Квадратные уравнения с параметром урок

Методика обучения решению квадратных уравнений с параметром

Разделы: Математика

Решение задач с параметром вызывает затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках недостаточно.

Цели разработки темы

• формирование устойчивого интереса к познавательному процессу при изучении математики и оценка возможности овладения предметом с точки зрения дальнейшей перспективы;
• обеспечение прочного и сознательного усвоения учащимися системой математических знаний, умений и навыков;
• формирование качества мышления, характерного для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе;
• выявление и развитие математических способностей учащихся.
• Задачи разработки темы:
• показать универсальные алгоритмы для решения квадратных уравнений с параметром;
• научить приемам решения различного класса задач с параметром, способствовать овладению технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;
• использование новых современных педагогических технологий обучения.

В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи (“параметр” с греческого “parametron” – отмеривающий)..

Если ставится задача для каждого значения параметра а из некоторого числового множества А решить уравнение F(х;а)= 0 относительно х, то это уравнение называют уравнением с переменной х и параметром а, а множество А – областью изменения параметра. Под областью определения уравнения F(х;а)=0 с параметром а понимаются такие системы значений х и а, при которых F(х;а) имеет смысл. Все значения параметра а, при которых F(х;а) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений. Под областью изменения параметра (если не сделано специальных оговорок) берется множество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром формулировать следующим образом: решить уравнение F(х;а)=0 (с переменной х и параметром а) – это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из данного уравнения при всех действительных значениях параметра или установить, что решений нет.

В связи с тем, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но каждое уравнение семейства должно быть решено, следовательно, необходимо по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества, удобно пользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.

1. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

Задачи с параметрами можно разделить на два больших класса:

• задачи, в которых необходимо при всех значениях параметра из некоторого множества решить уравнение;
• задачи, в которых требуется найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения удовлетворяют некоторым условиям.

В зависимости от типа задачи изменяется и вид ответа. В первом случае в решении и ответе должны быть рассмотрены все возможные значения параметров. Если хотя бы одно значение какого-либо параметра не исследовано, решение задачи не может быть признано полным.

Во втором случае в ответе перечисляются только те значения параметра, при которых выполнены условия задачи, а при решении подобных задач обычно решать заданное уравнение нет необходимости.

Уравнение вида Ах 2 + Вх + С= 0 , где А, В, С — выражения, зависимые от параметра, х – переменная — называется квадратным уравнением с параметром.

Уравнение вида ах 2 +вх+с=0, где , а, в, с – действительные числа, называют квадратным уравнением. D=в 2 -4ас называется дискриминантом квадратного уравнения (“дискриминант” по – латыни “различитель”).

В зависимости от значения дискриминанта возможны три случая:

D > 0. Данное квадратное уравнение имеет два действительных корня

D=0. Данное уравнение имеет корень двойной кратности

D 2 +2кх+с=0 со вторым коэффициентом (в=2к) четным, для нахождения корней удобно пользоваться формулами: , где D₁= =к 2 -ас.

№ 1.1. Определите все значения параметра а при которых уравнение ах 2 +2(а+1)х+а+3=0 имеет два неравных корня.

Если а=0, то имеем 0·х 2 +2(0+1)х+0+3=0, 2х+3=0 — данное уравнение является линейным, х=-1,5 – единственный корень. Итак, а=0 не удовлетворяет условию задачи.

Если а?0, то уравнение имеет два различных корня, когда дискриминант >0.

Найдем=(а+1) 2 -а(а+3)=-а+1,-а+1>0, а 2 -4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.

Если а=0, то имеем 2·0·х 2 -4(0+1)х+4·0+1=0, -4х+1=0 — данное уравнение является линейным, х=0,25 – единственный корень. Итак, а=0 удовлетворяет условию задачи.

Если а 0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при =0. Найдем =(2(a+1)) 2 -2a(4а+1) = -4a 2 +6a+4,4a 2 +6a+4=0, а₁=2, а₂=-0,5.

С учетом а=0, запишем ответ: а=-0,5, а=0, а=2.

№ 1.3. При каких значениях параметра а квадратное уравнение (5а-1)х 2 -(5а+2)х+3а-2=0 не имеет корней?

Если 5а-1=0,а=0,2, то имеем (5*0,2-1)х 2 -(5*0,2+2)х+3*0,2-2=0,

-3х-1,4=0 — данное уравнение является линейным, х = — единственный корень.

Итак, а=0,2 не удовлетворяет условию задачи.

Если а 0,2, то квадратное уравнение не имеет корней, если дискриминант квадратного уравнения D 2 -4(5a-1)(3а-2)=-35a 2 +72a-4,-35a 2 +72a-4 2 -72a+4>0, а₁=2, а₂=, (а-2)(а-)>0. С учетом а 0,2 ответ:

№ 1.4. Определите все значения параметра а при которых уравнение (2а-1)х 2 +ах+2а-3=0 имеет не более одного решения.

Если 2а-1=0,а=0,5, то имеем (2·0,5-1)х 2 +0,5·х+2·0,5-3=0, 0,5х-2=0 — данное уравнение является линейным, х=4 — единственный корень.

Итак, а=0,5 удовлетворяет условию задачи.

Если а 0,5, то квадратное уравнение имеет не более одного решения, если дискриминант квадратного уравнения D0.

Найдем D=а 2 -4(2a-1)(2а-3)=-15a 2 +32a-12, -15a 2 +32a-120,

15a 2 -32a+12?0, а₁=, а₂=, (а-)(а-) 0.

С учетом а 0,5, имеем .

С учетом а=0,5, запишем ответ: .

2. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ.

Квадратное уравнение ах 2 +вх+с=0, где а 0 называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0.

Общая схема решения неполных квадратных уравнений с параметрами.

ах 2 =0, где а 0, в=0, с=0. Если а 0 ,то уравнение примет вид: х 2 =0, х=0.

Следовательно, уравнение имеет два совпадающих корня, равных нулю.

Если а=0, то х — любое действительное число.

ах 2 +с=0, где а0, в=0, с0. Если а0,то уравнение примет вид: следовательно, уравнение имеет корни, то они равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку; 2 +вх=0, где а0, в0, с=0. Если а0,то уравнение примет вид: х(а+в)=0,или Если а=0, то вх=0, х=0.

№ 2.1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 2х 2 +(3а 2 -|а|)х-а 2 -3а=0 равны нулю?

Оба корня квадратного уравнения равны нулю, когда

№ 2.2. При каких значениях параметра а, корни уравнения 2 х 2 -(5а-3)х+1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

Корни квадратного уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, когда 5а-3=0,а=0,6, но с учетом того, что имеем уравнение 2х 2 +1=0, х 2 =-0,5, которое корней не имеет. Ответ: .

№ 2.3. При каких значениях параметра а один из двух различных корней уравнения 3х 2 +х+2а-3=0 равен нулю?

Параметр должен удовлетворять условию: 2а-3=0, а=1,5. Ответ: а=1,5.

№ 2.4. При каких значениях параметра а корни уравнения 3х 2 +(а 2 -4а)х+а-1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

Корни квадратного уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку, когда:

Ответ: а=0.

№ 2.5. Решить относительно х неполное квадратное уравнение х 2 -2а+1=а.

х 2 =а+2а-1; х 2 =3а-1.

Если 3а-1=0, а= ,то уравнение имеет два совпадающих корня, равных нулю.

Если 3а-1 0. а>, то уравнение имеет два корня .

Ответ: при арешений нет; при а= х=0; при

3. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.

№ 3.1. Исследовать и решить уравнение с параметром х 2 –2(а-1)х+2а+1=0.

Найдем дискриминант: D=(а — 1) 2 -2а – 1= а 2 -2а+1-2а-1= а 2 — 4а.

D > 0, а 2 — 4а > 0, а (а -4) > 0, а 4, то уравнение имеет два действительных корня ;

D =0, а (а-4)=0, а=0, то х=а-1, х=0-1, х=-1, а=4,то х=а-1, х=4-1, х=3;

D 2 +2(а+1)х+а–2= 0.

1) При а-1=0, а=1 имеем линейное уравнение 4х-1=0, х=– единственное решение.

2) При а 1 уравнение является квадратным, найдем дискриминант:

D₁ = (а+1) 2 -(а–1)(2а-2)=а 2 +2а+1-а 2 +2а+а-2=5а-1.

D₁>0. 5а-1>0, а>, а 1, то уравнение имеет два корня .

D₁=0. 5а-1=0, а=, то уравнение имеет два равных корня .

х 2 +2х-8–ах+4а=0; х 2 +(2-а)х+4а-8=0. Уравнение является квадратным.

Найдем дискриминант: D=(2-а) 2 -4(4а-8)=4-4а+а 2 -16а+32= а 2 -20а+36.

D>0. а 2 20а+36>0, (а-18)(а -2)>0, а 18, то уравнение имеет два действительных корня .

D=0. (а-18)(а-2)=0, а=2, то ; а=18, то ;

D 2 равен 1, то уравнение принимает вид х 2 +px+q, где p и q — некоторые числа называется приведенным квадратным уравнением.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

ах 2 +вх+с=0, где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, то

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема: Если числа p и q таковы, что их сумма равна -p, а произведение равно q. то эти числа являются корнями уравнения х 2 +px+q=0.

№ 4.1. При каком значении параметра а сумма обратных величин действительных корней уравнения 2х 2 -2ах+а 2 -2=0 равна ?

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, по условию _.

По теореме Виета: Используя соотношения между корнями и условие задачи, имеем:

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Имеем: Ответ: при

№ 4.2. В уравнении (а 2 -5а+3)х 2 +(3а-1)х+2=0 определите а так, чтобы один из корней был вдвое больше другого.

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, по условию х₁ =2 х_2. Заметим, что кратное сравнение выполняется только для положительных чисел.

По теореме Виета и условию задачи имеем систему:

Составим и решим уравнение:

Можно вычислить дискриминант данного уравнения, а затем проверить, удовлетворяет ли данное значение параметра а условию, что дискриминант неотрицателен, а так же, что корни положительны. Однако в данной задаче значительно проще сделать проверку, подставив это значение а в исходное уравнение.

При Корни отрицательны и кратно не сравниваются, поэтому задача решений не имеет. Ответ: решений нет.

№ 4.3. Найти все значения параметра а, при которых квадратное уравнение (а+2)х 2 –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.

При а+2=0, а=-2, то 2х+2=0, х=-1 – единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.

При а-2. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения, по условию х₁ =1-у, х_2.=1+у, где у – некоторое действительное число.

По теореме Виета имеем:

Решим первое уравнение системы: 2(а+2)=а, а=-4.

Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:

Данное значение а=-4 удовлетворяет полученным значениям. Ответ: а=-4.

Ответ: при а = — 4.

1. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.
2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Минск; “Аверсэв”. 2005.
3. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Минск; “Асар”. 1996.
4. Данкова И. Н., Бондаренко Т. Е., Емелина Л. Л., Плетнева О. К.Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. Москва; “5 за знания”.2006.
5. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.. Практикум по элементарной математике. Москва; “Просвещение”.1991.
6. Родионов Е. М. Решение задач с параметрами. Москва; “Русь – 90”. 1995.
7. Студенецкая В. Н., Сагателова Л. С. Математика 8 – 9классы: сборник элективных курсов. Волгоград; “Учитель”. 2006.
8. Шарыгин И. Ф. Решение задач. Москва; “Просвещение”. 1994.
9. Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами. Санкт-Петербург; “Петроглиф”. 2006.

Урок «Решение квадратных уравнений с параметрами»
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Урок изучения нового материала по теме «Расположение корней квадратного трехчлена»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: Решение квадратных уравнений с параметрами.

Тип урока: Урок комплексного использования знаний

Цель урока : выработка умений самостоятельного применения знаний в новых условиях.

• Систематизация знаний по решению квадратных уравнений и развитие умений применить их при решении уравнений с параметрами.
• Развитие логического мышления, умения самостоятельно работать, навыков самоконтроля, интереса учащихся к предмету, навыков индивидуальной, групповой и коллективной работы.
• Воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

Форма работы: групповая, фронтальная

I. Организационный момент (3 мин)

Дидактическая задача этапа

Содержание деятельности учителя

Условия получения положительного результата

Организация начала урока. Подготовка учащихся к работе на уроке

Приветствие, выявление отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий. Раскрытие общей цели урока

Кратковременность оргмомента; быстрое включение всех учащихся в деловой ритм; полная готовность класса и оборудования к уроку

II. Актуализация ЗУН (10 мин)

Дидактическая задача этапа

Содержание деятельности учителя

Условия получения положительного результата

Подготовка к активной УПД на основном этапе урока . Подготовка учащихся к тому виду учебно-познавательной деятельности, который будет доминировать на основном этапе урока. Актуализация опорных знаний и умений, формирование познавательных мотивов

Постановка триединой дидактической цели урока; организация действий учащихся по ее принятию

Умение определять и ставить триединые дидактические задачи урока, направленные на решение поставленной цели; владение приемами организации учащихся на деятельность по принятию задач урока.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи”. Задачи часто обрекали в стихотворную форму. Попробуйте и вы решить древнеиндийскую задачу:

Обезьянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне в этой стае?

При решении этой задачи вы составили и решили квадратное уравнение.

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

— Как называется выражение

— Как называются числа ?

— Какие уравнения называются квадратными уравнениями?

-Что называют корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

-Полными квадратными уравнениями? Неполными?

— Приведенными квадратными уравнениями? Неприведенными?

“Главная” функция в школьном курсе алгебры – это квадратный трехчлен, он постоянно всплывает в разных разделах программы. Постараемся поэтому познакомиться с ним поближе и подружиться.

Функция называется квадратичной функцией. Как вы знаете, график этой функции – парабола.

Координаты вершины параболы , где ,

Рассмотрим расположение графика функции в зависимости от старшего коэффициента и знака дискриминанта

IV. Изучение нового материала.(15 мин)

Дидактическая задача этапа

Содержание деятельности учителя

Условия получения положительного результата

Усвоение новых знаний . Сформировать у учащихся конкретные представления об изучаемых фактах, явлениях, процессах, их сущности, связи; выделить главное, провести систематизацию вместе с учащимися; на основе знаний выработать общую схему решения уравнений с параметрами

Самостоятельная работа учащихся; восприятие учащимися нового материала, его осмысление, обобщение, осознание, систематизация, конкретизация

Опора на жизненный опыт учащихся; индивидуальный подход по дозе помощи; организация учащихся на оперирование успеваемым содержанием

Первичная проверка понимания учащимися нового учебного материала. Установить осознанность усвоения учащимися нового материала; усвоение связей и отношений между фактами, явлениями, процессами

Проверка учителем того, поняли ли школьники, что является основным содержанием урока, которое нужно усвоить; проверка полноты и осознанного усвоения новых знаний

Использование системы заданий, требующих мыслительной и практической активности учащихся; выявление пробелов в знаниях и успехов учащихся в ходе проверки

Мы повторили и систематизировали знания о решении квадратных уравнений, о квадратичной функции. А сейчас мы изучим новый тип квадратного уравнения- квадратное уравнение с параметрами. Что же это такое? Начнем с того, что дадим определение параметра.

Параметр в уравнении или неравенстве — некоторая плавающая величина, т.е. число, принимающая различные значения.

Уравнение с параметрами — математическое уравнение внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает, что нужно найти все системы значений параметров, при которых выполняется то или иное требование.

Мы только начинаем изучать квадратные уравнения с параметрами. Типов этих уравнений великое множество. Сегодня мы рассмотрим один из типов таких уравнений и научимся их решать.

При каких условиях корни уравнения меньше числа М?

Работа по презентации

V. Работа в группах. (10 минут)

Дидактическая задача этапа

Содержание деятельности учителя

Условия получения положительного результата

Контроль и самоконтроль знаний Глубокая всесторонняя проверка знаний, умений и навыков учащихся; стимулирование учащихся на самообразование.

Проверка полноты, осознанности, действительности и прочности знаний, умений и навыков; проверка сформированности общих учебных умений, установление положительных и отрицательных сторон в знаниях; рекомендации учащимся по ликвидации пробелов путем самостоятельной работы или с помощью товарищей

Подготовка дополнительных вопросов для проверки осознанности и действительности знаний; использование нестандартных ситуаций в применении проверяемых знаний (Использование авторской программы).

1. Используя методику “мозговой штурм” учащиеся в малых группах с помощью учителя решают уравнения

1 группа: 2 группа: 3 группа

VI. Подведение итогов.(2 мин)

Дидактическая задача этапа

Содержание деятельности учителя

Условия получения положительного результата

Подведение итогов урока . Анализ успешности овладения знаниями и способами деятельности; показать типичные недостатки в знаниях, умениях, навыках

Дать общую характеристику класса, показать успешность овладения содержанием урока; вскрыть недостатки, показать пути их преодоления

Умение быстро схватывать типичное в успешности усвоения и недостатков, умение учесть реальные учебные возможности

Учитель: “Все знания, полученные на нашем уроке, вам будут необходимы в дальнейшем. Я надеюсь, что вы не утратили интереса, а напротив будете стремиться к знаниям более глубоким и не только на уроках математики, но и на других уроках, чтобы войти во взрослую жизнь грамотными и активными”

2. Объявление оценок за работу на уроке

VII. Домашнее задание:

Найти при каких условиях корни квадратного уравнения больше некоторого числа М.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Квадратные уравнения Полные Неполные

Квадратичная функция Графиком является парабола. Если а>0, то ветви параболы направлены вверх Если а

Подписи к слайдам:

Решение квадратных уравнений с параметрами. Метод плавающей параболы

Параметр в уравнении или неравенстве некоторая плавающая величина, т.е. число, принимающая различные значения Уравнение с параметрами — математическое уравнение внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает, что нужно найти все системы значений параметров, при которых выполняется то или иное требование.

При каких условиях корни уравнения меньше числа М?

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию Найдем вершину параболы

I случай Ветви параболы направлены вверх

Условие существования действительных корней квадратного уравнения

II случай Ветви параболы направлены вниз

При каких значениях параметра m корни уравнения отрицательны.

При каких значениях параметра р корни уравнения 1 группа меньше 0. 2 группа меньше -1 3 группа меньше 1

1 группа 2 группа 3 группа

При каких условиях корни уравнения больше числа М?

Конспект урока по алгебре «Решение квадратных уравнений с параметрами», 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Конспект открытого урока в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений с параметрами»

Цель урока: обобщить и систематизировать знания по теме «Квадратные уравнения с параметром», способствовать формированию навыков решения квадратных уравнений с параметром, расширение их математического образования.

Образовательные задачи: создать условия для

повторения основных видов квадратных уравнений и методов их решения;

обобщения и систематизации умений учащихся решать квадратные уравнения;

совершенствования навыков решения квадратных уравнений на примере решения уравнений с параметрами

формулирования учащимися общих рекомендаций по решению квадратных уравнений с параметрами.

Развивающие задачи: продолжить совершенствование

логического мышления учащихся;

умения классифицировать объекты;

умения выбирать главное;

навыки работы с книгой и дополнительными источниками информации;

математической речи учащихся;

умения владеть собой на публичном выступлении;

умения выступать с самостоятельными суждениями и отстаивать их.

Воспитательная задача: продолжать воспитание познавательного интереса к предмету.

Тема урока: “Решение квадратных уравнений с параметрами”

Тип урока: урок обобщения и систематизации.

Оборудование: компьютер, карточки с домашним заданием.

Форма организации учебной деятельности:

1) усовершенствованная математическая речь учеников;

2) ученики знакомятся с методом решения квадратных уравнений с параметрами.

1. Организационный момент: сообщение темы и цели урока.

На протяжении многих уроков мы рассматривали квадратные уравнения и методы их решения Целью сегодняшнего урока является обобщение и углубление знаний о квадратных уравнениях и методах их решения. Кроме того, мы будем решать квадратные уравнения с параметрами.

2. Актуализация знаний учащихся

а) Устная работа. Повторение видов квадратных уравнений, методов их решения.

На экране показывается слайд №1

1) ах 2 + вх + с = 0

D  0, то уравнение не имеет решений.

D = 0, то х =

D  0, то х =

х 2 =

если 0, то х=

если ≤ 0, то уравнение не имеет решений

б) На экране показывается слайд №2.

Учащимся предлагается обсудить следующие вопросы:

д) (4-р)х 2 +(2р+4)х+12=0.

При каких значениях параметра р заданное уравнение является неполным квадратным уравнением?

При каких значениях параметра р заданное уравнение является приведенным квадратным уравнением?

При каких значениях параметра р заданное уравнение является неполным неприведенным квадратным уравнением?

При каких значениях параметра р заданное уравнение является неполным приведенным квадратным уравнением?

При каких значениях параметра р заданное уравнение является линейным уравнением?

3. Решение задач.

1) На доске написаны уравнения:

x 2 =а х 2 =9а 2 ах 2 =9

Учащиеся отвечают сначала устно, а затем записывают свой ответ в тетради вслед за учителем, пишущим на доске):

При каких значениях а уравнение не имеет решения?

При каких значениях а уравнение имеет один корень? Найдите этот корень.

При каких значениях а уравнение имеет два разных решения? Найдите эти корни.

Можно ли дать однозначный ответ о решении квадратного уравнения с параметром? Почему?

2) Учитель решает уравнения:

a) y 2 – 3y = a 2 + 3a б ) ах 2 + (2 а +1 ) х + 2 = 0

3) Учащиеся в малых группах ( 2 человека) с помощью учителя решают уравнения

а) х 2 — (2р + 1)х + (р 2 + р — 2) = 0

б) рх 2 + (1 — р)х – 1 = 0.

в) При каких значениях a уравнение ax 2 – x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи:

a = 0, при этом уравнение принимает вид – x + 3 = 0 , откуда x = 0, т.е. решение единственно;

a ≠ 0, тогда ax 2 – x + 3 = 0 квадратное уравнение, дискриминант D = 1 – 12 a . Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы D = 0, откуда a =.

Ответ: a = 0 или a =.

3) Формулируются основные рекомендации по решению квадратных уравнений

На экране высвечивается слайд №3:

Общие рекомендации по решению квадратных уравнений с параметром.

Проверить: может ли старший коэффициент быть равным 0. В случае положительного ответа решить получившееся линейное уравнение.

Найти дискриминант квадратного уравнения D по формуле D = b 2 -4ac.

Если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен 0, то уравнение имеет 1 решение х =

Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня:

х =

4. Самостоятельное решение уравнения

с последующей самопроверкой по предложенному учителем на экране решением.

На экране показывается слайд №4

, то данное уравнение квадратное. Поэтому количество корней уравнения будет зависеть от знака .

,

то уравнение имеет 2 решения x _1,2=

= = a-1 ==a-3

Ответ : x ₁ = a -1, x ₂ = a -3

4. Самостоятельная работа по вариантам

а)

б)

б) .

5. Постановка домашнего задания (задание выдается на карточках ):

1. Решить уравнения:

а)

б)

1) При a = 2 исходное уравнение не имеет решения.

2) a ≠ 2, тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид . Искомые значения параметра – это корни дискриминанта, который обращается в нуль при a = 5.

1) При a = 0 уравнение имеет единственный корень x = .

2) При a ≠ 0, исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант положителен, т.е. 16 – 4 a 2 -12 a > 0. Решая неравенство, получаем – 4 . Из этого промежутка следует исключить число нуль.

4. При каких значениях параметра a уравнение имеет одно решение?

Сегодня мы повторили, как решаются квадратные уравнения и рассмотрели особенности их решения с параметрами. Узнали, в чем состоит метод решения квадратных уравнений с параметром, и сформулировали основные рекомендации по его применению.

1. В классе обучаются 29 учащихся. 10 учащихся могут учиться на 4-5, 13 человек на четвёрки, остальные без направляющей помощи учиться не могут. При планировании урока это было учтено и определило выбор методов и приёмов изложения материала и способов закрепления полученных знаний на основе систематизации .

2. Этот урок является уроком обобщения и систематизации знаний и умений. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей учащихся. Задачи подобраны алгоритмичные по своему решению. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для обобщения и систематизации знаний по данной теме; проведение проверочных упражнений (устное решение уравнений); ознакомление с алгоритмом решения квадратных уравнений с параметром, упражнения на закрепление данного алгоритма; работа в малых группах, тренировочные упражнения в виде самостоятельной работы; самоконтроль учащихся.

3. На уроке решались следующие задачи:

Обобщить и систематизировать знания по теме «Квадратные уравнения с параметром», Изучить алгоритм решения квадратных уравнений с параметром, формировать у учащихся осознанный подход к решению уравнений с параметром. Способствовать развитию логического мышления. Воспитание самостоятельности, ответственности, способствовать формированию алгоритмической культуры, рациональному использованию времени.

Комплексность их решения продумана. Главными были обучающие задачи, при их решении попутно решались и развивающие, и воспитывающие задачи. Развивающая задача решалась через приёмы доступного изучения материала, а воспитывающая уже на этапе выбора класса для открытого урока, во время самопроверки.

4. Данная структура урока продиктована тем, что класс сильный, большинство учащихся активно работают на уроке, способны быстро воспринимать информацию. Поэтому урок плотнен и динамичен на всех этапах. Опрос проводился с целью актуализации имеющихся знаний. Связки между этапами логичны. Домашнее задание содержит четыре номера.

5. Главный акцент делался на понятиях: квадратное уравнение, параметр, контрольные значения параметра, алгоритм решения квадратного уравнения с параметром. Выбраны задания различного вида: неполные квадратные уравнения, приведенные квадратные уравнения, неприведенные квадратные уравнения, задания с дополнительным условием. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа.

6. Методы обучения выбраны частично-поисковые, наглядные, деятельностные.

7. Необходимости применения методов дифференцированного обучения не было. Достаточно оказания индивидуальной помощи.

8. Контроль усвоения знаний осуществлялся наблюдением за самостоятельностью и активностью учащихся на первых этапах урока, во время работы в малых группах, в конце урока была дана самостоятельная работа.

Результаты выполнения самостоятельной работы:

9. Использовались средства обучения: Учебник и задачник А.Г.Мордкович и др.-2011 год, компьютер, проектор, карточки с домашним заданием, активно использовалась доска.