Квадрат разности корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение. Парабола

Квадратичная функция

$s=\frac<2>$ — путь, которое проходит свободно падающее тело за время t с нулевой начальной скоростью.

В общем виде эту зависимость можно записать так: $y=ax^2$. График этой функции — парабола, вершина которой находится в точке (0,0). Ветви направлены вверх. Четная функция.

Квадратичной называется функция, которую можно задать формулой y=ax² + bx + c, причем а отлично от 0. Здесь a,b,c — некоторые числа, x — переменная.

Корень — это значение переменной, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, а квадратное уравнение в верное равенство.

Vertex form

Можно выделить квадратный двучлен, поэтому это тоже парабола со сдвигом и растяжением.

Вершина параболы в точке (m,n), $m = \frac<-b><2a>, n = \frac<-D><4a>$

Квадратное уравнение

a — первый или старший коэффициент

b — второй коэффициент или средний или коэффициент при x

c — свободный член

Дискриминант $D = b^2-4ac$

Схематическое расположение параболы в зависимости от знаков первого коэффициента и дискриминанта.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент.

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.

Теорема Виета

Теорема. Cумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если приведенное квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет действительные корни, то их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$, то есть

$$x_1 + x_2 = –p, \\ x_1 \cdot x_2 = q$$

Примечание. Любое квадратное уравнение можно привести к такому виду делением на a.

Пример. Найти сумму корней уравнения $x^2-7x+13=0$. Корней нет, поэтому ответ «сумма корней равна 7» — неверный. Для определения количества корней необходимо найти дискриминант.

Таким образом, в формулировку теоремы Виета необходимо добавить условие: если корни существуют, то … Или если дискриминант неотрицателен. Заметим, что при нулевом дискриминанте теорема Виета тоже работает (считать, что уравнение имеет два равных корня).

Пример. (Мерзляк, Алгебра 8 углубл, 2016)

Применения теоремы Виета

Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена (не решая уравнение).

Так, находя корни квадратного уравнения x² – 5x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: $$6 = 2 \cdot 3, \, 2 + 3 = 5. $$

Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями.

Определение знаков корней

Определение знаков корней без решения уравнения (при условии что D > 0).

Геометрический смысл теоремы Виета

Мы привыкли произносить «икс квадрат», «квадрат суммы», «удвоенный квадрат», не придавая этим выражениям геометрического смысла. На самом деле все они отражают взгляд на алгебру, который сложился еще в глубокой древности, потому что людям приходилось решать геометрические задачи на вычисление площадей.

В клинописных текстах древнего Вавилона (около 2000 лет до нашей эры) обнаружена такая задача. «Площадь 1000 состоит из суммы двух квадратов, и сторона меньшего составляет две трети стороны другого, уменьшенные на 10. Какова сторона бóльшего квадрата?»

Решить такую задачу — это все равно, что решить уравнение $x^2+(\frac 2 3 x-10)^2=1000$. В клинописном тексте нет формулы для решения этого уравнения, но перечисляются необходимые этапы вычисления, которые приводят к корню $x = 30$.

Фактически вавилонский метод дает решение системы $\beginx+y=p \\ xy= q\end$,

которая представляет собой запись задачи нахождения сторон прямоугольника с данным периметром и площадью. Теорема Виета, с изучения которой начинается этот параграф, связывает решение этой системы с решением квадратного уравнения.

Обобщение теоремы Виета

Теорема Вієта для зведеного многочлена $f(x)=x^n+a_x^+\ldots+a_1x+a_0$ формулюється так: «Якщо $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_, x_n$ — всі комплексні корені (включаючи рівні) цього многочлена степеня n, то мають місце рівності:

$$ x_1+x_2+\ldots+x_n=-a_ $$ $$ x_1x_2+x_1x_3+\ldots+x_1x_n+x_2x_3+\ldots+x_x_n=a_ $$ $$ x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+\ldots+x_1x_x_n+\ldots+x_x_x_n=-a_ $$ $$x_1x_2x_3 \ldots x_n=(-1)^n a_0$$

Разность корней квадратного уравнения

Для приведенного уравнения $$ x_1-x_2 = \sqrt $$

$$ <(x_1-x_2)^2>= x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$

Для приведенного уравнения с учетом теоремы Виета:

$$(x_1-x_2)^2 = (-b)^2-4c = b^2-4ac = D$$

Таким образом, если корни квадратного уравнения существуют, то расстояние между ними равно корню из дискриминанта. Грубо говоря, чем больше дискриминант, тем больше расстояние между корнями.

Обобщение дискриминанта

Дискриминантом многочлена $p(x)$ называется функция, задаваемая его коэффициентами.

Если точнее, то дискриминант — это произведение квадратов разностей корней многочлена, умноженное на старший коэффициент в степени на 2 меньше удвоенной степени многочлена.

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторый точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг ее оси симметрии (например, параболу $y = x^2$ вокруг оси Oy), то получается очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Поверхность жидкости, вращающейся в сосуде, имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе.

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола.

5. В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.

6. В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет от далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи света, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Опыты, описанные в пунктах 2 и 5, основаны на одном и том же свойстве параболоида: если вращать параболоид с подходящей скоростью вокруг его оси, расположенной вертикально, то равнодействующая центробежной силы и силы тяготения в любой точке параболоида направлена перпендикулярно к его поверхности.

Солнечные концентраторы

Солнечные концентраторы используют энергию солнечной радиации, которая попадает на параболическую поверхность зеркала, в фокусе которой обычно располагается трубка с циркурирующим по ней теплоносителем. Как правило в качестве теплоносителя выступает масло. Теплоноситель нагревает воду, которая испаряясь поступает в турбогенератор в виде пара.

Параболические концентраторы с двигателем Стирлинга представляют собой СЭС с параболическими концентраторами, которые фокусируются на двигатель Стирлинга. Такие электростанции характеризуются высоким КПД (более 31%). В качестве рабочего тела двигателя Стирлинга используется, как правило, водород, или гелий.

Согласно известной исторической легенде, Архимед почти полностью сжег флот римского полководца Марка Марцелла, используя медные параболические зеркала.

8-этажное сооружение, включающее около 10 тысяч отдельных параболических зеркал. На сегодняшний день Солнечная Печь, выстроенная в 1970 году в Восточных Пиренеях – крупнейшая в мире. Массив зеркал действует в качестве параболического отражателя. Свет фокусируется в одном центре. И температура там может достигать 3500 градусов по Цельсию. При такой температуре можно плавить сталь. Но температуру можно регулировать, устанавливая зеркала под разными углами.

Подвесные мосты

Вантовый мост — тип висячего моста, состоящий из одного или более пилонов, соединённых с дорожным полотном посредством прямолинейных стальных тросов — вантов. В отличие от висячих мостов, где дорожное полотно поддерживается вертикальными тросами, прикреплёнными к протянутым по всей длине моста основным несущим тросам, у вантовых мостов тросы (ванты) соединяются непосредственно с пилоном.

Русский мост (Владивосток) — вантовый мост с самым длинным основным пролётом в мире (1104 м), при общей длине в 1886 м

Висячий мост — мост, в котором основная несущая конструкция выполнена из гибких элементов (кабелей, канатов, цепей и др.), работающих на растяжение, а проезжая часть подвешена.

Висячие мосты находят наиболее удачное применение в случае большой длины моста, невозможности или опасности установки промежуточных опор (например в судоходных местах).

Золотые Ворота (Сан-Франциско) — один из самых узнаваемых мостов в мире. Мост был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года. Общая длина моста — 2737 м, длина основного пролёта — 1280 м, высота опор — 227 м над водой, масса — 894 500 т. В среднем, по мосту проезжают сто тысяч автомобилей в сутки. 6 полос.

Основные несущие тросы (или цепи) подвешивают между установленными по берегам пилонами. К этим тросам крепят вертикальные тросы или балки, на которых подвешивается дорожное полотно основного пролёта моста. Основные тросы продолжаются за пилонами и закрепляются на уровне земли. Продолжение тросов может использоваться для поддержки двух дополнительных пролётов.

Под действием сосредоточенной нагрузки несущая конструкция может изменять свою форму, что уменьшает жёсткость моста. Для избежания прогибов в современных висячих мостах дорожное полотно усиливают продольными балками или фермами, распределяющими нагрузку.

Используются также конструкции, в которых дорожное полотно поддерживается системой прямолинейных канатов, закреплённых непосредственно на пилонах. Такие мосты называются вантовыми.

Основной пролёт можно сделать очень длинным при минимальном количестве материала. Поэтому использование такой конструкции очень эффективно при строительстве мостов через широкие ущелья и водные преграды. В современных висячих мостах широко применяют проволочные тросы и канаты из высокопрочной стали с пределом прочности около 2—2,5 ГПа(200-250 кгс/мм²), что существенно снижает собственный вес моста.

Отсутствует необходимость ставить промежуточные опоры, что даёт большие преимущества, например, в случае горных разломов или рек с сильным течением.

Будучи относительно податливыми, висячие мосты могут, без ущерба для целостности конструкции, изгибаться под действием сильного ветра или сейсмических нагрузок, тогда как более жёсткие мосты нужно строить более крепкими и тяжёлыми.

Полотно моста сильно прогибается, если на одном участке сосредоточена нагрузка существенно больше, чем на других. Из-за этого висячие мосты реже используются в качестве железнодорожных, чем другие типы.

Основные напряжения в висячем мосте — это напряжения растяжения в основных тросах и напряжения сжатия в опорах, напряжения в самом пролёте малы. Почти все силы в опорах направлены вертикально вниз и стабилизируются за счёт тросов, поэтому опоры могут быть очень тонкими. Сравнительно простое распределение нагрузок по разным элементам конструкции упрощает расчёт висячих мостов.

Под действием собственного веса и веса мостового пролёта тросы провисают и образуют дугу, близкую к параболе. Ненагруженный трос, подвешенный между двумя опорами, принимает форму т. н. «цепной линии», которая близка к параболе в почти горизонтальном участке. Если весом тросов можно пренебречь, а вес пролёта равномерно распределён по длине моста, тросы принимают форму параболы. Если вес троса сравним с весом дорожного полотна, то его форма будет промежуточной между цепной линией и параболой.

Клифтонский мост близ Бристоля (инженер Изамбард Кингдом Брюнель, 1864).

Акаси-Кайкё — самый длинный подвесной мост в мире. Полная длина составляет 3911 м. Пилоны имеют высоту 298 м, что выше 90-этажного дома.

Вначале были построены два бетонных основания для пилонов на дне пролива Акаси. Для строительства этого моста был разработан специальный бетон, который не растворяется в воде при заливке. Следующим этапом было протягивание тросов. Для этого нужно было с одного пилона на другой протянуть направляющий канат. Он был протянут с помощью вертолёта. Когда в 1995 году оба троса были протянуты, и можно было приступать к монтажу дорожного полотна, произошло непредвиденное: город Кобе стал жертвой крупного землетрясения магнитудой в 7,3 балла. Пилоны выдержали землетрясение, но из-за изменения рельефа дна пролива один из пилонов сдвинулся на 1 м в сторону, таким образом нарушив все расчёты. Инженеры предложили удлинить балки дорожного полотна и увеличить расстояние между вантами, свисающими с основных тросов. Строительные работы, задержанные не более чем на месяц, возобновились. Монтаж дорожного полотна закончился в 1998 году.

В конструкции моста имеется система двухшарнирных балок жёсткости, позволяющая выдерживать скорости ветра до 80 м/с, землетрясения магнитудой до 8,5 и противостоять сильным морским течениям. Для уменьшения действующих на мост нагрузок имеется система динамических гасителей колебаний.

Если вытянуть в длину все стальные нити (диаметром 5,23 мм) несущих тросов моста Акаси-Кайкё, то ими можно опоясать земной шар более семи раз.

Модель параболы

Легко получить параболу с помощью обычного карманного фонарика. Световое пятно от вертикально расположенного фонаря будет кругом. Немного повернём его, и пятно будет иметь форму эллипса. При дальнейшем повороте фонарика эллипс будет всё больше и больше вытягиваться, а в некоторый момент его наиболее удалённая точка уйдёт в бесконечность. Кривая, ограничивающая такое пятно, называется параболой. Неограниченные кривые, которые получаются при дальнейшем вращении фонарика, называются гиперболами. Все получившиеся кривые – окружность, эллипс, парабола, гипербола – конические сечения. Такое название они получили заслуженно, поскольку световой столб, выходящий из фонарика, является конусом.

Парабола, как огибающая

Параболу можно рассматривать, как огибающую семейства прямых.

См. также Конические сечения — Параболическое зеркало. Параболический бильярд

Цепочки окружностей, вписанных в кривую 2-го порядка

Если радиус окружности, вписанной в параболу $y=x^2$ равен 1, то радиус второй окружности, вписанной в эту же параболу и касающейся первой окружности, равен 2, радиус аналогичной 3-й окружности равен 3 и т. д.

Интересно, что радиусы подобной цепочки окружностей, вписанных в угол, образуют геометрическую прогрессию.

Фокус и директриса параболы

Задача. Постройте график функции $y = x^2$. Масштаб возьмите покрупней: 1 = 4 клетки. Отметьте на оси Oy точку F(0; 1/4). Полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс. Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат мы Вам сможем сказать заранее: какую бы точку на параболе вы ни взяли, расстояние от этой точки до точки (0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число — на 1/4. Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы $y = x^2$ до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = −1/4, параллельной оси Ox.

Замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы, а прямая y = −1/4 — директрисой (по-русски направляющая) этой параболы. Директриса и фокус есть у всякой параболы.

Геометрический смысл параболы

Парабола — это множество точек, равноудалённых от данной прямой (директрисы параболы) и не лежащей на директрисе данной точки (фокуса параболы).

Парабола — это множество центров окружностей, касающихся данного круга и данной прямой, касающейся этого круга.

Источник — подробнее, больше картинок

Задача. Свободно падающее тело

Тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты, за последнюю секунду падения проходит путь в 7 раз больший чем за первую секунду движения. Найдите высоту, с которой падает тело.

За первую секунду тело пройдёт расстояние равное: $S=\frac<2>=10 \cdot 1/2=5 $ м.

Тогда за последнюю секунду тело пройдёт расстояние равное 35 м. С другой стороны, за последнюю секунду тело пройдет расстояние: $$ \frac <2>— \frac<2>= 35$$

Решив это уравнение получим t = 4 с, откуда S = 80 м

Таким образом, любое падающее тело за первую секунду проходит 5м, за вторую секунду — в 3 раза больше, за третью — в 5 раз больше, за четвертую — в 7 раз больший путь, за пятую — в 9 раз, за шестую — в 11 раз. Арифметическая прогрессия, физики называют это закон нечетных чисел. Путь, пройденный за секунду, тоже образует арифметическую прогрессию с разность 10, что соответствует ускорению свободного падения g.

Задача. Тело, падающее без начальной скорости, за последнюю секунду падения прошло путь s = 35 м. Какую скорость имело тело в момент падения на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Время падения = 4 с. Скорость $v = s’ = gt = 40$ м/с.

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

• если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры

В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.

Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.

Квадратное уравнение, его виды

Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a · x 2 + b · x + c = 0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.

Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.

Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0 ; 7 , 5 · x 2 + 3 , 1 · x + 0 , 11 = 0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Числа a , b и c – это коэффициенты квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 , при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x 2 , b – второго коэффициента, или коэффициента при x , а c называют свободным членом.

К примеру, в квадратном уравнении 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0 старший коэффициент равен 6 , второй коэффициент есть − 2 , а свободный член равен − 11 . Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты b и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0 , а не 6 · x 2 + ( − 2 ) · x + ( − 11 ) = 0 .

Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или − 1 , то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y 2 − y + 7 = 0 старший коэффициент равен 1 , а второй коэффициент есть − 1 .

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.

Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1 . При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение является неприведенным.

Приведем примеры: квадратные уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен 1 .

9 · x 2 − x − 2 = 0 — неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от 1 .

Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.

Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Задано уравнение 6 · x 2 + 18 · x − 7 = 0 . Необходимо преобразовать исходное уравнение в приведенную форму.

Решение

Cогласно указанной выше схеме разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 6 . Тогда получим: ( 6 · x 2 + 18 · x − 7 ) : 3 = 0 : 3 , и это то же самое, что: ( 6 · x 2 ) : 3 + ( 18 · x ) : 3 − 7 : 3 = 0 и далее: ( 6 : 6 ) · x 2 + ( 18 : 6 ) · x − 7 : 6 = 0 . Отсюда: x 2 + 3 · x — 1 1 6 = 0 . Таким образом, получено уравнение, равносильное заданному.

Ответ: x 2 + 3 · x — 1 1 6 = 0 .

Полные и неполные квадратные уравнения

Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что a ≠ 0 . Подобное условие необходимо, чтобы уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 было именно квадратным, поскольку при a = 0 оно по сути преобразуется в линейное уравнение b · x + c = 0 .

В случае же, когда коэффициенты b и c равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.

Неполное квадратное уравнение – такое квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 , где хотя бы один из коэффициентов b и c (или оба) равен нулю.

Полное квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором все числовые коэффициенты не равны нулю.

Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.

При b = 0 квадратное уравнение примет вид a · x 2 + 0 · x + c = 0 , что то же самое, что a · x 2 + c = 0 . При c = 0 квадратное уравнение записано как a · x 2 + b · x + 0 = 0 , что равносильно a · x 2 + b · x = 0 . При b = 0 и c = 0 уравнение примет вид a · x 2 = 0 . Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной x , либо свободного члена, либо обоих сразу. Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.

Например, x 2 + 3 · x + 4 = 0 и − 7 · x 2 − 2 · x + 1 , 3 = 0 – это полные квадратные уравнения; x 2 = 0 , − 5 · x 2 = 0 ; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Заданное выше определение дает возможность выделить следующие виды неполных квадратных уравнений:

• a · x 2 = 0 , такому уравнению соответствуют коэффициенты b = 0 и c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 при b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 при c = 0 .

Рассмотрим последовательно решение каждого вида неполного квадратного уравнения.

Решение уравнения a·x 2 =0

Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты b и c , равные нулю. Уравнение a · x 2 = 0 возможно преобразовать в равносильное ему уравнение x 2 = 0 , которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число a , не равное нулю. Очевидный факт, что корень уравнения x 2 = 0 это нуль, поскольку 0 2 = 0 . Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа p , не равного нулю, верно неравенство p 2 > 0 , из чего следует, что при p ≠ 0 равенство p 2 = 0 никогда не будет достигнуто.

Таким образом, для неполного квадратного уравнение a · x 2 = 0 существует единственный корень x = 0 .

Для примера решим неполное квадратное уравнение − 3 · x 2 = 0 . Ему равносильно уравнение x 2 = 0 , его единственным корнем является x = 0 , тогда и исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.

Кратко решение оформляется так:

− 3 · x 2 = 0 , x 2 = 0 , x = 0 .

Решение уравнения a · x 2 + c = 0

На очереди — решение неполных квадратных уравнений, где b = 0 , c ≠ 0 , то есть уравнений вида a · x 2 + c = 0 . Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:

• переносим c в правую часть, что дает уравнение a · x 2 = − c ;
• делим обе части уравнения на a , получаем в итоге x = — c a .

Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения. От того, каковы значения a и c зависит значение выражения — c a : оно может иметь знак минус (допустим, если a = 1 и c = 2 , тогда — c a = — 2 1 = — 2 ) или знак плюс (например, если a = − 2 и c = 6 , то — c a = — 6 — 2 = 3 ); оно не равно нулю, поскольку c ≠ 0 . Подробнее остановимся на ситуациях, когда — c a 0 и — c a > 0 .

В случае, когда — c a 0 , уравнение x 2 = — c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при — c a 0 ни для какого числа p равенство p 2 = — c a не может быть верным.

Все иначе, когда — c a > 0 : вспомним о квадратном корне, и станет очевидно, что корнем уравнения x 2 = — c a будет число — c a , поскольку — c a 2 = — c a . Нетрудно понять, что число — — c a — также корень уравнения x 2 = — c a : действительно, — — c a 2 = — c a .

Прочих корней уравнение не будет иметь. Мы можем это продемонстрировать, используя метод от противного. Для начала зададим обозначения найденных выше корней как _{x 1} и _{− x 1} . Выскажем предположение, что уравнение x 2 = — c a имеет также корень x 2 , который отличается от корней _{x 1} и _{− x 1} . Мы знаем, что, подставив в уравнение вместо x его корни, преобразуем уравнение в справедливое числовое равенство.

Для _{x 1} и _{− x 1} запишем: x 1 2 = — c a , а для x 2 — x 2 2 = — c a . Опираясь на свойства числовых равенств, почленно вычтем одно верное равенство из другого, что даст нам: x 1 2 − x 2 2 = 0 . Используем свойства действий с числами, чтобы переписать последнее равенство как ( x 1 − x 2 ) · ( x 1 + x 2 ) = 0 . Известно, что произведение двух чисел есть нуль тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является нулем. Из сказанного следует, что x 1 − x 2 = 0 и/или x 1 + x 2 = 0 , что то же самое, x 2 = x 1 и/или x 2 = − x 1 . Возникло очевидное противоречие, ведь вначале было условлено, что корень уравнения x 2 отличается от _{x 1} и _{− x 1} . Так, мы доказали, что уравнение не имеет иных корней, кроме x = — c a и x = — — c a .

Резюмируем все рассуждения выше.

Неполное квадратное уравнение a · x 2 + c = 0 равносильно уравнению x 2 = — c a , которое:

• не будет иметь корней при — c a 0 ;
• будет иметь два корня x = — c a и x = — — c a при — c a > 0 .

Приведем примеры решения уравнений a · x 2 + c = 0 .

Задано квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 . Необходимо найти его решение.

Решение

Перенесем свободный член в правую часть уравнения, тогда уравнение примет вид 9 · x 2 = − 7 .
Разделим обе части полученного уравнения на 9 , придем к x 2 = — 7 9 . В правой части мы видим число со знаком минус, что означает: у заданного уравнения нет корней. Тогда и исходное неполное квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не будет иметь корней.

Ответ: уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не имеет корней.

Необходимо решить уравнение − x 2 + 36 = 0 .

Решение

Перенесем 36 в правую часть: − x 2 = − 36 .
Разделим обе части на − 1 , получим x 2 = 36 . В правой части — положительное число, отсюда можно сделать вывод, что x = 36 или x = — 36 .
Извлечем корень и запишем окончательный итог: неполное квадратное уравнение − x 2 + 36 = 0 имеет два корня x = 6 или x = − 6 .

Ответ: x = 6 или x = − 6 .

Решение уравнения a·x 2 +b·x=0

Разберем третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0 . Чтобы найти решение неполного квадратного уравнения a · x 2 + b · x = 0 , воспользуемся методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который находится в левой части уравнения, вынеся за скобки общий множитель x . Этот шаг даст возможность преобразовать исходное неполное квадратное уравнение в равносильное ему x · ( a · x + b ) = 0 . А это уравнение, в свою очередь, равносильно совокупности уравнений x = 0 и a · x + b = 0 . Уравнение a · x + b = 0 линейное, и корень его: x = − b a .

Таким образом, неполное квадратное уравнение a · x 2 + b · x = 0 будет иметь два корня x = 0 и x = − b a .

Закрепим материал примером.

Необходимо найти решение уравнения 2 3 · x 2 — 2 2 7 · x = 0 .

Решение

Вынесем x за скобки и получим уравнение x · 2 3 · x — 2 2 7 = 0 . Это уравнение равносильно уравнениям x = 0 и 2 3 · x — 2 2 7 = 0 . Теперь следует решить полученное линейное уравнение: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Далее осуществим деление смешанного числа на обыкновенную дробь и определяем, что x = 3 3 7 . Таким образом, корни исходного уравнения это: x = 0 и x = 3 3 7 .

Кратко решение уравнения запишем так:

2 3 · x 2 — 2 2 7 · x = 0 x · 2 3 · x — 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 · x — 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Ответ: x = 0 , x = 3 3 7 .

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для нахождения решения квадратных уравнений существует формула корней:

x = — b ± D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

Запись x = — b ± D 2 · a по сути означает, что x 1 = — b + D 2 · a , x 2 = — b — D 2 · a .

Нелишним будет понимать, как была выведена указанная формула и каким образом ее применять.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пускай перед нами стоит задача решить квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 . Осуществим ряд равносильных преобразований:

• разделим обе части уравнения на число a, отличное от нуля, получим приведенное квадратное уравнение: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• выделим полный квадрат в левой части получившегося уравнения:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a
  После этого уравнения примет вид: x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a = 0 ;
• теперь возможно сделать перенос двух последних слагаемых в правую часть, сменив знак на противоположный, после чего получаем: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 — c a ;
• наконец, преобразуем выражение, записанное в правой части последнего равенства:
  b 2 · a 2 — c a = b 2 4 · a 2 — c a = b 2 4 · a 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 .

Таким образом, мы пришли к уравнению x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , равносильному исходному уравнению a · x 2 + b · x + c = 0 .

Решение подобных уравнений мы разбирали в предыдущих пунктах (решение неполных квадратных уравнений). Уже полученный опыт дает возможность сделать вывод касательно корней уравнения x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 :

• при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 0 уравнение не имеет действительных решений;
• при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = 0 уравнение имеет вид x + b 2 · a 2 = 0 , тогда x + b 2 · a = 0 .

Отсюда очевиден единственный корень x = — b 2 · a ;

• при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 > 0 верным будет: x + b 2 · a = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , что то же самое, что x + — b 2 · a = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 или x = — b 2 · a — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. уравнение имеет два корня.

Возможно сделать вывод, что наличие или отсутствие корней уравнения x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 (а значит и исходного уравнения) зависит от знака выражения b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , записанного в правой части. А знак этого выражения задается знаком числителя, (знаменатель 4 · a 2 всегда будет положителен), то есть, знаком выражения b 2 − 4 · a · c . Этому выражению b 2 − 4 · a · c дано название — дискриминант квадратного уравнения и определена в качестве его обозначения буква D . Здесь можно записать суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, будет ли квадратное уравнение иметь действительные корни, и, если будет, то каково количество корней — один или два.

Вернемся к уравнению x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 . Перепишем его, используя обозначение дискриминанта: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Вновь сформулируем выводы:

• при D 0 уравнение не имеет действительных корней;
• при D = 0 уравнение имеет единственный корень x = — b 2 · a ;
• при D > 0 уравнение имеет два корня: x = — b 2 · a + D 4 · a 2 или x = — b 2 · a — D 4 · a 2 . Эти корни на основе свойства радикалов возможно записать в виде: x = — b 2 · a + D 2 · a или — b 2 · a — D 2 · a . А, когда раскроем модули и приведем дроби к общему знаменателю, получим: x = — b + D 2 · a , x = — b — D 2 · a .

Так, результатом наших рассуждений стало выведение формулы корней квадратного уравнения:

x = — b + D 2 · a , x = — b — D 2 · a , дискриминант D вычисляется по формуле D = b 2 − 4 · a · c .

Данные формулы дают возможность при дискриминанте больше нуля определить оба действительных корня. Когда дискриминант равен нулю, применение обеих формул даст один и тот же корень, как единственное решение квадратного уравнения. В случае, когда дискриминант отрицателен, попытавшись использовать формулу корня квадратного уравнения, мы столкнемся с необходимостью извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что выведет нас за рамки действительных чисел. При отрицательном дискриминанте у квадратного уравнения не будет действительных корней, но возможна пара комплексно сопряженных корней, определяемых теми же полученными нами формулами корней.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Решить квадратное уравнение возможно, сразу задействуя формулу корней, но в основном так поступают при необходимости найти комплексные корни.

В основной же массе случаев обычно подразумевается поиск не комплексных, а действительных корней квадратного уравнения. Тогда оптимально перед тем, как использовать формулы корней квадратного уравнения, сначала определить дискриминант и удостовериться, что он не является отрицательным (в ином случае сделаем вывод, что у уравнения нет действительных корней), а после приступить к вычислению значения корней.

Рассуждения выше дают возможность сформулировать алгоритм решения квадратного уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 , необходимо:

• по формуле D = b 2 − 4 · a · c найти значение дискриминанта;
• при D 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• при D = 0 найти единственный корень уравнения по формуле x = — b 2 · a ;
• при D > 0 определить два действительных корня квадратного уравнения по формуле x = — b ± D 2 · a .

Отметим, что, когда дискриминант есть нуль, можно использовать формулу x = — b ± D 2 · a , она даст тот же результат, что и формула x = — b 2 · a .

Примеры решения квадратных уравнений

Приведем решение примеров при различных значениях дискриминанта.

Необходимо найти корни уравнения x 2 + 2 · x − 6 = 0 .

Решение

Запишем числовые коэффициенты квадратного уравнения: a = 1 , b = 2 и c = − 6 . Далее действуем по алгоритму, т.е. приступим к вычислению дискриминанта, для чего подставим коэффициенты a , b и c в формулу дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 4 + 24 = 28 .

Итак, мы получили D > 0 , а это означает, что исходное уравнение будет иметь два действительных корня.
Для их нахождения используем формулу корня x = — b ± D 2 · a и, подставив соответствующие значения, получим: x = — 2 ± 28 2 · 1 . Упростим полученное выражение, вынеся множитель за знак корня с последующим сокращением дроби:

x = — 2 + 2 · 7 2 или x = — 2 — 2 · 7 2

x = — 1 + 7 или x = — 1 — 7

Ответ: x = — 1 + 7 ​​​​​​, x = — 1 — 7 .

Необходимо решить квадратное уравнение − 4 · x 2 + 28 · x − 49 = 0 .

Решение

Определим дискриминант: D = 28 2 − 4 · ( − 4 ) · ( − 49 ) = 784 − 784 = 0 . При таком значении дискриминанта исходное уравнение будет иметь лишь один корень, определяемый по формуле x = — b 2 · a .

x = — 28 2 · ( — 4 ) x = 3 , 5

Ответ: x = 3 , 5 .

Необходимо решить уравнение 5 · y 2 + 6 · y + 2 = 0

Решение

Числовые коэффициенты этого уравнения будут: a = 5 , b = 6 и c = 2 . Используем эти значения для нахождения дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Вычисленный дискриминант отрицателен, таким образом, исходное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

В случае, когда стоит задача указать комплексные корни, применим формулу корней, выполняя действия с комплексными числами:

x = — 6 + 2 · i 10 или x = — 6 — 2 · i 10 ,

x = — 3 5 + 1 5 · i или x = — 3 5 — 1 5 · i .

Ответ: действительные корни отсутствуют; комплексные корни следующие: — 3 5 + 1 5 · i , — 3 5 — 1 5 · i .

В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней x = — b ± D 2 · a ( D = b 2 − 4 · a · c ) дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при x (либо с коэффициентом вида 2 · n , к примеру, 2 · 3 или 14 · ln 5 = 2 · 7 · ln 5 ). Покажем, как выводится эта формула.

Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Действуем по алгоритму: определяем дискриминант D = ( 2 · n ) 2 − 4 · a · c = 4 · n 2 − 4 · a · c = 4 · ( n 2 − a · c ) , а затем используем формулу корней:

x = — 2 · n ± D 2 · a , x = — 2 · n ± 4 · n 2 — a · c 2 · a , x = — 2 · n ± 2 n 2 — a · c 2 · a , x = — n ± n 2 — a · c a .

Пусть выражение n 2 − a · c будет обозначено как D 1 (иногда его обозначают D ‘ ). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n примет вид:

x = — n ± D 1 a , где D 1 = n 2 − a · c .

Легко увидеть, что что D = 4 · D 1 , или D 1 = D 4 . Иначе говоря, D 1 – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак D 1 такой же, как знак D , а значит знак D 1 также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Таким образом, чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n , необходимо:

• найти D 1 = n 2 − a · c ;
• при D 1 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• при D 1 = 0 определить единственный корень уравнения по формуле x = — n a ;
• при D 1 > 0 определить два действительных корня по формуле x = — n ± D 1 a .

Необходимо решить квадратное уравнение 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 .

Решение

Второй коэффициент заданного уравнения можем представить как 2 · ( − 3 ) . Тогда перепишем заданное квадратное уравнение как 5 · x 2 + 2 · ( − 3 ) · x − 32 = 0 , где a = 5 , n = − 3 и c = − 32 .

Вычислим четвертую часть дискриминанта: D 1 = n 2 − a · c = ( − 3 ) 2 − 5 · ( − 32 ) = 9 + 160 = 169 . Полученное значение положительно, это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Определим их по соответствующей формуле корней:

x = — n ± D 1 a , x = — — 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 или x = 3 — 13 5

x = 3 1 5 или x = — 2

Возможно было бы произвести вычисления и по обычной формуле корней квадратного уравнения, но в таком случае решение было бы более громоздким.

Ответ: x = 3 1 5 или x = — 2 .

Упрощение вида квадратных уравнений

Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.

К примеру, квадратное уравнение 12 · x 2 − 4 · x − 7 = 0 явно удобнее для решения, чем 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 .

Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 , полученную делением обеих его частей на 100 .

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Как пример используем квадратное уравнение 12 · x 2 − 42 · x + 48 = 0 . Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД ( 12 , 42 , 48 ) = НОД(НОД ( 12 , 42 ) , 48 ) = НОД ( 6 , 48 ) = 6 . Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 1 6 · x 2 + 2 3 · x — 3 = 0 перемножить с НОК ( 6 , 3 , 1 ) = 6 , то оно станет записано в более простом виде x 2 + 4 · x − 18 = 0 .

Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на − 1 . К примеру, от квадратного уравнения − 2 · x 2 − 3 · x + 7 = 0 можно перейти к упрощенной его версии 2 · x 2 + 3 · x − 7 = 0 .

Связь между корнями и коэффициентами

Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x = — b ± D 2 · a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:

x 1 + x 2 = — b a и x 2 = c a .

В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 7 3 , а произведение корней — 22 3 .

Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:

x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 2 · x 1 · x 2 = — b a 2 — 2 · c a = b 2 a 2 — 2 · c a = b 2 — 2 · a · c a 2 .