Квадратные уравнения на огэ проект

Квадратные уравнения на огэ проект

Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.

Тем самым, это числа −2 и 3.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.

учебный проект «УРАВНЕНИЯ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ»

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

А с 2013 года аттестация по математике при окончании основной школы проводится в форме ОГЭ. Как и ЕГЭ, ОГЭ призвана проводить аттестацию не только по алгебре, но и по всему курсу математики основной школы.

Львиная доля заданий, так или иначе сводятся к составлению уравнений и их решений. Чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопросы: «Какие виды уравнений встречаются в заданиях ОГЭ? » и «Какие существуют способы решения данных уравнений?»

Таким образом, возникает необходимость изучения всех видов уравнений, которые встречаются в заданиях ОГЭ. Все сказанное выше определяет актуальность проблемы выполненной работы.

Целью работы является комплектовать все виды уравнений, встречающихся в заданиях ОГЭ по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Для реализации цели нами поставлены следующие задачи:

1) Изучить основные ресурсы для подготовки к основным государственным экзаменам.

2) Комплектовать все уравнения по видам.

3) Провести анализ способов решения данных уравнений.

4) Составить сборник со всеми видами уравнений и способами их решений.

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования: уравнения в заданиях ОГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чибитская средняя общеобразовательная школа»

«УРАВНЕНИЯ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ»

Авторы: Тойлонов Аргымай,

обучающиеся 8 класса

руководитель: Тойлонова Надежда Владимировна, учитель математики.

Сроки реализации проекта:

с 13.12.2017 по 13.02. 2018 г.

Оглавление

Глава 1 Решение уравнений ………………………………………….

1.1 Решение линейных уравнений ……………………………………

1.2 Квадратные уравнения ……………………………………………

1.2.1 Неполные квадратные уравнения ………………………………

1.2.2 Полные квадратные уравнения …………………………………

1.2.3 Частные методы решения квадратных уравнений …………….

1.3 Рациональные уравнения ………………………………………….

Глава 2 Сложные уравнения ………………………………………….

Список использованной литературы …………………………………

Приложение 1 «Линейные уравнения» ……………………………….

Приложение 2 «Неполные квадратные уравнения» …………………

Приложение 3 «Полные квадратные уравнения» ……………………

Приложение 4 «Рациональные уравнения» ………………………….

Приложение 5 «Сложные уравнения» ………………………………..

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

А с 2013 года аттестация по математике при окончании основной школы проводится в форме ОГЭ. Как и ЕГЭ, ОГЭ призвана проводить аттестацию не только по алгебре, но и по всему курсу математики основной школы.

Львиная доля заданий, так или иначе сводятся к составлению уравнений и их решений. Чтобы перейти к исследованию данной темы, нам необходимо было ответить на вопросы: «Какие виды уравнений встречаются в заданиях ОГЭ? » и «Какие существуют способы решения данных уравнений?»

Таким образом, возникает необходимость изучения всех видов уравнений, которые встречаются в заданиях ОГЭ. Все сказанное выше определяет актуальность проблемы выполненной работы.

Целью работы является комплектовать все виды уравнений, встречающихся в заданиях ОГЭ по видам и разобрать основные способы решения данных уравнений.

Для реализации цели нами поставлены следующие задачи:

1) Изучить основные ресурсы для подготовки к основным государственным экзаменам.

2) Комплектовать все уравнения по видам.

3) Провести анализ способов решения данных уравнений.

4) Составить сборник со всеми видами уравнений и способами их решений.

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования: уравнения в заданиях ОГЭ.

План работы над проектом:

1. Формулирование темы проекта.
2. Подбор материала из официальных источников по заданной теме.
3. Обработка и систематизация информации.
4. Реализация проекта.
5. Оформление проекта.
6. Защита проекта.

Проблема : углубить представления об уравнениях. Показать основные методы решения уравнений, представленных в заданиях ОГЭ в первой и второй части.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал и изучить новый. В проект включены: линейные уравнения с переносом слагаемых из одной части уравнения в другую и с применением свойства уравнений, так же задачи, решаемые уравнением, все виды квадратных уравнений и методы решения рациональных уравнений.

Математика. выявляет порядок, симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37. «, — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Итак, что такое уравнение?

Существуют уравнение в правах, уравнение времени (перевод истинного солнечного времени в среднее солнечное время, принятое в общежитии и в науке; астр.) и т.д..

В математике – это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной неизвестное обычно обозначают буквой « х ». Значение « х », удовлетворяющее данным условиям, называют корнем уравнения.

Уравнения бывают разных видов :

ax + b = 0. — Линейное уравнение.
ax 2 + bx + c = 0. — Квадратное уравнение.
ax 4 + bx 2 + c = 0. — Биквадратное уравнение.

– Иррациональное уравнение.
Существуют такие способы решения уравнений как: алгебраический, арифметический и геометрический. Рассмотрим алгебраический способ.

Решить уравнение — это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное равенство или доказать, что решений нет. Решение уравнений, пусть это и сложно, захватывает нас. Ведь это, действительно, удивительно, когда от одного неизвестного числа зависит целый поток чисел.

В уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходное выражение. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть выражения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Глава 1 Решение уравнений

1.1 Решение линейных уравнений .

Сейчас мы с вами рассмотрим решения линейных уравнений. Вспомним, что уравнение вида называется линейным уравнением или уравнением первой степени так как при переменной « х » старшая степень находится в первой степени.

Решение линейного уравнения очень простое:

Пример 1. Решите уравнение 3 x +3=5 x

Линейное уравнение решается методом переноса членов содержащих неизвестные в левую часть от знака равенства, свободные коэффициенты в правую часть от знака равенства:

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

Значит 1,5 – корень уравнения.

Решения уравнений методом переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение, можно рассмотреть при решении следующих уравнений.

Пример 2. Решите уравнения:

а) 6 x +1=− 4 x ; б) 8+7 x =9 x +4; в) 4( x −8)=− 5.

Исследовательский проект «Решение квадратных уравнений»

Исследовательский проект на тему «Решение квадратных уравнений». Современные научно-методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательский проект «Решение квадратных уравнений»»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа № 13»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ ПО

современные научно-методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

разработать методическое пособие для учащихся, содержащее различные способы решения квадратных уравнений, выделить эффективные способы решения и показать их практическое применение.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени .

теоретический, математический, графический.

Впервые я услышала о квадратных уравнениях на уроках алгебры от учителя. Особенно меня заинтересовали способы их решения, причем наиболее рациональные.

Во-вторых , чем знамениты эти уравнения.

В-третьих , почему их решением так долго занимались великие ученые.

В-четвертых , способы решения квадратных уравнений и их практическая значимость.

Определение квадратного уравнения, его виды:

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 +bx + c = 0,

а,b,с – некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю , то такое уравнение называют

неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0; 2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0; 3) ах2 = 0.

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных, трансцендентных уравнений и неравенств.

• Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне;
• Квадратные уравнения в Индии;
• Квадратные уравнения у ал-Хорезми;
• Квадратные уравнения в Европе ХIII- XVIIвв.

Разложение левой части уравнения на множители:

Метод выделения полного квадрата (классический метод).

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 4 2 . Имеем:

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

0 и p = — 3 x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = — 7 и x 2 = — 1, так как q = 7 0 и p = 8 0 . Теорема Виета. Б) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = — 5 и x 2 = 1, так как q = — 5 и p = 4 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = — 1, так как q = — 9 и p = — 8 » width=»640″

так как q = — 9 и p = — 8

Решение уравнений способом «переброски»

квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где, а ≠ 0.

Умножая обе его части на, а, получаем уравнение

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к

уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному.

Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

При этом способе коэффициент, а умножается на

свободный член, как бы «перебрасывается» к нему,

поэтому его называют способом «переброски».

Этот способ применяют, когда можно легко найти

корни уравнения, используя теорему Виета и, что

самое важное, когда дискриминант есть точный

Свойства коэффициентов квадратного уравнения .

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а.

2)Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней

можно записать в виде

0, два корня 2) D=0 , единственный корень 3) D 0, корней нет. » width=»640″

Решение квадратных уравнений через дискриминант.

Выделение полного квадрата двучлена

Графическое решение квадратного уравнения.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

• прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
• прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
• прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим графически уравнение х 2 — 3х — 4 = 0

Построим параболу у = х 2

прямую у = 3х + 4.

Прямая и парабола пересекаются

Решим графически уравнение х 2 — 2х + 1 = 0.

Построим параболу у = х 2

прямую у = 2х — 1.

Прямая и парабола пересекаются

в точке А с абсциссой х = 1.

Решим графически уравнение х 2 — 2х + 5 = 0

Построим параболу у = х 2

прямую у = 2х — 5 .

Прямая и парабола не имеют точек

т.е. данное уравнение

корней не имеет.

Уравнение х 2 — 2х + 5 = 0

корней не имеет.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

2)Решим с помощью номограммы уравнение

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

3) Для уравнения

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4,

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39»

Уравнения – язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных. В ходе выполнения своей работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Проанализировав все новые способы решения квадратных уравнений, я увидела, что нельзя однозначно сказать, какой именно метод наиболее удобен или совершенен. Все они хороши, но каждый в своем конкретном случае.

Я пришла к выводу, что все способы надо иметь в своем арсенале и применять их по мере необходимости с точки зрения рациональности решения .

Я составила буклет-памятку, в него вошли те способы решения квадратных уравнений, которые не изучаются в школе.

Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ. Данные буклеты я раздам одноклассникам и ученикам других классов. Они могут воспользоваться собранными в буклет-памятку материалами для изучения и закрепления рациональных способов решения квадратных уравнений. В дальнейшем я планирую провести опрос, насколько интересна информация, предложенная в буклете, и используют ли они данные способы для решения квадратных уравнений, если да, то какой способ они считают наиболее простым и понятным

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.