Квадратичная функция квадратичные уравнения и неравенства

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

Квадратные неравенства

Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax 2 +bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.

В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:

• если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
• если a 2 +bx+c=0

Квадратные неравенства имеют вид.

ax 2 +bx+c>0
ax 2 +bx+c 2 +bx+c≥0
ax 2 +bx+c≤0

Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?

Как решать квадратные неравенства?

Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).

Пример:

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)

Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x 2 +2x+20>0.

Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.

Пример:

Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0

3x 2 +2x+20 2 +2x+20=0

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.

А знак уравнения меньше 2 +2x+20 2 +2•1+20 2 +x-2 2 +x-2=0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения меньше 2 +x-2 2 +(-3)-2 2 +(0)-2 2 +(2)-2 2 +x-2>0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).

Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.

Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x 2 +x-2 2 +(-3)-2>0

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.

Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.

Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.

Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.

Квадратичная функция и ее применение при решении уравнений и неравенств

Разделы: Математика

1. Организационный момент

Учитель приветствует учащихся: “Здравствуйте, ребята! Начнём урок. Сегодня у нас урок обобщения и систематизации знаний по теме “Квадратичная функция и её применение при решении уравнений и неравенств”. Запишите тему в рабочую тетрадь.

В конце урока вы должны знать всё о квадратичной функции и её графике, уметь применять знания при решении квадратичных уравнений и неравенств, оценивать свою работу и работу других, расширить область знаний о графике квадратичной функции.

План работы следующий (на доске):

1. Знакомство с параболой.

2. Построение графика квадратичной функции.

3.Решение квадратных уравнений.

4. Решение квадратных неравенств.

5. Проверка знаний”.

Учащиеся приветствуют учителя, слушают его, знакомятся с планом работы, настраиваются на работу, ставят перед собой цель на урок – научиться решать квадратные уравнения (неполные; полные) одним или несколькими способами.

2. Знакомство с параболой

Учитель: “Знания по теме у нас есть. Расширим наши представления о графике квадратичной функции. Эти новые знания вам будут нужны в дальнейшем. Будьте внимательны.

Итак, начнём наш урок с истоков изучения квадратичной функции, её графика, исторически известных фактов, а для вас ещё новых открытий о параболе”.

Ученик 1 рассказывает “Об одной из математических моделей”:

“История развития человечества доказала, что математика – красивейшая наука, без которой не может развиваться ни одна другая. Продуктивнейший метод познания природы – математическое моделирование. В математике прежде всего поражает удивительная универсальность её моделей и их эффективность и применение для других наук. Правда, математическая модель не всегда даёт немедленную практическую отдачу. Бывает, что она оказывается полезной только через тысячу лет. Пример тому – конические сечения. Они были открыты в древней Греции и описаны Аполлоном Пергским (около 260 – 170 гг. до н.э.). Коническими сечениями называют эллипс, гиперболу и параболу, так как эти кривые можно получить на поверхности круглого конуса в пересечении плоскостью, не проходящей через вершину конуса.

Почти 2 тыс. лет казалось, что теория конических сечений применима только к решению чисто математических задач. Но в XVI веке математик и астроном Иоганн Кеплер, стараясь описать законы движения планет, высказал гипотезу, что траектория движения планет Солнечной системы – это эллипсы. Правда, доказать это смог не Кеплер, а Исаак Ньютон в 1687 г. в своей книге “Математические начала натуральной философии”, которая послужила основой всей современной теоретической физики, доказал эллиптичность планетных траекторий.

После того, как в XVII веке философ и математик Рене Декарт ввёл понятие координатной плоскости, оказалось невозможным записать каждую линию на плоскости уравнением, связывающим её текущие координаты.

Уравнения, задающие эллипс (в частности окружность), гиперболу и параболу, во всякой системе декартовых координат являются уравнениями второй степени. Поэтому соответствующие линии называются кривыми второго порядка.

Кривые второго порядка часто фигурируют при математическом описании законов природы. Почему эта модель оказалась столь плодотворной для приложений? Почему, в частности, сечение конуса описывает движение планет? Загадка. Но ясно, что, если теория сечения не была заранее разработана, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты, а это бы затормозило развитие науки. В школе рассматривается подробнее всего одно из конических сечений – парабола”.

Ученик 2: “О том, что парабола не допускает и мысли не подчиниться личной директрисе”.

Уже сказано было, что планеты движутся по кривым, называемым эллипсами, которые похожи на вытянутые окружности. Кометы же могут двигаться, как по очень вытянутым в длину эллипсам, так и по параболам или гиперболам. В двух последних случаях, появившись в окрестностях солнца, они уходят в межзвёздное пространство и больше к Солнцу уже никогда не возвращаются. То, что кометы могут двигаться по кривым трёх различных видов. наводит на мысль: не связаны ли три линии – эллипс, гипербола и парабола какими – то общими геометрическими свойствами?

Действительно, все три линии можно охарактеризовать одним и тем же геометрическим свойством, которое мы сейчас установим.

Возьмём произвольную прямую l и точку F на расстоянии p от неё и рассмотрим геометрическое место точек М, для которых выполняется условие FM/MK=e=const (постоянно), где МК – длина перпендикуляра, опущенного из точки М к прямой l.

Оказывается, если 0 1 – гипербола, если е=1 – парабола. Теперь мы можем дать чисто геометрическое определение параболы: параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых от некоторой точки, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой параболы.

Обычно фокус обозначают буквой F, а директрису – буквой l.

Расположим ось абсцисс параллельно директрисе на равном расстоянии от директрисы и фокуса, а ось ординат пусть проходит через фокус.

Если р – расстояние от фокуса до директрисы, то в указанной системе координат фокус есть точка F(0;р/2), а директриса задаётся уравнением у = — р/2.

Пусть М(х;у) – произвольная точка искомой параболы. Условие МF=МК в переводе на алгебраический язык даст равенство:

Преобразовав данное уравнение, получим х 2 = 2ру. Это каноническое уравнение параболы. Если систему координат выбрать иначе, то уравнение получится другим у 2 =2рх

Ученик 3: “О замечательных оптических свойствах параболы”.

Слово “фокус” в переводе с латинского означает “очаг”, “огонь”. Оно оправдывается следующим замечательным свойством параболы. Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге параболы и направить на неё пучок световых лучей, параллельный оси симметрии параболы, то после отражения от такой полоски все лучи пройдут через фокус. Наоборот, лучи точечного источника света, помещенного в фокусе, отразившись от полоски, пойдут параллельно оси параболы.

Указанное свойство параболы используют, изготовляя параболические отражатели для автомобильных фар и прожекторов. если зеркало с поверхностью. образованной вращением параболы около её оси симметрии, направить на Солнце, то в фокусе параболы действительно будет очаг, в котором при достаточном размере зеркала можно было бы плавить сталь. Американский физик Роберт Вуд получил параболическое зеркало, вращая сосуд с налитой в него ртутью. Зеркало получилось отличным. Поверхность такого зеркала называется параболоидом вращения. Если параболоид вращения пересекать плоскостями, то будут получаться в сечении, либо эллипсы, либо параболы.

Учитель: Итак, ещё одно знакомство с параболой произошло.

В школьном курсе алгебры парабола рассматривается как график квадратичной функции. Об этом вам сейчас напомнит Ученик 4.

Ученик 4: “О параболе, как о графике квадратичной функции”.

В математике принято записывать уравнение параболы либо в виде у 2 =2рх, либо в виде у = ах 2 . В первом случае ось симметрии параболы по оси Ох, во втором – по оси Оу. Вершина параболы в обоих случаях находится в начале координат.

А так как параболой будет и график любого квадратного трёхчлена у = ах 2 +вх+с, то естественно связать изучение параболы с графиками квадратичных функций.

Например, графику функции у=х 2 принадлежат точки (-1;1), (2;4), (-7;49), (0;0).

С помощью графика функции у=х 2 можно построить следующие:

1) у = — х 2 – симметричное отображение относительно оси Ох;

2) у = ах 2 – сжатие к оси Оу в а раз, если а > 1, а 2 +вх+с – представление функции в виде у = а(х – m) 2 +n

график y=(x – m) 2 сдвигом вдоль оси Ох вправо, если m> 0 и влево, если m 2 сжатием к оси Оу или Ох;

график y = a(x – m) 2 +n – сдвигом вдоль оси Оу вверх, если n>0 и вниз, если n 2 ;

7) у = 1/2 (х – 2) 2 +3.

Учитель: На доске построены графики функций

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Задание учащимся: схематично построить в одной системе координат графики функций:

Двое учащихся, выполнивших задание, воспроизводят рисунок на доске, объясняют построение.

Учитель просит назвать координаты вершины параболы.

Задание: рассказать о свойствах квадратичной функции по графику и втором способе построения графика.

— Как определить по коэффициентам а,в,с расположение параболы на плоскости? В какой четверти расположена вершина, где график пересекает ось Оу?

Учитель организует устную работу с кодоскопом (к задаче 1 – 4 примера, к задаче 2 – 2 примера):

1) Определить по расположению параболы знаки а,в,с,Д.

2) Задать формулой функцию, график которой показан, перечислить свойства этой функции.

Задание для самоконтроля (на доске): используя наиболее удобный способ построить графики функций:

Проверка через кодоскоп. Самооценка.

Учитель: “Итак, мы повторили построение графика квадратичной функций и её свойства, а теперь остановимся на двух из них: нули функции, промежутки знакопостоянства.

Что называют нулями функции? Как найти нули квадратичной функции?”

Ученики дают определение нулей функции. Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение у = 0, т.е. ах 2 +вх+с=0.

Ученики (в парах) проверяют друг друга: какими способами решаются квадратные уравнения; алгоритм решения.

Решение квадратных уравнений

Ученики решают уравнения по индивидуальным карточкам (Приложение 1) в тетради. Для успешно выполнивших задания учащихся подготовлены дополнительные карточки. Учащиеся проверяют решение по листу самоконтроля (Приложение 2), оценивают работу каждого ученика в малой группе. У доски двое учащихся находят нули функции у = х 2 + 4х +3.

Один — с помощью графика функции, второй – используя теорему Виета.

Задание: найти нули функции у = (а – 5)х 2 – 2ах +а – 4.

У доски один из учеников решает уравнение (а – 5)х 2 – 2ах +а – 4 = 0.

Учитель: умение решать квадратные уравнения необходимо при описании одного из свойств квадратичной функции – нахождении нулей функции.

Итак, мы выполнили три пункта плана. А сейчас немного отдохнём перед следующим важным этапом работы.

Объявляется игра “Брейн-ринг” между командами – рядами и командой гостей. На обсуждение вопроса дается одна минута. Играем до 3 очков.

Вопросы:

На доске учитель фиксирует результаты игры.

Учитель поздравляет победителей, благодарит за внимательную работу на уроке и интерес к математике.

4. Решение квадратных неравенств.

Учитель: “Рассмотрим ещё одно свойство квадратичной функции – знакопостоянство функции. Как определить, на каких промежутках функция принимает положительные, отрицательные значения? Что необходимо уметь решать?”

На доске выписываются неравенства ах 2 +вх +с>0, ах 2 +вх +с 2 +вх +с0.

— Что необходимо знать о квадратичной функции, чтобы решить такое неравенство? (количество нулей функции, направление ветвей параболы).

Итак, нужно хорошо представлять себе схему (напоминает расположение графика функции)

и алгоритм решения:

1) нахождение нулей функции у = ах 2 +вх+с

2) определение направления ветвей параболы

3) схематичный график функции

4) определение промежутков.

Учитель: “А сейчас, поработаем в группах под руководством консультантов, которые проверят работу каждого и оценят её”.

Каждой группе даётся карточка с заданием – решить неравенство (Приложение 3).

Учитель предлагает решить неравенства устно. На доске изображены графики функций

у = х 2 – 2х – 3; у = 2; у = х — 10 и записаны неравенства:

1)х 2 – 2х – 3 2 – 2х – 3> 0;

3)х 2 – 2х – 3 2 – 2х – 3 > х – 10.

Ученики устно решают неравенства.

Учитель: “Итак, квадратные неравенства можно решать с помощью графиков. Это и красиво, и интересно. Возьмите на заметку”.

Учитель: “А теперь проверим себя, насколько хорошо вы овладели материалом, были внимательны на уроках и на этом уроке тоже. Предлагаю вам тестовое задание выполнить на оценку. Проверьте свои знания и умения”.

Ученики выполняют задание в тестовой форме (Приложение 4).

“1. Подсчитайте сумму номеров правильных ответов. Если получилось число 21, то вы на верном пути.

2. Проверьте работу друг друга и оцените работу по следующим критериям:

• “5” — 7 заданий выполнено верно,
• “3” — 4 задания
• “4” — 5-6 заданий
• “2” — 0-3 задания.

3.проверьте качество вашей проверки через кодоскоп.

4.сообщите результаты учителю”.

6. Итог урока. Учитель: весь план мы выполнили. Основные знания проверили, узнали новое о параболе. За работу на уроке вы получаете следующие отметки (зачитывает по ведомости учета работы) (Приложение 5). Спасибо всем за работу! Урок окончен.