Квадратные уравнения с параметром 8 класс презентация

Презентация на тему: квадратные уравнения с параметрами

Решение квадратных уравнений с параметрами Схема исследования уравнения Если А=0, то В ∙х + с = 0 , х = Если А≠0, то находим дискриминант а) Д > 0 б) Д № слайда 2

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет 1 корень (совпадающие корни) ? Решение. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет 1 корень D = 0 . = 0 Ответ.

Пример 1. Найти все значения параметра а, для которых уравнение а) имеет 2 различных корня; б) не имеет корней; в) имеет 2 равных корня. Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1 ≠0. Найдем дискриминант уравнения а) Д > 0, а≠1 4(5а+4) ) > 0 , а > -4/5. б) Д -4/5 и а≠1 , то два различных корня, если а № слайда 4

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений ? Решение. а = 2, а = -1 При а=2, 3х+1=0, х = — 1/3 при а = -1, , не имеет решений. 2) а 2 , а -1 В данном случае уравнение является квадратным и не имеет решений, если дискриминант меньше нуля Д = Д

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? Решение. По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому рассмотрим два случая 1) Если а = -6,то -12х+1=0, х = 1/12. 2) Если а ≠ -6, то квадратное уравнение имеет единственное решение, если Д =0 Ответ: при

Пример 4. Для всех значений параметра а решить уравнение

Пример 4. Для всех значений параметра а уравнение Решение. 1) Если а = 1,то уравнение имеет вид -2х+3=0, х = 3/2. 2) Если а ≠ 1. Найдем дискриминант уравнения В зависимости от значения Д возможны случаи. а) Уравнение не имеет корней б) тогда в) Ответ: если а=1,то х = 3/2. а=2, то х=2, а>2, то -нет решений а

Теорема Виета Если корни квадратного уравнения то

Если корни квадратного уравнения , то Равенства, которые необходимо знать

Пример 1. Найти сумму и произведение корней уравнения

Пример 1. Найти сумму и произведение корней уравнения Решение. 1) Проверка: имеет ли уравнение действительные корни? Уравнение имеет действительные корни. 2) Нахождение суммы и произведения корней уравнения с использованием теоремы Виета.

Пример 2. Найти сумму и произведение корней уравнения

Пример 2. Найти сумму и произведение корней уравнения Решение. Проверка: имеет ли уравнение действительные корни? Уравнение не имеет действительных корней. Ответ. Уравнение не имеет действительных корней.

Пример 3. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения равно 10 ?

Пример 3. При каких значениях параметра а произведение корней уравнения равно 10 ? Решение. 1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения. 2) По теореме Виета произведение корней уравнения равно 10, если Д≥ 0 Решение системы: Ответ:

Пример 4 Не решая уравнения найти , где корни уравнения Ответ: при а = 0 Ответ: Пример 5. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения равна 4?

Пример 6 При каких значениях параметра р разность корней уравнения равна 9. Ответ: при р = -81и р =1

Применение теоремы Виета при исследовании знаков корней квадратного трехчлена Уравнение имеет корни одного знака, если Уравнение имеет корни разных знаков, если Уравнение имеет положительные корни, если Уравнение имеет отрицательные корни, если

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни разных знаков ? Решение. 1) Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет действительные решения. 2) Уравнение имеет корни разных знаков, если ,Д> 0 Решение системы: Ответ:

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение имеет а) корни разных знаков; б) корни одного знака; в) положительные корни Решение. а) исходное уравнение имеет корни разных знаков, если выполняется условие По формулам Виета

б) исходное уравнение имеет корни одного знака, если выполняется условие в) ) исходное уравнение имеет положительные корни, если выполняется условие Ответ: если ,то уравнение имеет корни разных знаков, если , то корни – одного знака; если , то положительные корни.

Презентация к уроку по теме»Решение квадратных уравнений с параметром»,8 класс.
презентация к уроку по алгебре (8 класс) по теме

Цели урока:развитие логического мышления учащихся,творческих способностей ,умения сопоставлять,сравнивать,проводить аналогию,развитие комуникативной культуры.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Это ложь, что в науке поэзии нет В отраженьях великого мира Сотни красок со звуков уловит поэт И повторит волшебная лира. За чертогами формул, забыв о весне, В мире чисел бродя, как лунатик, Вдруг гармонию выводов дарит струне, К звучной скрипке прильнув, математик. Настоящий ученый, он тоже поэт, Вечно жаждущий знать и предвидеть. Кто сказал, что в науке поэзии нет? Нужно только понять и увидеть.

Подготовил учитель математики высшей категории Широкова Елена Владимировна МОУ лицей Тема урока: «Квадратные уравнения с параметром»

Учиться решать квадратные уравнения с параметром Рассмотреть различные способы решения уравнений с параметром Выбирать рациональные способы решения Цели урока:

Уравнение a b c b 2 — 4ac х 1 х 2 х 1 + x 2 х 1 · x 2 x 2 — 7x + 12 = 0 5 -7 -6 5x 2 = 15x 3 0 -75 Заполните таблицу

Уравнение a b c b 2 — 4ac х 1 х 2 х 1 + x 2 х 1 · x 2 х 2 — 7x + 12 = 0 1 -7 12 1 4 3 7 12 5x 2 — 7x — 6 = 0 5 -7 -6 169 2 -0,6 1,4 -1,2 5x 2 = 15x 5 -15 0 225 0 3 3 0 3x 2 — 75 = 0 3 0 -75 900 5 -5 0 -25 Проверьте таблицу

Подготовил учитель математики высшей категории Широкова Елена Владимировна МОУ лицей Тема урока: «Квадратные уравнения с параметром»

a x 2 — (a+1)x + 2a — 1 = 0 При каких значениях параметра a уравнение имеет один корень

При каких значениях параметра p уравнение x 2 + p x + 1 6 = 0 не имеет корней? Самостоятельно

Алгебраический Графический Метод подбора Способы решения уравнений

3x 2 — 6x – a — 2 = 0 Решить уравнение графически для всех значений параметра a

Решить уравнение для всех значений параметра a x 2 + 2x – a = 0 Самостоятельно

www.univertv.ru Квадратные уравнения с параметром (лекция) №321( а,б ), №322( а,в ), №337 * Домашнее задание

Образование – это то, что остается после того, как все выученное уже забыто

Рефлексия Сегодня я узнал… Было интересно… Было трудно… Я выполнял задания… Я понял, что… Теперь я могу… Я почувствовал, что… 8. Я приобрел… 9. Я научился… 10. У меня получилось… 11. Я смог… 12. Я попробую… 13. Меня удивило… 14. Урок дал мне для жизни…

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Мастер-класс !Урок математики в 10 классе по теме «Решение квадратных уравнений с параметром»

Мастер-класс на региональном семинаре учителей математики (февраль 2012 г.) «Развитие ключевых образовательных компетенций на примере урока математики в 10 классе по теме «Решение ква.

урок по теме: «Решение квадратных уравнений общего вида» 8 класс

— закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы;- отработка способов решения квадратных уравнений, выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения.Задачи уро.

Открытый урок по теме: «Решение квадратных уравнений» 8 класс.

«Решение квадратных уравнений с параметрами » 8 класс

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса .

Конспект урока по алгебре «Решение квадратных уравнений с параметрами», 8 класс

Материал содержит конспект урока по алгебре в 8 классе «Решение квадратных уравнений с параметрами».

План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач»

План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач&quot.

Технологическая карта урока по теме»Решение квадратных уравнений с параметром»

Уравнения с параметрами- один из наиболее трудных разделов математики.Это объясняется тем, что при решении таких задач приходится рассматривать различные случаи , в зависимости от значений парам.

Презентация по теме «Квадратные уравнения с параметром»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Презентация на тему: «Уравнения второй степени с параметром» Выполнили ученицы 9 В класса: Возиянова Светлана Галиева Анастасия

Цели: Определение количества корней квадратного уравнения в зависимости от параметра; Решение уравнений с параметром.

Квадратное уравнение Уравнение вида ах²+bx+с=0, где а, b, с Є R, а ≠ 0 называется квадратным уравнением. D=b²-4ac – дискриминант квадратного уравнения. Если D 0, то уравнение имеет два различных корня: Если D=0, то уравнение имеет один корень.

Алгоритм решения квадратных уравнений с параметром 1)Если в квадратном уравнении главный коэффициент содержит параметр, то обязательно нужно выяснить, при каких значениях параметра главный коэффициент равен нулю. В этом случае квадратное уравнение превращается в линейное, которое имеет один корень. 2) Если в квадратном уравнении главный коэффициент не содержит параметра, то количество корней зависит только от значения дискриминанта.

Примеры: Пример 1. При каком значение параметра b уравнение 2х²-bx+18=0 имеет единственный корень? Решение: Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем: D=b²-4*2*18 = b²-144; b²-144=0; b= -12 или b= 12. Ответ: b= -12, или b=12

Пример 2. При каком значение параметра b уравнение (b+6)x²-(b-2)x+1=0 имеет единственный корень? Решение: Считать такое уравнение квадратным является ошибкой. Это уравнение степени не выше второй. При b= -6 получаем линейное уравнение 8x+1=0, имеющее один корень. При b ≠ -6 данное уравнение является квадратным; оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю: D=(b-2)²-4(b+6) = b²-4b+4-4b-24 = b²-8b-20 Имеем: b²-8b-20=0, отсюда b= -2 или b=10. Ответ: b= -2, или b=10, или b= -6

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение a(a+3)х²+(2a+6)x-3a-9=0 имеет больше одного корня? Решение: При а=0 получаем линейное уравнение 6х-9=0, имеющее единственный корень. При а=-3 получаем линейное уравнение 0х=0, имеющее бесконечно много корней. Если а≠0 и а≠ -3, то, разделив обе части уравнения на а+3, получим квадратное уравнение ах²+2х-3=0. Дискриминант этого уравнения равен 4(1+3а). Для выполнения условия задачи он должен быть положительным, т.е. 4(1+3а)>0. Отсюда а>-1/3. Однако промежуток (-1/3;+∞) содержит значение а=0, при котором исходное уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи. Ответ: а= -3, или -1/30

Пример 4. Решить уравнение (a²-b²)х²-2ax+1=0. Решение: Рассмотрим три случая: 1) a=b=0. Уравнение 0x+1=0 решений не имеет. 2) a²=b²≠0. Уравнение -2ax+1=0 имеет один корень x=1/2a. 3) a²-b²≠0. Корни уравнения: x1= 1/a-b, x2= 1/a+b. При b=0 D=b²=0, поэтому уравнение имеет один корень x=1/a (a ≠0). Ответ: x=1/2a при a²=b²≠0; x=1/a при a ≠0, b=0; ∅ при a=0, b=0; x1= 1/a-b, x2= 1/a+b при a ² ≠ b ², b ≠0

Пример 5. Решить уравнение (4a/x²-a²)+ (x-a/x(x+a))=(1/x(x-a)) Решение: При x≠0, x≠a, x≠-a уравнение приведём к равносильному 4ax+x²-2ax+a²-x-a=0. (x+a)²-(x+a)=0 (x+a)(x+a-1)=0 Так как x≠-a, то уравнение имеет одно решение x=1-a. Условия x≠0, x≠a влекут за собой требования a≠1, a≠1/2. Уравнение 1-a=-a решений не имеет. Ответ: x=1-a при a≠1/2; a≠1; ∅ при a=1/2, a=1

Пример 6. При каких значениях a уравнение aх²-x+3=0 имеет единственное решение? Решение: Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи: 1)a=0. При этом уравнение принимает вид -x+3=0, откуда x=3, т.е. решение единственно. 2) a≠0, тогда aх²-x+3=0 – квадратное уравнение, дискриминант D=1-12a. Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы D=0, откуда a=1/12. Ответ: a=0 или a=1/12

Пример 7. Один из корней квадратного уравнения х²+2ах+2-3а=0 равен 1. Найдите значение параметра а и второй корень уравнения. Решение: х1=1 подставим его в уравнение и получим верное равенство: 1²+2а*1+2-3а=0 или 3-а=0, откуда а=3. Подставим это значение параметра а в данное уравнение: х²+2*3*х²+2-3*3=0 или х²+6х-7=0. Решим это квадратное уравнение: х1=1 и х2= -7. Получили а=3 и х2= -7 Ответ: а=3; х2= -7

Пример 8. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x²+ax+a=0 равна 3? Решение: Пусть x1 и x2 – корни данного уравнения. По условию x1² + x2²=3, т.е. (x1+x2)²-2x1x2 = 3. Применяя теорему Виета, можно записать (-a)²-2a=3; a²-2a-3=0. Отсюда a=-1 или a=3. Казалось бы, решение завершено. Однако теорема Виета «работает» лишь для тех квадратных уравнений, у которых есть корни. А данное квадратное уравнение имеет корни не при всех значениях параметра a. Существование корней определяется условием D≥0. Для данного уравнения D=a²-4a. Следовательно, найденные значения a= -1 и a=3 должны удовлетворять неравенству a²-4a≥0. Легко установить, что подходит только a= -1. Ответ: а= -1

Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение (a+6)х²+2ax+1=0 имеет единственное решение? Решение: По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому рассмотрим два случая: 1) а+6=0; а=-6 Если а = -6, то -12х+1=0, х = 1/12. 2) Если а ≠ -6, то квадратное уравнение имеет единственное решение, если D =0 D=4a²-4(a+6)=4(a²-a-6) a²-a-6=0 a1=3, a2=-2. Ответ: при a ∈

Пример 10. Найти наименьшее целое a, при котором уравнение x²+(2a+3)x+a²-a+5=0 имеет два различных корня. Решение: Уравнение имеет два различных корня, если D>0. Из неравенства (2a+3)²-4(a²-a+5)>0 следует, что 16a-11>0, откуда a>11/16. Наименьшее целое значение a ∈ (11/16; +∞) равно 1. Ответ: a=1.

Источники: 1) Алгебра. Углублённый уровень. 8 класс (Мерзляк А. Г., Поляков В. М.) 2) Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы