Квадратное уравнение введение новой переменной

Решение уравнения методом введения новой переменной

Математика. Уравнения. 283гр. Дистанционное обучение.

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнения методом введения новой переменной»

21.04.20. Задание: Записать конспект и решить уравнения

Тема: Основные приемы решения уравнений:

Решение уравнения методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной:

1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a, y, t. )

(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

2. решается новое уравнение;

3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

Пример: Решить уравнение (2x−21) 2 −5(2x−21)+4=0.

Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем 2x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4•1•4=25-16=9

Возвращаемся к обозначенному:

Методом введения новой переменной решаются биквадратные уравнения:

ax 4 +bx 2 +c=0, где a,b,c ∈R; x 2 =y; ay 2 +by+c=0. В биквадратных уравнениях всегда используется новая переменная. Получается квадратное уравнение

Пример: Решить уравнение:

x 4 −13x 2 +12=0; x 2 =y, тогда

1)x 2 =12; или 2) x 2 =1,

Задание: Решить уравнения 1. (3x−4) 2 +3 (3x−4)-4=0.

Методы решения уравнений — обзор

В этой статье дан краткий обзор всех основных методов решения уравнений. Здесь также приведены ссылки на материалы с подробной информацией по каждому методу. Это дает возможность познакомиться со всеми методами решения уравнений, а в случае необходимости — изучить методы решения уравнений углубленно.

Метод введения новой переменной (замены переменной)

Метод введения новой переменной, он же метод замены переменной, позволяет решать уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная, а также уравнения, которые могут быть приведены к указанному виду. Состоит метод во введении новой переменной t=g(x) . Введение переменной позволяет от исходного уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) перейти к уравнению с новой переменной f(t)=0 или f₁(t)=f₂(t) соответственно. Дальше находятся корни полученного уравнения с новой переменной: t₁, t₂, …, t_n . После этого осуществляется возврат к старой переменной, для чего составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n . Решение этой совокупности дает интересующее нас решение исходного уравнения.

Например, метод введения новой переменной позволяет решить уравнение . Здесь стоит принять . Это позволяет перейти от исходного уравнения к квадратному уравнению t 2 −3·t+2=0 с новой переменной t , которое имеет два корня t₁=1 и t₂=2 . Обратная замена происходит путем составления совокупности двух уравнений и . Это рациональные уравнения. Решением первого является x=2 , а решением второго является x=1,5 . Так методом введения новой переменной получено решение исходного уравнения: 1,5 , 2 .

Подробное описание метода введения новой переменной, включающее обоснование метода, алгоритм решения уравнений этим методом и примеры решения характерных уравнений, дано в этой статье.

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители предназначен для решения уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 , где f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) – некоторые выражения, x – переменная. То есть, методом разложения на множители решаются уравнения, в левой части которых находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль. Суть метода состоит в замене решения уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 решением совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения.

Приведем простой пример. Уравнение может быть решено методом разложения на множители. Переходим от исходного уравнения к совокупности двух уравнений и . Иррациональное уравнение имеет единственное решение x₁=1 . Логарифмическое уравнение тоже имеет единственное решение x₂=4 . Значит, совокупность уравнений имеет два решения x₁=1 , x₂=4 . Но области допустимых значений для исходного уравнения, которой является множество (3, +∞) , принадлежит лишь одно из решений x₁=1 , x₂=4 , а именно, x₂=4 . Оно и является единственным корнем уравнения .

Подробное описание этого метода и решения других характерных примеров смотрите в статье «метод разложения на множители».

Метод решения уравнений «дробь равна нулю»

Из названия понятно, что этот метод используется при решении уравнений f(x)/g(x)=0 . Например, он позволяет решить уравнение . Метод состоит в переходе от решения уравнения f(x)/g(x)=0 к решению уравнения f(x)=0 на ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, чтобы решить уравнение , надо решить уравнение (x−1)·(x 2 −4)=0 на ОДЗ для исходного уравнения.

Обоснование метода и примеры с решениями смотрите здесь.

Метод решения уравнений через преобразования

Метод базируется на преобразовании уравнений с целью выстраивания последовательностей равносильных уравнений и уравнений-следствий со сравнительно простыми последними уравнениями, по решениям которых находятся решения исходных уравнений.

Например, для решения уравнения 3·x 4 −48=0 последовательно проводятся два преобразования: переносится слагаемое −48 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком, после чего проводится деление обеих частей уравнения на число 3 . В результате получается равносильное уравнение x 4 =16 , причем очень простое в плане решения. Оно имеет два корня x₁=−2 и x₂=2 . Они и составляют решение исходного уравнения.

Вот другой пример. Замена выражения в левой части уравнения тождественно равным выражением (x−1)·(x+2) дает уравнение-следствие (x−1)·(x+2)=0 , имеющее два корня x₁=1 и x₂=−2 . Проверка показывает, что только первый корень является корнем исходного уравнения, а второй корень – посторонний.

Какие преобразования используются при решении уравнений? Когда нужно делать проверку для отсеивания посторонних корней, а когда такую проверку делать необязательно? Ответы на эти и многие другие вопросы по теме есть в этом материале.

Метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам

Иногда в результате преобразования уравнений получаются числовые равенства. Например, уравнение сводится к верному числовому равенству 0=0 , а уравнение сводится к неверному числовому равенству 0=5 . Решением уравнений, сводящихся к верным числовым равенствам, является множество, совпадающее с ОДЗ для исходного уравнения. Так, решением уравнения является множество x≥0 . А уравнения, сводящиеся к неверным числовым равенствам, не имеют решений. То есть, уравнение не имеет решений.

Здесь есть один нюанс. Если среди преобразований, приводящих уравнение к верному числовому равенству, есть возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением уравнения является любое число из ОДЗ. Этот нюанс разобран в статье «решение уравнений, сводящихся к числовым равенствам».

Функционально-графический метод

Обзор методов решения уравнений продолжаем функционально-графическии методом. Этот метод предполагает использование функций, отвечающих частям решаемого уравнения, а точнее, их графиков и свойств. Можно выделить три основных направления функционально-графического метода:

Графический метод
Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций
Метод оценки

Давайте рассмотрим их.

Графический метод

Первое направление базируется на использовании графиков функций. Это так называемый графический метод решения уравнений. По этому методу, во-первых, выполняется построение в одной прямоугольной системе координат графиков функций, отвечающих частям уравнения. Во-вторых, по чертежу определяется количество точек пересечения графиков, сколько точек пересечения – столько и корней у решаемого уравнения. В-третьих, определяются абсциссы точек пересечения – это значения корней.

Например, графически можно решить уравнение . Из чертежа, приведенного ниже, видно, что графики имеют единственную точку пересечения с абсциссой 2 . Это единственный корень уравнения.

Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций

Второе направление в своей основе имеет использование свойств возрастающих и убывающих функций. Соответствующий метод используется тогда, когда есть возможность подобрать корень уравнения и доказать возрастание функции, отвечающей одной из частей уравнения, и убывание функции, отвечающей другой части уравнения. В этом случае подобранный корень является единственным.
Приведем пример. Для уравнения 3 (1−x) 3 +1=2 x несложно подобрать корень, им является число 1 . Также несложно обосновать убывание функции, соответствующей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Это доказывает единственность подобранного корня.

За более полной информацией следуйте сюда

Метод оценки

Третье направление основано на использовании свойств ограниченности функций. Это так называемый метод оценки. Согласно этому методу, в первую очередь нужно оценить значения выражений, находящихся в левой и правой части уравнения. Если множества, соответствующие полученным оценкам, не пересекаются, то уравнение не имеет корней. Если множества имеют конечное число общих элементов t₁ , t₂ , …, t_n , то решение уравнения f(x)=g(x) заменяется решением совокупности систем , , …, . Если же множества, соответствующие оценкам имеют бесконечно много общих элементов, то надо либо уточнять оценки, либо искать другой метод решения.

Например, методом оценки можно решить уравнение . Значения левой части этого уравнения не превосходят нуля, а значения правой части не меньше нуля. Это позволяет перейти к системе , решение которой дает искомое решение уравнения.

Метод освобождения от внешней функции

Метод освобождения от внешней функции используется для решения уравнений h(f(x))=h(g(x)) , где f , g и h – функции, причем функция y=h(t) принимает каждое свое значение по одному разу, в частности, строго возрастает или строго убывает, а x – независимая переменная. Этот метод состоит в переходе от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения.

Например, методом освобождения от внешней функции можно решить уравнение . Здесь в качестве внешней функции выступает y=h(t) , где . Эта функция возрастающая как сумма двух возрастающих функций и , значит, каждое свое значение она принимает по одному разу. Это позволяет перейти от исходного уравнения к уравнению . Равносильные преобразования позволяют привести последнее уравнение к квадратному уравнению x 2 +x−2=0 , которое имеет два корня x₁=−2 и x₂=1 . Из этих корней только x₁=−2 принадлежит ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, x₁=−2 – единственный корень исходного уравнения.

Рекомендуем детально разобраться с этим методом решения уравнений, обратившись к материалу статьи «метод освобождения от внешней функции».

Метод решения уравнений через ОДЗ

Через ОДЗ решаются уравнения, области допустимых значений которых являются либо пустыми множествами, либо состоят из конечного количества чисел. Когда ОДЗ есть пустое множество, уравнение не имеет решений. Когда ОДЗ состоит из конечного количества чисел, то следует по очереди проверить эти числа через подстановку. Те из них, которые удовлетворяют решаемому уравнению являются его корнями, остальные – не являются.

Например, уравнение не имеет решений, так как ОДЗ для него есть пустое множество. А для уравнения ОДЗ состоит из двух чисел −1 и 7 . Проверка подстановкой показывает, что −1 является корнем уравнения, а 7 – не является.

Более полная информация по этому методу решения уравнений содержится в этой статье.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Этот метод, в основном, используется для решения иррациональных уравнений. Он заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень с целью избавления от корней. Например, возведение обеих частей уравнения в квадрат дает уравнение без корня 1−5·x=(x−3) 2 . Возведение в нечетную степень дает равносильное уравнение. Возведение в четную степень в общем случае дает уравнение-следствие, поэтому, при этом необходимо позаботиться об отсеивании посторонних корней. Причем отсеивание следует проводить способом, не связанным с ОДЗ, обычно, через проверку подстановкой, так как возведение частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в рамках ОДЗ.

Аналогично разбираемый метод может использоваться и для решения уравнений, в которых фигурируют степени с рациональными и иррациональными показателями. Решения соответствующих примеров смотрите здесь.

Метод решения уравнений по определению логарифма

По определению логарифма, как правило, решают уравнения следующего вида log_h(x)f(x)=g(x) , например, log₂(x 2 +4·x+3)=3 , log₂(9−2 x )=3−x , log_x(3·x lgx +4)=2·lgx и т.п.

Согласно методу решения уравнений по определению логарифма, решение уравнения log_h(x)f(x)=g(x) заменяется решением уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Например, от уравнения log_x(3·x lgx +4)=2·lgx можно перейти к уравнению 3·x lgx +4=x 2·lgx на ОДЗ для исходного уравнения.

Более полная информация содержится в основной статье.

Метод потенцирования

Методом потенцирования решаются логарифмические уравнения, обе части которых являются логарифмами по одному и тому же основанию, например, lgx=lg(3·x+5) , и т.п. Метод заключается в замене решения уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) решением уравнения f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения. По этому методу от уравнения lgx=lg(3·x+5) следует перейти к уравнению x=3·x+5 на ОДЗ для исходного уравнения, которая определяется двумя условиями: x>0 , 3·x+5>0 .

Обоснование метода и примеры с подробными решениями смотрите в этой статье.

Метод логарифмирования

Метод подразумевает логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию. К нему следует прибегать тогда, когда логарифмирование позволяет избавиться от степеней с переменной в показателях. В частности, его можно использовать для решения показательных уравнений, обе части которых являются степенями с одинаковыми основаниями, например, 5 1−x =5 2·x+1 . Почленное логарифмирование этого уравнения дает очень простое уравнение 1−x=2·x+1 , решение которого дает решение исходного уравнения.

Также метод подходит для решения показательных уравнений, степени в которых имеют разные основания и отличающиеся показатели, например, . Более того, метод логарифмирования является чуть ли не основным методом решения показательно-степенных уравнений, вроде таких x lgx−1 =100 , .

Более детальная информация и примеры с решениями есть в этом материале.

Как решать квадратные уравнения

О чем эта статья:

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.

Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.

А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.

Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D 0, есть два различных корня.

С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.

Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.

Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.

Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:

x 2 — 2x + 6 = 0
x 2 — x — 1/4 = 0

В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.

2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.

Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.

Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.

Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:

Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.

Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.

Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.

Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 — ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

источники:

http://www.cleverstudents.ru/equations/methods_of_solving_equations.html

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya