Квадратное уравнение это информационная модель

Моделирование математических объектов средствами Microsoft Excel

Изучение построения компьютерной математической модели на примере решения квадратного уравнения

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Проект : «Моделирование математических объектов средствами Microsoft Excel » Цель проекта: Изучение построения компьютерной математической модели на примере решения квадратного уравнения.

Представление о математической модели Модель-это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта, явления или процесса. Часто исследуемый объект или процесс может быть описан в виде формул, связывающих его количественные параметры. Для описания моделей используется различные системы обозначений, принятые в той или иной науке. Составление математической модели заключается в выводе математических формул, связывающих ее параметры, по которым в дальнейшем будет производиться расчет. Компьютер позволяет на качественно новом уровне перевести мысленную модель в знаковую формулу. Поставленные задачи обычно решают с помощью языков программирования или другими средствами, хотя эти задачи можно легко и эффективно решать средствами Excel.

Процесс разработки моделей и их исследование на компьютере можно разделить на несколько основных этапов: Информационная модель. Формальная модель. Компьютерная модель. Компьютерный эксперимент и анализ полученных результатов.

Этапы моделирования проследим на примере решения квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 различными способами. Информационная модель. На этом этапе можно определить некоторые особенности квадратного уравнения : полное оно или неполное, приведенное, с четным вторым коэффициентов и т.д., которые позволяют выбрать тот или иной способ решения.

2. Формальная модель . Формализовать модель значить преобразовать информационную модель на какой-либо формальный язык. В нашем примере – это язык математики. ax 2 +bx+c=0 D=b 2 — 4ac,

3 . Компьютерная модель . Компьютерная модель проекта создаём с помощью электронной таблицы Excel. Таблицу можно сформировать примерно вот так:

Далее средствами Excel формальную модель преобразуем в компьютерную, используя правила записи математических формул, принятых в Excel .

4. Компьютерный эксперимент и анализ полученных результатов . На последнем этапе проведем компьютерный эксперимент: Введем в соответствующие ячейки значения коэффициентов a, b и c

В случае, если дискриминант отрицательный ,программа выдаст соответствующий ответ: Построенная модель позволяет решать любые квадратные уравнения и значительно экономит время для их решения.

Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения, преобразуем уравнение x 2 — 2x-8=0 . x 2 = 2x+8 и построим графики функций y=x 2 и y=2x+8 . Построим таблицу значений x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y=x 2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 y=2x+1 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Выполним вставку диаграммы Точечная. Точки пересечения графиков и есть решения данного уравнения х 1 =-2; х 2 =4

Подбор параметра MS Excel позволяет решать различные уравнения с помощью функции Подбор параметра . Рассмотрим квадратное уравнение 3x 2 -5x+10=0 . Левая часть уравнения представляет собой квадратичную функцию y= 3x 2 — 5x+10 . Построим таблицу значений функции, например, на промежутке [- 3 ; 5 ] .

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 32 12 -2 -10 -12 -8 2 18 40 Из таблицы видно, что функция меняет свой знак на промежутках [- 2;-1 ] , [ 2 ; 3 ] , значит корни уравнения лежат именно на этих промежутках. Рассмотрим промежуток [- 2;-1 ] . На этом отрезке будем подбирать параметр . В качестве приближения можно взять точки х=-2 или х=-1. М ы взяли х=-2 и соответствующее ему значение y= 12. Для удобства зна чения x 1 =-2 и y 1 =12 поместим в отдельную таблицу.

Выберем на вкладке Данные Анализ «что если» Подбор параметра. В окне диалога у становим следующие значения: в поле Установить в ячейке выберем ячейку E6 , в поле Значение установим 0, в поле Изменяя значение ячейки – ячейку С6. Щелкнем OK .

Результат вы видите на экране. Первый корень уравнения найден.

Аналогично на отрезке [ 2; 3 ] определяется второй корень уравнения.

Таким образом, мы рассмотрели различные способы решения квадратного уравнения в среде MS Excel 2010 . В последних двух способах представлены только компьютерные модели проекта.

Над проектом работали: ученики 8 «а» класса Аракелян Ишхан и Ливковский Владислав. ГБПОУ ПК им. Н.Н. Годовикова

Бинарный урок математики и информатики. 8-й класс.Использование информационных технологий на уроке математики. Тема » Овладение расчетами с помощью Excel при решении квадратных уравнений по формуле»

Класс: 8

Цели урока:

• по математике: повторение формул нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения;
• по информатике: решение расчетной задачи с использованием математических и логических функций для решения квадратного уравнения в среде электронных таблиц Excel;
• общеучебные: развитие логического и алгоритмического мышления, памяти, умения внимательно и правильно выполнять инструкцию.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Оборудование: компьютеры, раздаточный материал (технология решения задачи), карточки для самостоятельной работы, мультимедиапроектор.

«Сегодня без знаний компьютера невозможно обучение, профессиональный рост и, в конечном счете, благополучие»

I. Постановка задачи

Учитель: На уроках математики мы решаем квадратные уравнения по формуле, и это занимает много времени для вычислений.
Еще Готфрид Лейбниц в XVII в. заметил «Недостойно одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычисления, которые, безусловно, можно было бы доверить любому лицу, если при этом применить машину» Видя, как много вычислений приходится делать его другу астроному Христиану Гюйгенсу, Лейбниц решил изобрести механическое устройство для расчетов, создание которого он закончил в 1694 г.
Обсудим проблему, а можно ли использовать компьютер для быстрого решения квадратного уравнения и как это сделать? (Ученики высказывают свои варианты: с помощью калькулятора вычислить дискриминант и корни; в электронных таблицах вычислять дискриминант и корни удобнее).
Итак, наша задача сводится к следующему: по известным коэффициентам квадратного уравнения вычислить дискриминант, сделать вывод о наличии корней и, если корни есть, найти их. Мы еще не знакомы с языками программирования и не можем составить программу для решения квадратных уравнений. Оказывается можно программировать без языков программирования. Помогут нам электронные таблицы.
Запишите тему урока «Овладение расчетами с помощью Excel при решении квадратных уравнений по формуле».

II. Актуализация знаний учащихся

а) по информатике (Слайд 2)

1) Для чего предназначены электронные таблицы? (ЭТ – это инструмент для табличных расчетов)
2) Из чего состоит имя ячейки? (Из имени столбца и номера строки. Например, А1, В7, F12.)
3) Что может быть содержимым ячейки? (Текст, числовое значение или формула.)
4) Каковы правила записи формул в ячейках? (Ввод формулы начинается со знака =, вся формула пишется в строку, символы выстраиваются последовательно друг за другом, проставляются все знаки операций. Формулы могут содержать числа, имена ячеек, знаки операций, круглые скобки, имена функций.)
5) Как выглядят знаки арифметических операций в ЭТ? («+» сложение, «–» вычитание, «*» умножение, «^» возведение в степень, «/» – деление)

б) по математике (Слайд 3)

1) Запишите квадратное уравнение в общем виде(ах 2 + bх + с = 0, где а =/= 0)
2) Вспомните формулу для нахождения дискриминанта и запишите ее в виде алгебраической формулы и в виде формулы для расчета в ЭТ (С помощью гиперссылки на слайд 4 ученики проверяют свой ответ. D = b 2 – 4ac; = b^2 – 4*а*с. По управляющей кнопке возвращаемся на слайд 3)
3) Напишите формулу корней квадратного уравнения. (Гиперссылка на слайд 5)

Учитель: Как же записать формулу корней в электронной таблице. Мы знаем, как записываются арифметические операции. А как же записать квадратный корень? Для этого используем математическую функцию КОРЕНЬ.
По щелчку на слайде 5 появляются последовательно две формулы для корней:

в) Задание для учащихся (слайд 6)

Решите уравнения: х 2 – 3х + 2 = 0; 2х 2 – 2х + 3 = 0; 4х 2 – 4х + 1 = 0.

(Три ученика решают у доски, остальные в тетрадях. Ответы остаются на доске.)

III. Постановка задачи

Учитель: Вы решали квадратное уравнение по формуле корней. Какой алгоритм решения?

Ученики:

1. Выписываем коэффициенты.
2. Вычисляем дискриминант.
3. Если дискриминант меньше нуля, то корней нет, иначе находим корни по формуле корней. (Демонстрируется блок-схема слайд 7)

IV. Математическая модель

Пусть а, b, с – коэффициенты квадратного уравнения (а =/= 0),
D – дискриминант, тогда D = b 2 – 4ас,
x₁, x₂ – корни уравнения,

V. Объяснение темы

Учитель: Откройте ЭТ Excel. Переименуйте лист на квадратное уравнение. Чтобы представить формулы для решения квадратного уравнения в электронных таблицах потребуются логическая функция ЕСЛИ и математическая функция КОРЕНЬ.
Эти функции можно вызвать, используя мастер функций (на стандартной панели кнопка f_x) и категории математические и логические. А можно набирать с клавиатуры самим. Пока мы будем набирать с клавиатуры.
У вас на столах есть карточки с технологией решения задачи (Приложение 2), если вы точно все выполните, то, сохранив файл, вы всегда быстро решите любое квадратное уравнение, изменив значения коэффициентов квадратного уравнения. Электронная таблица мгновенно найдет корни.

VI. Работа на компьютере

Учитель использует мультимедиапроектор и одновременно с учениками выполняет работу в электронных таблицах Excel (Приложение 3) и все учащиеся могут видеть на экране результат.

Учитель: Следуя технологии решения задачи для уравнения х 2 – 3х + 2 = 0; вы получаете таблицу:

Для проверки правильности ввода формул, то есть для отображения в ячейках не чисел, а формул, учитель предлагает ученикам ввести команду [Cервис–параметры…–формулы]. Получаем таблицу:

Вернитесь к первоначальному состоянию[Cервис–параметры…. выключите флажок формулы]

VII. Самостоятельная работа

а) Сделайте отладку задачи на двух других уравнениях:

Для этого введите значения новых коэффициентов. Сделайте вывод.

(Программа составлена верно, так как все ветви работают правильно).

б) Работа по карточкам:

Приведите квадратные уравнения к стандартному виду и решите уравнения с помощью составленной программы. (Приложение 4)

VIII. Итог урока

Учитель: Что нового для себя узнали на уроке? Что понравилось?

IX. Домашнее задание

Составьте формулы для решения линейного уравнения ах = b в электронных таблицах.

Информационная карта по теме «Квадратные уравнения»

Информационная карта для учащихся 8 класса и для повторения при подготовке к ОГЭ в 9 классе по теме «Квадратные уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Информационная карта по теме «Квадратные уравнения»»

по теме «Квадратные уравнения»

ЗНАТЬ: 1) Основные понятия: — квадратное уравнение

-полное квадратное уравнение

— неполное квадратное уравнение

— приведенное квадратное уравнение

-разложение на множители квадратного трехчлена

Вычисляем дискриминант D=b 2 – 4ac и сравниваем его с нулем.

1. D=0, уравнение имеет один корень х=

2. Применяют формулу корней квадратного уравнения, если D0

. х_1,2=

3) Алгоритм решения биквадратного уравнения: ax 4 + bx 2 + c = 0.

Ввести новую переменную , получить новое квадратное уравнение относительно переменной :

Решить квадратное уравнение относительно новой переменной, найти

После нахождения корней, подставить их в нашу переменную и найти исходные корни биквадратного уравнения.

4) Теорему Виета для приведенного квадратного уравнения: x 2 + px + q = 0

Сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
x₁ + x₂ = -p
x₁ x₂ = q

1.Решим квадратное уравнение: ax 2 + bx+ c = 0 .

УМЕТЬ:1) Решать квадратные уравнения: — полные

2)Раскладывать квадратный трехчлен на множители.

3) Решать задачи с помощью составления квадратного уравнения.

4) Решать системы уравнений, содержащих уравнения второй степени.

5) Составлять квадратные уравнения.

1) Решите уравнения:

Длина прямоугольника на 5 см больше ширины, а его площадь равна 40см 2 . Найдите стороны прямоугольника.

3) Най­ди­те корни урав­не­ния .

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния

4)Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число а:

5)Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -5 и 8.

2) Решите задачу:

Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 32 см, а площадь

3) Определите значения y, при которых верно равенство:

4)Один из корней уравнения 2х 2 +10х+g=0 на 3 больше другого.

Найдите свободный член g.

5) Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: -3 и –1/3.

а).

б) ;

в)

г) .

Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 9 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч боль­шей, чем пе­ше­ход, шед­ший из В, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку.

3)Определите значения х, при которых верно равенство:

4) Разность корней уравнения 2х 2 -5х+с=0 равна 1,5. Найдите с.

5) Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:2+√3 и 2-√3.