Квадратные уравнения решение неполных квадратных уравнений 8 класс

Неполные квадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где х – переменная, a, b, c некоторые числа, причем a≠0. Обычно его называют полным квадратным уравнением.

Если в таком уравнении один из коэффициентов b или c равен нулю, либо оба одновременно равны нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение при b=0: ax 2 +c=0

Для решения такого вида уравнения надо выполнить перенос коэффициента с в правую часть, затем найти квадрат переменной (делим обе части на одно и то же число), найти два корня уравнения, либо доказать, что корней нет (если х 2 равен отрицательному коэффициенту; знаем, что квадрат любого числа равен только положительному числу).

Пример №1. Решить уравнение:

Выполним перенос числа –45 в правую часть, изменяя знак на противоположный: 5х 2 =45; найдем переменную в квадрате, поделив обе части уравнения на 5: х 2 =9. Видим, что квадрат переменной равен положительному числу, поэтому уравнение имеет два корня, находим их устно, извлекая квадратный корень из числа 9, получим –3 и 3. Оформляем решение уравнения обычным способом:

Ответ: х=±3 или можно записать ответ так: х₁=–3, х₂=3 (обычно меньший корень записывают первым). Пример №2. Решить уравнение:

Выполним решение уже известным способом: –6х 2 =90. х 2 =–15 Здесь видим, что квадрат переменной равен отрицательному числу, а это значит, что уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Пример №3. Решить уравнение:

Здесь мы видим в левой части уравнения формулу сокращенного умножения (разность квадратов двух выражений). Поэтому, можем разложить данное выражение на множители, и найти корни уравнения: (х–10)(х+10)=0. Соответственно, вспомним, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть х–10=0 или х+10=0. Откуда имеем два корня х₁=10, х₂=–10.

Неполное квадратное уравнение при с=0: ax 2 +bx=0

Данного вида уравнение решается способом разложения на множители – вынесением за скобки переменной. Данное уравнение всегда имеет два корня, один из которых равен нулю. Рассмотрим данный способ на примерах.

Пример №4. Решить уравнение:

Выносим переменную х за скобки: х(х+8)=0. Получаем два уравнения х=0 или х+8=0. Отсюда данное уравнение имеет два корня – это 0 и –8.

Пример №5. Решить уравнение:

Здесь кроме переменной можно вынести за скобки еще и коэффициент 3, который является общим множителем для данных в уравнении коэффициентов. Получим: 3х(х–4)=0. Получаем два уравнения 3х=0 и х–4=0. Соответственно и два корня – нуль и 4.

Неполное квадратное уравнение с коэффициентами b и с равными нулю: ax 2 =0

Данное уравнение при любых значениях коэффициента а будет иметь один корень, равный нулю.

Пример №6. Решить уравнение:

Обе части уравнения делим на (–14) и получаем х 2 =0, откуда соответственно и единственный корень – нуль. Пример №6. Решить уравнение:

Также делим обе части на 23 и получаем х 2 =0. Значит, корень уравнения – нуль.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

Решение неполных квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + bx = 0 , надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Чтобы решить уравнение вида ax 2 + c = 0 , надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид x 2 — c = 0 , то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

Открытый урок в 8 классе по теме: Решение неполных квадратных уравнений
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Презнтация для открытого урока в 8 классе по теме: Решение неполных квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тем, кто учит математику, Тем, кто учит математику, Тем, кто любит математику, Тем, кто ещё не знает, Что может полюбить математику, Наш урок посвящается

Личностные цели : Стимулировать способность иметь собственное мнение. Умение учиться самостоятельно. Умение хорошо говорить и легко выражать свои мысли. Учиться применять свои знания и умения к решению новых проблем. Умение уверенно и легко выполнять математические операции. Величие человека в его способности мыслить Блез Паскаль

х 2 = а г)х 2 = 0,49 а) х 2 = 81 б) х 2 = 0 в) х 2 = -25

Разложите на множители Условие y 2 + y x 2 – 16 3x 2 + x 9z 2 – 4 y 2 – 6y +9 Ответ y(y + 1) (x – 4)(x + 4) x(3x + 1) (3z – 2)(3z + 2) (y – 3) 2

Выполним устно Найди корни уравнения а) (х -3) (х+ 12) = 0; б) (6х – 5) (х + 5) = 0; в) (х – 8) (х + 2) (х² + 25) = 0;

1. Какое уравнение называется квадратным? 2. Может ли коэффициент а в квадратном уравнении быть равным 0?

уравнение вида ах 2 + вх +с = 0 , называется… ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратным уравнением где х –переменная, а , в и с некоторые числа, причем а 0 .

все значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство ОПРЕДЕЛЕНИЕ: корнями квадратного уравнения называются …

найти все его корни или установить, что их нет ОПРЕДЕЛЕНИЕ: решить квадратное уравнение — значит …

Из данных уравнений выберите квадратные и назовите их коэффициенты а, в и с

Выступление учащихся Поведать мы сегодня вам хотим Историю возникновения Того, что каждый школьник должен знать – Историю квадратных уравнений.

Историческая справка: Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты. Другой индийский ученый Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений.

Историческая справка В трактате «Китаб аль – джебр валь- мукабала» хорезмский математик аль – Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида ах²=bх, ах²=с, ах²+с=bх, ах²+bх=с, bх+с=ах² (а>0; b>0; с>0).

Историческая справка Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487 — 1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет.

Историческая справка После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 — 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Рене Декарт Исаак Ньютон (1596 – 1650 г.) (1643 – 1727г.)

Интересно, а что будет, если коэффициенты квадратного уравнения по очереди или все сразу (кроме а) превратятся в нули . Давайте проведём исследование .

Посмотрите на данные уравнения и попробуйте разбить их на две группы по каким – либо признакам .

Мы получили вот такой результат:

Тема: Решение неполных квадратных уравнений

1. Научиться определять вид квадратного уравнения — полное оно или неполное. 2. Научиться выбирать нужный алгоритм решения неполного квадратного уравнения.

Сегодня вы узнаете: 1. Какие уравнения называют неполными квадратными? 2. Какие частные случаи квадратных уравнений бывают? 3. Каковы способы решения квадратных уравнений в каждом частном случае? А теперь давайте вместе искать ответы на эти вопросы. Желаю удачи!

Определение неполного квадратного уравнения. Если в квадратном уравнении ах 2 + b х+с=0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением .

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ в=0 ах 2 +с=0 с=0 ах 2 +вх=0 в,с=0 ах 2 =0 1.Перенос с в правую часть уравнения. ах 2 = -с 2.Деление обеих частей уравнения на а . х 2 = -с/а 3.Если –с/а > 0 -два решения: х 1 = и х 2 = — Если –с/а Мне нравится