Серия уроков по теме: «Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Решение квадратных и дробно-рацио нальных уравнений, содержащих парамет ры — один из труднейших разделов школь ного курса математики. Здесь, кроме ис пользования определенных алгоритмов ре шения уравнений, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Квадратные и дробо-рациональные уравне ния с параметрами — это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им материала. Обу чать этому надо всех учащихся, и особен но этой темой надо заниматься с сильными учениками, ведь задачи с параметрами д ают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.
Наряду с такими традиционными содер жательно-методическими линиями школь ного курса математики как функциональ ная, числовая, геометрическая, линия урав нения и линия тождественных преобразований должна занять определенное место и линия параметров. В этой работе предлагается серия уроков на тему «Решение квадратных и дробно-рацио нальных уравнений, содержащих параметры». Все упражнения подобраны так, чтобы облег чить учащимся изучение этой непростой темы.
Блок уроков завершается контрольной работой, которая позволит проверить уро вень усвоения материала. Предлагается также подборка упражнений, которые можно включить в домашнюю контрольную ра боту или просто использовать на уроках как дополнительный материал.
Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».
формировать умение решать квадратные уравнения с пара метрами;
развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
Учитель. Сегодня мы будем учиться решать квадратные уравнения, содержащие параметр, но предварительно от ветьте мне на следующий вопрос.
Сколько корней имеет уравнение:
D = 4 — 4 • 3 • (- 1) = 16, два корня;
б) 7 x 2 — 4х + 1 = 0,
D =16-4-7-1 действительных корней нет;
в) 16 x 2 — 8х + 1 = 0,
D = 64 — 64 = 0, один корень.
Пример 1 . Линейным или квадратным является урав нение 56( b — 2)х 2 + (5 b — 2)х — 16 = 0 относительно х при:
а) b = 1; 6) b = 2; в) b = 0,4; г) b = О?
а) 6 = 1; 5 x 2 + 3 x -16 = 0- квадратное уравнение;
б) 6 = 2; 0 • х 2 + 8х — 16 = 0, 8 x — 16 = 0 – линейное уравнение;
в) 6 — 0,4; 2 • (- 1,6) x 2 + 0 • х — 16 = 0, — 3,8 x 2 — 16 = 0 — неполное квадратное уравнение;
г) 6 = 0; 0 • х 2 — 2х — 16 = 0, — 2х — 16 = 0 – линейное уравнение.
Пример 2 . При каких значениях параметра а уравне ние ах(ах + 3) + 6 = х(ах — 6) является:
а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?
ах(ах + 3) + 6 = x (а x — 6),
а 2 x 2 + За x + 6 = а x 2 — 6х,
x 2 (а 2 — а) + Зх(а + 2) + 6 = 0.
а) Уравнение является полным квадратным, если
если а Є (-∞ ; — 2) U (- 2; 0) U (0; 1) U (1; + ∞), то исход ное уравнение является квадратным.
б) Уравнение является неполным квадратным, если
если а = — 2, то исходное уравнение является неполным квадратным.
в) Уравнение является линейным, если
если а = 0 или а = 1, то исходное уравнение является линейным.
Пример 3 . При каких значениях параметра b уравне ние bx 2 — b х + b = 0:
а) имеет корни; б) не имеет корней?
D = b 2 – 4 b • b , О = — 3 b 2 .
а) -3 b 2 ≥ 0 | : (- 3) | b 2 ≤ 0, но b 2 ≥ 0, следовательно, b = 0; если 6 = 0, то уравнение корни имеет.
б) — 3 b 2 b 2 > 0 — при любых значениях b , кроме 0; если b Є (-∞ ; 0) U (0; + ∞), то исходное уравне ние корней не имеет.
Пример 4. Зная, что п Є N , выясните, имеет ли урав нение (х + п) 2 — (х- n ) 2 = 56 целые корни, и если имеет, то при каких n ?
2 n 2х = 56, х = 14/ n ; n = 2; n = 7; n = 1; n = 14.
Линейным или квадратным является уравнение b ( b — 5)х + (6 b — 3)х — 18 = 0 относительно х при: а) b = 6; б) b = 0; в) b = 0,5; г) b =5
Линейным или квадратным является уравнение а(а + 3)х + (4а — 20) x + 7 = 0 относительно х при: а) а = — 4; б) а = 0; в) а=5; г)а=-3?
1. Дано уравнение с параметром ах=3а+8. Напишите уравнение, которое получается при:
а) а=10; б) а=-2; в) а=0,25; г) а=0
2. Выясните вид уравнения 2ах(х-1) + х(ах-12) = 3х+8 относительно х при::
а) а=1; б) а=-6; в) а=-2; г) а=0
1. а) 10х=38; б) -2х=2; в) 0,25х=8 ¾; г) уравнение не существует
2. а) линейное уравнение: х= — 4/7 ; б) квадратное уравнение – корней нет;
в) квадратное уравнение – х 1 =х 2 = — 2/3 г) квадратное уравнение –
Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».
формировать прочные навыки решения квадратных уравнений, содержащих параметры;
обеспечить условия для самостоятельной творческой работы учащихся;4
сознательное усвоение школьниками алгебраических понятий и связей между ними.
Проверка домашнего задания.
Пример 1. Решите относительно х уравнение х 2 — 2х + с = 0.
2) 4 -4с = 0, с = 1, x =1.
Исходное уравнение корней не имеет.
Ответ. Если с Є (-∞; 1), то
если с = 1, то х = 1;
если с Є (1; +∞), то корней нет.
Пример 2 . Решите относительно х уравнение х 2 — ах = 0.
х г — ах = 0, х(х — а) = 0,
Ответ. Если а = 0, то х = 0;
если то х 1 = 0, x 2 = а.
Пример 3 . Решите относительно х уравнение тх 2 — 6х + 1 = 0.
1) Если т = 0, то — 6х + 1 = 0, х = 1/6.
в) 36 — 4т m > 9, исходное уравнение корней не имеет
Решите относительно х уравнение 6х 2 – 5 b х + b 2 = 0.
При каком значении параметра а уравнение имеет положительные корни?
Решите относительно х уравнение 12х 2 -7сх + с 2 = 0.
При каком значении параметра а уравнение 1/3 (5х-а) = ¼ (6х-1) имеет отрицательные корни?
После того, как учащиеся выполнят самостоятельную работу, обязательно сделайте проверку.
В-2. 1. Если с = 0, то х = 0; если с ≠ 0, то x 1 = — c /3, x 2 = — c /4 2. При а
Решите относительно у уравнения:
в) y 2 — З y = а 2 + За;
г) а y 2 + 6 y + а = 3(2 y — а).
Ответы: а) Если с = 2, то y — любое число; если с ≠2, то у 1 = — 2, y 2 = 2;
г) при а = 0 у — любое число, при а ≠ 0 корней нет.
Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».
ввести алгоритм решения квадратных уравнений, содержа щих параметры;
использовать полученные навыки для решения нестандарт ных задач.
На доску вывешивается плакат:
Алгоритм решения уравнения
Условия поиска значений параметра а
Характеристика множества корней
x – любое число из R
Пример 1. Решите уравнение с x 2 — 3(2с — I ) x — (15 — 5с) = 0.
Следуя алгоритму, рассмотрим следующие случаи:
Пример 2 . При каких значениях параметра b уравнение ( b — I ) x 2 – 2 b х + b + 1 = О имеет: а) два положительных корня; б) два отрицатель ных корня; в) единственный корень? . Решение.
а) Согласно теореме Виета
b Є (- ∞ ; -1)U (1;+ ∞ )
решении нет;
в) если b = 1, то — 2х + 2 = 0, х = 1;
b ≠ 1; D = 4 b 2 — 4( b 2 — 1) = 4 b 2 -4 b 2 +4=4≠0
Ответ: а) b Є(- ∞; -1) U (1;+ ∞) ; б) таких b не существует; в) b = 1.
При каких значениях параметра а уравнение х’ 2 — (2а + 1)х + а 2 + а — 6 = 0 имеет:
а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
При каких значениях параметра b уравнение у 2 — (2 b — 1)у + b 2 — b — 2 = О имеет:
а) два положительных корня; б) два отрицатель ных корня; в) корни разных знаков?
1. При каких значениях параметра с уравнение x 2 — cx +16=0 имеет:
а) два положительных корня; б) два отрицатель ных корня; в) единственный корень?
2. При каких значениях параметра с уравнение (х + Зс + 2) 2 — ( x — Зс — 2) 2 = 40 имеет:
а) корни; б) нет корней; в) поло жительный корень; г) отрицательный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение (х + а) 3 — (х — а) 3 = х(3х 2 + а 2 )(а — 1)
имеет: а) положительный корень; б) отрицательный ко рень; в) корень, равный нулю?
Ответы: 1. а) При с- > 8; б) при с = -8 пли с=8
2.
3..а)а Є (-∞ ; о) U (1;+ ∞); б) а Є (0; 1); в) а = 0.
Тема урока:: «Решение дробно-рациональных уравнений, со держащих параметры».
• формировать умение решать дробно- рациональные уравнения, содержащие параметры.
(Устно.) Решите уравнения:
Найдем недопустимые значения параметра а:
10 — а = 5, а = 5; 10 — а = а, а = 5.
Ответ. Если а = 5, то уравнение теряет смысл; если а ≠ 5, то х = 10 — а.
Исключая недопустимые значения параметра b , полу чаем, что уравнение имеет два корня, если b ≠ — 2, b ≠ — 1, b ≠0, b ≠ 1, b ≠ 2.
б) 4Ь 2 = 0, b = О, но это недопустимое значение параметра b ; если б 2 — 1 = О,
т. е. b = 1 или b = — 1, то — 2х + 1 = 0, х = ½ .
Ответ: а) если b ≠ — 2, b ≠ — 1, b ≠0, b ≠ 1, b ≠ 2 , то два корня; б) если b =1 или b = — 1, то единственный корень.
Задание на дом. Решите уравнения:
Тема урока : «Решение дробно-рациональных уравнений, со держащих параметры».
обучение решению уравнений с нестандартным условием;
сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.
Проверка домашнего задания
Пример 1. Решите уравнение а) относительно х; б) относительно у.
а) Найдем недопустимые значения у:
у = 0, х = у, у 2 = у 2 — 2у,
у = 0 — недопустимое значение параметра у.
Если у ≠ 0, то х = у — 2;
если у = 0, то уравнение теряет смысл.
б) Найдем недопустимые значения параметра х:
у = х, 2х — х 2 + х г = О,
х = 0 — недопустимое значение параметра х;
у(2 + х — у) = 0, у = 0 или у = 2 + х;
у = 0 не удовлетворяет условию у(у — х) ≠ 0.
Ответ: а) если у = 0, то уравнение теряет смысл; если у ≠ 0, то х = у — 2;
б) если х = 0, то уравнение теряет смысл; если х ≠ 0, то у = 2 + х.
Пример 2 . При каких целых значениях параметра а корн и уравнения
принадлежат промежутку
Ответ: 5
Пример 3. Найдите относительно х целые решения уравнения
Ответ. Если у = 0, то уравнение не имеет смысла; если у = — 1, то х — любое целое число, кроме нуля; если у ≠ 0, у ≠ — 1, то решений нет.
Пример 4 . Решите уравнение с параметрами а и b /
Ответ. Если а = 0 или b = 0, то уравнение теряет смысл; если а ≠ О, b ≠ 0, а = — Ь, то x — любое число, кроме нуля; если а ≠ О, b ≠ 0, а ≠ — Ь, то х = — а, х = — Ь.
Пример 5 . Докажите, что при любом значении пара метра n , отличном от нуля, уравнение имеет единственный корень, равный – n .
Т.е. х=- n , что и требовалось доказать.
Найдите целые решения уравнения
При каких значениях параметра с уравнение имеет: а) два корня;
б) единственный корень?
3. Найдите все целые корни уравнения если а Є N.
4. Решите уравнение Зху – 5х + 5у = 7: а) относительно у; б) относительно х.
1. Определите тип уравнения 7с(с + 3)х 2 + (с — 2)х — 8 = 0 при: а) с = — 3; б) с — 2; в) с = 4.
2. Решите уравнения:
а)х 2 — b х = 0; б) cx : 2 – 6 x + 1=0 в)
Решите уравнение З x — ху — 2у = 1: а) относительно х; б) относительно y /
Найдите целые корни уравнения n х г — 26х + п = О, зная, что параметр n принимает только целые значения.
При каких значениях b уравнение имеет: а) два корня;
б) единственный корень?
1. Определите тип уравнения 5с(с + 4)х 2 + (с- 7)х + 7 = 0 при: а) с = — 4; б) = 7; в) с = 1.
2. Решите уравнения:
а) у 2 + су = 0; б) n у 2 — 8у + 2 = 0; в)
3. Решите уравнение 6 x — ху + 2у = 5: а) относительно x ; б) относительно у.
4. Найдите целые корни уравнения n х 2 – 22 x + 2 n = О, зная, что параметр га принимает только целые значения.
5. При каких значениях параметра а уравнение имеет: а) два корня;
Дробно-рациональные уравнения
Что такое дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:
при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.
Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.
9 x 2 — 1 3 x = 0
1 2 x + x x + 1 = 1 2
6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1
Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:
Как решаются дробно-рациональные уравнения
В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.
Алгоритм действий при стандартном способе решения:
- Выписать и определить ОДЗ.
- Найти общий знаменатель для дробей.
- Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
- Записать уравнение со скобками.
- Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
- Найти корни полученного уравнения.
- Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
- Записать ответ.
Пример 1
Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
Начать следует с области допустимых значений:
x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2
Воспользуемся правилом сокращенного умножения:
x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )
В результате общим знаменателем дробей является:
Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:
x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4
x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )
После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:
x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8
x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8
Осталось решить квадратное уравнение:
Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:
Примеры задач с ответами для 9 класса
Требуется решить дробно-рациональное уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0
Определим область допустимых значений:
О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2
x 2 + 7 x + 10 ≠ 0
D = 49 — 4 · 10 = 9
x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2
x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5
Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:
a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:
x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:
x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —
— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0
x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0
x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Потребуется решить квадратное уравнение:
2 x 2 + 9 x — 5 = 0
Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.
Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:
4 x — 2 — 3 x + 4 = 1
В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
4 \ ( x + 4 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 4 — 1 \ ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0
Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:
— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0
Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:
( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0
Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:
— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )
Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:
Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.
Нужно решить дробно-рациональное уравнение:
x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x
На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
x + 2 \ 1 x ( x — 2 ) — x \ x x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x = 0
x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0
x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0
— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0
Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.
— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )
Корни квадратного уравнения:
x 1 = — 4 ; x 2 = 2
Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.
Найти корни уравнения:
x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2
Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:
x 2 — x — 6 \ 1 x — 3 — x \ ( x — 3 ) — 2 \ ( x — 3 ) = 0
x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0
x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0
0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0
Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:
Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.
Ответ: х — любое число, за исключением 3.
Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:
5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4
На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:
5 \ ( x + 2 ) x — 2 — 3 \ ( x — 2 ) x + 2 — 20 \ 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0
2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0
( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0
Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.
Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют
Нужно найти корни уравнения:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )
Начнем с определения ОДЗ:
— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0
При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:
x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )
( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )
( x — 3 ) x + x = x + 5
Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:
x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0
Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:
x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3
В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.
Второе значение не соответствует области допустимых значений.
Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Линейные уравнения
Линейные уравнения
Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Примеры линейных уравнений:
- 3 x = 2
- 2 7 x = − 5
Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.
Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .
Примеры решения линейных уравнений:
- 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
Для начала раскроем скобки:
2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:
Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
x 2 + 3 x − 8 = x − 1
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)
- 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 2 x = − 4 + 4
И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 16
2 x − 2 x = − 16 + 4
В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Алгоритм решения квадратного уравнения:
- Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
- Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
- Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
- Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
- Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
- Если D 0, решений нет: x ∈ ∅
Примеры решения квадратного уравнения:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0
a = − 1, b = 6, c = 7
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64
D > 0 – будет два различных корня:
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7
Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7
a = − 1, b = 4, c = − 4
D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0
D = 0 – будет один корень:
x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2
a = 2, b = − 7, c = 10
D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31
D 0 – решений нет.
Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )
где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,
x – переменная (то есть буква),
x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.
Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:
a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2
Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )
- − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2
Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:
- c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )
- b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.
Дробно рациональные уравнения
Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .
Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0
ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
- Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
- Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
- Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0
x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0
x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
x 2 + x − 6 2 − x = 0
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
- Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:
x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
a = 1, b = 1, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25
D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
- Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Корни, полученные на предыдущем шаге:
Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
Системы уравнений
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы уравнений
Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.
Существует два метода решений систем линейных уравнений:
- Метод подстановки.
- Метод сложения.
Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:
- Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
- Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
- Решить уравнение с одной неизвестной.
- Найти оставшуюся неизвестную.
Решить систему уравнений методом подстановки
Решение:
- Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
- Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
- Решить уравнение с одной неизвестной.
3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4
y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
- Найти оставшуюся неизвестную.
x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0
Ответ можно записать одним из трех способов:
Решение системы уравнений методом сложения.
Метод сложения основывается на следующем свойстве:
Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.
Решить систему уравнений методом сложения
Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .
Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.
( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )
− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4
y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.
Ответ можно записать одним из трех способов:
Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
http://wika.tutoronline.ru/algebra/class/9/drobnoraczionalnye-uravneniya
http://epmat.ru/modul-algebra/urok-4-uravneniya-sistemy-uravnenij/