Квадратное уравнение и его корни 8 класс макарычев

Конспект урока по теме: «квадратные уравнения»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) по теме

Конспект урока по теме: «Квадратные уравнения» (алгебра 8 класс).

Учебник: Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

Алгебра 8. –М.: Просвещение, 2011.

Этот урок позволяет обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля усвоения знаний и умений.

Способствует формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти, а так же способствует выработке у школьников желание и потребности обобщения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока по теме: «Квадратные уравнения» (алгебра 8 класс).

Учебник : Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова .

Алгебра 8. –М.: Просвещение, 2011.

Образовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля усвоения знаний и умений.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные : способствовать выработке у школьников желание и потребности обобщения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

I. Сообщение темы и задач урока.

1) Повторение пройденного материала по теме «Квадратные уравнения».

3) Изучение нового свойства квадратных уравнений

II . Повторение пройденного материала.

Зачитывается шутливое письмо, в котором профессор Знайкин просит разыскать похищенную неизвестными ценную рукопись.

Ученикам 8 класса МОУ «СОШ №2

п. Ивня Белгородской области»

от профессора Знайкина

13. 01. сего года у меня из кабинета исчезла ценная рукопись. Прошу принять меры для розыска этой рукописи.

С уважением, профессор Знайкин.

Р.S. Преступник оставил « след», который я прошу передать той из команд, которая лучше подготовится к розыску.

Класс делится на две команды. Следователи должны пройти конкурс на лучшую подготовку к следствию. Задание конкурсов – задачи по теме «Квадратные уравнения». По итогам этих конкурсов выбирается лучшая команда, которая получает «след», на котором написано условие задачи. Решив её, команда находит пропавшую рукопись.

Конкурс на лучшую подготовку к следствию.

1. Проверка быстроты реакции:

а) х 2 -81=0; а) х 2 -8х=0;

б) 16х 2 =49. б) 5х 2 =12.

2. Умение вести перекрёстный вопрос.

Один ученик из каждой команды выдирается в качестве свидетеля. Команда противников задаёт ему вопрос по теме «Квадратные уравнения».

3. Проверка логического мышления:

При каком с (в) уравнение имеет единственный корень:

3х 2 -2х+с=0? х 2 +в х+9=0?

4. Умение проводить экспертизу:

Установить, являются ли числа

4+ Ö 3 и 4- Ö 3 корнями уравнения х 2 -8х+13=0,

способом подстановки (для первой команды) и с помощью теоремы Виета (для второй команды). Победившая команда получает «след» с задачей.

Задача: В уравнении х 2 +рх-52=0 один из корней уравнения – 13. Число р укажет номер кабинета, а второй корень – стол, где находится указанная рукопись.

Ответ: р =9, х 2 =4.

III. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

Один из учащихся читает рукопись, которую нашли:

«Квадратные уравнения- это фундамент, на котором покоится величествен Ребята, вы решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадратного двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня вы должны познакомиться с ещё одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения. Смотрите на экран».

— Назовите коэффициенты в каждом уравнении и найдите сумму коэффициентов.

1) х 2 -5х+1=0 1-5+1= -3

2) 9х 2 -6х+10=0 9-6+10=13

3) х 2 +2х-2=0 1+2-2=1

4) х 2 -3х-1=0 1-3-1= -3

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов.

Рассмотрим это на уравнениях, которые вы решали дома.

2. (На экране записаны квадратные уравнения, решить которые нужно было дома). Проверка домашнего задания.

х 2 +х-2=0; х 1 =1; х 2 = -2 0

х 2 +2х-3=0; х 1 =1; х 2 = -3 0

х 2 -3х+2=0; х 1 =1; х 2 = 2 0

5х 2 -8х+3=0; х 1 =1; х 2 = 3/5 0

Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратного уравнения.

— Ребята, а сейчас посмотрим на эти уравнения и их корни.

— Попробуйте найти какую-то закономерность:

1) в корнях этих уравнений; (первый корень равен 1);

2) в соответствии между отдельными коэффициента и корнями; (второй корень с или с/а);

3) в сумме коэффициентов (сумма коэффициентов равна 0).

Ребята, к какому выводу вы пришли? Придумайте правило.

Учитель слушает ответы учеников и делает вывод:

Если в уравнениях ах 2 +вх+с=0; а+в+с=0,

То один из корней равен 1, а другой с/а

Сделайте запись этого свойства в тетрадях.

х 1 =1; х 2 =с/а (если а=1, то х 1 =1; х 2 =с)

Учитель: это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений. Рассмотрим это на следующих примерах.

IV. Решение задач на закрепление свойства.

1. №534 (а, в, д) («Алгебра-8» под ред. С.А. Теляковского)

1. Сделать вывод о значимости данного свойства.

V. Самостоятельная работа.

(По карточкам в двух вариантах )

1. х 2 +23х-24=0 (х=1; х = -24)
2. 2х 2 +х-3=0 (х=1; х = -1,5)
3. -5х 2, +4,4+0,6=0 (х=1; х = -0,12= -3/25)
4. х 2 +2 х-3=0 (х=1; х = -3)

1) х 2 +15х-16=0 (х=1; х = -16)

2) 5х 2 +х-6=0 (х=1; х = -6/5)

3) -2х 2, +1,7+0,3=0 (х=1; х = -3/20)

4) х 2 +3 х-4=0 (х=1; х = -4)

VI. Задание на дом.

1. Придумать три уравнения, в которых, а+в+с=0
2. Повторить п. 19,21,22.
3. №546(а, б)

Выставление оценок учащимся за работу на уроке.

— Какой этап урока тебе был самым интересным в познавательном плане?

— На каком этапе ты почувствовал эмоциональный подъём?

— Какой этап урока тебе показался скучным?

— Поставь оценку работе всего класса за работу на уроке, можно с комментариями.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока по теме «Квадратные уравнения»

Обобщающий урок по теме «Квадратные уравнения» для учащихся 8 класса.

Конспект урока по теме «Квадратное уравнение» 8 класс

Конспект урока по теме «Квадратное уравнение» 8 класс.

Конспект урока по теме: «Квадратные уравнения»

Обобщающий урок по алгебре в 8 классе по теме: «Квадратные уравнения». На уроке применяются следующие виды работ: фронтальная, групповая и индивидуальная.

Конспект урока по теме: «Квадратные, рациональные и иррациональные уравнения.»

Конспект урока по математике (модуль «Алгебра») для 8 класса по теме » Квадратные уравнения».

Конспект урока по теме «Квадратные уравнения» 8 класс

Сегодня мы с вами отправимся в путешествие по заповедным местам нашего района. Прежде чем отправиться в экспедицию нам необходимо наметить , какие математические знания и умения мы можем повторить на .

Конспект урока по теме: квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений.

Урок в 8 классе по теме Учитель математики: Папшева Ю.А. Тема урока: Квадратные уравнения. Ре.

Конспект урока по теме «Квадратные уравнения»

Цель урока : популяризация науки математики.Тип урока : обобщающий урок с применением элементов СКРАМ.Личностные: формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со .

Конспект + презентация к уроку алгебры на тему «Квадратные уравнения»(8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Квадратные уравнения.docx

Конспект урока по алгебре для 8 класса (учебник Ю.Н.Макарычев) по теме «Квадратные уравнения».

Тема : «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Цели урока: знакомство с квадратными уравнениями; сформулировать определение квадратного уравнения; ввести понятия неполного и полного уравнения; научить учащихся решать неполные квадратные уравнения.

Актуализация знаний учащихся.

Изучение нового материала: I . Уравнения.

II . Квадратные уравнения.

III . Неполные квадратные уравнения.

IV . Способы решения неполных квадратных уравнений.

Закрепление изученного: решение неполных квадратных уравнений (на понимание).

Итоги урока. Выставление оценок.

Домашнее задание № 515(а;в;д);517 — 518 (а;в;д).

Пофрагментное распределение содержания учебного текста

Виды уравнений (линейные и нелинейные)

Определение квадратного уравнения.

Коэффициент квадратного уравнения.

Виды квадратных уравнений.

Решение неполных квадратных уравнений.

УРАВНЕНИЕ – равенство, содержащее неизвестные величины.
ЛИНЕЙНЫМ уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах=в, где х – переменная, а и в – числа.
КВАДРАТНОЕ уравнение – уравнение вида ах 2 + вх +с = 0, где а, в, с – заданные числа, причем а=0, х–переменная.
КОЭФФИЦИЕНТЫ квадратного уравнения:
а – первый (старший коэффициент)
в – второй коэффициент
с – свободный член.
НЕПОЛНОЕ квадратное уравнение – квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю.
ПОЛНОЕквадратное уравнение – квадратное уравнение, у которого все три коэффициента отличны от нуля.

ОРГ. МОМЕНТ. Сегодня на уроке мы будем работать с текстом, который лежит у вас на столах. Словарь терминов вы подготовили дома, можете его использовать.

Актуализация знаний учащихся:
I .Учитель: решение многих задач в математике сводится к решению уравнений. С уравнениями вы знакомы еще с начальной школы. Чтобы вспомнить об уравнениях и их видах я предлагаю прочитать текст I ., который лежит у вас на партах. И устно ответить на вопросы 1.1.

1. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

2. Виды уравнений: линейные и нелинейные(заполнение таблице на доске).

4. Степень линейного уравнения – первая.

3. Изучение нового:

II . Учитель: Нелинейные равнения в зависимости от степени уравнения бывают квадратные и неквадратные (заполнение таблицы). Тема сегодняшнего урока «Квадратные уравнения». Откройте свои тетради, запишите число, тему урока и перечертите таблицу в тетрадь.

Учитель: А теперь читаем текст под римской цифрой II и отвечаем на вопросы II . 1-5. Ответы на вопросы вы можете обсудить в парах; задания 2,3,5 выполняем по вариантам в тетрадях.

Определение квадратного уравнения.

1 Вариант 3,7х 2 -5х + 1 = 0; 2 Вариант 5х 2 — 14х + 17 = 0;

7х 2 – 13 = 0; -7х 2 – 13х + 8 = 0;

5х 2 – 9х + 4 = 0; х 2 – х = 0;

-х 2 — 8х +1 = 0. Х 2 +25х = 0

3. Назовите коэффициенты квадратных уравнений.

1 Вариант х 2 – 4х – 9 = 0 2 Вариант х 2 – 3х – 4 = 0
4. Обоснуйте ответ.

5. Вторая, т.к. левая часть есть многочлен второй степени.
6. 1 Вариант 2х 2 +3х +4 = 0 2 Вариант 3х 2 – 4х + 6 = 0

— х 2 – 5х = 0 -х 2 + 9 = 0

Назовите недостающие коэффициенты во 2) и 3) примерах.
III . Учитель:
Читаем III часть текста и отвечаем на вопросы III / 1-4 /

ОПРОС:Ученик.
1. В зависимости от полноты квадратные уравнения бывают полные и неполные (заполнение таблицы).
2. Определение неполных квадратных уравнений.
3. Виды неполных квадратных уравнений.
4. Примеры.

IV . Учитель:
А теперь рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов; читаем IV часть текста и отвечаем на вопросы IV . 1-2. Работа в парах.
Запись в тетрадях:
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ах 2 + с =0 ах 2 + вх = 0 ах 2 = 0
Ах 2 = -с х(ах + в) = 0 х 2 = 0
Х 2 = -с : а, -с : а≥0 х = 0 или ах + в = 0 х = 0
Х = √ -с/а ах = -в
Х = -√ -с/а х = -в : а
Ответ: √ -с/а; -√ -с/а Ответ: 0; -в : а Ответ: 0

Назовите количество корней.
Запись на доске (проверка!)

4. Учитель:
А теперь работа по вариантам IV . 3.
Проверить у тех, кто решил быстрее, остальные сверяют решение, которое уже записано на доске. Итоги самостоятельной работы.

1 вариант 2 вариант
1) х = +- 1.5 1) х = +- 7/5
2) х = 0; х = 4/3 2) 0; 0,6
3) а = 0 3) 0

Выставление оценок. Домашнее задание № 515(а; в; д); 517 — 518 (а; в; д).

I . УРАВНЕНИЕ.
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначающее буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет.
Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые можно преобразовать в уравнение ах = в , где а и в – заданные числа, х — неизвестное. Это уравнение называют линейным.

II . КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению уравнений вида 2х 2 + х – 1 = 0, 8х 2 – 7х = 0, х 2 – 25 = 0, 2х 2 = 0. Каждое из этих уравнений имеет вид ах 2 + вх + с = 0, где х- переменная, а,в,с – числа. В первом уравнении а=2, в=1, с=-1, во втором а=8, в=-7, с=0, в третьем а=1, в=0, с=25, в четвертом уравнении а=2, в=0, с=0. Такие уравнения называют квадратными.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + вх + с = 0, где х – переменная, а,в, с – некоторые числа, причем а=0.
Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, в- вторым коэффициентом и с- свободным членом.
При решении многих задач получается уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2х 2 + 3х = х 2 + 2х + 2 после перенесения всех членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению х 2 + х – 2 = 0.
Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

III. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х 2 + 7 = 0, 3х 2 – 10х = 0 и -4х 2 = 0 – неполные квадратные уравнения. В первом из них в = 0, во втором с = 0, в третьем в=0 и с = 0.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
ах 2 + с = 0, где в = 0
ах 2 + вх = 0, где с = 0
ах 2 =0, где в и с = 0.

IV . РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
ПРИМЕР1. Решим уравнение -2х 2 + 15 = 0,
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3:
-3х 2 = -15
х 2 =5
х = 5 или х = -5
Ответ: 5, -5.
ПРИМЕР 2. Решим уравнение 4х 2 + 16 = 0
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе части получившегося уравнения разделим на 4:
4х 2 = -16
х 2 = -4
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х 2 + 16 = 0
Ответ: корней нет.
ПРИМЕР 3. Решим уравнение 4х 2 + 9х = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители: х( 4х + 9 ) = 0.
Отсюда х = 0 или 4х + 9 = 0.
решим уравнение 4х + 9 = 0
4х = -9
х = -2
Ответ: 0, -2

ПРИМЕР 4. Решим уравнение 2х 2 = 0
х 2 = 0
х = 0
Ответ: 0.

Конспект урока алгебры в 8-м классе по теме «Квадратное уравнение и его корни»

Разделы: Математика

Базовый учебник: Алгебра-8, Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 2002.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Цель урока: сформулировать определение квадратного уравнения, научить учащихся решать уравнения вида х 2 = а, способствовать формированию получать информацию.

Оформление и оборудование:

• компьютер,
• мультимедиапроектор
• карточки-задания для работы в парах
• карточки с тестами для саморефлексии
• презентация (Приложение).

1. Актуализация знаний

а) Устно: вспомнить понятие арифметического квадратного корня, формулы

б) Применяя эти формулы, решите примеры, и вы отгадаете имя известного математика и астронома IX века.

Ключ к решению: 1 – А, 2 – Д, 16 – И, 4 – Е, 5 – К, 6 – М, 8 – Н, 7 – П, 9 – Р, 10 – Т, 11 – Л, 12 – Ь, 13 – О, 14 – З, 18 – Х.

Решение: Аль-Хорезми. Приложение. Слайд 2.

2. А теперь небольшая историческая справка об этом человеке (рассказ ученика)

Аль-Хорезми (750 – 850). Полное имя – Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муса ал Хорезми – один из крупнейших ученых (математик, астроном, историк, географ) средневековья. Приведенные годы жизни условны. Родина Аль-Хорезми – Хорезм, обширная область Средней Азии, которой соответствует теперешний Узбекистан. Он известен тем, что написал основополагающий трактат по алгебре, который был посвящен решению уравнений и ученый рассматривал этот вопрос как самостоятельную науку. В книге Аль-Хорезми шла речь о двух важнейших операциях, необходимых при решении уравнений: переносе членов уравнения с одной стороны равенства в другую и о приведении подобных членов уравнения. От названия книги Ал-джабр произошло слово «алгебра». В книге содержатся решения уравнений 1 и 2 степени. Аль-Хорезми приводил и геометрические способы решения уравнений. Его книга пользовалась большой популярностью, а в математике осталось и имя автора в латинизированном виде: алгоритм. Это слово теперь означает систему вычислений по определенным правилам. Аль-Хорезми впервые представил алгебру как науку об общих методах решения уравнений, дал их классификацию, что было очень существенно для «добуквенной» алгебры.

2х = 8,
3х 2 = 6,
5х 2 – 7х = 0,
х 2 – 4х + 5 = 0,
3х – 6 = 5 + 4х.

Учитель: Какие уравнения относятся к уравнениям 1 и 2 степени? Учащиеся делают сравнительный анализ уравнений 1 и 2 степени.
Учитель: Уравнения 1 степени вы уже решать умеете, а вот уравнения 2 степени еще нет. Теперь ваша очередь познакомиться с ними. Сформулируем теперь тему урока? Учащиеся дают варианты тем. Приложение. Слайд 4.

3. Изучение нового материала. Работа со слайдом 5 (Приложение)

Учитель: На слайде записаны вопросы, на которые, работая в парах, вы должны найти ответ в учебнике.

Вопросы:

• Какое уравнение называется квадратным?
• Как называются числа а, b, с?
• Приведите примеры квадратных уравнений.

Работа с классом. Учащиеся отвечают на поставленные вопросы.

На слайде 6: Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с – заданные числа, х – неизвестное. (Записать определение в тетрадь)

На слайде 7: ах 2 + bх + с = 0, а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член. (Записать в тетрадь)

Вопросы по слайду:

– Существенно ли условие а=/=0?
– Могут ли быть равными 0 другие коэффициенты?

Привести два-три примера квадратных уравнений на доске и в тетради

Работа со слайдом 8. Из приведенных уравнений указать квадратные и назвать коэффициенты.

1. 3х 2 + 4х – 7 = 0
2. – 2х 2 + 7х + 5 = 0
3. 2х – 3 = 5
4. 4х – 5х 2 = 1 = 0
5. 6х – 3 = 5х + 5
6. – х 2 – х + 2 = 0

Работа со слайдом 9. С помощью указанных коэффициентов составить квадратное уравнение.

Работа со слайдом 10. Проверить полученные уравнения.

Учитель: Разделите тетрадь на 3 части и решите 3 уравнения. Что значит решить уравнения? (Найти корни, или доказать что их нет). Что значит найти корни? (Найти значение переменной, при которой выполняется верное равенство). Являются ли данные уравнения квадратными?

Учитель. Если рассмотреть уравнение в общем виде х 2 = а, то от чего будет зависеть его решение? (От а)

Попробуем сделать вывод:

Если а > 0, то уравнение имеет 2 корня х₁ = , х₂ = – . (Привести пример решения геометрической задачи на применение теоремы Пифагора. Почему в ответе записываем только один корень?)
Если а = 0, то уравнение имеет один корень, х = 0.
Если а 2 = 121

а) х =
б) х = ± 12
в) корней нет

а) х = 0
б) х =
в) корней нет

6. Подведение итога урока. Домашнее задание

.№ 408 (2, 4, 6), № 409 (2, 4, 6), № 410 (2, 4) – группа А.