Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?
Квадратными неравенствами называют неравенства, которые можно привести к виду \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), где \(a\),\(b\) и \(с\) — любые числа (причем \(a≠0\)), \(x\) – неизвестная переменная, а \(⋁\) – любой из знаков сравнения (\(>\),\( к вадратные уравнения , но со знаком сравнения вместо знака равно.
Примеры:
Как решать квадратные неравенства?
Квадратные неравенства обычно решают методом интервалов . Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.
Приведите неравенство к виду \(ax^2+bx+c⋁0\).
Примеры:
\(x^2-6x-16 корни \(x_1\) и \(x_2\). Затем запишите исходное выражение в виде \(a(x-x_1 ) (x-x_2 )\) Подробнее об этом можно почитать здесь .
\(x^2-6x-16=0\) \(-9x^2+x+8=0\)
\(D=36-4 \cdot 1 \cdot (-16)=100=10^2\) \(D=1-4 \cdot (-9) \cdot 8=289\)
\(x_1=\frac<6-10><2>=-2\) \(x_1=\frac<-1+17><-18>=\frac<16><-18>=-\frac<8><9>\) \(x_2=\frac<6+10><2>=8\) \(x_2=\frac<-1-17><-18>=\frac<-18><-18>=1\)
\((x-8)(x+2) \)) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком \(≤\) или \(≥\)), то точки должны быть закрашены.
Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
В первом справа интервале поставьте:
\(-\) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
\(-\) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.
Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки :
\(-\) со знаком «\(+\)», если в неравенстве стояло «\(>0\)» или «\(≥0\)»
\(-\) со знаком «\(-\)», если в неравенстве стояло «\( \)) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде \((x_1;x_2)\) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства (\(≤\) или \(≥\)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде \([x_1;x_2]\), с квадратными скобками на точках.
Квадратные неравенства
Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax 2 +bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:
- если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
- если a 2 +bx+c=0
Квадратные неравенства имеют вид.
ax 2 +bx+c>0
ax 2 +bx+c 2 +bx+c≥0
ax 2 +bx+c≤0
Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?
Как решать квадратные неравенства?
Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).
Пример:
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)
Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x 2 +2x+20>0.
Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.
Пример:
Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0
3x 2 +2x+20 2 +2x+20=0
Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.
А знак уравнения меньше 2 +2x+20 2 +2•1+20 2 +x-2 2 +x-2=0
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения меньше 2 +x-2 2 +(-3)-2 2 +(0)-2 2 +(2)-2 2 +x-2>0
Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.
Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).
Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.
Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x 2 +x-2 2 +(-3)-2>0
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.
Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.
Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.
Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.
Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.
Неполные квадратные уравнения
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль). Как решить уравнение ax² = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0. Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −5x² = 0.
Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса! Как решить уравнение ax² + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. В двух словахНеполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Разделим обе части на 9: Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней. Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Разделим обе части на -1: Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3. Как решить уравнение ax² + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника. Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0
Ответ: х = 0 и х = 16. Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0 Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни: источники: http://tutomath.ru/9-klass/kvadratnie-neravenstva.html http://skysmart.ru/articles/mathematic/nepolnye-kvadratnye-uravneniya |
