Квадратные уравнения дорофеев 8 класс

«Какие уравнения называют квадратными» 8 класс УМК Дорофеев

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Учитель : Нигматулина Виктория Евгеньевна

Школа : МОУ СОШ №1

Автор учебника : Г.В. Дорофеев, Шарыгин И.Ф.

Тема урока : Делители и кратные

Цель : сформировать условия для осознанного понимания обучавшимися понятия квадратного уравнения. Рассмотреть неполные квадратные уравнения и вспомнить способы их решения. Решить квадратное уравнение различными способами.

Познавательные УУД: Закрепить навыки решения квадратных уравнений; применять полученные знания при выполнении заданий.
Коммуникативные УУД : воспитывать любовь к математике, коллективизм, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления.
Регулятивные УУД: понимать учебную задачу урока, осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя, определять цель учебного задания, контролировать свои действия в процессе его выполнения, обнаруживать и исправлять ошибки, отвечать на итоговые вопросы .
Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний

образовательные (формирование познавательных УУД): : изучить определение квадратного уравнения, научить распознавать квадратные уравнения, определять коэффициенты, составлять уравнения.

воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

— воспитание интереса к математике; взаимопомощи и взаимоответственности

развивающие (формирование регулятивных УУД):

— развитие умения самостоятельно приобретать новые знания; обобщать, применять полученные знания на практике.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

Тип урока : урок изучения новой темы.

Ребята давайте посмотрим на доску, здесь представлены уравнения, разбейте данные уравнения на группы

Контрольная работа для 8 класса по теме «Квадратные уравнения»
учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему

Контрольная работа для 8 класса по УМК Дорофеев Г.В. по теме «Квадратные уравнения» в двух вариантах.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Контрольная работа «Квадратные уравнения»

Обязательная часть. №1. Определите, имеет ли корни уравнение, и если имеет, то сколько: 3х 2 – 11х + 7 = 0.

Решите уравнение (2 – 5):

№4. 2х 2 -7х + 6 = 0

№6. Разложите, если возможно, на множители: х 2 -2х – 15.

№7. Площадь прямоугольника 96 см 2 . Найдите его стороны, если одна из них на 4 см меньше другой.

Дополнительная часть. №8. Решите уравнение х 4 – 3х 2 – 4 = 0.

№9. При каком значении р в разложении на множители многочлена х 2 + рх – 10 содержится множитель х – 2?

№10. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа.

Обязательная часть. №1. Определите, имеет ли корни уравнение, и если имеет, то сколько: 6х 2 – 5х + 2 = 0.

Решите уравнение (2 – 5):

№4. 5х 2 -8х + 3 = 0

№6. Разложите, если возможно, на множители: х 2 + 9х – 10.

№7. Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого.

Дополнительная часть №8. Решите уравнение х 3 + 4х 2 – 21х = 0.

№9. Найдите все целые значения р, при которых уравнение х 2 – рх — 10 = 0 имеет целые корни.

№10. Чтобы выложить пол в ванной комнате, потребуется 180 маленьких квадратных плиток или 80 больших. Сторона большой плитки на 5 см больше стороны маленькой. Какова площадь пола, который собираются покрыть плиткой?

Обязательная часть. №1. Определите, имеет ли корни уравнение, и если имеет, то сколько: 3х 2 – 11х + 7 = 0.

Решите уравнение (2 – 5):

№4. 2х 2 -7х + 6 = 0

№6. Разложите, если возможно, на множители: х 2 -2х – 15.

№7. Площадь прямоугольника 96 см 2 . Найдите его стороны, если одна из них на 4 см меньше другой.

Дополнительная часть. №8. Решите уравнение х 4 – 3х 2 – 4 = 0.

№9. При каком значении р в разложении на множители многочлена х 2 + рх – 10 содержится множитель х – 2?

№10. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа.

Методическая разработка по теме «Квадратные уравнения» (8 класс). Учебник Дорофеева Г.В.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ТЕМЫ: «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Тема «Квадратные уравнения » изучается в 8 классе в объеме 20 часов по учебнику Математика под редакцией Г.В.Дорофеева. Дрофа. Москва. 2013г.

Обучение решению квадратных уравнений

Обучение составлению уравнений

Обучение решению квадратных уравнений с параметром

Обучение самоанализу и самоконтролю результатов деятельности.

Уметь решать квадратные уравнения всех видов.

Уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному уравнению методом замены переменной.

Уметь решать уравнения вида f ( x ) ∙ ( ax 2 +в x + c )=0.

Уметь решать квадратные уравнения с параметром.

Урок-лекция 1.

Цель урока-лекции. Ввести определение квадратного уравнения. Рассмотреть неполные квадратные уравнения и вспомнить способы их решения. Решить квадратное уравнение различными способами.

Определение 1. Квадратным уравнением называется уравнение вида

где коэффициент а, в, с – любые действительные числа, причем а≠0.

Коэффициенты а, в, с различают по названиям: а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член.

Определение 2. Если первый коэффициент равен 1, то квадратное уравнение называют приведенным. Квадратное уравнение называют не приведенным, если первый коэффициент отличен от 1.

Например: 3х 2 – 5х + 7 = 0 – неприведенное квадратное уравнение,

х 2 – 5х + 6 = 0 – приведенное квадратное уравнение.

Кроме неприведенных и приведенных квадратных уравнений различают полные и неполные уравнения. Определение 3. Полное квадратное уравнение – это уравнение, в котором в ≠ 0 и с ≠ 0, т.е. присутствуют все три слагаемые.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором либо в=0, либо с=0. Таким образом, все сказанное можно представить схематично:

Устная работа на закрепление материала:

Является ли квадратным уравнение:

Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

Какие из следующих уравнений являются приведенными?

Если уравнение неприведенное, то выполните преобразования, чтобы оно стало приведенным.

Определение 4. Корнем квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0 называют такое значение х, при подстановке которого в уравнение, уравнение обращается в верное числовое равенство 0=0.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Вспомним способы решения неполных квадратных уравнений.

2х 2 -5х=0; х∙(2х-5)=0, значит либо х=0, либо 2х-5=0, откуда х = -2,5. Итак, х ₁ =0, х ₂ =-2,5.

х 2 -16=0, х 2 =16. Значит х _1,2 =4, х ₂ =-4, или х _1,2 =±4.

2х 2 +4=0, 2х 2 =-4, х 2 =-2, так как выражение х 2 ≥0, т.е. неотрицательно, то уравнение 2х 2 +4=0 не имеет корней.

3х 2 =0, то х 2 =0, х=0 – единственный корень уравнения. Представим решение схематично:

Неполное квадратное уравнение может иметь один корень, два корня, ни одного корня.

То же самое можно сказать и о полном квадратном уравнении. Почему?

Графиком функции у = ах 2 + вх + с служит парабола. Корнями квадратного уравнения

ах 2 + вх + с = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Парабола по отношению к оси абсцисс может располагаться только одним из следующих способов.

Т.е. парабола может пересекать ось ОХ в двух точках (два корня), может касаться оси ОХ, т.е. иметь одну общую точку (один корень), может вообще не пересекаться с осью Х (в этом случае уравнение не имеет корней).

Итак, перед нами стоит проблема: как же научиться находить корни полного квадратного уравнения?

Рассмотрим примеры. Решить квадратное уравнение:

1) х 2 – 4х + 3 = 0.

Корни уравнения можно угадать: х ₁ = 1, х ₂ = 3.

Левую часть уравнения можно разложить на множители: х 2 -4х+3=х 2 -х-3х+3=(х 2 -х)-(3х — 3) = = х∙(х-1)-3∙(х-1) = (х-1)∙(х-3), тогда

(х-1)∙(х-3)=0, значит либо х-1=0, либо х-3=0. Откуда х ₁ =1, х ₂ = 3.

В левой части уравнения можно выделить полный квадрат двучлена: х 2 -4х+3=(х 2 -2∙х∙2+2 2 ) – 2 2 +3= (х-2) 2 -1. Итак, (х-2) 2 -1=0; воспользуемся формулой разности квадратов двух чисел:

(х-2-1)∙(х-2+1)=0, или (х-3)∙(х-1)=0, откуда х ₁ =3; х ₂ =1. Ответ: 1; 3.

2) Решите уравнение 6х 2 -13х-5=0. Самостоятельно. Кто быстрее сделает это? (Быстро решит уравнение учитель). Итак, корни уравнения: х ₁ =,х ₂ =.

Методы, позволившие легко решить уравнение х 2 -4х+3=0, не оказались удобными при решении уравнения 6х 2 – 13х–5 = 0. Однако ответ найден быстро. Что же такое я знаю?

Итак, цель нашего следующего занятия найти универсальный способ решения квадратного уравнения.

Домашнее задание: Учить схемы по тетради. Выполнить решение №402, 405(а-в), 471, 473.

Цель урока-лекции. Вывести формулу корней полного квадратного уравнения.

Устная работа с классом:

Назовите коэффициенты квадратного уравнения. Укажите приведенные и неприведенные уравнения; укажите полные и неполные уравнения.

В тетрадях для письменного опроса восстановите схему неполных квадратных уравнений. Решите неполные квадратные уравнения:

С этого момента учащиеся начинают строить график собственного продвижения по данной теме.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена. ах 2 +вх+с=а

Выражение в 2 -4ас называют дискриминантом квадратного уравнения: Д = в 2 — 4ас, тогда

ах 2 + вх + с =и уравнение можно записать так:

Из последнего уравнения видно: если Д‹0, то квадратное уравнение им имеет корней. Если Д=0, то х =- — единственный корень уравнения. Если Д›0, то квадратное уравнение имеет два корня:

Итак корни квадратного уравнения

Схема решения квадратного уравнения:

Эту схему можно применить и к решению неполных уравнений, но обычно это не делают, так как предыдущие способы практичнее.

Решение ключевых задач первого уровня.

Итак, ключевыми задачами первого уровня будут стандартные задачи по отысканию корней квадратного уравнения.

Задача 1. ах 2 + с = 0, х 2 = -, — корней нет, n >0, х = ±.

Задача 2. ах 2 + вх = 0, х∙(ах+в)=0, х₁ = 0,

Задача 3. ах 2 + вх + с = 0. Д = в 2 – 4ас, Д‹0, корней нет. Д = 0, х₁ = — , Д›0, х_1,2 =.

Система упражнения для работы в классе: №412( II ),413( II ),414( II ),416( II ),417( II ),423(в.г) 429( II ), 430( II ).

Система упражнений для работы дома: №412 ( I ), 413( I ), 414( I ), 416( I ), 417( I ), 423(а,б), 429( I ), 430( I ).

Система упражнений для работы на факультативе:

Вывести вторую формулу корней квадратного уравнения при четном значении в.

Система упражнений для устного счета

Методика устного счета: в начале урока учащиеся 5-7 минут решают по таблице, на одной стороне которой задания, а на другой стороне ответы.

После окончания решения учащиеся выполняют работу по самооценке умения решать квадратные уравнения, фиксируют свой результат на графике самооценки.

Решите уравнения:

Обратная сторона (ответы)

УРОК РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Цель урока: Рассмотреть ключевые задачи второго уровня.

Содержание урока

Рассмотрим решение уравнений вида ах 2 n + вх n + с = 0, где n =1, 2, 3, 4.

Уравнение такого вида легко решить методом введения новой переменной. Пусть х n = t , тогда уравнение примет вид at 2 +в c + c =0 – это квадратное уравнение и решить его не представляет труда.

Решить уравнение: х 4 – 13х 2 + 36 = 0.

Решение: (х 2 ) 2 – 13х 2 +36=0. Пусть х 2 = t , где t ≥0. Тогда уравнение примет вид: t 2 -13 t +36=0. Д = 169-144=25. t _1.2 =, t ₁ =9, t ₂ =4.

Вернемся к переменной х:

Х 2 =9, откуда х =±3

Х 2 =4, откуда х = ±2. Ответ: -3; -2; 2; 3.

Решение. Пусть х 2 = t , t ≥0.

t ₁ =-1, не удовлетворяет условию t ≥0,

t ₂ = — 4, не удовлетворяет условию t ≥0.

Следовательно, уравнение х 4 +5х 2 +4=0 не имеет решений. Ответ: решений нет.

Решение. Пусть = t , t ≥0, тогда t 2 + t -6=0, t ₁ =-3 (не удовлетворяет условию), t ₂ = 2,

значит =2, откуда следует, что х = 4.

Решение. Пусть х 3 = t , t — любое число, тогда t 2 -7 t -8=0, t ₁ =-8, t ₂ =1, откуда х 3 =-8, х=-2,

х 3 =1, х =1. Ответ: -2; 1.

Решение. Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысл.

Проверим не теряет ли смысл первый множитель:

Х=3, , выражения смысла не теряют.

б), значит 16-х 2 = 0, х 2 =16, х= ± 4.

Итак, уравнение имеет четыре решения:

Решение. Аналогично предыдущему уравнению

х 2 -5х+6=0; х ₁ =2, х ₂ =3, но при данных значениях х множитель не имеет смысла, следовательно уравнение не имеет решения.

Ответ: решений нет.

(х 2 +4х) 2 -4(х 2 +4х)-5=0.

Решение. Введением новой переменной уравнение сводится к квадратному уравнению: х 2 +4х= t ,

t – любое число, тогда t 2 -4 t -5=0; t ₁ =5, t ₂ =-1, значит а) х 2 +4х=5, х 2 +4х-5=0, откуда

б) х 2 +4х=-1, х 2 +4х+1=0, х _1,2 =-2 ±. Итак, уравнение имеет четыре корня: -5; 1; -2- ; -2+.

Система упражнений для самостоятельной работы: №435, 437, 438, 439.

Урок решения ключевых задач

Цель урока: Рассмотреть ключевые задачи третьего уровня.

К ключевым задачам третьего уровня отнесем квадратные уравнения с параметром и уравнения решаемые как квадратные относительно параметра.

1. При каких значениях параметра а уравнение является неполным квадратным уравнением? Решить уравнение при найденных значениях параметра. 6х 2 +(а-1)х+2-4а=0.

Решение. Уравнение является неполным квадратным при а-1 =0 или 2-4а=0. Откуда а=1 или а=. Если а=1, то уравнение имеет вид 6х 2 -2=0, значит х 2 =, х=. Если а=, то уравнение имеет вид 6х 2 -х=0, 12х 2 -х=0, х(12х-1)=0, х ₁ =0, х ₂ =.

2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +ах+24=0 имеет корень 6?

Решение. Если х=6 – корень уравнения, то при подстановке уравнение обращается в верное равенство: 36+6а+24=0, откуда 6а=-60, а=-10.

3. При каком значении параметра а уравнение ах 2 +х+1=0 имеет единственный корень?

Если а=0, то уравнение примет вид: х+1=0. Это линейное уравнение имеет единственный корень, поэтому а=0, удовлетворяет требованию задачи.

Если а ≠ 0, то уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет единственное решение в том случае, когда его дискриминант равен 0. Д=0, значит 1-4а=0, откуда а=. Ответ: а=0, а=.

Решение следующего уравнения лучше рассмотреть на факультативе.

4. Решить уравнение: х 3 —

Решение. Введем параметр сами. Пусть , тогда уравнение примет вид:

Х 3 -(а+1)х 2 +а 2 =0

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно параметра а. а 2 -х 2 ∙ а+х 3 -х 2 =0, где первый коэффициент равен 1, второй коэффициент равен х 2 . Свободный член равен х 3 -х 2 . Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Д=(х 2 ) 2 -4 ∙ (х 3 -х 2 )=х 4 -4х 3 +4х 2 =(х 2 -2х) 2 ,

а _1,2 =; так как а=, получим уравнения: а) х 2 -х=, х 2 -х-=0, откуда

Система упражнений для самостоятельной работы

1. При каких значениях параметра а уравнение является неполным квадратным уравнением? Решить уравнение при найденных значениях параметра.

2. При каких значениях параметра а уравнение:

А) 2х 2 +ах+68=0 имеет корень, равный 17?

Б) 3х 2 +ах-54=0 имеет корень, равный 9?

В) х 2 +ах-35=0 имеет корень, равный 7?

3. Решите уравнение с параметром:

А) х 2 — 4 mx +4 m 2 -1=0

В) ( n -4) x 2 +(2 n -4) x + n =0

На данном уроке ответить на вопросы учащихся. Разобрать решение уравнения с параметром р:

Решение. Если р=0, уравнение примет вид 2р+3=0, р=-. Если р ≠ 0, найдем дискриминант квадратного уравнения:

Д=(р+1) 2 -р(р+3)=р 2 +2р+1-р 2 -3р=1-р.

Если 1-р > 0, р 1, то х _1,2 =.

Если 1-р 0, р > 1, то корней нет.

1. Подготовить сообщения:

1) История квадратных уравнений

2) Целые корни уравнения с целыми коэффициентами

3) Параметр в квадратном уравнении.

4) Провести самоанализ личной подготовки по теме «Квадратные уравнения».

Зачет и рейтинговая контрольная работа.

Цель зачета: проверить алгоритмический и преобразующий уровень учащихся. Оказать необходимую помощь.

I . Проверка усвоения теоретического материала.

1. Какое уравнение называется квадратным? Приведите примеры. Назовите коэффициенты а,в,с этого уравнения.

2. Запишите формулу корней квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0.

3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как это зависит от дискриминанта? Определите, сколько корней имеет уравнение:

4. Запишите формулу корней квадратного уравнения с четным коэффициентом.

Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ах 2 +вх=0. Покажите, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней имеет уравнение вида ах 2 +вх=0?

Приведите пример неполного квадратного уравнения вида ах 2 +с=0. Покажите, как решаются уравнения такого вида. Сколько корней имеет уравнение вида ах 2 +с=0.

Приведите пример ключевого квадратного уравнения второго уровня. Каким методом решаются такие уравнения?

3) Решить уравнения с параметром р:

4) При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 586 181 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.

Глава 3. Квадратные уравнения

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 19.10.2018
• 2497
• 39

• 18.10.2018
• 271
• 1

• 18.10.2018
• 1504
• 120

• 17.10.2018
• 1366
• 72

• 14.06.2018
• 777
• 5

• 26.05.2018
• 531
• 0

• 05.05.2018
• 1415
• 2

• 25.04.2018
• 301
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.10.2018 2247
• DOCX 203.2 кбайт
• 42 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лущикова Алевтина Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 3811
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность с дополнительной скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки