Квадратные уравнения и биквадратные уравнения

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называется уравнение вида:

$$ ax^4+bx^2+c = 0, a \neq 0 $$

Алгоритм решения биквадратного уравнения

Шаг 1. Ввести новую переменную: $z = x^2 \ge 0$.

Переписать уравнение для новой переменной: $az^2+bz+c = 0$

Шаг 2. Решить полученное квадратное уравнение.

Если $D \gt 0$, $z_ <1,2>= \frac<-b \pm \sqrt> <2a>$. Проверить условие $z ≥ 0$, если положительных корней нет, решений нет, переход на шаг 4.

Если D = 0,$z_0 = -\frac<2a>$. Проверить условие $z \ge 0$, если корень отрицательный, решений нет, переход на шаг 4.

Если $D \lt 0$, решений нет, переход на шаг 4.

Шаг 3.Если после шага 2 остались положительные корни, найти x: $x = \pm \sqrt$.

Шаг 4. Работа завершена.

Шаг 1. $z = x^2 \ge 0, z^2+7z-30 = 0$

$z_1 = -10 \lt 0, z_2 = 3 \gt 0 $

Шаг 3. Находим корни из положительного $z: x_ <1,2>= \pm \sqrt<3>$

Метод разложения на множители

Решение уравнений, в которые переменная x входит с различными натуральными степенями и вещественными коэффициентами, по существу, является поиском корней многочлена.

Число $x_0$ называют корнем многочлена $P_n (x) = a_n x^n+a_ x^ + ⋯ + a_1 x+a_0$ если $P_n (x_0 ) = 0$.

Для многочлена $P_n$ (x) произвольной степени n справедливо следующее.

Если $x = x_0$ является корнем многочлена $P_n$ (x), то $P_n (x) = (x-x_0) P_ (x)$, где $P_ (x)$ — многочлен степени n-1.

Таким образом, разными способами находя корни и формируя скобки, можно постепенно добиваться понижения степени «оставшегося» многочлена, пока не будут найдены все корни.

При разложении многочлена

• множители вида (x-a) называют линейными множителями ;
• множители вида $ (x^2+bx+c)$, для которых $D \lt 0$, называют неприводимыми квадратичными множителями .

Любой многочлен $P_n$ (x) можно представить в виде конечного числа линейных и/или неприводимых квадратичных множителей.

Причём, такое представление единственно с точностью до порядка множителей.

Для разложения многочленов на множители применяются разные методы:

• вынесение общего множителя за скобку (см. §19 справочника для 7 класса);
• группировка (см. §20 справочника для 7 класса);
• формулы сокращенного умножения (см. §25 справочника для 7 класса);
• метод неопределённых коэффициентов;
• выделение полного квадрата и т.п.

Решим уравнение $2x^3-x^2-8x+4 = 0$.

Раскладываем на множители: $x^2 (2x-1)-4(2x-1) = 0$

$$ (x^2-4)(2x-1) = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2)(2x-1) = 0 $$

Корни уравнения: $x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = \frac<1><2>$

Метод замены переменной

Замена переменной – это уравнение, с помощью которого можно упростить исходное уравнение, и перейти к решению системы из двух более простых уравнений:

$Исходное \quad сложное \quad уравнение \iff <\left\< \begin Новая \quad переменная \quad (урав. \quad связи \quad со \quad старой \quad переменной \\ Исходное \quad урав. \quad в \quad «упрощ.» \quad виде \end \right.>$

Например, для биквадратных уравнений:

$$ ax^4+bx^2+c = 0 \iff <\left\< \begin z = x^2 \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> $$

Можно предложить аналогичные схемы для других уравнений:

$$ ax+b \sqrt+c = 0 \iff <\left\< \begin z = \sqrt \ge 0 \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> $$

И, в общем виде, для любой рациональной степени n:

$$ ax^<2n>+bx^n+c = 0 \iff <\left\< \begin z = x^n \\ az^2+bz+c = 0 \end \right.> , n \in \Bbb Q $$

В других случаях замена переменной не настолько очевидна.

Но при удачном выборе, этот метод очень упрощает задачу.

Раскроем скобки:$ x^2-x = \frac<24>$. Сделаем замену:

$$ z = \frac<24> \Rightarrow z(z-2) = 24 \Rightarrow z^2-2z-24 = 0 \Rightarrow (z-6)(z+4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -4 \\ z_2 = 6 \end \right.$$

Возвращаемся к исходной переменной x:

$$ \left[ \begin x^2-x = -4 \\ x^2-x = 6 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2-x+4 = 0 \\ x^2-x-6 = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin D \lt 0, x \in \varnothing \\ (x-3)(x+2) = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -2 \\ x_2 = 3 \end \right. $$

При использовании метода замены переменной не забывайте возвращаться к исходной переменной.

Выделение полного квадрата

Метод выделения полного квадрата является одним из методов разложения на множители. Его идея – представить многочлен в виде разности квадратов двух других многочленов степенью пониже, и разложить разность на две скобки:

$$ P_n (x) = Q_k^2 (x)-R_m^2 (x) = (Q_k (x)-R_m (x))(Q_k (x)+R_m (x)) $$

Такое разложение не всегда возможно.

Рассмотрим выделение полного квадрата для квадратного трёхчлена:

$$ = a \Biggl(x+\frac <2a>\Biggr)^2 — \frac <4a>= a \Biggl(x+ \frac <2a>\Biggr)^2- \frac<4a>, D = b^2-4ac $$

Нами выделен полный квадрат $(x+\frac<2a>)^2$.

Данное выражение используется для построения и анализа графиков парабол (см. §28 данного справочника).

А его разложение на две линейные скобки, известное как теорема Виета (см. §26 данного справочника), возможно только при условии $D \ge 0$.

Решить уравнение $x^4+4x^2-1 = 0$

Выделим полный квадрат и разложим на множители:

$$ \left[ \begin x^2+2-\sqrt <5>= 0 \\ x^2+2+\sqrt <5>= 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2 = \sqrt <5>-2 \gt 0 \\ x^2 = -(2+\sqrt<5>) \lt 0 \end \right. \Rightarrow x_1,2 = \pm \sqrt<\sqrt<5>-2> $$

Примеры

Пример 1. Решите биквадратные уравнения:

Делаем замену: $2x^4+7x^2-4 = 0 \iff <\left\< \begin z = x^2 \ge 0 \\ 2z^2+7z-4 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2$

$$ z = \frac<-7 \pm 9> <4>= \left[ \begin z_1 = -4 \lt 0 \\ z_2 = \frac<1> <2>\gt 0 \end \right. $$

Выбираем положительный z и возвращаемся к исходной переменной x:

Делаем замену: $(x+3)^4-10(x+3)^2+24 = 0 \iff <\left\< \begin z = (x+3)^2 \ge 0 \\ z^2-10z+24 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $z^2-10z+24 = 0 \Rightarrow (z-4)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = 4 \\ z_2 = 6 \end \right.$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin (x+3)^2 = 4 \\ (x+3)^2 = 6 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x+3 = \pm \sqrt <4>\\ x+3 = \pm \sqrt <6>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_ <1,2>= -3 \pm 2 \\ x_ <3,4>= -3 \pm \sqrt <6>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -5 \\ x_2 = -1 \\ x_ <3,4>= -3 \pm \sqrt <6>\end \right. $$

Пример 2. Решите уравнения аналогичные биквадратным:

Делаем замену: $x+4 \sqrt-60 = 0 \iff <\left\< \begin z = \sqrt \ge 0 \\ z^2+4z-60 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2+4z-60 = 0 \Rightarrow (z+10)(z-6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -10 \\ z_2 = 6 \end \right.$

Выбираем положительный корень и возвращаемся к исходной переменной:

Делаем замену: $(x-1)^6-7(x-1)^3-8 = 0 \iff <\left\< \begin z = (x-1)^3 \\ z^2-7z-8 = 0 \end \right.>$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2-7z-8 = 0 \Rightarrow (z+1)(z-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -1 \\ z_2 = 8 \end \right.$

При замене куба знак z может быть любым, берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin (x-1)^3 = -1 \\ (x-1)^3 = 8 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x-1 = -1 \\ x-1 = 2 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 0 \\ x_2 = 3 \end \right. $$

Пример 3. Решите уравнения с помощью замены переменной:

Заметим, что $(x+3)^2 = x^2+6x+9$. Получаем:

$$ (x^2+6x)^2-(x^2+6x+9) = 33 \Rightarrow (x^2+6x)^2-(x^2+6x)-42 = 0 $$

Решаем квадратное уравнение: $ z^2-z-42 = 0 \Rightarrow (z+6)(z-7) = 0 \Rightarrow \left[ \begin z_1 = -6 \\ z_2 = 7 \end \right.$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin x^2+6x = -6 \\ x^2+6x = 7 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+6x+6 = 0 \\ x^2+6x-7=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin D = 12, x = \frac<-6 \pm 2 \sqrt<3>> <2>\\ (x+7)(x-1) = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_ <1,2>= -3 \pm \sqrt <3>\\ x_3 = -7 \\ x_4 = 1 \end \right. $$

Делаем замену: $ \frac<4> + \frac<5> = 2 \iff \left[ \begin z = x^2+3 \ge 3 \\ \frac<4> + \frac<5> = 2 \end \right.$

Решаем уравнение относительно z:

$$ \frac<4> + \frac<5> = 2 \Rightarrow \frac<4(z+1)+5z> = \frac<2> <1>\Rightarrow 4(z+1)+5z = 2z(z+1) $$

$$ 2z^2+2z-9z-4 = 0 \Rightarrow 2z^2-7z-4 = 0 $$

$$ D = 7^2-4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49+32 = 81 = 9^2 $$

$$ z = \frac<7 \pm 9> <4>= \left[ \begin z_1 = — \frac<1> <2>\lt 3 \\ z_2 = 4 \gt 3 \end \right. $$

Выбираем корень больше 3 и возвращаемся к исходной переменной:

$$ x^2+3 = 4 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_ <1,2>= \pm 1$$

Пример 4*. Решите уравнения:

Приведём это уравнение к биквадратному.

В линейных множителях (x+a) выберем все a =

Найдем их среднее арифметическое (см. §52 справочника для 7 класса)

Замена переменных $z = x+a_$:

Упрощаем уравнение, используя формулу разности квадратов:

$$ (z^2-9)(z^2-1) = 945 \Rightarrow z^4-10z^2+9 = 945 \Rightarrow z^4-10z^2-936 = 0 $$

Получили биквадратное уравнение.

Делаем замену: $z^4-10z^2-936 = 0 \iff <\left\< \begin t = z^2 \ge 0 \\ t^2-10t-936 = 0 \end \right.> $

Решаем квадратное уравнение:

$$ D = 100+4 \cdot 936 = 3844 = 62^2, t = \frac<10 \pm 62> <2>= \left[ \begin t_1 = -26 \lt 0 \\ t_2 = 36 \gt 0 \end \right. $$

Выбираем положительный корень и возвращаемся к переменной z:

$$ z = \pm \sqrt= \pm \sqrt <36>= \pm 6 $$

Возвращаемся к исходной переменной x:

$$ x = z-4 = \pm 6-4 = \left[ \begin x_1 = -10 \\ x_2 = 2 \end \right. $$

$$ z- \frac<1> =2,1 |\times z (z \neq 0) $$

$$ z^2-2,1z-1 = 0 \Rightarrow D = 2,1^2+4 = 8,41 = 2,9^2; z = \frac<2,1 \pm 2,9> <2>= \left[ \begin z_1 = -0,4 \\ z_2 = 2,5 \end \right. $$

Берём оба корня и возвращаемся к исходной переменной.

$$ \left[ \begin \frac = -0,4 \\ \frac = 2,5 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+1 = -0,4x \\x^2+1 = 2,5x \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x^2+0,4x+1 = 0 \\ x^2-2,5x+1 = 0 \end \right. $$

В первом уравнении $D = 0,4^2-4 \lt 0$, решений нет.

Во втором уравнении (x-2)(x-1/2) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin x_1 = \frac<1> <2>\\ x_2 = 2 \end \right.$

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^<2>=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^<2>-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-5)^<2>-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^<2>=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^<2>-4ac=(-4)^<2>-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac<-b><2a>=\frac<-(-4)><2\times1>=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^<2>=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<2>=2\\
&x_<3>=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^<4>-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^<2>=4\\
&x_<1>=2\\
&x_<2>=-2
\end\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Об уравнениях высших степеней

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

Уберём -2 из скобки, предварительно домножив его на a, после чего вводим новую переменную, t и получаем квадратное уравнение.

А теперь перейдём к примеру:

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.