Квадратные уравнения при особых условиях

Решение уравнений с параметрами при особых условиях
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Решение уравнений второй степени с параметрами при особых условиях.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Решение уравнений 2 степени с параметрами при особых условиях.

Мудрецы, мужи науки

пробивают толщу знаний,

достигая вечной славы

постоянством и дерзаньем.

Экзамены в 11 классе являются одновременно выпускными для учащихся и вступительными для всех абитуриентов. Задания продвинутого уровня соответствуют уровню учащихся специализированных школ и классов с углубленным изучением математики. Однако, только выполнение таких заданий позволит абитуриенту набрать конкурентоспособные баллы в борьбе за бюджетные места в ВУЗах, поэтому подготовка к экзамену в форме ЕГЭ становится актуальной проблемой, для школьников обычных образовательных школ.

В настоящее время на экзаменах по математике всё чаще применяются задания с параметрами, которые вызывают большие затруднения при их решении.

Существует несколько вариантов условий параметрических заданий: исследование уравнений, решение уравнений, определение количества решений, нахождение положительных корней и т.д. Всё многообразие уравнений и систем уравнений приводится квадратным уравнениям (реже к линейным), корни которых находятся на ограниченном множестве переменной величины.

Решение можно вести двумя путями:

1. Решение в «лоб», т. е. подставляем корни уравнения на множество ограничения.
2. Применение косвенных приёмов: применение теоремы Виета, теорем о расположении корней квадратного уравнения, графических методов.

Второй путь более универсален и проще. На основе теорем о расположении корней квадратного уравнения созданы условия для нахождения значений параметра при одном решении и т. д. на множестве х больше или равном L. Эти условия — основа большинства задач, поэтому этим теоремам следует уделить особое внимание.

Квадратные уравнения при особых условиях.

Квадратные уравнения имеют вид: ax 2 +bx+c=0, где a, b, c — числа, a не равно 0, x — переменная. Для их решения следует использовать свойства корней квадратного уравнения.

1. Если D больше 0, a больше 0, то существуют два действительных корня знаки которых при положительном с противоположны со знаком b , а при отрицательном с разные, причём, по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку b .
2. Если D =0, но a положительное, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которых противоположен знаку коэффициента.
3. Если D меньше 0, a меньше 0, то действительных корней нет.

Аналогичные свойства можно установить для корней уравнения, если a меньше 0.

Справедливы следующие утверждения:

1. Если в квадратном уравнении поменять местами a и c , то получим уравнение, корни которого обратны данным.

2 . Если в квадратном уравнении поменять знак второго коэффициента, то получится уравнение, корни которого противоположны корням данного уравнения.

3.Если коэффициенты а и с разных знаков, то оно имеет действительные корни.

4. Если a больше 0 и D =0, то левая часть полный квадрат. Верно и обратное.

5. Если все коэффициенты рациональны и D — точный квадрат, то корни уравнения рациональны.

Решение квадратных уравнений с параметром при особых условиях.

Уравнение F( х)=0 назовём уравнением с параметром а, если нужно решить уравнение относительно x, а под а понимаем любое действительное число.

Особыми значениями параметра назовём такие значения, в которых происходят качественные изменения решения уравнения.

1. а=3, тогда 9 . 0 . х=0, 0=0 (истина)

1. а кроме 0 и 3, тогда х=1/3а.

Рассмотрим F (х)=0.

Формулировки многих заданий помимо решений уравнений (*), cтавят задачи поиска значений параметров, для которых его общее решение удовлетворяет одному из условий:

1. корни уравнений одного знака или разных знаков;
2. корни принадлежат промежутку или лежат вне его;
3. корни располагаются определённым образом относительно корней другого уравнения.

В формулировках таких заданий присутствует действительное число, требуется найти значение параметра а, обеспечивающее для корней x 1 и х 2 одно из требований:

L лежит между корнями уравнения;

L меньше меньшего из корней;

L больше большего из корней.

Расположение корней многочлена F(a,x) относительно L.

ПРИМЕР . В уравнении (а-1)x 2 -2(а-1)х+а-3=0. Найти все а, для которых оба корня принадлежат промежутку (-1;5).

ПРИМЕР. Сколько корней меньше 1 имеет уравнение

(1+а)x 2 -3ах+4а=0 в зависимости от a?

Ответ: 1 корень, если a=0, а принадлежит (-1;-0,5);

2 корня, если a принадлежит (-0,5;0).

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Способы решения уравнений с параметрами

Это методическое пособие для учителя и учащихся дает возможность изучения способов решения уравнений и неравенств с параметром.На конкретных примерах рассматривается несколько способов решения одних и.

Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями

Методическая разработкаТема: Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями. Учитель: Удодова Любовь Валентинов.

Методическая разработка по теме:Решение уравнений с параметрами

Материал разработан для УМК А.Г. Мордкович для 11 класса.

Решение уравнений содержащих параметры

С этой работой мы выступали в Москве на конкурсе «Леонардо».

Элективный курс «Решение уравнений с параметрами для элементарных функций»

Элективный курсРешение уравнений с параметрами для элементарных функций Харитонова Наталья Евгеньевна учитель математики высшей категории Введение. МОУ Лыкошинск.

Решение уравнений с параметром графическим способом

Разработка урока с использованием интерактивной доски, презентации и ЦОР. На уроке рассмотрены разные способы решения уравнений с параметром.

Особые случаи решения квадратных уравнений.

1. Решение квадратного уравнения со вторым чётным

коэффициентом при неизвестном.

1. х2+ bх+ c = 0

D = (2k) 2 – 4ac = 4k 2 – 4ac = 4 ∙ (k 2 – ac) = 4D₁, где D₁ = k 2 – ac.

Просмотр содержимого документа
«Особые случаи решения квадратных уравнений.»

МБОУ «Койинская СОШ».

Выполнила ученица 8 класса Бекушева Татьяна

под руководством Рогозиной А.М.

Решение квадратного уравнения со вторым чётным

коэффициентом при неизвестном.

b = 2k = k =

ax 2 + 2kx + c = 0

D = (2k) 2 – 4ac = 4k 2 – 4ac = 4 ∙ (k 2 – ac) = 4D₁, где D₁ = k 2 – ac.

Х_{1, 2} = =

9х 2 – 14х + 5 = 0, ответ: х₁ = ; х₂ = 1.

4х 2 + 4х + 1 = 0, ответ: х₁ = — .

7х 2 – 20х + 14 = 0, ответ: х_1,2 = .

Если в квадратном уравнении ах 2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то х₁ = , х₂ = 1.

= = =

D = в 2 — 4а∙(-(а + в)) = в 2 + 4а 2 + 4ав = (в + 2а) 2 0 =

Х₁ = = , т.к. с = — в – а из равенства а + в + с = 0.

Если а+в=с=0 в уравнении ах 2 +вх+с=0, то

х₁=; х₂=1

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.