Квадратные уравнения корни в тригонометрической форме

Как решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным — примеры

Основные понятия по теме

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения с неизвестной, которая расположена строго под знаком тригонометрической функции.

Квадратные тригонометрические уравнения являются такими уравнениями, которые имеют вид:

a sin 2 x + b sin x + c = 0

Здесь a отлично от нуля.

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, обладают следующими признаками:

1. Наличие в уравнении тригонометрических функций от одного аргумента, либо таких, которые можно просто свести к одному аргументу.
2. Присутствие в уравнении единственной тригонометрической функции, либо все функции можно свести к одной.

Правила решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным

Рассмотрим случай, когда преобразованное уравнение записано таким образом:

a f 2 ( x ) + b f ( x ) + c = 0

При этом а отлично от нуля, f ( x ) является одной из функций sin x , cos x , tg x , ctg x .

Тогда данное уравнение путем замены f ( x ) = t сводится к квадратному уравнению.

Существует ряд правил, позволяющих решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным. Данная информация будет полезна при выполнении самостоятельных работ и практических заданий в десятом классе.

sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α · ctg α = 1 tg α = sin α cos α ctg α = cos α sin α 1 + tg 2 α = 1 cos 2 α 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α ▸

Формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α sin α cos α = 1 2 sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α — 1 cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α tg 2 α = 2 tg α 1 — tg 2 α ctg 2 α = ctg 2 α — 1 2 ctg α ▸

Последовательность действий при решении тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

• выражение одной тригонометрической функции с помощью другой путем применения основных тождеств;
• выполнение подстановки;
• преобразование уравнения;
• введение обозначения, к примеру, sin x = y;
• решение квадратного уравнения;
• обратная замена;
• решение тригонометрического уравнения.

Рассмотрим решение тригонометрического уравнения:

6 cos 2 x — 13 sin x — 13 = 0

cos 2 α = 1 — sin 2 α

В результате уравнение преобразуется таким образом:

6 sin 2 x + 13 sin x + 7 = 0

Заменим sin x на t. Зная, что ОДЗ синуса sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , запишем, t ∈ [ — 1 ; 1 ] . Тогда:

6 t 2 + 13 t + 7 = 0

Заметим, что t 1 не соответствует условиям. Выполним обратную замену и получим решение уравнения:

sin x = — 1 ⇒ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ .

Разберем другой пример:

5 sin 2 x = cos 4 x — 3

Воспользуемся уравнением двойного угла для косинуса:

cos 2 α = 1 — 2 sin 2 α

cos 4 x = 1 — 2 sin 2 2 x

Подставим значения и преобразуем уравнение:

2 sin 2 2 x + 5 sin 2 x + 2 = 0

Заменим sin 2 x на t. Зная, что ОДЗ для синуса sin 2 x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно записать:

2 t 2 + 5 t + 2 = 0

Заметим, что t 1 является посторонним, так как не соответствует условию. Путем обратной замены получим:

sin 2 x = — 1 2 ⇒ x 1 = — π 12 + π n , x 2 = — 5 π 12 + π n , n ∈ ℤ .

Примеры решения задач с пояснениями

Найти корни уравнения:

tg x + 3 ctg x + 4 = 0

При tg x · ctg x = 1 имеем, что:

Заменим tg x на t. Зная, что ОДЗ тангенса tg x ∈ ℝ , запишем:

t + 3 t + 4 = 0 ⇒ t 2 + 4 t + 3 t = 0

Вспомним, что дробь может обладать нулевым значением при нулевом числителе и знаменателе, отличном от нуля. В результате:

Путем обратной замены получим:

Ответ: x = — arctg 3 + π n , x = — π 4 + π n , n ∈ ℤ .

Решить тригонометрическое уравнение на интервале ( — π ; π ) :

2 sin 2 x + 2 sin x — 2 = 0

Заменим sin x на t. В результате уравнение преобразуется:

2 t 2 + 2 t — 2 = 0

Определим дискриминант уравнения:

Таким образом, корни равны:

Исходя из того, что t = sin x ∈ [ — 1 ; 1 ] , можно сделать вывод о лишнем корне t 2 . В результате:

sin x = 2 2 ⇔ x = π 4 + 2 π n

x = 3 π 4 + 2 π m , n , m ∈ ℤ .

Выполним проверку корней на соответствие условиям задания:

— π π 4 + 2 π n π ⇔ — 5 8 n 3 8 ⇒ n = 0 ⇒ x = π 4 .

— π 3 π 4 + 2 π m π ⇔ — 7 8 m 1 8 ⇒ m = 0 ⇒ x = 3 π 4 .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π n ; 3 π 4 + 2 π m ; n , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу π 4 ; 3 π 4 .

Дано тригонометрическое уравнение, которое нужно решить на отрезке ( 0 ; π ) :

2 sin 2 x + 2 = 5 sin x

Заметим, что область допустимых значений определяет х как произвольное число. Перенесем члены в левую часть:

2 sin 2 x + 2 — 5 sin x = 0

Данное уравнение является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. Тогда уравнение будет преобразовано таким образом:

2 t 2 — 5 t + 2 = 0

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , sin x = 2 является лишним корнем. Таким образом:

Решениями sin x = a являются:

x = arcsin a + 2 π k

x = π — arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате, корнями уравнения sin x = 0 , 5 являются:

x = 5 π 6 + 2 π k

Определим, какие корни соответствуют интервалу:

0 π 6 + 2 π k π ⇔ — π 6 2 π k 5 π 6 ⇔ — 1 12 k 5 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае из этих корней подходящими являются лишь те, что соответствуют условию k = 0:

Рассмотрим другие решения:

0 5 π 6 + 2 π k π ⇔ — 5 π 6 2 π k π 6 ⇔ — 5 12 k 1 12

Заметим, что k ∈ ℤ . В таком случае выберем решение при k = 0:

Ответ: корни уравнения π 6 + 2 π k , 5 π 6 + 2 π k , при k ∈ ℤ ; решения, соответствующие интервалу π 6 , 5 π 6 .

Решить уравнение на промежутке [ π ; 3 π ) :

ctg 2 x + 1 cos x — 11 π 2 — 1 = 0

Вспомним формулу приведения:

cos x — 11 π 2 = — sin x

Также пригодится формула:

ctg 2 x + 1 = 1 sin 2 x

1 sin 2 x — 1 — 1 sin x — 1 = 0 ⇔ 1 sin 2 x — 1 sin x — 2 = 0

Заменим 1 sin x на t. В результате:

Путем обратной замены получим:

sin x = — 1 ⇔ x = — π 2 + 2 π n , n ∈ ℤ sin x = 1 2 ⇔ x = π 6 + 2 π k ; x = 5 π 6 + 2 π m , k , m ∈ ℤ .

Определим подходящие решения:

Ответ: корни уравнения — π 2 + 2 π n ; π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π m ; n , k , m ∈ ℤ , из них соответствуют интервалу 3 π 2 ; 13 π 6 ; 17 π 6 .

Определить корни уравнения на отрезке ( π ; 2 π ) :

cos ( 2 x ) + 3 2 sin x = 3

Область допустимых значений предусматривает произвольные значения для х. На первом этапе следует преобразовать уравнение с помощью формулы косинуса двойного угла и перенести члены уравнения в левую сторону:

1 — 2 sin 2 x + 3 2 sin x — 3 = 0 ⇔ 2 sin 2 x — 3 2 sin x + 2 = 0

Заметим, что в результате получено уравнение, которое является квадратным по отношению к sin x . Заменим sin x на t. В результате:

2 t 2 — 3 2 t + 2 = 0

t 1 , 2 = 3 2 ± 2 4

Исходя из того, что sin x ≤ 1 , делаем вывод о лишнем корне sin x = 2 . В результате:

Решения для уравнения sin x = a следующие:

x = arcsin a + 2 π k

x = π — arcsin a + 2 π k

Здесь k ∈ ℤ . В результате получим следующие решения для sin x = 2 2 :

x = 3 π 4 + 2 π k

Определим подходящие корни:

π π 4 + 2 π k 2 π ⇔ 3 π 4 2 π k 7 π 4 ⇔ 3 8 k 7 8

Заметим, что k ∈ ℤ . Тогда указанные корни не соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Определим корни, которые подходят к задаче:

π 3 π 4 + 2 π k 2 π ⇔ π 4 2 π k 5 π 4 ⇔ 1 8 k 5 8

Зная, что k ∈ ℤ , можно сделать вывод об отсутствии корней, которые соответствуют интервалу ( π ; 2 π ) .

Ответ: корни уравнения π 4 + 2 π k , 3 π 4 + 2 π k , где k ∈ ℤ , решения, соответствующие интервалу, отсутствуют.

Требуется найти решения тригонометрического уравнения:

3 tg 4 2 x — 10 tg 2 2 x + 3 = 0

Корни нужно записать в соответствии с интервалом — π 4 ; π 4

Область допустимых значений в данном случае:

Заменим tg 2 2 x на t, при t ⩾ 0 . Уравнение будет преобразовано таким образом:

3 t 2 — 10 t + 3 = 0

Путем обратной замены получим:

Можно сделать вывод о выполнении условия относительно области допустимых значений при найденных значениях х . Тогда остается отобрать нужные корни:

— π 4 π 6 + π 2 n 1 π 4 ⇒ — 5 6 n 1 1 6 ⇒ n 1 = 0 ⇒ x = π 6

Вычислим еще три решения, которые включены в заданный интервал:

x = — π 12 ; — π 6 ; π 12 .

Ответ: корнями уравнения являются ± π 6 + π 2 n , ± π 12 + π 2 m , n , m ∈ ℤ , из них соответствуют промежутку — π 6 ; — π 12 ; π 12 ; π 6 .

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Рассматривать будем на таком примере:

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

, ,

,

,

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

,

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

У уравнения типа есть ровно n корней ­z₀, z₁, z₂, … z_n-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

,

где – это модуль комплексного числа w,

φ – его аргумент,

а параметр k принимает значения: .

Найдем корни уравнения: .

Перепишем уравнение как: .

В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z₀ и z₁. Детализируем общую формулу:

, .

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

, .

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

.

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

.

Ответ: ,

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:

.

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z₀.

Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z₁.

По этому же алгоритму ставим точку z₂.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.

Извлечение корня из комплексного числа

Третий урок по комплексным числам. В этом уроке вы узнаете:

Начнём с ключевого определения.

1. Определение комплексного корня

Определение. Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$, где $n\in \mathbb$, $n \gt 1$, называется такое комплексное число $\omega $, что

т.е. $n$-я степень числа $\omega $ равна $z$.

Таких корней на множестве комплексных чисел всегда будет ровно $n$ штук. Все они обозначаются привычным знаком радикала:

Пример. Вычислить $\sqrt[3]<-1>$ на множестве комплексных чисел.

Очевидно, привычная нам единица является таким корнем, потому что $<<\left( -1 \right)>^<3>>=-1$. Но есть ещё два корня:

Итого три корня. Как и предполагалось.

Теорема. Для любого комплексного числа $z\ne 0$ существует ровно $n$ комплексных чисел, каждое из которых является корнем $n$-й степени из числа $z.$

Все эти корни считаются по следующей формуле.

2. Формула корней

Теорема. Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме:

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]

Тогда все корни степени $n$ из этого числа можно найти по формуле:

По сути, эта теорема является обратной к формуле Муавра:

Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Сейчас для нас главное — алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Он состоит из четырёх шагов:

1. Перевести комплексное число в тригонометрическую форму;
2. Записать общую формулу корня степени $n$;
3. Подставить в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так до $k=n-1$.
4. Получим $n$ комплексных корней. Вместе они и будут ответом.

В ответе всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $z\ne 0$.

Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:

\[\begin -8i &=0+\left( -8 \right)\cdot i= \\ & =8\cdot \left( 0+\left( -1 \right)\cdot i \right)= \\ & =8\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <2>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <2>\right) \right) \end\]

Запишем формулу корней в общем виде:

\[\sqrt[3]<-8i>=2\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <6>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <6>\right) \right)=\sqrt<3>-i\]

В ответе нужно указать все три числа: $-2i$; $\sqrt<3>-i$; $-\sqrt<3>-i$.

Ещё раз: подставляя разные $k$, мы будем получать разные корни. Всего таких корней будет ровно $n$. А если взять $k$ за пределами диапазона $\left\< 0,1. n-1 \right\>$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.

3. Геометрическая интерпретация

Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени из некоторого комплексного числа $z\ne 0$, то все они будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt[n]<\left| z \right|>$. Более того: эти точки образуют правильный $n$-угольник.

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[3]$.

Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:

\[\begin z & =1\cdot \left( 0+i\cdot 1 \right)= \\ & =1\cdot \left( \cos \frac<\pi ><2>+i\sin \frac<\pi > <2>\right) \end\]

Формула комплексных корней:

\[\sqrt[3]=1\cdot \left( \cos \left( \frac<\pi ><6>+\frac<2\pi k> <3>\right)+i\sin \left( \frac<\pi ><6>+\frac<2\pi k> <3>\right) \right)\]

Это три точки $<_<1>>$, $<_<2>>$ и $<_<3>>$ на окружности радиуса $R=1$:

Получили правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и начального луча, который образован поворотом оси $OX$ на угол $<\pi >/<6>\;$.

Рассмотрим более сложный пример:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[4]<1+i>$.

Сразу запишем формулу корней с выделением начального луча:

\[\sqrt[4]=\sqrt[8]<2>\cdot \left( \cos \left( \frac<\pi ><16>+\frac<\pi k> <2>\right)+i\sin \left( \frac<\pi ><16>+\frac<\pi k> <2>\right) \right)\]

Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=\sqrt[8]<2>$, начальный луч $<\pi >/<16>\;$:

И вновь всё чётко: четыре точки — правильный четырёхугольник, т.е. квадрат. С отклонением начального луча $<\pi >/<16>\;$.

Ну и ещё один пример — вновь без промежуточных вычислений. Только формулировка задачи, формула корней и окончательный чертёж:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[6]<-64>$.

Формула корней с выделением начального луча:

\[\sqrt[6]=2\cdot \left( \cos \left( \frac<\pi ><6>+\frac<\pi k> <3>\right)+i\sin \left( \frac<\pi ><6>+\frac<\pi k> <3>\right) \right)\]

Получили правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным лучом $<\pi >/<6>\;$.

Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $z\ne 0$:

1. Перевести число в тригонометрическую форму;
2. Найти модуль корня: $\sqrt[n]<\left| z \right|>$ — это будет радиусом окружности;
3. Построить начальный луч с отклонением $\varphi =<\arg \left( z \right)>/\;$;
4. Построить все остальные лучи с шагом $<2\pi >/\;$;
5. Получим точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.

Такой алгоритм прекрасно работает, когда аргумент исходного числа и отклонение начального луча $\varphi $ — стандартные «табличные» углы вроде $<\pi >/<6>\;$. На практике чаще всего именно так и бывает. Поэтому берите на вооружение.:)

4. Почему корней всегда ровно n

С геометрической точки зрения, всё очевидно: если мы будем последовательно зачёркивать вершины правильного $n$-угольника, то ровно через $n$ шагов все вершины будут зачёркнуты. И для дальнейшего зачёркивания придётся выбирать вершину среди уже зачёркнутых.

Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Ещё раз запишем формулу корня $n$-й степени:

Последовательно подставим в эту формулу указанные значения параметра $k$:

Очевидно, последняя строка получена при $k=n-1$. Подставим теперь $k=n$:

Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2\pi $, $<<\omega >_>=<<\omega >_<0>>$, и далее корни будут повторяться. Как мы и заявляли в самом начале урока.

5. Выводы

Ключевые факты из урока.

Определение. Корень степени $n$ из комплексного числа $z$ — это такое число $\omega $, что $<<\omega >^>=z$.

Обозначение. Для обозначения комплексных корней используется знакомый знак радикала: $\omega =\sqrt[n]$.

Замечание. Если $z\ne 0$, таких чисел корней будет ровно $n$ штук.

Алгоритм нахождения корней состоит из двух шагов.

Шаг 1. Представить исходное число в тригонометрической форме:

\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]

Шаг 2. Воспользоваться формулой Муавра для вычисления корней:

Все полученные корни лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]<\left| z \right|>$ с центром в начале координат и являются вершинами правильного $n$-угольника. Первая вершина лежит на т.н. «начальном луче», который отклонён от положительной полуоси $OX$ на угол $<\varphi >/\;$. Остальные вершины обычно легко находятся из соображений симметрии с помощью циркуля и линейки.

Геометрическую интерпретацию можно использовать для быстрого «графического» извлечения корней. Но это требует практики и хорошего понимания, что именно и зачем вы делаете. Технология такого извлечения корней описана выше в разделе «Геометрическая интерпретация».

Всё. В следующем уроке начнём решать уравнения в комплексных числах.:)