравнением называется явным.

Задание фигуры уравнением называется неявным.

Задание фигуры системой уравнений называется параметрическим заданием.

Если аналитическому условию фигуры удовлетворяют координаты конечного числа точек, то фигура вырожденная (например, ).

Если аналитическому условию фигуры не удовлетворяют действительные координаты точки, то фигура мнимая (например, ).

Если аналитическое условие фигуры представимо как произведение множителей, сравнимых с нулем, то фигура распавшаяся (например, ).

Для изображения на координатной плоскости Оху множества решений неравенств с двумя переменными используется построение на координатной плоскости множества точек, у которых координаты удовлетворяют данным неравенствам. При решении неравенства f(x; у) ≥ 0 , равносильного смешанной совокупности применяется метод областей, являющийся обобщением метода интервалов на случай двух переменных. Для этого вначале находят все нули выражения f ( x ; у) , то есть все такие точки, координаты которых удовлетворяют уравнению f ( x ; у) =0 . В общем случае уравнение f ( x ; у)=0 задает некоторую кривую (или несколько кривых) на плоскости Оху . Полученные кривые разбивают плоскость на множества, для координат всех точек которых выражение f ( x ;у) имеет постоянный знак. Далее отбирают требуемые подмножества, у которых координаты точек удовлетворяют неравенству f ( x ;у) >0 . Это можно сделать подстановкой координат произвольной точки из рассматриваемого подмножества в выражение f ( x ; у ).

Простейшим является случай, когда f(x;у)=Ах +By+С, где , то есть числа А и В одновременно не обращаются в нуль. Уравнение Ах+By+С=0 задает прямую, которая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости, для координат точек одной из которых выполняется неравенство Ах+ By+С> 0 , а в другой неравенство Ах+Ву+С .

Уравнение , где a, b, R — заданные числа, причем R>0 , задает на координатной плоскости окружность С радиуса R с центром в точке (а; b), а неравенствам и удовлетворяют все те и только те точки, которые расположены соответственно внутри области, ограниченной окружностью С , и снаружи.

Пример. Решите неравенство

Решение. ОДЗ этого неравенства состоит из точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству или , т.е. . Пунктирной линией изображаем окружность с центром в точке (-2,0) радиуса 2 (рисунок 5) .

Курсовая работа: Методы решения уравнений, содержащих параметр

Выпускная квалификационная работа

Выполнил тудент V курса математического факультета Кузнецов Е.М.

Вятский государственный гуманитарный университет

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

Обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

Возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами;

Выше изложенное обусловило проблему исследования, которая заключается в исследовании целесообразности и возможности изучения методов решения уравнений, содержащих параметры, в старших классах средней школы и в разработке соответствующей методики. Решение этой проблемы составило цель исследования.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре в 7-9 классах и алгебре и началам анализа в 10-11 классах.

Предметом исследования являются классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения.

Гипотеза исследования: применение разработанной на основе общих методов решения уравнений, содержащих параметры, методики их решения позволит учащимся решать уравнения, содержащие параметры, на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод решения, применять разные методы решения.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

проанализировать действующие учебники алгебры и начала анализа для выявления в них использования понятия «параметра» и методов решения уравнений, содержащих параметр;

выделить классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения;

разработать программу факультативных занятий на тему «Методы решения уравнений, содержащих параметр»;

осуществить опытное преподавание.

(F)

с неизвестными х, у, . z и с параметрами . При всякой допустимой системе значений параметров α0, β0, . γ0 уравнение (F) обращается в уравнение

(F0)

с неизвестными х, у. z, не содержащих параметров. Уравнение (F0) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются неравенства и системы, содержащие параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения.

Понятие эквивалентности применительно к уравнениям, содержащие параметр, устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения

F(х, у, . z; ) =0 (F),

Ф (х, у, . z; ) =0 (Ф)

с неизвестным х, у. z и с параметрами называются эквивалентными, если для обоих уравнений множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у, z; )=0 (F)

задано в виде некоторой функции от параметров:

х = х();

у = у();

z = z(). (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у. z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:

F (x(), y(),…,z ())≡0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров = α0, , . соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения [1].

Проанализируем действующие учебники курса алгебры и начала анализа, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

Алгебра. 7 класс.

При изучении уравнений представлено два задания с параметром (№№236, 243). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам.

Также в данном учебнике в §5 «Линейная функция» (глава 2 «Функции») рассматривается прямая пропорциональность, где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром.

Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), где необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков (см. [28]).

Алгебра 8 класс.

При изучении темы «Квадратные уравнения» в разделе дополнительных упражнений для более углубленного повторения материала предлагаются уравнения, содержащие параметр (№№ 645, 646, 660, 663-672), где необходимо найти значение переменной (параметра), если известен корень уравнения или какое-то соотношение корней. Можно выделить два номера (№№ 661, 662), где необходимо найти значение параметра, если известны знаки корней уравнения.

При изучении остальных тем учебника 8 класса параметр не использовался.

Алгебра. 9 класс.

Использование параметра ведется в главе «Квадратичная функция». При формулировании свойств функции в зависимости от коэффициента , и предлагается для решения задача на нахождение нулей функции, которая зависит от параметра. В разделе «дополнительные задачи» приводятся задания с параметром на исследование:

расположения графика относительно прямой;

вершины параболы; нулей функции;

принадлежность данных точек функции, содержащей два параметра.

При рассмотрении графиков функций и строятся предпосылки для решения уравнений, содержащих параметр, графическим методом (параллельный перенос).

При изучении систем уравнений предлагаются дополнительные задачи с параметром на исследование количества решений системы.

В системе упражнений для повторения курса VII-IX классов заданий, содержащих параметр, не представлено (см. [29]).

Мордкович. А. Г. «Алгебра 7 по 9 класс » и «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс»

Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника (см. [30], [31]).

При изучении линейной функции (7 класс глава 6 §28) рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a (a0). При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения.

Номера 828-831 задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о том, чтобы найти значения параметра, если известно решение уравнения. В номерах 902-903 необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку. Эти номера подготавливают ученика к методу «ветвлений» решения уравнений с параметром, о котором расскажем позднее в пункте 4.1.1.

Рассмотрим учебник 8 класса.

В главе «Квадратичная функция. Функция » при изучении функции , ее свойств и графика предлагаются задачи, которые подготавливают ученика к решению уравнений с параметром, где требуется применение производной. А именно номера 474-475, где необходимо найти коэффициенты уравнения данной функции, если известно наибольшее или наименьшее значение функции. И также номера 483-488 в которых известно точки пересечения с осями координат. Особенно нужно выделить следующие номера: № 498-503, где от ученика требуется творческий подход к их решению.

В § 14 «Графическое решение квадратных уравнений» предлагаются задания, где непосредственно представлены уравнения, содержащие параметр. В номерах 518-522 предлагаются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра, если дано уравнение, которое имеет определенное количество корней. Эти задания повышенного уровня. Также предлагается домашняя контрольная работа, в которой имеется уравнение, содержащее параметр. Предлагая эти уравнения для решения, учителю необходимо показать некоторые методы решения квадратных уравнений с параметром. В частности два основных метода: аналитический и графический, но так как времени на рассмотрение этих методов школьной программой в 8 классе не предусмотрено, то учителю приходится чаще всего рассматривать эти методы на факультативах.

В главе 4 «Квадратные уравнения» непосредственно приводятся аналитический и графический методы решения уравнений. В задачнике представлены уравнения с параметром, где необходимо: выяснить вид квадратного уравнения и решить его при найденных значениях параметра; найти значения параметра, если известен корень квадратного уравнения.

При нахождении корней квадратного уравнения снова рассматриваются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра при данном количестве корней квадратного уравнения (№№ 820, 821). Нужно отметить №838, где необходимо выбрать те уравнения, которые имеют два корня при любом значении параметра. Особенно можно выделить следующие номера: 839-841, где ставится задача решить уравнение с параметром, в №842 – необходимо доказать, что уравнение не имеет единственного корня ни при каком значении параметра.

При изучении теоремы Виета предлагаются задания на нахождение значения параметра при данном количестве корней (№ 969). Имеются задачи (№№971, 972) на применение обратного утверждения теоремы Виета, говорящее о том, что сумма и произведение корней уравнения равны коэффициентам этого уравнения. И предлагаются задания повышенного уровня с параметром – номера 999-1005. В них от ученика требуется полное понимание применения теоремы Виета и обратного утверждения. Имеется домашняя контрольная работа, в которой снова присутствуют уравнения с параметром.

При изучении квадратных неравенств, предлагаются задачи (№№ 1360-1365) на нахождение значений параметра, при которых уравнение имеет или не имеет действительных корней (№№ 1366, 1367). Особенно можно выделить №1363 и №1365, так как параметр содержится в коэффициенте при . Это потребует рассмотреть отдельно случаи, когда этот коэффициент равен нулю (см. [32], [33]).

Начало курса алгебры 9 класса начинается с повторения, где предлагаются задачи с параметром (№11, №17-19, №50): на нахождение значения параметра при данных количествах корней; на нахождение значения параметра, при которых во множестве решений неравенства содержится определенное количество чисел, принадлежащих тому или иному множеству.

Рассматривая следующую главу «Неравенства и системы неравенств», нельзя не отметить систему задач, содержащую задания с параметрами (№№85-87). В этих заданиях предлагаются простейшие системы с параметром (см. [34], [35]).

Рассмотрим учебник алгебры и начала анализа 10-11 класса.

Сначала параметр встречается при изучении арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса и решении уравнений вида , , , . Рассматривается решение этих уравнений в общем виде, и в зависимости от значения а рассматриваются частные случаи, причем ставится ограничение на множество значений переменной а (, для первых двух уравнений).

Следующие задачи, содержащие параметр, предлагаются при изучении производной функции. Номера 803, 808, 853 содержат задания с параметром, которые предложены для закрепления знаний о касательной.

Отметим следующие задания (№№889, 914-917), содержащие параметр, на исследование функции на монотонность. Также отметим номера 926-929, так как в них необходимо решить уравнения третьей и четвертой степени графическим методом.

Особое геометрическое и алгебраическое значение имеют задачи с параметром, которые предложены в главе «Первообразная и интеграл». Предложено следующее задание (номера 1061, 1062): найти значения параметра, который содержится в функции, если известна площадь фигуры, ограниченной этой функцией.

В конце изучения курса алгебры и начала анализа в 11 классе выделен параграф для решения уравнений, содержащих параметр. В параграфе объясняется, что такое параметр на простейших уравнениях, рассматриваются линейные и квадратные уравнения.

Задачи, которые предлагаются для этой темы, где предложены различные задания для обобщения всех умений решения задач (номера 1855-1880).

Обобщая все задачи с параметром можно заявить, что данный учебник предлагает параметр как для углубленного изучения пройденных тем, как для изучения непосредственно самого параметра (см. [36], [37]).

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра с 7 по 9 класс» и «Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс»

Начнем анализ этой группы учебников с 7 класса.

Уже при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, которые содержит задачи с параметром (№№123-125), где нужно решить простейшие линейные уравнения на нахождение значения параметра, при которых уравнение имеет корни или не имеет корней (№123,124). Особенно можно выделить номер 125, который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.

После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений (см. [25]).

Алгебра 8 класс.

Уравнения, содержащие параметр, встречаются впервые при изучении квадратных уравнений (№№ 414, 428, 442-443, 448). Из них можно выделить номера 442, 443, 448, в которых предлагаются задания на исследование количества корней уравнения в зависимости от значения параметра.

При изучении квадратичной функции рассматривается всего два номера с заданиями, содержащими параметр (№№602, 603). В этих заданиях необходимо найти значение параметра, если известно пересечение двух функций в заданной точке и параметр, содержится в коэффициенте одной из функций.

На этом авторы прекращают использование параметра при изучении тем учебника, но большое внимание уделяют параметру при повторении. Предлагаются задания, содержащие параметр, в основном, для повторения квадратных уравнений ( №№ 791, 792, 809, 818, 819, 822). Все номера одного характера – исследовать корни квадратного уравнения, то есть найти количество корней или сами корни в зависимости от значений параметра.

Уравнения аналогичного характера авторы приводят для внеклассной работы (№№ 889-896, 900, 902).

Выводы: Главным плюсом этого учебника является то, что авторы применяли уравнения, содержащие параметр, именно там, где его использование очень широко – при изучении квадратных уравнений. В этой теме количество задач, содержащих параметр, не может быть ограничено.

При изучении курса алгебры 9 класса уравнения, содержащие параметр предлагаются только в задачах для внеклассной работы (№№ 826-833). Предлагаются квадратные уравнения, где необходимо:

а) найти значения параметра, при которых уравнение имеет или не имеет корни;

б) определить принадлежность корней уравнения тому или иному числовому множеству.

Также предлагаются неравенства с параметром, где необходимо найти значение параметра, если неравенство выполняется при всех значениях неизвестной (см. [26]).

Алгебра и начала анализа 10-11 класс.

В этом учебнике при изучении уравнения рассматривается принадлежность корня множествам , . И это тоже в какой-то степени уравнение с параметром решаемое методом «ветвлений» (пункт 4.1.1). Аналогично при рассмотрении уравнения , , .

Обобщая знания, полученные при изучении третьей главы «Тригонометрические уравнения и неравенства», предложено тригонометрическое уравнение четвертой степени с параметром, классифицированное как задача повышенной трудности.

При повторении курса алгебры и начала анализа 10 класса в системе задач не встречается заданий с параметром и можно утверждать, что в системе изучения этого курса авторы не уделяют внимания к параметру как таковому.

При изучении производной авторы предлагают четыре упражнения с параметром (№№ 544-547), где дана функция, зависящая как от неизвестной, так и от параметра и нужно найти значения параметра, если производная имеет определенный знак или равна нулю.

При изучении же темы «Применение производной к исследованию функций» система задач содержит всего одно задание с параметром (№559).

Аналогично, в системе задач темы «Интеграл» предложена всего одна задача с параметром (№ 670), где нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой, где заключен параметр, и прямой.

При повторении курса алгебры и начала анализа 11 класса предложена одна задача с параметром (№718). В системе задач при итоговом повторении всего курса алгебры содержатся задачи с параметром, аналогичные всем рассмотренным ранее (в предыдущих учебниках и данном). Такими являются: №№ 781, 782 – это при повторении решения уравнений; №№ 828-830 – при повторении решения неравенств.

Выводы: Главным плюсом этого учебника является то, что предложены примерные виды заданий, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы. Одними из таких заданий являются задачи с параметром (№№ 974-976).

В отличие от учебника Мордковича система задач с параметрами предложена только для углубленного изучения и повторения пройденного материала (см. [27]).

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

в каждом проанализированном учебнике задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и умений, приобретенных во время изучения той или иной темы. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого определения параметра;

во всех учебниках задания однотипны;

Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно объединить в одну группу – группу уравнений с параметром не выше второй степени.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом . Для таких уравнений всякое частное уравнение не выше второй степени принадлежит одному из следующих типов:

, тогда ,

и , тогда решений нет,

и , тогда ,

, , тогда ,

, , тогда решений нет,

, , тогда .

Контрольные значения параметра определяются уравнением . На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.

Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду .

Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых .

Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.

На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых и , соответствует третий тип не особых частных уравнений.

Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень .

Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.

Множеству значений параметра, для которых и , соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где и , частные уравнения имеют два различных действительных корня (см. [1],[7]).

Пример. Решить уравнение

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются, а=0 и а=2. При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0 и а≠2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0; 2) а=2; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0∙х=2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0∙х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х ==.

0твет: 1) если а=0, то корней нет;

2) если а=2, то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х = .

Пример. Решить уравнение

(а — 1)∙ х2+2∙ (2а+1)∙ х + (4а+3) =0. (3)

Решение. В данном случае контрольным значением параметра a является единица. Дело в том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) a=1; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (3) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = – .

2) Из множества значений параметра а≠1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а ао D > 0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а ао D > 0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (3):

=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим — второе контрольное значение параметра а. При этом если , то D 0,5 х1,2 = 0,5∙(1 ± );

при а = 0,5 х = 0,5;

при а 0,5, следовательно, х1– корень уравнения при а≥1.

при а ≥ 1 х = 0,5∙(1 + );

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ (х). Для решения уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:

При а=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

При а=1, b≠1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х)=0 на области допустимых значений D.

При а≠1, b=1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

При а=b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = φ(х) на области D.

При а≠b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) тождественно уравнению (c>0, c≠1) на области D (см. [1]).

Пример. Решить уравнение: а х + 1 = b 3 – х

Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.

1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

2) При а = b = 1, х R;

3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b 3 – х = 1 или 3 – х = 0 х = 3;

4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а х + 1 = 1 или х + 1 = 0 х = -1;

5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х х = 1;

6) При , получим: уравнение , которое не имеет решения;

7) При а ≠ b и (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:

, х + 1 = (3 – х) log a b , .

Ответ: при а ≤ 0, b ≤ 0 или , уравнение не имеет решений;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ≠ 1 х = 3;

при а ≠ 1, b = 1 х = -1;

при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;

при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) .

Логарифмические уравнения, содержащие параметр

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения (см. [1]).

Пример. Решить уравнение

2 – log (1 + х) = 3 log а — log (х 2 – 1)2.

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log а а2 + log a(х2 — 1) = log а () 3 + log a,

log а (а2 (х2 — 1)) = log а (() 3),

а2 (х2 — 1) = (х — 1) ,

а2 (х — 1) (х + 1) = (х — 1) .

Так как х ≠ -1 и х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х — 1) и на . Тогда получим = .

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а4 (х + 1) = х – 1 а4 х + а4 = х – 1 х( 1 — а4 ) = а4 + 1.

Так как а ≠ -1 и а ≠ 1, то .

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть .

Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:

, .

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а4 > 0, то есть при а 1, значит при 0 1 решений нет;