Квадратные уравнения с четным вторым коэффициентом задания

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k 2 − ac , а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x 2 + 6x − 16 = 0 . В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k .

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k , то есть 2k .

Например, число 10 можно представить как 2 × 5 .

В этом произведении k = 5 .

Число 12 можно представить как 2 × 6 .

В этом произведении k = 6 .

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7 .

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k .

В уравнении x 2 + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6 . Это число можно представить как 2 × 3 . В этом произведении k = 3 . Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x 2 + 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8 .

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта ( D=b 2 − 4ac ), в формуле D₁ = k 2 − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac .

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x 2 − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3) . То есть k = −3 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Пример 3. Решить квадратное уравнение x 2 − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5) . То есть k = −5 . Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2 k . Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k , нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k . Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k 2 − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

Заменим в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k 2 − ac .

В выражении 4(k 2 − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k 2 − ac . Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k 2 − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k . Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k . Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k 2 − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k 2 − ac обозначается через D₁ . Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

8.8-3. Квадратные уравнения с чётным вторым коэффициентом

Алгебра. 8 класс. Параграф 8. Тест 3.

Вариант 1.

Решить уравнения.

1. 3x 2 -10x+3=0.

3. 5x 2 +14x-3=0.

A) -3; -0,2; B) 0,2; 3; C) -3; 0,2; D) -3; 0,5.

4. 5x 2 -18x+9=0.

A) -3; -0,6; B) -0,6; 3; C) 3; D) 0,6; 3.

5. 5x 2 -18x-8=0.

A) 0,4; 4; B) -4; -0,4; C) -0,4; 4; D) -4; 0,2.

6. 7x 2 +82x+55=0.

7. 9x 2 +12x-5=0.

9. 7(x 2 +2x-2)=(1-x)(1+x).

A) -2,5; -0,75; B) -0,75; 2,5; C) 0,75; 2,5; D) -2,5; 0,75.

10. 6x(x+4)+2x(x-1)= -15.

A) -1,5; 1,25; B) -1,5; -1,25; C) 1,25; 1,5; D) -2,5; 1,25.

Вариант 2.

Решить уравнения.

1. 3x 2 +14x-5=0.

3. 5x 2 -36x+7=0.

A) -7; 0,2; B) -0,2; 7; C) -7; 0,2; D) 0,2; 7.

4. 5x 2 -22x+8=0.

A) -4; -0,4; B) -0,4; 4; C) 0,4; 4; D) -4; 0,4.

5. 5x 2 +12x-9=0.

A) -3; 0,6; B) -3; -0,6; C) -0,6; 3; D) 0,6; 3.

6. 7x 2 +62x+48=0.

7. 9x 2 -6x-8=0.

9. 5(x 2 +x+3)=3х(9-x).

A) -1,5; -1,25; B) -1,25; 1,5; C) -1,5; 1,25; D) 1,25; 1,5.

10. 2x(x+5)+2(x 2 -18)= 6х-1.

A) -3,5; -2,5; B) 2,5; 3,5; C) -3,5; 2,5; D) -2,5; 3,5.

Урок 49.4 Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

учитель математики
МБОУ «СОШ №9»
Постнова Анастасия Сергеевна
Презентация
«Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом»
урок 4

Предметные:
вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений..
Личностные:
Развивать заинтересованность в изучении математики;
Воспитывать уважительное отношение друг к другу;
Метапредметные:
Развивать умения распознавать понятия, анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
Формировать регулятивные УУД (планировать свою деятельность, контролировать, оценивать, корректировать);
Формировать коммуникативные УУД (умение ставить вопросы, выражать собственные мысли, сотрудничать).

Решим уравнение:
15х2 – 34х +15 = 0.

Решаем в классе

№ 539 (б, г, ж), № 540 (в, з).
2. № 541(б, в, ж), № 546(а, г), № 550(б), № 552(а, в), №553(а).
3. № 554, № 555.

Итоги урока
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– В каких случаях применяется формула II корней квадратного уравнения?
– В каком отношении находятся D1 и D?
– По какой формуле вычисляется D1?
– Можно ли применять формулу I корней квадратного уравнения, если коэффициент b чётный?
– Могут ли получиться разные корни при применении различных формул корней квадратного уравнения?

Домашнее задание
№ 539 (в, е, з),
№ 540 (б, е, ж),
№ 541 (е, з),
№ 548 (б, г),
№ 551 (а, г, д).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 798 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

§ 8. Квадратное уравнение и его корни

Другие материалы

• 26.01.2021
• 90
• 5

• 26.01.2021
• 827
• 52

• 26.01.2021
• 437
• 7

• 26.01.2021
• 292
• 4

• 26.01.2021
• 83
• 0

• 26.01.2021
• 128
• 0

• 26.01.2021
• 113
• 0

• 26.01.2021
• 88
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.01.2021 380
• PPTX 129 кбайт
• 52 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Постнова Анастасия Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 2 года и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 652
• Всего материалов: 3

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.