Квадратные уравнения 8 класс уравнения с параметрами

Квадратные уравнения с параметром

Понятие уравнения с параметром и его решения

Часто на практике создаётся такая математическая модель, в которой приходится решать не одно, а целое «семейство» похожих уравнений.

Рассмотрим несложный пример.

Пусть нам дан прямоугольный участок площадью a. С точки зрения практической, мы хотим обнести участок забором, т.е. нас интересует зависимость периметра от длины x при некоторой площади a (ширина будет равна $\frac$):

Допустим, у нас есть материалы, чтобы соорудить забор длиной 100 м.

Это – простейшее уравнение с параметром, в котором один из коэффициентов не задан конкретным числом.

Уравнение относительно переменной x с параметром a – это уравнение F(x,a), в котором значение a не определено и также является переменной величиной.

Решить уравнение с параметром – это найти множество корней $$ для любого значения параметра a .

Решим наше уравнение. Найдём дискриминант:

$$ D = 50^2-4a = 2500-4a = 4(625-a) $$

Чтобы решения существовали, потребуем:

$$ D \ge 0 \Rightarrow 625-a \ge 0 \Rightarrow a \le 625 $$

При $a \lt 625$ два корня $x_ <1,2>= 25 \pm \sqrt<625-a>$

При a = 625 один корень $x_0 = 25$

При $a \gt 625$ решений нет

Наша модель немного усложнится, если мы поставим условия, чтобы площадь и длина были строго положительными:

Исследуем решение. Полученный корень $x_2 = 25+ \sqrt <625-a>\ge 25 \gt 0$ — положительный. И $x_1 = 25- \sqrt<625-a>$ при $0 \lt a \lt 625$ меняется в пределах $0 \lt x_1 \lt 25$, т.е. также положительный.

Запишем ответ для модели с условиями:

При $0 \lt a \lt 625$ два корня $x_ <1,2>= 25 \pm \sqrt<625-a>$

При a = 625 один корень $x_0$ = 25

При $a \gt 625$ решений нет

Ответ изменился незначительно, но чтобы его записать, нам пришлось провести дополнительное исследование.

Решить уравнение с параметром F(x,a) при дополнительных условиях на переменную x и параметр a – это найти допустимое множество корней $\$ для любого допустимого значения параметра a .

Заметим, что согласно полученным результатам, максимальная площадь, которую мы можем огородить нашим забором длиной 100 м, равна a = 625 $м^2$. Участок при этом представляет собой квадрат с длиной $x_0 = 25$ м и шириной $ \frac = 25$ м.

Примеры

Пример 1. При каких p квадрат разности корней уравнения $x^2-4x+p = 0$ равен 32?

Пусть $x_1, x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета и условию задачи:

$$ <\left\< \begin x_1+x_2 = 4 \\ x_1 x_2 = p \\ x_1^2-x_2^2 = 32 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x_1+x_2 = 4 \\ x_1 x_2 = p \\ (x_1+x_2 )(x_1-x_2 ) = 32 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x_1+x_2 = 4 \\ x_1-x_2 = 8 \\ x_1 x_2 = p \end \right.> \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 2x_1 = 4+8 = 12 \\ 2x_2 = 4-8 = -4 \\ x_1 x_2 = p \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x_1 = 6 \\ x_2 = -2 \\ p = 6 \cdot (-2) = -12 \end \right.> $$

Пример 2. При каких значениях a уравнение

имеет один корень? Найдите этот корень.

$$ D = (a+2)^2-4(a+5) = a^2+4a+4-4a-20 = a^2-16 $$

Уравнение имеет один корень, если D = 0:

$$ a^2-16 = 0 \Rightarrow a = \pm 4 $$

При a = -4 уравнение имеет вид $x^2+2x+1 = 0$, т.е. $(x+1)^2 = 0$, $x_0 = -1$

При a = 4 уравнение имеет вид $x^2-6x+9 = 0$, т.е. $(x-3)^2 = 0, x_0 = 3$

При a = -4, $x_0$ = -1

При a = 4, $x_0$ = 3

Пример 3. Найдите такое p, чтобы уравнения

$$ x^2+x+p = 0 и x^2+px+1 = 0 $$

имели общий корень. Найдите этот корень.

Общий корень означает, что параболы пересекаются в точке, лежащей на оси OX.

$$ x(1-p) = 1-p \Rightarrow \left[ \begin <\left\< \begin p = 1 \\ x \in \Bbb R — любой \end \right.> \\ <\left\< \begin p \neq 1 \\ x = 1 \end \right.> \end \right. $$

При p = 1 уравнения совпадают $x^2+x+1 = 0$, но решений не имеют, т.к. $D \lt 0$.

При x = 1 уравнения парабол имеют вид: $p+2 = 0 \Rightarrow p = -2$.

При p = 2 уравнения имеют общий корень x = 1.

Пример 4. Найдите все целые значения a, при которых уравнение $\frac<4-a> = \frac<1>$ имеет решение.

Особая точка: a = 4. Уравнение $x^2-2x+4 = 0$ решений не имеет, т.к. $D \lt 0$.

Решаем уравнение в общем виде:

Потребуем $D \ge 0$

$$ -4(a-3)(a-1) \ge 0 \Rightarrow (a-3)(a-1) \le 0 $$

Начертим график параболы

Значение $f(a) \le 0$ не положительно, только на отрезке

Это значит, что $D \ge 0$, и уравнение имеет решения, только при трёх целочисленных a $\in$

При a = 1 и a = 3 D = 0, уравнение имеет вид $x^2-2x+1 = 0$ и одно решение $x_0 = 1$.

При a = 2 уравнение имеет вид: $x^2-2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 0 \\ x_2 = 2 \end \right. $

При a = 1 и a = 3 один корень $x_0 = 1$

При a = 2 два корня $x_1 = 0, x_2 = 2$

При всех других целых a уравнение решений не имеет.

Пример 5. При каких b и c уравнение $x^2+bx+c = 0$ имеет корнями b и c?

По условию $x_1 = b, x_2 = c$

По теореме Виета:

$$ <\left\< \begin x_1+x_2 = b+c = -b \\ x_1 x_2 = bc = c \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin c = -2b = -2 \\ b = 1\end \right.> $$

Уравнение $x^2+x-2 = 0$ имеет корнями 1 и -2.

Ответ: b = 1, c = -2

Пример 6. Найдите все значения параметра a, при которых уравнения

$$ x^2+(a^2+3a+7)x = 0 и x^2+(4a+19)x+(a^2+7a-44) = 0 $$

имеют один и те же решения.

Старшие коэффициенты парабол одинаковы и равны 1.

Параболы будут иметь одинаковые решения в том случае, если будут полностью совпадать, т.е.:

$$ <\left\< \begin a^2+3a+7 = 4a+19 \\ 0 = a^2+7a-44 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a^2-a-12 = 0 \\ a^2+7a-44 = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin (a-4)(a+3) = 0 \\ (a-4)(a+11) = 0 \end \right.> \Rightarrow a = 4 $$

Кроме того, они могли бы совпадать, если бы все переменные коэффициенты одновременно стали равны 0:

$$ <\left\< \begin a^2+3a+7 = 0 \\ 4a+19 = 0 \\ a^2+7a-44 = 0 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin D \lt 0, a \in \varnothing \\ a = — \frac<19> <4>\\ a = \ <-11;4 \>\end \right.> \Rightarrow a \in \varnothing $$

Пример 7. Решите уравнение:

При a = 1 уравнение имеет вид $x^2 = 0$ и один корень $x_0 = 0$

Конспект «Решение квадратных уравнений с параметрами» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: решение квадратных уравнений с параметрами.

Тип урока: комбинированный.

Планируемые результаты обучения:

личностные: логичность мышления, умение работать в проблемной ситуации;

предметные: формировать умение решать квадратные уравнения с параметром;

метапредметные: формирование информационной, коммуникативной и учебной компетентности учащихся, умения работать с имеющейся информацией в новой ситуации.

1. Организационный момент.

Приветствует учащихся, организует рабочее место,

Учащиеся настраиваются на работу.

2. Актуали-зация теоретических знаний.

Проводится опрос по теории

— Какое уравнение называется квадратным?

— Квадратным или линейным является уравнение

а) при b=6; б)0; в) b=0,5;

-Какое квадратное уравнение называется приведенным?

-Какое выражение называют дискриминантом?

-Сколько корней может иметь квадратное уравнение? (формулы).

-Теорема Виета и обратное утверждение.(записать)

Учащиеся предлагают различные варианты решения, говорят о трудностях, которые у них возникли.

Формировать личную мотивацию к учению.

Структурировать знания по данной теме

Учебное сотрудничество с учителем

3. Объяснение нового материа-ла.

При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен 0, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от D .

Учащиеся формулируют цель урока: «Научиться решать уравнения с параметром».

Взаимоконтроль и самоконтроль

Умение структурировать знания

Учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, управление поведением партнера

4. Приме-нение знаний и умений в новой ситуации

Решение: Здесь коэффициент перед отличен от , значит, данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант:

D =

D , значит, квадратное уравнение имеет два различных корня.

p +2 и p -1

Ответ: при любых значениях р p +2 ; p -1.

Пример 2. Решить уравнение p .

Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольное значение р=0, имеем два случая.

Если р=0, то получается уравнение вида 0+ х=1.

Если р≠0. То уравнение является квадратным, можно применять формулу D =—

4р(-1)=1-2р++4р=; ; .

Ответ: при р=0 х=1, при р≠0 ; .

Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х

Решим уравнение при а=1

0  х 2 +2(2  1+1)х+4  1+3=0  6х+7=0  .

Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения

4(5а+4)=0  .

Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень

 

9х 2 +6х+1=0  (3х+1) 2 =0  .

Решим уравнение при а  1, . В этом случае D  1, . В этом случае уравнение имеет два действительных корня

Ответ: 1) при , ;

2) при а=1, ;

3) при , действительных корней нет;

4) при и а  1, .

Пример 4. При каких значениях m ровно один из корней уравнения

Решение: Если нуль является корнем уравнения, значит квадратный трехчлен =0 обращается в нуль. =-3, =3.

Найдем второй корень при найденных значениях m .

Если m =3, то получаем =0, =-6.

Если m =-3, то получаем =0, которое имеет два кратных корня равных 0.

5. Закрепле-ние матери-ала

Работа в группах.

( а + 1 ) х 2 – 2 ( а + 9 ) х + 9 = 0;

С последующей проверкой.

Работа в группах. Проблемный диалог. Задают и отвечают на вопросы.

Контроль, коррекция, оценка

Учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, управление поведением партнера

6. Домаш-нее задание.

1.При каких значениях а уравнение (а+2) +2(а+2)х+2=0 имеет один корень?

2.Решить уравнение .

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение ( 2— b -6) = 4( b +1) x -2.

Объясняет какие номера обязательные и какие можно взять по выбору.

Учащиеся записывают домашнее задание и определяют для себя уровни заданий.

7. Итог урока. (1мин)

Какие цели стояли на уроке?

Достиг ли каждый из вас цели урока?

Фиксирую проблемы для следующего урока.

Самостоятельно определяют насколько достигнуты цели урока.

Формировать адекватную самооценку.

Формировать умения планировать свою работу.

Формулировать собственное мнение и аргументировать его.

Формулировать познавательную цель.

Учащимся предлагается по желанию продолжить предложение:

На уроке я научился (научилась) …

На уроке мне понравилось …

На уроке мне пригодились знания….

Для меня было сложно…

С урока я ухожу с … настроением!

Учащиеся продолжают предложения.

Смыслообразование, формирование положительного отношения к процессу познания

Оценка- выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.

Рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Квадратные уравнения с параметрами
презентация урока для интерактивной доски по алгебре (8 класс) на тему

Презентация к первому уроку по теме «Квадратные уравнения с параметрами».

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Квадратные уравнения с параметрами (8класс) Первый урок

ax 2 + bx + c =0 ( a ≠ 0) — квадратное уравнение Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ. Квадратные уравнения с параметрами Формула корней: D – дискриминант квадратного уравнения Если D 0 , то уравнение имеет два различных корня.

Квадратные уравнения с параметрами Решить уравнение с параметром b – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра b указывается множество корней данного уравнения. Допустимым значением параметра b считаются все те значения b , при которых выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.

Задача 1 . Решите относительно x уравнение x 2 — bx +9=0 Квадратные уравнения с параметрами x 2 — bx +9=0 D = b 2 — 36. Если уравнение имеет два корня : Если уравнение имеет один корень Если уравнение корней не имеет . Решение: Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.

Задача 1 . Решите относительно x уравнение x 2 — bx +9=0 Квадратные уравнения с параметрами Ответ: при -6 6 уравнение имеет два различных корня : при b =-6 или b =6 уравнение имеет единственный корень , . Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.

Задача 2 . Квадратные уравнения с параметрами При каких значениях параметра b уравнение x 2 + bx +4=0: имеет один из корней, равный 3; имеет действительные различные корни; имеет один корень; не имеет действительных корней? Ответы: при b 4 уравнение имеет два корня: при b =-4 или b =4 уравнение имеет единственный корень при -4 Мне нравится