Неполные квадратные уравнения
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль). Как решить уравнение ax² = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0. Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −5x² = 0.
Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса! Как решить уравнение ax² + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. В двух словахНеполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Разделим обе части на 9: Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней. Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Разделим обе части на -1: Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3. Как решить уравнение ax² + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника. Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0
Ответ: х = 0 и х = 16. Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0 Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни: Квадратное уравнениеКвадратное уравнение — это уравнение вида где a, b, c — числа, причём a ≠ 0. Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным. Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным. Решение полного квадратного уравнения Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта. Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле 1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле 2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле 3) Если D Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей: Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a. 2) Если b=0 Если знаки a и с разные (например, a>0, c
Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей: Если -a 0, обе части уравнения делим на -a и получаем то же уравнение Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений. Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней. Если a Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней. 3) Если b=0 и c=0 Это уравнение имеет один корень x=0. Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня. В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня: Такие корни называются кратными (второй степени). В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы. Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов. Квадратное уравнениеКвадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа (причём обязательно a ≠ 0), В таком уравнении:
Ещё такое уравнение называется квадратный трёхчлен, т.к. самая большая степень в нём квадрат и он состоит из 3 одночленов. Для решения таких уравнений сначала находится дискриминант по этой формуле:
Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = (–1)² – 4×1×(–3) = 1 + 12 = 13, D > 0 есть два корня. Когда уже точно известно, что корни существуют, и известно количество этих корней, можно приступить к их поиску с помощью этой формулы: Пример: x² – x – 3 = 0; a = 1, b = –1, c = –3, D = 13. x1 = (1 + √13)/2 ≈ (1 + 3,60555)/2 ≈ 2,302775 x2 = (1 – √13)/2 ≈ (1 – 3,60555)/2 ≈ -1,302775 ПримерыПример 120x² – 15x – 10 = 0 Лучше сразу выписать так: a = 20, b = – 15, c = – 10. 1. Ищем дискриминант: формула D = b² – 4ac D = (– 15)² – 4 × 20 × (– 10) = 225 + 800 = 1025; D > 0 значит есть два корня. 2. Ищем эти корни: формула корней
2.1. Разбиваем формулу на две части, первый корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025. x1 = ((–(–15)) + √ 1025)/(2×20) = (15 + 32,0156) / 40 ≈ 1,17539 2.2. Второй корень:
Уравнение 20x² – 15x – 10 = 0, где a = 20, b = – 15, c = – 10; D =1025. x2 = ((–(–15)) – √ 1025)/(2×20) ≈ (15 – 32,0156) / 40 ≈ -0,42539 Пример 2a = –1, b = 6, c = 18 Дискриминант D = b² – 4ac D = 6² – 4×(–1)×(18) = 36 + 72 = 108, D > 0 есть два корня a = –1, b = 6, c = 18, D = 108 x1 = ((–6) +√108)/(–2) = ((–6) + 10,3923)/(–2) = – 2,19615 x2 = ((–6) –√108)/(–2) = ((–6) – 10,3923)/(–2) = 8,19615 Как разложить квадратный трёхчлен на множители?Продолжим с примером уравнения 20x² – 15x – 10 = 0 Мы уже нашли корни x1 ≈ 1,17539, x2 ≈ -0,42539 Выносим коэффициент x² за скобки, и оба корня ставятся с противоположными знаками таким образом: 20x² – 15x – 10 = 20 (x – 1,17539) (x+0,42539) Хотите проверить? Открываем скобки и проверяем 20 (x – 1,17539) (x+0,42539) = 20 (x²–1,17539x + 0,42539x–0,42539×1,17539) = 20 (x²–0,75x – 0,4999991521) = Погрешность в 0,000016958 должна быть из-за округления в предыдущих расчётах. Виды квадратных уравненийПолное и неполное квадратное уравнениеВ полном уравнении присутствуют все три его члена (ax² + bx + c = 0). В противном случае уравнение неполное, например: –x² – 9 = 0 (отсутствует bx) x² + 16x = 0 (отсутствует с) –5x² = 0 (отсутствуют bx и с) Т.е. это когда коэффициент с = 0 или b = 0 (или оба одновременно равны нулю). Внимание: о том, что «a» может быть равно нулю, не говорится, т.к. таким образом уравнение станет линейным (ax + b = 0). Как решать неполное квадратное уравнение?Способ решения, когда b=05x² = 5, делим всё на 5 x = ± √1 ⇔ x = 1 или x = –1 Первый способ решения, когда c=0 (это быстрый метод)x² + 16x = 0 (выносим x за скобки) x (x + 16) = 0, таким образом, либо x = 0, либо то, что в скобках, равно нулю, x = 0 или (x + 16)= 0 (x + 16)= 0 ⇔ x = – 16 Второй способ решения, когда c=0Неполное уравнение (c=0, b=0 или когда оба равны нулю) можно решить по той же системе, как и полное, правильно выписав коэффициенты (но это долго и нерационально). a = 1, b = 16, c = 0 (здесь отсутствует c, значит он равен нулю) Дискриминант: D = b² – 4ac = 16² – 4×1×0 = 16² = 256 >0, есть два корня. Ищем корни X1,2 = ((–b) ±√D)/(2×(a)) => x1 = ((–16) + √256)/(2×(1)) = ((–16) + 16)/2 = 0 x2 = ((–16) – √256)/(2×(1)) = ((–16) – 16)/2 = –32/2 = – 16 Способ решения, когда b=0 и c=0Приведённое квадратное уравнениеЧтобы получить приведённое квадратное уравнение, нужно лишь разделить обе части уравнения на a: x² + px + q = 0, где: 3x² – 6x = 0 (делим всё на 3) ⇔ x² – (6/3)x = 0 ⇔ x² – 2x = 0 (неполное приведённое) 2x² – 4x – 2 = 0 (делим всё на 2) ⇔ x² – (4/2)x – (2/2) = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 (полное приведённое) Геометрический смысл решения корней квадратных уравненийКорни квадратного уравнения ещё являются и нулями функции, т.е. если вы ищете нули функции (в каких точках функция пересекает ось Ox), то вы их найдёте именно через этот процесс: поймёте, если они существуют, рассчитав дискриминант, затем найдёте их, используя формулу корней. Вспомним наш пример уравнения 20x² – 15x – 10 = 0. Узнайте также, что такое Теорема Виета и Парабола. источники: http://www.algebraclass.ru/kvadratnoe-uravnenie/ http://www.uznaychtotakoe.ru/kvadratnoe-uravnenie/ |