Квадратные уравнения цикл уроков алгебры в 8 классе по учебнику А.Г. Мордковича. — презентация
Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемМарина Божич
Похожие презентации
Презентация 8 класса по предмету «Математика» на тему: «Квадратные уравнения цикл уроков алгебры в 8 классе по учебнику А.Г. Мордковича.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
1 Квадратные уравнения цикл уроков алгебры в 8 классе по учебнику А.Г. Мордковича
2 Цели: ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать умение решать квадратные уравнения; показать способ решения полных квадратных уравнений с использованием формулы корней квадратного уравнения.
3 Содержание 1. Основные понятия. 2. Полное и неполное квадратные уравнения. 3. Корень квадратного уравнения. 4. Формулы корней квадратного уравнения 5. Алгоритм решения квадратного уравнения 6. Закрепление 7. Немного истории 8. Самостоятельная работа
4 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения.
5 Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
6 Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида где коэффициенты а, в, с – любые действительные числа, причем Многочленназывают квадратным трехчленом. а – первый, или старший коэффициент в – второй коэффициент с – свободный член
7 Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Пример = 0 — не приведенное квадратное уравнение — приведенное квадратное уравнение
8 Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых. а + вх + с = 0 Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов в, с равен нулю.
9 Способы решения неполных квадратных уравнений.
10 Решить задания (a,б) Решите уравнение: или Ответ. или Ответ.
11 Определение 4 Корнем квадратного уравнения Называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трёхчлен Обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.
0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения» title=»- дискриминант квадратного уравнения D 0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения» > 12 — дискриминант квадратного уравнения D 0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения 0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения»> 0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения»> 0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения» title=»- дискриминант квадратного уравнения D 0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения»>
0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3″ title=»D>0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3″ > 13 D>0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3 0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3″> 0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3″> 0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3″ title=»D>0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3″>
0, то квадратное уравнение имеет два корня:» title=»Алгоритм решения квадратного уравнения 1. Вычислить дискриминант D по формуле D= 2. Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня:» > 14 Алгоритм решения квадратного уравнения 1. Вычислить дискриминант D по формуле D= 2. Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня: 0, то квадратное уравнение имеет два корня:»> 0, то квадратное уравнение имеет два корня:»> 0, то квадратное уравнение имеет два корня:» title=»Алгоритм решения квадратного уравнения 1. Вычислить дискриминант D по формуле D= 2. Если D 0, то квадратное уравнение имеет два корня:»>
15 Выбрать квадратные уравнения и определить значения их коэффициентов.
16 Указать приведенные квадратные уравнения
17 Решить задания 25.5 (а, б): Решить уравнения: Ответ.
21 Использованная литература А.Г. Мордкович Алгебра, 8 класс – Москва, «МНЕМОЗИНА», 2009 год Ткачева М.В. Домашняя математика, 8 класс- Москва, «Просвещение», 1996 год Энциклопедический словарь юного математика –Москва, «Педагогика», 1985 год Алгебра поурочные планы по учебнику А.Г. Мордковича. Волгоград издательство «Учитель» 2004 г
Алгебра 8 класс Учебник Мордкович часть 1
чинская. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник; A. Г. Мордкович. Алгебра. 8 класс. Методическое пособие для учителя; Л. А. Александрова. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича; Л. А. Александрова. Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы / Под ред. А. Г. Мордковича; Е. Е. Тульчинская. Алгебра. 8 класс. Блицопрос; B. В. Шеломовский. Электронное сопровождение курса «Алгебра—8» / Под ред. А. Г. Мордковича. Для изучения курса алгебры в 8-м классе ученики должны иметь две книги: учебник и задачник. Хорошим помощником как для учителя, так и для учеников станет современное мультимедийное средство обучения (компьютерный диск), созданный В. В. Шеломовским. У вас в руках первая книга указанного комплекта — учебник. Автор надеется, что этот учебник будут читать и учителя, и ученики, и родители, поскольку стиль изложения доступный, во многом расцвеченный непривычными для математической рутинной лексики оборотами. * Более подробную информацию об УМК можно получить на сайтах www.mnemozina.ru и www.ziimag.narod.ru 1* 3 в то же время изложение характеризуется четкостью, алгоритмично-стью, выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией внимания читателя на выделенных этапах. Например, решение практически всех текстовых задач оформлено в виде трех этапов: составление математической модели; работа с составленной моделью; ответ на вопрос задачи. На уроках математики учитель всегда сочетает обыденный язык (язык общения, язык литературного повествования) с предметным языком — строгим, сухим, лаконичным, строящимся по принятым в математике законам. Так написан и этот учебник, представляющий собой книгу не для заучивания, а для изучения, т.е. для чтения и понимания. Опираясь на содержание учебника, учитель прекрасно разберется в том, что надо рассказать учащимся на уроке, что заставить их запомнить, а что просто предложить им прочитать дома (и, возможно, обсудить в классе на следующем уроке в жанре беседы). Всюду, где возможно, автор старался следовать идеям проблемного обучения. Проблема (по большому счету) — это то, что мы сегодня решить не можем и завтра не решим; это то, что мучает нас продолжительное время; это то, к решению чего мы постепенно приближаемся, ощущая это приближение; это то, наконец, что, будучи разрешено, дает эмоциональный заряд, приносит радость. Именно такое (не локальное, а глобальное) понимание проблемного обучения руководило автором в работе над учебником. Примеров можно привести очень много, внимательный читатель (прежде всего, конечно, учитель математики) все увидит и поймет. Лишь простейшие понятия даются сразу в готовом виде, остальные же вводятся постепенно, с уточнениями и корректировкой, а некоторые вообще остаются на интуитивном уровне восприятия до тех пор, пока не наступит благоприятный момент для их точного определения. К числу таких понятий относится, например, понятие функции, которое, по глубокому убеждению автора, не нужно вводить с самого начала, оно должно «созреть». Во всяком случае, в этом учебнике (равно как и в нашем учебнике для 7-го класса) строгого определения функции нет, оно будет введено лишь в курсе алгебры 9-го класса. Работая над учебником, автор понимал, что его главная задача заключается не в сухом сообщении математических фактов, а в развитии учащихся посредством продвижения в предмете. Иными словами. приоритетным является не информационное, а развивающее поле курса. В учебнике практически реализованы принципы развивающего обучения, сформулированные Л. В. Занковым: обучение на высоком уровне трудности; прохождение тем программы достаточно быстрым темпом; ведущая роль теоретических знаний; осмысление процесса обучения (ученик должен видеть, как он умнеет в процессе изучения материала — это достигается проблемным обучением); развитие всех учащихся (естественно, учитывая, что у каждого из них свой предел возможностей). Каждая глава заканчивается разделом «Основные результаты». Это своеобразный смотр достижений, «сухой остаток», подведение итогов, что для успешности процесса обучения очень важно. Обращаем внимание читателя на то, что это издание учебника существенно отличается от изданий 1998—2006 гг. последовательностью изучения материала. Эти изменения отражены в методических пособиях: книге для учителя, самостоятельных работах и контрольных работах. Автор Учитесь работать с книгой В учебнике используются на полях значки-символы. Цель введения символов состоит в том, чтобы помочь учащимся усвоить и закрепить учебный материал, побудить учителей к воспитанию у школьников навыков быстрой ориентации в изучаемом материале, помочь родителям правильно проконтролировать знания детей. От редакции вопрос ® — окончание решения примера (при отсутствии рубрики «ответ»). ГЛАВА 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 1. Основные понятия § 2. Основное свойство алгебраической дроби § 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями § 4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями § 5. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень § 6. Преобразование рациональных выражений § 7. Первые представления о решении рациональных уравнений § 8. Степень с отрицательным целым показателем § 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Понятие алгебраической дроби знакомо вам из курса алгебры 7-го класса, где мы довольно много внимания уделили сокращению алгебраических дробей. Теперь настало время специально заняться изучением теории алгебраических дробей. Опрелеление. Алгебраической дробью называют выраже-Р ние , где Р и Q — многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби. Примеры алгебраических дробей: X + у X + 1 а — 4 а X — у» jc^-jc + 2’ а + 2’ 2’ За + 7 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Многочлен можно считать частным случаем алгебраической дроби. Например, многочлен 2х^ + 5л: + 3 можно записать в виде дроби 2х + 5л + 3 . Дробь За+ 7 можно переписать в виде 3 7 двучлена ^ а + ^. Да и в третьем из приведенных на с. 7 примеров после сокращения получается двучлен а — 2. Но, в сущности, это не столь важно, так было и с обыкновенными дробями. Скажем, ^ по форме — обыкновенная дробь, а по содержанию — натуральное число 2. Пример 1. Найти значение алгебраической дроби а^ + 2аЬ + (а+ Ь)(а — Ь) ’ если: а) а = 2, 6 = 1; б) а = 5, Ь = 0; в) а = 4, Ь = 4. Р е ш е н и е. а) При а = 2, Ь = 1 получаем: 4 + 4 + 1 а^ + 2аЬ + 2^ + 2 • 2 1 + 1^ (а + Ь)<а -Ь) (2 + 1)(2 - 1) б) При а = 5, Ь = о получаем: 3 1 = 3. + 2аЬ + 5^ + 2 • 5 • о + 0^ (а + &)(а-5) (5 + 0)(5 - 0) 25 + 0 + 0 5-5 25 = 1. в) При а = 4, Ь = 4 выражение а-Ь обращается в нуль, а потому знаменатель данной дроби обращается в нуль. Но на нуль делить нельзя. Значит, пара значений а = 4, Ь = 4 является для ебраичЕская заданной дроби недопустимой^ т. е. алгебраическая дробь в этом случае не имеет смысла. Ш Условимся в дальнейшем, что переменные, входящие в состав алгебраической дроби, принимают лишь допустимые значения, т. е. такие значения, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль. дробь числитель знаменатель допустимые значения переменных 8 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ ЗвмеЧЗНИВ. пример 1 решен правильно, но «некультурно». D /Г а^ + 2аЫ-Ь^ Ведь алгебраическую дробь ——— можно сократить. (а + Ь)(а —Ь) Напомним, как мы это делали в 7-м классе: а^ + 2аЬ + __ (а + ЬУ _ а + Ь (а + Ь)(а-Ь) <а + Ь)<а - Ь) а-Ь ‘ Согласитесь, что если бы мы начали с сокращения дроби, то все вычисления существенно упростились. Поэтому у математиков как бы выработался рефлекс: если им встретилась алгебраическая дробь, то прежде всего они выясняют, нельзя ли ее сократить. Пример 2. Лодка прошла 10 км по течению реки и б км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть X км/ч — собственная скорость лодки, тогда по течению реки она плывет со скоростью (х + 2) км/ч, а против течения — со скоростью <х - 2) км/ч. По течению реки, т. е. со скоростью <х + 2) км/ч, лодка прошла путь 10 км. Значит, время, затраченное на этот путь, выражается формулой
Г2 Против течения реки, т. е. со скоростью (х — 2) км/ч, лодка прошла путь б км. Следовательно, время, затраченное на этот путь, выражается формулой
Г2 По условию задачи на весь путь (т. е. на 10 км по течению и 6 км против течения) суммарно затрачено 2 ч. Это значит, что JC + 2 X — 2 Составленное уравнение — математическая модель задачи. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ L. Работа с составленной моделью. Обратите внимание на левую часть уравнения. Она представляет собой сумму алгебраических дробей. Таким образом, приходим к следующим выводам: 1) алгебраические дроби могут входить в состав той или иной математической модели; 2) надо научиться оперировать с алгебраическими дробями, чтобы, в частности, сложить дроби ^ и —-—; 3) пока мы не научимся оперировать с алгебраическими дробями, мы не сможем осуществить второй этап решения задачи — этап работы с составленной моделью. Придется нам вернуться к этой задаче позднее, когда мы будем готовы довести ее до конца, — это произойдет в § 7. Итак, теперь вы не сомневаетесь в том, что алгебраические дроби нужны и что мы должны научиться оперировать с ними. Этим и займемся в следующих параграфах. § 2. ОСНОВНОЕ свойство АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ДРОБИ Вам известно, что значение обыкновенной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Например: 3 12 g = ^ (и числитель и знаменатель мы одновременно умножили на одно и то же число 4; значение дроби не изменилось); 22 2 ^ = g (и числитель и знаменатель мы одновременно разделили на одно и то же число 11; значение дроби не изменилось). 10 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Алгебраическая дробь — это в определенном смысле обобщение обыкновенной дроби; над алгебраическими дробями можно осуществлять преобразования, аналогичные тем, которые мы только что указали для обыкновенных дробей. 1. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби. 2. И числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование заданной алгебраической дроби, его называют сокращением алгебраической дроби. Сформулированные правила представляют собой основное свойство алгебраической дроби. Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, мож- но дробь ^ заменить (если, конечно, в этом есть необходи- _2) X мость) дробью _ 2^ (числитель и знаменатель дроби одновременно умножили на л: — 2) или дробью х-1 2х^ 2х(х — 1) (числи- тель и знаменатель дроби х-1 одновременно умножили на 2х). Пользуясь основным свойством алгебраической дроби, можно заменить дробь 2х^ более простой дробью (числитель 2х(х-1) . ^ ^ и знаменатель одновременно разделили на 2х, т. е. сократили дробь). 11 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Пример. Преобразовать заданные дроби так, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями: ^ ^ 6Ь^ б) —- И — X + у х-у Решение. а • Sb \ ^ _ 6Ь^ • 2 6Ь^ 2 ЗаЬ _ » 12Ь^ ’ 2а^ 12Ь^ ■ Дроби приведены к одинаковому знаменателю (обычно говорят «к общему знаменателю»). Для этого пришлось числитель и знаменатель первой дроби умножить на дополнительный множитель 3fo, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель 2; сделать это позволяет основное свойство дроби. х(х-у) _ х^- ху ^ б) X + у X х-у <х+у)<х-у) 0^-у^ " Xix^^y) _ х^-\-ху (х-у)(х+у) -у^ Дроби приведены к общему знаменателю с помощью дополнительных множителей — соответственно х-уих-^у. ® Приводя в этом примере алгебраические дроби к общему знаменателю, мы заменяли одну алгебраическую дробь другой дробью, тождественно равной первой. Однако если при сокращении дроби мы ее упрощаем, то в рассмотренном примере каждая дробь заменялась более сложной. Наверное, у вас возник вопрос: а нужно ли такое «усложняющее» преобразование? Оказывается, нужно, и в этом мы с вами скоро убедимся. С основным свойством алгебраической дроби связаны правила изменения знаков у числителя и знаменателя. Так, имеет место равенство 12 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ а-Ъ Ь- а с - d d - с ^ здесь числитель и знаменатель первой дроби мы одновременно умножили на одно и то же число -1. Если же изменить знаки только в числителе или только в знаменателе, то следует изменить знак и перед дробью: а - Ь -(Ь - а) c-d с - d Ь - а c-d" а - Ь а-Ъ а - Ь c-d -(d -с) d- с' § 3. СЛОЖЕНИЕ и ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби: а, 6 с а + Ь - с d d “ d ' d ’ т. e. составляют соответствующую алгебраическую сумму числителей, а знаменатель оставляют без изменений. Пример. Выполнить действия: 2a^ + 5^2a6 + fe Ъ + Ь а‘^ - аЬ - аЬ - аЬ' Решение. Применив правило сложения и вычитания алгебраических дробей, получим: 2а^ + 5 ^ 2аЪ-\-Ь _ Ь + Ъ _ (2а^ + 5) + (2аЬ + 6) - (6 + 5) - аЬ - аЬ -аЬ с? - аЬ 13 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Теперь можно упростить числитель, выполнив соответствующие операции над многочленами: (2а^+ 5) + (2аЬ + fo) - (fo + 5) = = 2а^ + 5 + 2аЬ + Ь - Ь - 5 = 2а^ + 2аЬ. Таким образом, заданную алгебраическую сумму трех дро- 2а^ + 2аЬ бей нам удалось преобразовать в дробь - аЬ А теперь вспомните то, что мы говорили в предыдущем параграфе: получив алгебраическую дробь, нужно посмотреть, нельзя ли ее сократить. Оказывается, можно: 2а^ + 2аЬ _ 2а<а + Ъ) _ 2<а + Ь) _ 2а + 2Ъ а - аЬ а(а - Ъ) а - Ь а - Ь Приведем теперь решение рассмотренного примера без комментариев (как это вы будете делать в тетрадях): 2а^-|- 5 ^ 2аЬ + Ь _____________ с? - аЬ - аЬ - аЬ 2£1^ + 5 + 2аЬ + & - fo - 5 Ъ+Ъ _ (2а^+ S) + (2ab + b)-(b+ 6) _ - аЬ - аЬ 2а^ + 2аЬ 2а<а + Ъ) _ 2(а + Ь) а - Ь - аЬ 2а + 2Ь а - Ь а<а - Ь) Как видите, в результате преобразований получилось алгебраическое выражение более простое, чем было задано в условии примера. Именно в упрощении и состоит цель преобразований, поэтому часто вместо словосочетания «выполнить действия» используют словосочетание «упростить выражение». 14 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ § 4. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множителей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей. Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей 1. Привести все дроби к общему знаменателю; если они с самого начала имели одинаковые знаменатели, то этот шаг алгоритма опускают. 2. Выполнить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями. Пример 1. Выполнить действия: . а . а ® ^ ’ б) X х+у х-у Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на решение указанного примера, получаем: а а ЗаЬ ^ 2а^ ЗаЬ + 2а^ 126* 15 1= АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ б) ху + ху х + у х-у Х^-г/^ х^-1^ _ (JC^ - ху) -(х^ + ху) _ 3^ - ху - х^ - ху _ -2ху
Х^-У^ 2 2 X — У Ш Самое трудное в приведенном на с. 15 алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2. Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1. -о и —г- общим знаменателем является одно-46^ 66^ член 12Ь^. Он делится и на 4Ь^ и на бЬ^, т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей. Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная Ъ входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе. Для дробей Для дробей X и общим знаменателем служит про- х-\-у х-у изведение (х у)(х — у) — оно делится и на знаменатель л: -f ^ и на знаменатель х-у. При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение. Теперь можно оформить соответствующий алгоритм. 16 АЛГЕ&РАИЧЕСКИН ДРОБИ Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей 1. Разложить все знаменатели на множители. 2. Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в разложениях на множители, составленных на первом шаге. 3. Составить произведение, включив в него в качестве множителей все буквенные множители разложений, полученных на первом шаге алгоритма. Если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то его следует взять с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся. 4. Приписать к произведению, полученному на третьем шаге, числовой коэффициент, найденный на втором шаге; в итоге получится общий знаменатель. Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1. ЗдМ&ЧдНИ&ш На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Для дробей и 4Ь общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12Ь^, может быть и 24Ь^ и ASa^Ь^. Чем же одночлен 12Ь^ лучше, чем 24Ь^, чем ASa^Ь^l Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя. Снова вернемся к примеру 1,а. Общим знаменателем для дробей является одночлен 12Ь^. Дополнительный 6Ь 17 ц АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЦРОБИ множитель для первой дроби равен Sb (поскольку 12Ь^ : 4Ь^ = = ЗЬ), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12Ь^ : 6Ь^ = 2). Решение примера 1,6 можно оформить так: 4Ь^ 2^^ Sab + 2а^ 6Ь^ 12Ь^ Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку. Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю 1. Разложить все знаменатели на множители. 2. Из первого знаменателя выписать произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем. 3. Найти дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе. 4. Найти для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя. 5. Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем. Пример 2. Упростить выражение За 4а^ -1 а + 1 2а^ + а Решение. Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители для каждой из двух дробей. Сначала разложим знаменатели на множители: 4а2-1=(2а-1)(2а + 1), 2(1^ 4- а = а (2d 4-1). 18 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель а(2а — 1) (2а -f 1). Удобно расположить записи в виде таблицы: Знаменатели Общий знаменатель Дополнительные множители (2а-1)(2а+ 1) а (2а -Ь 1) а (2а — 1)(2а -1- 1) а (2а — 1) Второй этап. Выполним преобразования: За а + 1 За^ а + 1 \2a-l 4а^ -1 2а^ + а (2а — 1)(2а + 1) а(2а + 1) За^ — (а + 1)(2а — 1) _ За^ — (2а^ — а + 2а -1) а(2а — 1)(2а + 1) За^ — 2а^ + а — 2а + 1 а(2а — 1)(2а + 1) а(2а — 1)(2а + 1) а^ — а + 1 ‘ а(2а — 1)(2а + 1)’ ОБИ б) 7аУ 6Ь^ — 12аЬ + 6а^ ^ 7аУ 6(&^ — 2аЬ + а^) ^ За-ЗЬ 49aV 3(а — Ь) • 6ф — af 2ф — af 49aV 3(а-Ь)-49а^Ь® 7а(а-Ь)’ Воспользуемся тем, что (Ь — а)^ = (а — 6)^. Получим: 2ф — af ^ 2(а — bf _ 2(а — Ь) 7а(а — Ь) 7а <а - Ь) 7а Пример 2. Выполнить действия: а -о а) -1 ^ + х + 1 Sy ' 16/ ’ Решение. б) Ь - а аЬ + 2Ь — За — 6 а + 2 а) -1 _ + х+1 <х - 1)(лс^ + JC + 1) _ х^ + х+1 _ Sy ' W (JT - 1)(х^ + дс +1) • 16у^ Sy -----(*-!)%-2»!/-2. б) ^4 l4 а —о Ъ - а _ (а^ - Ъ^)<а^ + 6^) Ъ - а Я аЬ + 26 - За - 6 * а + 2 <аЪ + 26) - (За + 6) ’ а + 2 _ (а - 6)(а + 6)(а^ + 6^) ^ 6 - а _ (а - 6)(а + 6)(а^ + 6^) ^ 6 - а _ 6(а + 2) - 3(а + 2) а + 2 (а + 2)(6 - 3) * а + 2 (а - Ъ)ф + &)(а^ + Ь^)(а + 2) ^ -(а + Ь)(а^ + Ь^) ф-3) (а + 2)ф - 3)ф - а) Мы учли, что в результате деления а-ЬнаЬ- а получится -1. Впрочем, знак «-» в данном случае лучше переместить в знаменатель: -(а + &)(а^ + Ь^) <а + Ь)<а^ + Ь^) (а + Ь)ф^ + Ь^) ф-3) -ф-3) 3-Ь в 22 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ П р И м е р 3. Выполнить действия: Решение. лг+2 ] 3 ^ х^ + 4х+ 4 ^ - 6х V >х^ — 4х ■¥ 4 \ у х+ 2 ^ + 4х+ 4 ^ — 4jc + 4 X + 2 Зх(х — 2) ‘ (x-2f (x^2f _(х^2)^
20 ■ 26 м АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Теперь заданное уравнение можно переписать в виде -7х — 34 20 = 0. Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Значит, получаем: 34 -7л:-34 = 0; -7л: = 34; х = -—. Ответ:л: = -4-. Пример 2. Решить уравнение л: + 3 + 1 = л:^ -10 л:^ — 9 Решение. Равенства А = БиА-Б = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и Б. Учитывая это, перепишем данное 2 уравнение в виде л + 3 + 1- л:^ -10 л:^ — 9 = 0. Это — рациональное уравнение. Выполним преобразования его левой части: + 1- л:'» -10 21^ л: + 3 * л:^-9 л: + 3 2(л: — 3) + (л: — 3)(л: + 3) — (х^ — 10) х^ -10 (X — 3)(л + 3) (X — 3)(л + 3) 2л — 6 + — 9 — + 10 (х — 3)(л + 3) 2л:-5 (х — 3)(л: + 3) ’ В итоге мы приходим к уравнению 2л:-5 = 0. (х — 3)(л: + 3) Воспользуемся условиями равенства дроби нулю (они сформулированы в ходе решения примера 1). Приравняв нулю числитель дроби, получим: 2л:-5 = 0; 2л: = 5; л: = 2,5, 27 у АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Но напомним, что условий равенства дроби нулю — два: равенство нулю числителя (этим мы уже воспользовались) и отличие от нуля ее знаменателя. Это второе условие надо проверить. Если X = 2,5, то знаменатель (х -3)(х + 3) отличен от нуля. Все в порядке: х = 2,5 — корень уравнения. О т в е т: л: = 2,5. К обоим условиям равенства дроби — нулю о надо относиться одинаково уважительно, т. е. сначала надо воспользоваться условием а = О, а затем не забыть проверить условие ЬфО. Пример 3. Решить уравнение Решение. + Ъх-3 х-1 = 0. + 5л: — 3 л: — |(ДГ>3) (л:-3)(л:+3) л:-3 = 0; 2л^ + 5л — 3 — (л — 1)(х + 3) = 0. (X — 3)(л + 3) Приравняв числитель алгебраической дроби, содержащейся в левой части уравнения, нулю, получим: 2л:^ + 5л: — 3 — (х^ — л: + Зл: — 3) = 0; л:^ + Зл: = 0; л:(л: + 3) = 0; Xi = 0, Х2 = -3. Выполним проверку найденных значений. При л: = -3 знаменатель (х — 3)(л: + 3) обращается в нуль, значит, это значение корнем уравнения не является. При л: = о знаменатель в нуль не обращается, это значение является корнем уравнения. О т в е т: 0. 10 6 Пример 4. Решить уравнение X + 2 X — 2 = 2. 28 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Решение, Перепишем уравнение в виде о о “■ 2 = 0. X + 2 X — 2 Выполним преобразования левой части уравнения: lO*^ + ^ 10(л: — 2) + 6(JC + 2) — 2(х^ — 4) _ х+2 х-2 (х + 2)(х — 2) 10.»: — 20 + 6jc + 12 — га:*’ + 8 (JC + 2)(х — 2) 16л: — 2л:^ 2л:(8-л:) (х + 2)(л: — 2) (х + 2)(х — 2) Теперь заданное уравнение можно переписать в виде 2x(S-x) (х + 2)(х — 2) Первое условие равенства дроби нулю приводит к уравнению 2х (8 — л:) = о, откуда получаем: 2л: = 0 или 8 — л: = 0, т. е. л: = о или л: = 8. Второе условие равенства дроби нулю обязывает нас поочередно подставить найденные значения л: = 0ил: = 8в знаменатель (х 4- 2)(л: — 2). Поскольку ни при л: = 0, ни при л: = 8 знаменатель не обращается в нуль, оба значения являются корнями уравнения. О т в е т: 0; 8. Пр и м е р 5. Лодка прошла 10 км по течению реки и б км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Этот этап нами уже пройден ранее — см. пример 2 из § 1. Математическая модель задачи — уравнение 10 6 л: + 2’^д:-2“^’ где X км/ч — собственная скорость лодки. 2» АЛГЕВРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Второй этап. Работа с составленной моделью. В § 1 мы этого сделать не смогли. Теперь мы с вами знаем побольше, и эту модель, т.е. это уравнение, уже решили выше в примере 4. Получили: = О, Xg 8. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Нужно выяснить, чему равна собственная скорость лодки, т.е. чему равно значение х. Мы получили, что либо л: = О, либо л: = 8. Первое значение нас явно не устраивает: собственная скорость лодки не может быть равной О км/ч (по условию лодка плывет, а не стоит на месте). Второе значение нас устраивает. Ответ: собственная скорость лодки равна 8 км/ч. §8. СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Вы умеете вычислять значение степени с любым натуральным показателем. Например, 0,2^ = 0,2; 3^ = 3 • 3 = 9; 4® = 4 • 4 • 4 = 64; 1^ = 1 • 1 • 1 • 1 = 1; (-2)^ = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) = -32; 0® = 0- 0- 0- 0- 0- 0 = 0ит. д. Но математики на этом не остановились. Так, еще в курсе алгебры 7-го класса мы познакомились с понятием степени с нулевым показателем: если а О, то а® = 1. Например, 5,7® = 1; (-3)® = 1 и т. д. Постепенно продвигаясь в изучении математи- ► ческого языка, мы с вами поймем, что означают в 1 математике символы 2″^, 3^ и т. д. Частично это мы сделаем уже в настоящем параграфе, а частично — в курсе алгебры 11-го класса. Зададим вопрос: если уж вводить символ 2″^, то каким математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней, например чтобы при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывались; в частности, чтобы выполнялось следующее равенство: 2″3.2^ = 2® (подробнее: 2″^ . 2^ = 2″^^^ = 2®). 30 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Но 2° = 1, а тогда из равенства 2 -3 . оЗ 1 получаем, что 2 ^ ^. Значит, появились основания определить 2 ^ как ^. Подобные рассуждения и позволили ввести следующее определение. Определение. Если п — натуральное число ^ -п 1 и а 5^ О, то под а понимают — : а «= , а ^0. „ 0-2 1 1 гг-1 1 1 Например, 3^=^=—,7″-=^ = -ит.д. Естественно, что записанную выше формулу при необходимости используют справа налево, например: 1=5-1 J_ = ±=3-4 5 ^ ’ 81 3″ • Отметим одно важное тождество, которое часто используется на практике: В частности, = а», а А 0. Пример 1. Вычислить 2^ + Решение. -16 -1 1)2-^=^ 4’ 2) /»зуз ГЗ^ 27 з]
8 ’ 31 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ 3)16-=^; .4 1 27 4 + Т 1 16 16 • О т В е т: 3 — . 1о Пример 2. Доказать, что: а) а -з.а-^ = а-«; Решение. а)а^*а « = а^; = а®. 1 1 1 1 -8 а» ‘ ‘ а» » а* • а® б) : а ^ = а в) (а-2)-з=[^ ^ ^ = а^. -3 = (аУ = а^ в Рассмотрим тождества, доказанные в примере 2, повнимательнее. Первое означает, что а-з.д-5=д-з-ь(-5) (при умножении степеней с одинаковыми основаниями показа тели складываются). Второе тождество означает, что (при делении степеней с одинаковыми основаниями из показа теля делимого надо вычесть показатель делителя). Третье тождество означает, что (при возведении степени в степень показатели перемножаются). Как видите, те свойства степеней, к которым вы привыкли, имея дело с натуральными показателями, сохраняются и для отрицательных целых показателей. 32 JJ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Вообще* справедливы следующие свойства (мы считаем, что svit — произвольные целые числа): 1. а» 2. : а — а’ t = r.s-t 3. (aY 4. (аЬУ Ь St а Заметим, что теперь мы имеем право не делать в свойстве 2 ограничения s > t (как это было тогда, когда мы оперировали только с натуральными показателями степени). Например, верно как равенство = а^
так и равенство = а^
g » ^и т. д. Может быть, среди них найдется такая дробь что 5? Тогда никаких проблем с уравнением = 5 у нас не будет, мы сможем напи- т т сать, что лг. = —, ^9 =-. ^ п ^ п Но тут нас ждет неприятный сюрприз. Оказывается, нет такой дроби ^, для которой выполняется равенство = 5. Доказательство сформулированного утверждения довольно сложно. Тем не менее мы его приводим (петитом), поскольку оно красиво и поучительно, очень полезно попытаться его понять. Предположим, что имеется такая несократимая дробь ^, для кото- рой выполняется равенство Тогда — = 5, т. е. Послед нее равенство означает, что натуральное число делится без остатка на 5 (в частном получится п^). Следовательно, число оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0. Но тогда и натуральное число т оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой о, т. е. число т делится на 5 без остатка. Иными словами, если число т разделить на 5, то в частном получится какое-то натуральное число k. Это значит, что т = 5k. А теперь смотрите: т 2 _ 5п^; т = 5k. Подставим 5k вместо т в первое равенство: (5kf = 5n^, T.e.25k^ Последнее равенство означает, что число делится на 5 без остатка. Рассуждая, как и выше, приходим к выводу о том, что и число п делится на 5 без остатка. Итак, т делится на 5, п делится на 5, значит, дробь ^ можно сократить (на 5). Но ведь мы предполагали, что дробь ^ — несократимая. 42 ФУНКЦИЯ у= yfx . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ В чем же дело? Почему, правильно рассуждая, мы пришли к абсурду или, как чаще говорят математики, получили противоречие*^ Да потому, что неверной была исходная посылка, будто бы существует такая несо- кратимая дробь — , для которой выполняется равенство да делаем вывод: такой дроби нет. (1Г— Отсю- метод доназатея ьстпва от проттшюго Метод доказательства, который мы применили только что, называют в математике методом доказательства от противного. Суть его в следующем. Нам нужно доказать некоторое утверждение, а мы предполагаем, что оно не выполняется (математики говорят: «предположим противное» — не в смысле «неприятное», а в смысле «противоположное тому, что требуется»). Если в результате правильных рассуждений приходим к противоречию с условием, то делаем вывод: наше предположение неверно, значит, верно то, что требовалось доказать. Итак, располагая только рациональными числами (а других чисел мы с вами пока не знаем), уравнение = 5 мы решить не сможем. Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ и с его помощью корни уравнения = 5 записали так: Xi = Х2 = -yfb (читают: «корень квадратный из пяти»). Теперь для любого уравнения вида х^ = а, где а > О, можно записать корни: = у[а, Xz—^(рис.З). Рис. 3 i \ ^ 2 а у = а |\ ]\ Т\ |\ 1 1 1 J [ 1 1 1 1 i i 1 -4^ 1 \ ь. L О J 43 ФУНКЦИЯ к = л , СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ Еще раз подчеркнем, что число ^ не целое и не дробь, т. е. — не рациональное число, это число новой природы^ о таких числах мы специально поговорим позднее, в § 11. Пока лишь отметим, что новое число yjb находится между числами 2 и 3, поскольку 2^ = 4, а это меньше, чем 5; 3^ = 9, а это больше, чем 5. Можно уточнить: 2,2 5. Можно еще уточнить: 2,23 5. На практике обычно полагают, что число ^ равно 2,23 или оно равно 2,24, только это не обычное равенство, а приближенное равенство^ для обозначения которого используют символ
. Итак, ^ = 2,23 или ^ = 2,24. Обсуждая решение уравнения х^’ = а, мы столк-нулись с довольно типичным для математики положением дел. Попадая в нестандартную, нештатную (как любят выражаться космонавты) ситуацию и не найдя выхода из нее с помощью известных средств, математики придумывают для впервые встретившейся им математической модели новый термин и новое обозначение (новый символ); иными словами, они вводят новое понятие, а затем изучают свойства этого понятия. Тем самым новое понятие и его обозначение становятся достоянием математического языка. Мы действовали так же: ввели термин «корень квадратный из числа а», ввели символ yja для его обо- 44 ФУНКЦИЯ у = ^ . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ значения, а чуть позднее (в § 14) изучим свойства нового понятия. Пока мы знаем лишь одно: если а > О, то у[а — положительное число, удовлетворяющее уравнению = а. Иными словами, ^ — это такое положительное число, при возведении которого в квадрат получается число а. Поскольку уравнение = О имеет корень л: = О, условились считать, что у[6 = 0. Теперь мы готовы дать строгое определение. Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. Это число обозначают ^ , число а при этом называют подкоренным числом. Итак, если а — неотрицательное число, то: и J
a > 0; 2) <^fa) =а. Если а 0. Равенства у[а = Ь и = а выражают одну и ту же зависимость между неотрицательными числами а и &, но только вторая описана на более простом языке, чем первая (использует более простые символы). Операцию нахождения квадратного корня из неотрицательного числа называют извлечением квадратного корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в квадрат. Сравните: квадратный корень подкоренное нисАО извлечение квадратного корня 45 ФУНКЦИЯ у = ^ . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ Возведение в квадрат Извлечение квадратного корня 5^=25 /25 =5 10^ = 100 /100 =10 0,3^ = 0,09 /0,09 = 0,3 Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении квадратного корня. И хотя, например, (-5)^ = 25 — верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня (т.е. написать, что у[^ = -5) нельзя. По определению — положительное число, значит, у[^ = 5 (а не -5). Иногда говорят не «квадратный корень», а «арифметический квадратный корень». Термин «арифметический» мы опускаем для краткости. Пример 1. Вычислить: а) /49 ; в) /о ; б)/^; г)/17; д) лГ-4; е) у1Ш ; ж) /5625; Решение. а) .^49 = 7, поскольку 7 >О и 7^ = 49. б) /0,25 = 0,5, так как 0,5 > 0 и 0,5^ = 0,25. в) /о =0. г) в отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа .^17 . Ясно лишь, что оно больше, чем 4, но меньше, чем 5, поскольку 4^ = 16 (это меньше, чем 17), а 5^ = 25 (это больше, чем 17). 46 ФУНКЦИЯ 4х , СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ Впрочем, приближенное значение числа .^17 можно найти с помощью микрокалькулятора, который содержит операцию извлечения квадратного корня; это значение равно 4,123. Итак, ^ ^ 4,123. Число .^17 , как и рассмотренное выше число ^ , не является рациональным. д) Вычислить нельзя, поскольку квад- ратный корень из отрицательного числа не существует; запись ^-4 лишена смысла. Предложенное задание некорректно. е) =31, так как 31 > О и 31^ = 961. В подобных случаях приходится использовать таблицу квадратов натуральных чисел или микрокалькулятор. ж) ^5625 = 75, поскольку 75 > О и 75^ = 5625. ч 7 7 ^ г 7 f 49 з) х/ 7^ = , поскольку —>0и|^ —J=—. Ои^-| — — в простейших случаях значение квадратного корня вычисляется сразу: yfl = 1, у[4 = 2, ^Дб = 4, ^0,01 = 0,1 и т. д. В более сложных случаях приходится использовать таблицу квадратов чисел или проводить вычисления с помощью микрокалькулятора. А как быть, если под рукой нет ни таблицы, ни калькулятора? Ответим на этот вопрос, решив следующий пример. Пр и м е р 2. Вычислить ^2809 . Решение. Первый этап. Нетрудно догадаться, что в ответе получится 50 с «хвостиком». В самом деле, 50^ = 2500, а 60^ = 3600, число же 2809 находится между числами 2500 и 3600. Второй этап. Найдем «хвостик», т. е. последнюю цифру искомого числа. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 или 59. Проверить надо только два числа: 53 и 57, поскольку только они 47 ФУНКЦИЯ 4х , СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ при возведении в квадрат дадут в результате четырехзначное число, оканчивающееся цифрой 9, т. е. той же цифрой, которой оканчивается число 2809. Имеем: 53^ = 2809 — это то, что нам нужно (нам повезло, мы сразу попали в «яблочко»). Значит, ^2809 = 53. Ответ: ^2809 = 53. 1 см Пример 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 1 см и 2 см. Чему равна гипотенуза треугольника (рис. 4)? Решение. Совсем скоро на уроках геометрии вы узнаете о знаменитой теореме Пифагора, которая заключается в том, что сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины его гипотенузы, т. е. -f 6^ = с^, где а, Ь — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника. Значит, с = yja^ -I- , т. е. с= + 2^ = у[б . Ответ: у[5 см. Этот пример показывает, что введение квадратных корней — не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни встречаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Пожалуй, самая важная из таких ситуаций связана с решением квадратных уравнений. Когда мы в 7-м классе встречались с квадратными уравнениями ах^ -f 6л: -f с = о, мы либо раскладывали левую часть на множители (что получалось далеко не всегда), либо использовали графические методы (что тоже не очень надежно, хотя и красиво). На самом деле для отыскания корней лг^ и лгз квадратного уравнения ах^ 4- 6л: -f с = о в математике используются фор- мулы X, -6 + yjb^ — 4ас 2о л:9 = -6 — yjt^ — 4ас 2а (их мы 48 ФУНКЦИЯ у = ^/x , СВОЙСТВА КВАДВАТНОГО КОРНЯ выведем позднее, в § 25, а пока примем на веру), содержащие, знак квадратного корня. Эти формулы применяются на практике следующим образом. Пусть, например, надо решить уравнение 2х^ -f 5л: — 7 = 0. Здесь а = 2, Ь = 5, с = -7. Следовательно, — 4ас = 5^ — 4 ■ 2 ■ (-7) = 81. Далее находим yfsi = 9. Значит, -5 + 9 . X, = = 1, _
X — 3,5. 2-2 2-2 Подобно тому как выше мы определили понятие квадратного корня, можно определить и понятие кубического корня: кубическим корнем из неотрицательного числа а называют такое неотри-^ дательное число, куб которого равен а. Иными кубический I— Kopeni, словами, равенство уа = Ь означает, что Ь^= а. Например, = 3, так как 3® = 27; ^/б4 = 4, так как 4® = 64; 1[оШ. = 0,1, так как 0,1^ = 0,001. Более того, в математике введено понятие корня п-й степени (п = 2, 3, 4, . ) из неотрицательного числа: если а > 0, то запись l[a = Ь означает, что Ь > 0 и Ь» = а. Например, = 3, так как 3 > 0 и 3^ = 81; = 2, так как 2 > 0 и 2^ = 32. Все это мы будем изучать в курсе алгебры 11-го класса. §11. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Мы уже неоднократно отмечали, что не все числа, с которыми приходится встречаться в реальной жизни, являются рациональными. Так, не является рациональным числом длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 2 см. Как мы видели в предыдущем параграфе (см. пример 3), она равна y[5 см, а — не рациональное число. Корни уравнения л:^ = 7 также не являются рациональными числами — это числа ^ и . Что же это за числа, которые не являются рациональными? Прежде всего заметим, что в математике не принято говорить «нерациональное число», обычно используют термин 49 ФУНКЦИЯ у = Vx . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ иррациональное число. Термины «рациональное число», «иррациональное число» происходят от латинского слова ratio — разум (буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит, что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это значит, что так действовать неразумно). Рассмотрим уже известное нам иррациональное число В §10 мы отмечали, что оно заключено между числами 2 и 3; если точнее, то между числами 2,2 и 2,3; если еще точнее, — то между числами 2,23 и 2,24. Можно продолжить уточнения оценок числа у[б и определить границы для третьего десятичного знака после запятой. Имеем: 2,236^ = 4,999696, что меньше 5; 2,237^ = 5,004167, что больше 5. Итак, 2,236 ш1льнюе выражение § 1 2. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Если множество рациональных чисел дополнить мно’ жеством иррациональных чисел, то вместе они составят множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой Д; используют также символическую запись (-оо; +оо) или (-оо; оо). 52 дейстеитпел ьное число числовая прямая ФУНКЦИЯ у= . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ Множество действительных чисел можно описать так: это множество конечных и бесконечных десятичных дробей; конечные десятичные дроби и бесконечные десятичные периодические дроби — рациональные числа, а бесконечные десятичные непериодические дроби — иррациональные числа. Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Математики обычно говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин числовая прямая. Вдумайтесь в этот термин: не кажется ли он вам противоестественным? Ведь число — объект алгебры, а прямая — объект геометрии. Нет ли здесь «смешения жанров»? Нет, все логично, все продумано. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство различных областей математики, дает возможность отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой». Обратите внимание: координатной прямой вы пользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших знаниях был вполне оправданный пробел: не для любой точки координатной прямой вы сумели бы найти координату — просто учитель оберегал вас от такой неприятности. Рассмотрим пример. Дана координатная прямая, на ее единичном от- В резке, как на катете, построен прямоугольный треугольник, второй катет которого равен 2 (рис. 5). Гипотенуза ОБ треугольника отложена на коор-динатной прямой от точки О вправо, получилась точка D. Чему равна I о 2 \ 1 Рис. 5 53 ФУНКЦИЯ у= . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ координата точки £>? Она равна длине гипотенузы, т. е. д/б . Это число, как мы теперь знаем, не целое и не дробь. Значит, ни в 5-м, ни в б-м, ни в 7-м классе координату точки D вы найти бы не смогли. Потому мы до сих пор и говорили «координатная прямая», а не «числовая прямая». Заметим, что был еще один оправданный пробел в ваших знаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда подразумевали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только рациональные, ведь других-то не было. На самом деле переменные могут принимать любые допустимые действительные значения. Например, в тождестве (a + &)(a-&) = a^-&2 В роли а и Ь могут выступать любые числа, не обязательно рациональные. Для действительных чисел а, Ь, с выполняются привычные законы: а + 6 = 6 4- а; аЬ = Ьа\ а 4- (6 -h с) = (а 4- 6) -h с; а <Ъс) = (аЬ)с; (а 4- Ь)с = ас 4- 6с и т. д. Выполняются и привычные правила: произведение (частное) двух положительных чисел — положительное число; произведение (частное) двух отрицательных чисел — положительное число; произведение (частное) положительного и отрицательного чисел — отрицательное число. Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение. Определение. Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа 6, если их разность а - Ъ — положительное (отрицательное) число. Пишут: а >6 (а О означает, что а — положительное число; а Ь означает, что а-Ь — положительное число, т. е. а — Ь > 0; а ) используют знаки нестрогих неравенств: а > о означает, что а больше нуля или равно нулю, т. е. а — неотрицательное число (положительное или 0), или что а не меньше нуля; а Ь означает, что а больше или равно Ь^т.е. а-Ь — неотрицательное число, или что а не меньше Ь;а-Ь > 0; а 0; для любых чисел а и Ь верно неравенство (а-Ь)^ > 0. Впрочем, для сравнения действительных чисел не обязательно каждый раз составлять их разность и выяснять, положительна она или отрицательна. Можно сделать соответствующий вывод, сравнивая записи чисел в виде десятичных дробей. Геометрическая модель множества действительных чисел, т. е. числовая прямая, делает операцию сравнения чисел особенно наглядной: из двух чисел а, Ь больше то, которое располагается на числовой прямой правее. Таким образом, к сравнению действительных чисел нужно подходить достаточно гибко, что мы и сделаем в следующем примере. Пример 1. Сравнить числа: 22 а) — и 4; б) 2 + ^ и 5; в) -3,7 vi ^[2^ г) — ^ и . 55 ФУНКЦИЯ X = Vx . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ 22 2 2 22 Р е ш е н и е. а) Имеем —— 4=-;->0, значит, — > 4; Э U э э б) имеем 2 + ^[5 = 2 + 2,236. = 4,236. ; 4,236. . 0. ► Как строить графики таких функций? Сначала надо построить параболу у = х^ и взять ее часть при л: о (рис. 7). И наконец, надо обе выделенные части объединить на одном рисунке, т. е. построить на одной координатной плоскости (рис. 8). 57 ФУНКЦИЯ у = n/x . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ Теперь наша задача состоит в следующем: пополнить запас изученных функций. В реальной жизни встречаются процессы, описываемые различными математическими моделями вида у = Дл:), не только теми, что мы перечислили выше. В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = Для построения графика функции у = yfx дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при л: 0 при л: > 0. Свойство 3. Функция возрастает на луче [0; +оо). Напомним, что в курсе алгебры 7-го класса мы договорились называть функцию, график которой на рассматриваемом промежутке идет слева направо как бы в горку, возрастающей^ а функцию, график которой на рассматриваемом промежутке идет слева направо как бы под горку, — убывающей. Более точно можно сказать так: функцию у = f а^» = а», где, напомним, а, Ь — неотрицательные числа. Используя эти формулы, можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Рассмотрим несколько примеров, причем во всех примерах будем предполагать, что переменные принимают только неотрипательные значения. Пример 1. Упростить выражение: а) yfcTb* ; б) J 16а* 9t^ 71 ФУНКЦИЯ Y = ^ ■ СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ Решение, а) yja^b^ = = аЬ^; б) 16а* yll6a* 4а^ 9&” ш • /2 = у] 4-2 = у[8; Sayjb у]9а^ • yjb /Эа^ • Ь б> Т75Г = Ж = V“ar» =л/3а6- /ь)^ = a-b. б) (-у/а +л/ь)^= а)^= а^. 80 ФУНКЦИЯ / = л * СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ Итак, 2 1 а, если а > 0; -а, если а 0; |а| = -а, если а 0; б) а — 1 0, то|а-1| = а-1. Таким образом, в этом случае получаем: у](а-if = а — 1. б) Если а-1 /3-2f =|л/3-2|; ^(л/3-lf = |л/3-1|. Осталось, как обычно говорят, «раскрыть знаки модулей». Воспользуемся тем, что 1 0. Но тогда 1^ — 2| = “(л/З — 2) = 2 — ^, а — l| = ^ — 1. В итоге получаем: ^(л/3-2)’ +yl(yf3-lf =|V3-2| + |V3-l| = = 2-7з+^3-1 = 1. Ответ: 1. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В этой главе вы познакомились с новыми терминами математического языка: бесконечная десятичная периодическая дробь (рациональное число); бесконечная десятичная непериодическая дробь (иррациональное число); числовая прямая; квадратный корень из неотрицательного числа; кубический корень из неотрицательного числа; подкоренное выражение; извлечение квадратного (кубического) корня; освобождение от иррациональности в знаменателе. 82 ФУНКЦИЯ )^ = Vx . СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ Мы ввели несколько новых обозначений (новых символов математического языка): N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел; Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел; хе X — элемент х принадлежит множеству X; А (Z В — множество А является частью (подмножеством) множества В. Мы ввели новое обозначение (имеющее смысл только при условии, что а > 0). Запись = Ь означает, что Ь > о и 6^ = а. Мы изучили новые математические модели — функции у = yfx ^у = \х\ (свойства и графики). При этом к известным свойствам функций добавили три новых свойства: выпуклость функции вверх; выпуклость функции вниз; область значений функции. Мы изучили новые тождества, справедливые для любых неотрицательных чисел а, Ь: [4^У=а; yfab = у[а • yjb ; /а^” = а» (/I — натуральное число). Мы доказали, что для любого значения а справедливо тождество у[с^ — \^\ ГЛАВА 3 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = I § 17. функция у = кх^, ее свойства и график § 18. Функция у = ^ / ее свойства и график § 19. Как построить график функции y = f(x + l), если известен график функции у = f(x) § 20. Как построить график функции у = f (х) + т, если известен график функции у = f(x) § 21. Как построить график функции у = f (х + I) + т, если известен график функции у — f(x) § 22. Функция у = ах^ + Ьх + с, ее свойства и график § 23. Графическое решение квадратных уравнений §17. ФУНКЦИЯ у = кх^, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК Продолжим знакомиться с новыми функциями, в этом параграфе речь пойдет о функции у = где k — действительное число, отличное от нуля. На самом деле функция у = kx^ в одном случае вам знакома. Смотрите: если ft = 1, то получаем у = эту функцию вы изучили в 7-м классе и знаете, что ее графиком является парабола. Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента ft. Рассмотрим две функции: у = 2х^‘ и ^ = 0,5л:^. Составим таблицу значений для первой функции у = 2х^ч X 0 1 -1 2 -2 1.5 -1,5 у 0 2 2 8 8 4,5 4,5 Построим точки (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), 84 3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у ^ (1,5; 4,5), (“1,5; 4,5) на координатной плоскости (рис. 29); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 30). Составим таблицу значений для второй функции у = 0,5л:^: X 0 1 -1 2 -2 3 -3 у 0 0,5 0,5 2 2 4,5 4,5 Построим точки (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), (3; 4,5), (-3; 4,5) на координатной плоскости (рис. 31); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 32). о 0. Графиком ее является парабола с вершиной в начале координат, ветви параболы направлены вверх, причем тем круче, чем больше коэффициент k. Ось у является осью симметрии параболы. Кстати, ради краткости речи математики часто вместо длинной фразы «парабола, служащая графиком функции у = kx^»y говорят «парабола у = fex^», а вместо термина «ось симметрии параболы» используют термин «ось параболы». парабола вершина параболи ось параболи ветаи параболи Вы замечаете, что имеется аналогия с функцией у = kxl Если ft > о, то графиком функции у = kx является прямая, проходящая через начало координат (помните, мы говорили коротко: прямая у = ftx), причем и здесь от величины коэффициента ft зависит «степень крутизны» прямой. Это хорошо видно на рис. 34, где в одной системе координат изображены графики линейных функций у = kx при трех значениях коэффициента ft(ft = ^, ft = 1, ft = 2). Вернемся к функции у = kx^. Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента ft. Построим, например, график функции у = -х^ (здесь ft = -1). Составим таблицу значений: X 0 1 -1 2 -2 3 -3 у 0 -1 -1 -4 -4 -9 -9 86 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у ^ Отметим точки (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (-3; -9) на координатной плоскости (рис. 35); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 36). Это — парабола с вершиной в точке (0; 0), ось у — ось симметрии, но в отличие от случая, когда ft > 0, на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента ft. —1 -5 1 1 i 1 1 2-] LO ] i—ьч I 2 г I—I X г I-I —у Рис. 35 87 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у = ^ Итак, графиком функции у = kx^(k Ф О) является парабола с вершиной в начале координат; ось у является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при k > О и вниз при k 0 Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — параболу (рис. 38). Свойство 1. Так как для любого значения х по формуле у = можно вычислить соответствующее значение у у то функция определена в любой точке X (при любом значении аргумента х). Короче это записывают так: область определения функции есть (-оо; -hoo), т. е. вся числовая прямая. Свойство 2. у = о при л: = 0; ^ > 0 при хФО. Это видно и по графику функции (он весь расположен выше оси л:), но можно обосновать и без помощи графика: если х Ф Оу то kx^ > 0 как произведение двух положительных чисел kiix^. 88 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ Свойство 3, у = kx^ — непрерывная функция. Свойство 4. 1/наим ^ О (достигается при х = 0), не существует. Свойство 5. Функция у = kx^ возрастает при х > 0 и убывает при л: 0) — ограниченная снизу функция. Наряду с функциями, ограниченными снизу, рассматривают и функции, ограниченные сверху. Функцию у = f . Впрочем, есть и еще одна ось симметрии — прямая у = -х. 100 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИЯ у =- Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = — : а) на отрезке -;4 ; б) на полуинтервале [-8; -1). Р е ш е н и е. а) Построим график функции у = — л выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из отрезка у» (рис. 55). Для выделенной части графика находим: 1 7 (при л: = 4), = 2 1^ при X = -2 б) Построим график функции у = — л выделим ту его часть, которая соответствует значениям переменной х из полуинтервала [-8; -1) (рис. 56). Для выделенной части графика находим: Унаим не существует, = “ g (“Р® ^ О (рис. 58), и во втором и четвертом координатных углах, если ft 0 Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — гиперболу (см. рис. 58). Свойство 1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме л: = 0. Свойство 2.1/ > о при х>0\у о при jc 0. Свойство 3. Функция возрастает на промежутках (-оо; 0) и (0; +оо). Доказательство этого утверждения будет дано в § 32. Свойство 4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Свойство 5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет. Свойство 6. Функция непрерывна на промежутках (-оо; 0) и (0; +оо) и претерпевает разрыв в точке л: = 0. Свойство 7. Область значений функции — объединение двух открытых лучей: (-оо; 0) U (0; +оо). 4 Пример 2. Решить уравнение — = 5 — х. Решение. 1) Рассмотрим две функции: 4 . у = — ну = о — X. 4 2) Построим график функции У ^ Мордкович, 8 кл. Ч, 1 129 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у =- III способ, преобразуют уравнение к виду ах^ + с = -дх, строят параболу у = ах^ + с и прямую у = -Ьх (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения. IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду а(х-\-1)^^т = 0 и далее a(jc + 1)^ = -т. Строят параболу у а (х -Ь 1)^ и прямую у = -т, параллель- ную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой. V способ. Преобразуют уравнение к виду W.2 ах X + 5£ + £ X X о X т. е. и далее ах -h Ь н— = 0 X — = -ах — Ь. X Строят гиперболу У ^ (это гипербола при условии, что с ^ 0) и прямую у = -ах — Ь; находят точки их пересечения. Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах^ -I- &х -I- с = 0, а пятый — только к тем, у которых с ^ 0. На практике можно выбирать тот способ, который вам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который вам больше нравится (или более понятен). ЗэМВЧЭНИВш Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение — х — 3 = 0 (специально возьмем уравнение, похожее на то, что было в рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х^ = х Ч- 3, построим параболу у = х^ и прямую у = X Ч- 3, они пересекаются в точках А и В (рис. 101), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с 130 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИЯ / = ‘ Рис. 101 помощью чертежа сказать не можем — точки А и Б имеют не такие «хорошие» координаты, как в приведенном выше примере. А теперь рассмотрим уравнение х^ — 16х— 95 = 0. Попробуем его решить, скажем, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х^ — 95 = = 16х. Здесь надо построить параболу у = х^ — 95 и прямую у = 16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у = х^ надо опустить на 95 клеток вниз. Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Стопроцентную гарантию дает алгоритм решения квадратных уравнений, выработанный математиками, о котором мы поговорим в следующей главе. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В этой главе мы существенно пополнили запас функций. графики которых умеем строить. Теперь мы k знаем, как обстоит дело с функциями у = kx^ г У = для любого коэффициента ft ^ 0: 5* 131 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. ФУНКЦИЯ у ^ графиком функции i/ = kx^ является парабола (с ветвями, направленными вверх при k > О или вниз при Aj О — с ветвями в первом и третьем координатных углах координатной плоскости; при ft о, имеет два корня: ^fa и -^fa . Значит, для уравнения х^ = 16 получаем: х^ = 4, л:з = -4 (мы учли, что ^Дб = 4). Допускается более экономная запись: х^ 2 ^ г) -2л:2 + 7 = 0; 2л:^=7; л:^=3,5. Уравнение имеет два корня: х^ = ^3,5 , л:2 = -^3,5 . И в этом случае можно записать короче: л:1 2 = ±>/3,5 . д) Зл:2 + 10 = 0; Зл:2 = -10. Так как выражение Зл:^ неотрицательно при любых значениях л:, то уравнение Зл:^ = -10 не имеет корней. Иными словами, нет ни одного числа, подстановка которого вместо переменной х обратила бы это уравнение в верное числовое равенство. Иногда в таких случаях уточняют: нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; мнимые корни у этого уравнения есть. 135 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ е) Если 5х^ = О, то = О, откуда находим: л: = О — единственный корень уравнения. ® Этот пример показывает, как решаются неполные квадратные уравнения: 1. Если уравнение имеет вид ах^ = О, то оно имеет один корень: х = 0. 2. Если уравнение имеет вид ах^ + Ьл: = 0, то используется метод разложения на множители: х(ах + Ь) = 0; значит, либо X = Оу либо ах + Ь = 0. В итоге получаем два корня: х^ = 0, Ь Ху = —. ^ а 3. Если уравнение имеет вид ах^ + с = 0, то его преобразуют к виду ах^ =-с и далее х^ = В случае, когда — — — отрицательное а а с число, уравнение х»^ ^ ^ — не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах^ + с = 0). В случае, когда——— а положительное число, т. е. = /п, где /п > 0, уравнение х^ = т а имеет два корня: х^ = у[гПу Х2 = -у[т (в этом случае, как мы условились выше, допускается более короткая запись: Xi 2^±yfm). t ► eonpfH ^ Неполное квадратное уравнение, как мы только что видели, может иметь два корня, один корень, ни одного корня. То же можно сказать и о полном квадратном уравнении. Почему? Мы с вами знаем, что графиком функции у = Ьх + с является парабола. Корнями квадратного уравнения ах^ + Ьл: + с = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы у = ах^ -ЬЬх-Ьсс осью х. Парабола может пересекать ось х в двух точках, может касаться оси лег, т. е. иметь с ней лишь одну общую точку, может вообще не пересекаться с осью х (рис. 102, а, б, в). Это значит, что квадратное уравнение ах^ + Ьле + с = 0 может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней. В следующем параграфе мы приведем доказательство этого утверждения, не опирающееся на геометрическую иллюстрацию. 136 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Рис. 102, а Рис. 102, б Конечно, неплохо знать, сколько корней имеет квадратное уравнение, но еще лучше уметь находить эти корни. Если уравнение неполное, то, как мы видели выше, особых проблем не возникает. А если мы имеем полное квадратное уравнение? Ниже на примере одного такого уравнения напомним, какими способами мы пользовались до сих пор, когда приходилось встречаться с квадратным уравнением. Пример 2. Решить уравнение — 2х — 3 = 0. Решение. В предыдущем параграфе мы решили это уравнение графически пятью способами. Приведем еще два способа решения этого уравнения — с помощью разложения на множители. 137 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ VI способ. Разложим квадратный трехчлен — 2х — 3 на множители способом группировки: х^ — 2х — 3 = х^ + х — Зх — 3 = = х<х + 1) - 3(jc + 1) = (jc + l)(jc - 3). Теперь заданное уравнение можно переписать в виде (х + 1)(дс - 3) = О, откуда без труда находятся два корня уравнения: х^ = -1, JCg = 3. VII способ. Разложим квадратный трехчлен - 2л: - 3 на множители методом выделения полного квадрата: л:^ - 2л: - 3 = (л:^ - 2л: + 1) - 4 = (л: - 1)2 - 4 = = (л: - 1 + 2)(л: - 1 - 2) = (л: + 1)(л: - 3). Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (л: + 1)(л: - 3) = О, откуда находим: х^ = -1, Х2 = 3. (Я Итак, мы решили уравнение л:^ - 2л: - 3 = О семью способами. Тем не менее знание этих способов не есть, как говорится, панацея от всех бед. Ведь наши успехи в решении квадратных уравнений зависели до сих пор от наличия одного из двух благоприятных обстоятельств: 1) квадратный трехчлен удалось разложить на множители; 2) графики, которые мы использовали для графического решения уравнения, пересекались в «хороших» точках. Надеяться на такие подарки судьбы математики, естественно, не могли. Они искали универсальный способ, пригодный для решения любых квадратных уравнений, и нашли его; о нем и пойдет речь в следующем параграфе (заметим, что этот способ мы уже упоминали в конце § 10). §25. ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть дано квадратное уравнение ах^ Н- Ьл: + с = 0. Применим к квадратному трехчлену ах^ + Ьл: + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 22, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах^ -\-bx-\-c является парабола. 138 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Имеем; ах^ + Ьх + с = (ах^ + Ьх) + с = а Ь 2 . Ь X + - X = а л:‘= + 2- 2а 4а^1 4а + с = .2 Ь У Ь‘-4ас + с = а|л: + —-------:-- 2а j 4а дискри Ашнант Таким образом. Обычно выражение - 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах^ -\-bx-b с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах^ н- &л: н- с). ах^ -hbx-l-c = a| X + — 2а \ 4а Значит, квадратное уравнение ах^ -Ь Ьх -Ь с = О можно переписать в виде Ь V X + — I = — 2а ) 4а и далее ( bV D 2а) 4а^- (1) Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. JI 11 Если D О, то квадратное уравнение ах^ + Ьдс + + с = О имеет два корня, которые находятся по формулам: X. = _ -Ь + 4о _ -b-yjD Хо — 2а 2а Доказательство. Перепишем квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = о в виде (1) ^ Ь ^ х+ — 2а 2_ D 4а^ Положим ^ ^ тогда уравнение (1) примет вид t^= D 4а^’ (2) По условию £) > о, значит, правая часть уравнения — положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что 2а 141 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Но t = х^- ^, таким образом» задача свелась к решению двух уравнений: ^ 2а 2а ’ ^ 2а 2а ‘ Из первого уравнения находим: Ь Jd -ь + Jd 2а 2а 2а Из второго уравнения находим: = _А = -ь-4р 2а 2а 2а ‘ Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня: _ -b^yfP X, = 2а х^ = _ -b-Jp 2а (3) ЗзмбЧдНИе 3. в математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т. е. различное отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — различающий. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней. Пример 3. Решить уравнение Зх^ + 8дс — 11 = 0. Решение. Здесь а = 3, Ь = 8, с = -11, D = — 4ас = 8^ — 4 • 3 • (-11) = 64 + 132 = 196. Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находят по формулам (3): -Ь + у[Б -8 + -8 + 14 2а “ 2-3 “ 6 -b-Jp -8-Л96 -8-14 11 „2 ——————6—— 2 О т В е т: 1; -3 g . 142 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Фактически мы выработали следующий алгоритм; Алгоритм решения уравнения + Ьдс + с = О 1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b^ 4ас, 2. Если jD О, то квадратное уравнение имеет два корня; -ь + у[3 -ь-у[5 2а ’ ^2 — 2а ‘ *1 = Этот алгоритм универсален, он применим как к полным, так и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные квад^ ратные уравнения удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе. Пример 4. Решить уравнение: а) + Зл: — 5 = 0; б) -9х^ + 6л: — 1 = 0; в) 2л:^ — л: + 3,5 = 0. Р е ш е н и е. а) Здесь а = 1, Ь = 3, с = -5, Z) = — 4ас = 3^ — 4 • 1 • (-5) = 9 + 20 = 29. Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формулам (3): X, = -b-^yfp _ -3 + 2а Хо = _ -b-yfp _ -З-л/29 2 ’ «2 2а 2 I б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с к квадратными уравнениями, у которых старший Щ коэффициент положителен. Поэтому сначала г умножим обе части уравнения на -1, получим: 9л:^ — 6л: + 1 = 0. Здесь а = 9у Ь = -6, с = 1, D = — 4ас = 36 — 36 = 0. Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один Ь корень. Этот корень находится по формуле ^ ^ Значит, X = 2-9 1 3- 143 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Это уравнение можно было решить по-другому: так как 9х^ — 6л: + 1 = (Зл: — 1)^, то получаем уравнение (Зл: — 1)^ = О, откуда находим: Зл: — 1 = 0; л: = ^ . в) Здесь а = 2, & = -1, с = 3,5, D ^ — 4ас = 1 — 4 • 2 • 3,5 = = 1 — 28 = -27. Так как D о, то получаются два корня х^ и л:з, которые вычисляются по тем же формулам (3), что указаны выше. Само число — 4ас в этом случае положительно (как всякий квадратный корень из положительного числа), а двойной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании х^) это положительное число прибавляется к числу -Ь, а в другом случае (при отыскании х^ это положительное число вычитается из числа -Ь. У вас есть свобода выбора. Хотите — решайте квадратное уравнение подробно, используя сформулированный выше алгоритм; хотите — запишите сразу формулу (4) и с ее помощью делайте необходимые выводы. 144 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Пример 5. Решить уравнение: б) Зл:^-0,2л:+ 2,77 = 0. ч 2 о 5 7 а) 1о 12 Решение, а) Конечно, можно использовать формулы (4) 2 5 7 или (3), учитывая, что в данном случае а = з*Ь = Но зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное, приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравнения на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, служащих коэффициентами уравнения. Получим: 12|§д:2 + |д:-:^ 1=12-0; 7_ 12 8х^ + Юл: — 7 = о. А теперь воспользуемся формулой (4): _ -10±VlO^-4 8 (-7) 2-8 ^1,2 “ -10 ± ^100 + 224 -10 ± -10 ± 18 16 “ 16 “ 16 ^ -10 +18 Значит, = ——— = — , Х2 = 1 2 -10 -18 16 7 4 • б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами: а = 3, Ь = -0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100, тогда получим уравнение с целыми коэффициентами: ЗООх^ — 20л: + 277 = 0. Далее воспользуемся формулой (4): ^1,2 “ _ 20± V20^-4-300-277 2-300 Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкоренное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не имеет корней. (ц 145 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Пр И м е р 6. Решить уравнение 5х^ — 2^15 л: + 1 = 0. Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера, предпочтительнее действовать по алгоритму, а не по сокращенной формуле (4). Имеем: а = 5, 6 = -2^/l5, с = 1, D = &^ — 4ас = = ^-2yfl5Y 4-5*1 = б0-20 = 40. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам (3): X, = Хо = _ -b^yfp _ 2yflE^yf40 _ 2yfTE^2yfl6 ^ 2-5 “ 10 275(^3 + 72) _75(^3 + ^2). ” 10 “ 5 ’ _-Ь-ур5 _ 2^-/40 _ >/5(>/3-V2) 2а 10 5 ’ (Ш Пр и м е р 7. Решить уравнение л;2 — (2р + 1)х + (р^+р-2) = 0. Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения. Найдем дискриминант: £• = (2д + 1)2 — 4 • 1 • (р2 +р — 2) = (V + 4д + 1) — (4р2 + 4р — 8) = 9. параметр ураапепие с параметром Далее, (2p + l) + J9 2р + 1 + 3 2(р + 2) ^=Р + 2; (2р + 1) — ^9 2 2р + 1-3 _ 2(р — 1) = р-1. т 144 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Пример 8- Решить уравнение + (1 -р)х- 1=0. Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам (4) или (3). Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравненияму а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = о? Тогда уравнение примет вид 0jc2 + (1-0)jc-1 = 0, т. е. jc — 1 = о, откуда получаем: х = 1. Вот если точно известно, что р ^ о, то можно применять формулы корней квадратного уравнения: ^ -(1 — р) ± У(1 — р)^ — 4 • р • (-1) ^ р — 1 ± .y/l — 2р + + 4р ^ 2р 2р ^ р -1 ± ^/(p+1)^ ^ р -1+(р+1) 2р 2р Заметим, что, если р = -1, дискриминант равен нулю и jCi = JCg = 1. Если р Ф -1, то 1. Р’ Ответ: еслир = 0 илир = -1, то л: = 1; еслир ^ 0 ир^ -1, то . 1 JCl = 1, JC2 = -^. ^1.2 = p-l + (p + l) 2р р-1-(р+1) -2 2р 2р ’ 2 2р 2р рациональное выражение рациональное уравнение §26. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Алгоритм решения рационального уравнения Термин «рациональное уравнение» мы ввели выше, в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение с одной переменной. Это — алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Если г(х) — рациональное выражение, то уравнение г<х) = 0 называют рациональным уравнением. 147 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h Ъ’ А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения. би кеадра тное цравнение 151 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1) Перенесем все члены уравнения в одну часть: 1 2 7^ —о ——1 у-г у+1 5 2) Преобразуем левую часть уравнения: jlSOM) ^5(t>-3) ,у|(у-ЗКуИ) у-3 у+1 5 ^ 5(i/ + l) + 10(j/-3)-7(i/-3)a/ + l) ^ -7у^ + 29у-4 5(1/- 3)0/+1) 5(у-3)(у + 1) Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду -7у^ и- 29у — 4 5(у — 3)(у + 1) = 0. 3) Из уравнения -7у^ + 29у -4 = 0 находим: i/i = 4, уз = у (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит). 4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5(у — 3) (у + 1) ^ 0. Оба корня этому условию удовлетворяют. Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: i/i = 4, i/g = ^ ’ Поскольку у = 3Xj а i/, как мы установили, принимает два значения: 4 и ^ > — нам еще предстоит решить два уравнения: х^ Зх = 4; х^ + Зх = — . Корнями первого уравнения являются числа 1 и -4, корнями второго уравнения — числа -21 ±^/469 14 ^ , -21 ±7469 Ответ. -4, —-7—. 14 152 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В рассмотренных примерах метод введения новой перемен-ной был, если можно так сказать, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере. Пример 5. Решить уравнение х(х — 1)(х — 2)(х — 3) = 24. Решение. Имеем: х(х-3) = х^- Зх; (х -1)<х-2) = х^ -Зх^ 2. Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х^-Зх) (х^-Зх + 2) = 24. Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х^ - Зх. С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у -f 2) = 24 и далее у^-Ь2у-24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6. Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два квадратных уравнения: х^ - Зх = 4и х^ - Зх = -6. Из первого уравнения находим: х^ = 4, jCg = -1; второе уравнение не имеет корней. О т в е т: 4; -1. § 27. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ То, что рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций, вам известно, целый ряд соответствующих примеров мы рассмотрели выше, в § 7, и ранее, в учебнике «Алгебра-7». Сейчас поговорим об этом более подробно. 6 . ЗЭМВЧЭНИВ 1ш Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения. Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения + рх -Ь q = 0. В этом случае получаем: Xi + Xg = Ру Xi Xg = q, т. e. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х^ и Xg — корни приведенного квадратного уравнения. Тогда xf + х| = Xi + 2XjXg + х| — 2xjXg = = (^1 + x^f — 2x^X2 = i 2q. Итак, xf + x| — 2q. Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся. 169 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теорема 2 Если XiU Xz — корни квадратного трехчлена ax^ + Ьх + с, то справедливо тождество ах^ + Ьх + с — а<х — х^ (л — х.^. Доказательство. Имеем: ах^ + Ьх + с = а\ я^ + -х + - . I “ Ь с По теореме Виета + JCg = - 1б“ 9 12 ± О 16 16 . Значит, = ЛГ2 = т , а потому 16jc2-24jc + 9 = 16| | = (4л:-3)(4л:-3) = (4л:-3)^ /4 = 2 — верное равенство. Значит, оба найденных значения — корни уравнения (1). О т в е т: 4; 5. Пр и м е р 2. Решить уравнение у]2х^ + 8л: + 16 = 44 — 2л: (это уравнение встретилось нам в § 27 и было отложено до лучших времен). Решение. Возведя в квадрат обе части заданного иррационального уравнения, получим: 2л:^ + 8л: + 16 = (44 — 2xf; 2х^ -f 8л: + 16 = 1936 — 176л: + 4л:^; -2л:2+184л:-1920 = 0; х^ — 92х -h 960 = 0; л:1 = 80, л:2=12. Проверка. Подставив л: = 80 в заданное иррациональное уравнение, получим: ^2 • 80^ + 8 • 80 + 16 =44-2-80; ЭТО, очевидно, неверное равенство, поскольку в его правой части содержится отрицательное число, а в левой — положительное число. Значит, л: = 80 — посторонний корень для данного уравнения. Подставив л: = 12 в заданное иррациональное уравнение, получим: ^2 ■ 12® + 8 • 12 + 16 =44-2-12, т. е. д/400 = 20, — верное равенство. Следовательно, л: = 12 — корень данного уравнения. Ответ: 12. Пример 3. Решить уравнение ^Зх + 7 + yJx + 2 = 3. (2) Решение. Преобразуем уравнение к виду ТЗхТТ = 3- у1х+2 и применим метод возведения в квадрат: 177 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [у13х + 7у=(г-^Х + 2У; Зх + 7 = 3^ 2 • 3 • ^Jx + 2 + ^-\]х + 2 j ; Здс + 7 = 9 — 6 ^Jx + 2 + дс + 2; 6 \]х + 2 = 9 + дс + 2 — Здг — 7; 6у[хТ2 = 4-2д:; зфГ+2 =2-х. Еще раз применим метод возведения в квадрат: 3[ylx + 2y = (2-xf; 9(х + 2) = 4 — 4л: + 9л: + 18 — 4 + 4л: — л:^ = 0; -л:^+ 13л: + 14 = 0; — 13л: — 14 = О; л:1 = 14, л:2 = -1. Проверка. Подставив значение л: = 14 в уравнение (2), получим: yf^ -f y[W =3 — неверное равенство; значит, л: = 14 — посторонний корень. Подставив значение л: = -1 в уравнение (2), получим: у[4 + yfi =3 — верное равенство; значит, л: = -1 — корень уравнения (2). Ответ: -1. Пример 4. Решить уравнение 2л: -h yfx -3 = 0. Решение. Конечно, можно решить это уравнение по той же схеме, которую мы применяли в предыдущих примерах: переписать уравнение в виде у[х = 3 — 2л:, возвести обе части этого уравнения в квадрат, решить полученное рациональное уравнение и проверить найденные корни подстановкой их в исходное иррациональное уравнение. 178 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Но мы применим более изящный способ: введем новую переменную у = у[х . Тогда получим: 2у^ -h у — 3 = О — квадратное уравнение относительно переменной у. Найдем его корни: = 1, 3 1/2 = (теорема Виета). Для приведенного уравнения х^ рх q = О эти соотношения имеют вид Мы выработали алгоритмы: решения квадратного уравнения; решения рационального уравнения. ГЛАВА 5 НЕРАВЕНСТВА §31. Свойства числовых неравенств § 32. Исследование функций на монотонность § 33. Решение линейных неравенств § 34. Решение квадратных неравенств § 35. Приближенные значения действительных чисел § 36. Стандартный вид положительного числа §31. СВОЙСТВА числовых НЕРАВЕНСТВ В §12 мы ввели понятие числового неравенства*, а> Ь — это значит, что а-Ь — положительное число; а ЬиЬ> с, то а> с. Доказательство. По условию а > Ь, т. е. а — Ь — положительное число. Аналогично, так как Ь> Су делаем вывод, что Ь — с — положительное число. Сложив положительные числа а — Ь и Ь — Су получим положительное число. Имеем: <а - Ь) + <Ь - с) = а - с. Значит, а - с — положительное число, т. е. а >с, что и требовалось доказать. 183 НЕРАВЕНСТВА С b а Рис. 105 Свойство i можно обосновать, ис-пользуя геометрическую модель множества действительных чисел — числовую прямую. Неравенство а>Ъ означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки Ь, а неравенство Ь > с — что точка Ь расположена правее точки с (рис. 105). Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т. е. а > с. Свойство 1 обычно называют свойством транзитивности (образно говоря, от пункта а мы добираемся до пункта с как бы транзитом, с промежуточной остановкой в пункте Ь). Свойство 2. Свойство 3. Если а>Ъ, то а + с>Ъ + с. Если а>Ъит>0, то am > Ьт; если а>Ьит ,>на Ь на -1, получим: -а Ь, то —а Ъи О d, то а + О Ь + d. Доказательство. I способ. По условию а > Ь и с > d, значит, а — Ь vl с — d — положительные числа. Тогда и их сумма, т. е. (а — Ь) + (с — d), — положительное число. Так как (а — Ь) + (с — d) = (а + с) — (Ы- d). 184 НЕРАВЕНСТВА ТО (а + с) — (Ы- d) — положительное число. Поэтому а + О Ы- d. II способ. Так как а > Ь, то согласно свойству 2а + с>Ь + с. Аналогично, так как с> d, то с + Ь > d + Ь. Итак, а + с>Ь + с, & + c>ft + d. Тогда, в силу свойства транзитивности, получаем, что а^- О Ь d. ЗдМВЧЭНИВ. Мы привели два способа доказательства для того, чтобы вы сами выбрали тот из них, который вам больше понравился или более понятен. Кроме того, вообще полезно знакомиться с различными обоснованиями одного и того же факта. Свойство 5. Если а, Ъ, с, d — положительные числа и а>Ъ,с> d, то ас > bd. Доказательство. Так как а > Ь и с > О, то ас > Ьс (по свойству 3). Аналогично, так как с > d и Ь > О, то сЬ > db. Итак, ас > ЬСу Ьс > bd. Тогда согласно свойству транзитивности получаем, что ас > bd. Обычно неравенства вида а > bj с > d (или а Ь л с Ъ, то а!^ > Ъ^, где п — любое натуральное число. Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства. Дополнение к свойству 6. Если п — нечетное число, то для любых чисел а иЬ из неравенства а > Ъ следует неравенство того же смысла а^ > V^. неравенства одинакового смысла неравенства противо- положного смысла 7—Мордкович, 8 кл. Ч. 1 185 НЕРАВЕНСТВА ► Вы обратили внимание на то, что в приведенных доказательствах мы пользовались, по сути дела, всего двумя идеями? Первая идея — составить разность левой и правой частей неравенства и выяснить, какое число получится: положительное или отрицательное. Вторая идея — для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства. Так поступают и в других случаях доказательств числовых неравенств: например, так можно доказать те из перечисленных выше свойств, которые мы здесь привели без доказательства (советуем вам в качестве упражнения попробовать восполнить этот пробел). Рассмотрим несколько примеров. Пример Доказать, что 1. Пусть а и Ь — положительные числа и а > Ь. 1 1 а Ь Решение. Рассмотрим разность — — т а о Имеем: 1 а Ь — а аЬ По условию Uj by а — Ь Ь — а аЬ положительные числа. Значит, отрицательное число, т. е. 11^ — — — 2. Заметим, что а + — = 2, если а = 1; если же а 1, то а 1 „ а Н— >2. а (Я Пр и м е р 3. Известно, что 2,1 -3& > -3 • 3,8, т.е. -11,4 Ь > с мы перешли к более употребительной записи с -3,8, т.е. -3,8 /а = >/ь и, сле- довательно (у[а yfb\ д 4. 5 I—- , ———— = 0); если же а ^ Ь, то —^ > yjao. (1 188 НЕРАВЕНСТВА среднее арифмети- ческое среднее геометри- ческое неравенство Коши Число а ^ Ь называют средним арифмети- ческим чисел а и ft; число называют средним геометрическим чисел а л Ь. Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика Огюста Коши (1789— 1857). ЗдМВЧдНИВ. Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и Ь (рис. 106). В геометрии доказано, что h = л/аЬ (так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометри- ческое»). А что такое а + Ь ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана т прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что медиа- на, проведенная к гипотенузе (т. е. а + Ь ), не меньше высоты, прове- денной к гипотенузе (т. е. yfab ), — очевидный геометрический факт (рис. 106). Рис. 106 189 НЕРАВЕНСТВА Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, оценивать результат. Пример 5. Сравнить числа: а) ^3+л/б и 2+^; б)я + ^и4+7П. Решение, а) Пусть а = ^ ,6 = 2 . Тогда а* = = (л/З + >/б)* = (л/з/ + 2л/3 • л/б + (л/ef =3+ 2у!\» +6 = 9+ л/^; 6^ = (2 + л/sf = 4+4л/5 + 5 = 9+ л/зо. Имеем: -М /80, т. е. /li. Применив к этим двум неравен- ствам одинакового смысла свойство 4 (о почленном сложении), получим: п + лДо На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Используя эти определения и установленные в § 31 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций. 191 НЕРАВЕНСТВА 1. Линейная функция у = кх+т Если k > Оу то функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 109); если k о, то согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 31) kx^ AjjCg, а согласно свойству 2 из kx^ > kx^ следует, что kx^ + т> kx2 + ш. Итак, из неравенства Xi /(jCg). Это и означает убывание функции у = f(x)j т. е. линейной функции у = kx т. Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х — 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х -3 — возрастающая функция. 192 НЕРАВЕНСТВА У‘ г / — i , Ml L О ] I X Рис. Ill 2. Функция / = kj^ 1. Рассмотрим функцию у = на луче [0; +оо); положим f(x) = Пусть О -JCg. Так как числа -х^ и -JCg неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части неравенства -х^ > -JCg, получим неравенство того же смысла: (-x^f > (-Xg)^, т. е. х^ > х^. Это значит, что f (jCj) > f(x^). Итак, из неравенства х^ /(Xg). Поэтому функция у = х^ убывает на луче (-оо; 0] (рис. 111). Мы видели, что на луче [0; Н-оо) из х^ о, то kx\ kx^. Это значит, что функция у = kx^ на луче [0; Н-оо) возрастает, если Aj > 0, и убывает, если Aj 0, и возрастает, если Aj — (см. пример 1 из § 31), Х2 т. е. f(Xi)> fiXz). 193 НЕРАВЕНСТВА Итак, из неравенства /(Xg). Это значит, что функция У убывает на открытом луче (0; Н-сх)) (рис. 112). 2. Рассмотрим функцию I/ = — на промежутке (-оо; 0); X ^ положим /(х) = — . Пусть Xi -Xg, причем обе части последнего неравенства — положительные числа, а потому 1 1 , — —. Xi Xg Xj Xg Итак, из неравенства х^ f(x2), т. е. функция у = — убывает на открытом луче (-оо; 0) (рис. 112). X Мы видели, что на открытом луче (0; Н-оо) из Xj —. Если Aj > о, то — > k k k —; если Aj о, и возрастает, если Aj . Тогда (7^) > (л/^) » Xi > Х2, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, а верно неравенство yfx^ 4. ^ X Р е ш е н и е. 1) Построим график функции у = 2х^ и возьмем ветвь этой параболы при л: О при л: > 0. 3. Функция убывает на луче (-оо; 0], возрастает на отрезке [0; 4], убывает на луче [4; +оо). 4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху. 5- Унаим = о (достигается при х = 0), не существует. 6. Функция непрерывна. 7. Область значений функции — луч [0;+оо). HEpasencmeo с яеремениой решение пераеенстеа с перезненной §33. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменнойу т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной. 1» iJ НЕРАВЕНСТВА Рассмотрим, например, неравенство 2л: + 5 О (или ал: + Ь 7л: — 15. Решение. Перенесем член 7л: в левую часть неравенства, а член -5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изме* нить знаки и у члена 7л:, и у члена -5 (руководствуемся прави-лом 1). Тогда получим: Зл: — 7л: > -15 + 5, т.е. -4л: > -10. Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число -4, не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3). Получим: X 2х jg Решение. Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения (правило 2). Это позволит нам освободиться от знаменателей, т. е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному: 15 ( X 2л: — 1 ^ Го 1 ^ — + > 15 2л:- — 1 3 5 J 15j 5л: + 3 (2л: — 1) > 30л: — 1; 5л: + 6л: — 3 > 30л: — 1; 11л: — 3 > 30л: — 1. Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство: 11л: — 30л: > -1 Н- 3; -17л: >2. 2 Наконец, применив правило 3, получим: х Ь (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого). В следующем параграфе мы научимся решать квадратные неравенства. 199 НЕРАВЕНСТВА квадратное неравенстео §34. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ Квадратным неравенством называют неравенство вида ах^ + Ьл: + О О, где аФО (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся. Пр и м е р 1. Решить неравенство: а) — 2л: — 3 > 0; в) л:^ — 2л: — 3 > 0; б) л:^ — 2л: — 3 о — это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны. Замечаем, что г/ > 0, т. е. график функции расположен выше оси Ху при л: 3. Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (-оо; -1), а также все точки открытого луча (3; + оо). Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (-оо; -1) и (3; +оо). Впрочем, ответ можно записать итак:л: 3. б) Неравенство л:^ — 2л: — 3 О тем, что в ответ надо включить и корни уравнения л:^ — 2л: — 3 = О, т. е. точки л: = -1 и л: = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-оо; -1], а также все точки луча [3; +оо). г) Неравенство л:^ — 2л: — 3 О, аккуратно строить параболу — график квадратичной функции у = ах^ + Ьл: + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства (при этом даже можно на чертеже обойтись без изображения оси у). Пример 2. Решить неравенство -2л:^ + Зл: + 9 3. « —-о Рис. 118 201 НЕРАВЕНСТВА Пример 3. Решить неравенство 4х^ — 4л: + 1 О, то при всех значениях х выполняется неравенство ах^ -!- Ьлг -Р с > О. Иными словами, если D О, то неравенство ах^ Ъх + с > О выполняется при всех х; напротив, неравенство ах^ Ъх + с 0) и которая не пересекает ось л:, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси л:, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах^ -Р Ьл: -Р с > 0, что и требовалось доказать. Если квадратный трехчлен ах^ -Р Ьлг -Р е не имеет корней (т. е. его дискриминант D — отрицательное число) и если при этом а 0 не имеет решений. 203 НЕРАВЕНСТВА Рис. 120 Рис. 121 Доказательство. Графиком функции у = ах^ + Ъх + с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а 0; б) -х^ 4- Зл: — 8 > 0. Р е ш е н и е. а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х^ — л: 4- 4. Имеем: D = (-1)^ — 4 • 2 • 4 = -31 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся числовая прямая (-оо; 4-оо). б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 4- Зл: — 8. Имеем: D = 3^ — 4 • (-1) • (-8) = -23 0 не выполняется ни при каком значении л:, т. е. заданное неравенство не имеет решений. Ответ: а) (-оо; 4-оо); б) нет решений. 204 НЕРАВЕНСТВА В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств. Пр и м е р 5. Решить неравенство Зх^ — 10х + 3 3; тогда л:-3>0ил:-^ >0, а значит, и произведение 3(х — 3) X- положительно. Далее, «Г пусть — 0. Следовательно, произведение 3 (л: — 3) х — -о 1 3 отри- цательно. Пусть, наконец, л: 0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 — > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р^ — 25 0; 4(р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123)р 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней. Ответ: а) при -2,5 2,5. 206 НЕРАВЕНСТВА §35. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И в 7-м и в 8-м классах мы часто решали уравнения графически. Заметили ли вы, что практически во всех таких примерах уравнения имели «хорошие» корни? Это были целые числа, которые без труда отыскивались с помощью графиков, особенно на клетчатой бумаге. Но так бывает далеко не всегда, просто мы до сих пор составляли «хорошие» примеры. Рассмотрим два уравнения: yfx = 2 — х и ^[х = 4 — л:. Первое уравнение имеет единственный корень jc = 1, поскольку графики функций у = у[х и у = 2 — X пересекаются в одной точке А (1; 1) (рис. 124). Во втором случае графики функций у = ^ viy = 4:-x также пересекаются в одной точке В (рис. 125), но с «плохими» координатами. Пользуясь чертежом, можно сделать вывод, что абсцисса точки В примерно равна 2,5. В подобных случаях говорят не о точном, а о приближенном решении уравнения и пишут так: лг-2,5. Это одна из причин, по которым математики решили ввести понятие приближенного значения действительного числа. Есть и вторая причина, причем, может быть, даже более важная. Что такое действительное число? Это бесконечная десятичная дробь. Но производить вычисления с бесконечными десятичными дробями неудобно, поэтому на практике пользуются приближенными значениями действительных чисел. Например, для числа я = 3,141592. пользуются приближенным равенством п 3,142. Первое называют приближенным значением (или приближением) числа тс по недостатку с точностью до 0,001; второе называют приближенным значением (приближением) числа п по избытку с точностью до 0,001. Можно взять более точные приближения: например, п 3,1415 — приближение по недостатку с точностью до 0,0001; п 3,1416 — приближение по избытку с точностью до приближенное значение числа по недостатку приближенное значение числа по избытку 207 ц НЕРАВЕНСТВА 0,0001. Можно взять менее точные приближения, скажем с точностью до 0,01: по недостатку п 3,14, по избытку п 3,15. Знак приближенного равенства вы использовали и в курсе математики 5—6-го классов и, вероятно, в курсе физики, да и мы пользовались им раньше, например в § 11. Пример. Найти приближенные значения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 для чисел: а) Т5; 6)2+75; в)^. Р е ш е н И е. а) Мы знаем, что у]Ъ = 2,236. (см. § 11), следовательно, у[5 2,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; у]Ъ 2,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. б) 2 = 2,000. Ч- 2,236. = 4,236. . Значит, 2 Ч- ^ « 4,23 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 2+^ -4,24 — это приближение по избытку с точностью до 0,01. 7 7 в) Имеем — = 0,31818. (см. § 9). Таким образом, — — — 0,31 — это приближение по недостатку с точностью до 0,01; 7 — — 0,32 — это приближение по избытку с точностью до 0,01, (И 208 НЕРАВШСТВА Приближение по недостатку и приближение по избытку называют иногда округлением числа. Опрелеление, Погрешностью приближения (абсолютной погрешностью) называют модуль разности между точным значением величи-абсолютная ны л: и ее приближенным значением а: погреш-погрешность ность приближения — это \х- а\. Например, погрешность приближенного равенства п 3,142 выражается как |л-3,141| или соответственно как |л — 3,1421. Возникает чисто практический вопрос: какое приближение лучше, по недостатку или по избытку, т. е. в каком случае погрешность меньше? Это, конечно, зависит от конкретного числа, для которого составляются приближения. Обычно при округлении положительных чисел, записанных в виде бесконечной десятичной дроби, пользуются следующим правилом: Правило округления. Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно брать приближение по недостатку; если первая от^ брасываемая цифра больше или равна 5, то нужно брать приближение по избытку. Применим это правило ко всем рассмотренным в этом параграфе числам; выберем для рассмотренных чисел те приближения, для которых погрешность окажется наименьшей. 1) я = 3,141592. . С точностью до 0,001 имеем п 3,142; здесь первая отбрасываемая цифра равна 5 (на четвертом месте после запятой), поэтому взяли приближение по избытку. С точностью до 0,0001 имеем л 3,1416 — и здесь взяли приближение по избытку, поскольку первая отбрасываемая цифра (на пятом месте после запятой) равна 9. А вот с точностью до 0,01 надо взять приближение по недостатку: л 3,14. 2) ^ = 2,236. . С ТОЧНОСТЬЮ до 0,01 имеем ^ =2,24 (приближение по избытку). 209 НЕРАВЕНСТВА 3) 2 + ^ = 4,236. . С ТОЧНОСТЬЮ до 0,01 имеем 2 4- .^5 = 4,24 (приближение по избытку). 4) ^ = 0,31818. . С точностью до 0,001 имеем ^ 0,318 (приближение по недостатку). Рассмотрим последний пример подробнее. Возьмем укрупнен- 7 ный фрагмент координатной прямой (рис. 126). Точка — при- надлежит отрезку [0,318; 0,319], значит, ее расстояния от кон-^ цов отрезка не превосходят длины от- ^ 7 0,318 _ ‘ _ ► резка. Расстояния точки — от кон-и,о19 ^ 22 Рис. 126 цов отрезка равны соответственно ^ — 0’318 0,001. Значит, , а длина отрезка [0,318; 0,319] равна 7 ^ — 0,318| = = 1,10805 • 100 = 110,805; в) (0,0043)® = (4,3 • 10 ®)® = 4,3® • (10 ®)® = 18,49 • 10″ = 1,849 • 10 • 10® = 1,849 • 10® = 0,00001849. (Ш Однако основная польза от стандартной записи числа заключается в следующем. Представьте себе, что вы производите вычисления или с очень большими, или с очень маленькими положительными числами. Вам нужно вывести, скажем, на дисплей калькулятора числа а = 217 000 000 000 и Ь = 0,0000045412 и перемножить их. А на экране умещается только 8 знаков. Вот тут-то и пригодятся стандартные записи чисел. Имеем: а = 2,17 • 10^^; Ь = 4,5412 • 10 ®; тогда а • Ь = 2,17 • 10^^ • 4,5412 • 10 ®= 9,854404 • 10® = 985 440,4. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В этой главе вы познакомились с новыми терминами математического языка: линейное неравенство, квадратное неравенство; решение неравенства; равносильные неравенства, равносильные преобразования неравенств; 212 НЕРАВЕНСТВА среднее арифметическое, среднее геометрическое двух чисел; неравенства одинакового смысла, неравенства противоположного смысла; приближенное значение числа по недостатку, по избытку; округление числа; погрешность (точность) приближения; стандартный вид положительного числа; порядок числа. Вы познакомились со свойствами числовых неравенств: если а > Ь, Ь > с, то а > с; если а > Ь, то а + с > Ы- с; если а > Ь, m > О, то am > Ьт; если а > Ь, m Ь, то -а Ь, О d, то а + с > Ы- d; если а > Ь > О, О d > О, то ас> bd; если а > Ь > О, /IG ЛГ, то а» > Ь»; еслиа>Ь>0, то Загрузить презентацию (209 кБ) Человек, не знающий математики, Предоставленная серия уроков к учебнику А.Г.Мордковича «Алгебра 8 класс» по теме «Квадратные уравнения» дает возможность целостного рассмотрения преподавания данной темы. Методическая разработка предусматривает изучение различных способов решения квадратных уравнений, как предусмотренных общеобразовательной программой, так и нет. Темы уроков. Цели: Задачи: Построение логики урока Соответствие реальных результатов запланированным, ожидаемым. http://uchebnik-skachatj-besplatno.com/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%208%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D0%BA%20%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C%201/index.html http://urok.1sept.ru/articles/593761Квадратные уравнения
Презентации к уроку
не способен ни к каким другим наукам.
Более того, он даже неспособен оценить
уровень своего невежества.
Соответствие содержания, построения и средств уроков теме и цели.
Взаимосвязанность всех частей урока.
Цельность урока.
Обоснованность последовательности всех шагов, ведущих к цели.
Динамика и прогрессия на пути к цели.